EXTENSÕES DE ORE 93 T = - Álgebras de Hopf

Álgebras de Hopf

4.1 EXTENSÕES DE ORE 93 T =

         δ 0 0 0 0 ··· α δ 0 0 0 ··· 0 α δ 0 0 ··· 0 0 α δ 0 ··· 0 0 0 α δ ... ... ... ... ... ... ...          (4.6)

em M . Segue que este T define uma aplicação linear Φ : A[t] → M dada por Φ( n

∑

i=1 aiti) = n

∑

i=1 (a_b_iI)Ti. (4.7)

Lema 4.1. A aplicação Φ é injetiva.

Demonstração. Para qualquer inteiro i ≥ 1, sejam {ei}i≥1 os vetores coluna infinitos cujas entradas são todas zero com a exceção da i -ésima que deve ser igual à 1 de A. Podemos aplicar a matriz T de M ao vetor ei. Como δ(1) = 0 e α(1) = 1 verificamos que

T (ei) =ei+1 (4.8)

para todos i ≥ 1. Agora, seja P =

_∑

n i=0

aiti um elemento de A tal que Φ(P) = 0. Desejamos mostrar que todos os elementos a0, . . . ,an são nulos. Aplicando Φ(P) ao vetor coluna e1, pela equação (4.8), obtemos 0 = Φ(P)(e1) = n

∑

i=0 (a_b_iTi)(e₁) = n

∑

i=1b aiei+1. (4.9)

Como o conjunto {ei}i≥1 é linearmente independente, temos que abi=0 para todo i. Como A tem uma unidade, obtemos que ai=0 para todos i, pois 0 =abi(1) = ai·1 = ai. Logo concluímos que P = 0.

As relações da equação (4.5) implicam nas seguintes relações nas entradas de M para todo a ∈ A :        δ 0 0 0 ··· α δ 0 0 0 α δ 0 ··· 0 0 α δ ··· ... ... ... ... ...               b a 0 0 0 ··· 0 a 0 0b 0 0 a 0 ···b 0 0 0 a ···b ... ... ... ... ...        =         d α(a)δ + dδ(a) 0 0 · · · d

α(a)α α(a)δ + dd δ(a) 0 · · ·

0 α(a)d α(a)δ + dd δ(a) ···

0 0 α(a)d · · · ... ... ... ...        

Logo, podemos concluir que T (aI) = ( db α(a)I)T + ( dδ(a)I). Esta argumentação esboça a demonstra- ção o próximo lema.

4.1 EXTENSÕES DE ORE 94

Agora, completaremos a demonstração do item (b) do teorema. Seja S uma subálgebra de M gerada pelos elementos T e baI onde a ∈ A. Pelo Lema 4.2, está claro que S é a imagem de A[t] sobre a aplicação Φ. Como Φ é um morfismo injetivo, isto induz um isomorfismo linear de A[t] sobre a álgebra S. Isto define uma estrutura de álgebra para A[t] definida a partir do levantamento para a subálgebra S. Logo A[t] tem uma estrutura de álgebra tal que a inclusão é um morfismo injetivo da álgebra e a equação (4.2) é conservada em vista do lema anterior.

Extraíremos algumas consequências do Teorema 4.1. Primeiramente, daremos uma formulação geral para o produto em A[t,α,δ]. Considere P = ∑ni=1aiti e Q = ∑mi=0biti. Seja PQ =

n+m

∑

i=0 citi. Seja Sn,k o endomorfismo linear de A definido como a soma de todas as C_kn possíveis composições de k cópias do morfismo δ com n − k cópias do morfismo α.

Corolário 4.1. Sobre a hipótese do item (b) do Teorema 4.1, são válidas as seguintes afirmações: (a) Para todo i, com 0 ≤ i ≤ m + n, temos que

cr= r

∑

p=0 ap p

∑

k=0 Sp,k(br−p+k) (4.10) e, para todo a ∈ A e n ∈ N, em A[t,α,δ], vale

tna =

_∑

n k=0

Sn,k(a)tn−k. (4.11)

(b) A álgebra A[t, α, δ] não tem divisores de zero. Como um A -módulo à esquerda, esta álgebra é livre e tem por base {ti_}

i∈N.

Demonstração. (a) Primeiramente, verificaremos, para todo a ∈ A, que tia =

_∑

Sj,i(a)ti− j,

sempre que valha a relação (4.2). Prossigamos verificando as relações ti+1a = t(

_∑

Sj,i(a)ti−i)

_∑

(α(Sj,i)t + δ(Sj,i))ti− j = α(Sj,i)ti− j+1+ δ(Sj,i)i− j.

Basta observar que cada composição de k termos δ com i + 1 − k termos α pertence ao conjunto dos morfismos Sk,i+1ti+1−k ou está na forma α(Sj,i)ti− j+1, ou na forma δ(Sj,i)ti− j. Assim demonstramos que ti_{a = ∑S}

j,i(a)ti− j. Para finalizar o item (a), vejamos que ( n

∑

i=1 aiti)( m

∑

j=1 ajtj) =

_∑

aitibjtj=

_∑

i ai(

_∑

k S(k,i)ti−k)tj=

_∑

i ai

_∑

k S(k,i)(bj)ti+ j−k (4.12)

4.1 EXTENSÕES DE ORE 95

Agora, ao fixarmos a potência de t igual r , temos i + j − k = r. Neste caso, se fizermos i = p em equação (4.12), temos que

cr =

_∑

p ap

∑

S(k, p)(br+k−p). Deste modo, conseguimos demonstrar o item (a).

(b) Isto é uma consequência da existência do grau e da definição de A[t]. Pois sejam P,Q 6= 0 ∈ A[t] temos que gr (PQ) = gr (P) + gr (Q) ≥ 0 e, observando que P = ∑naiti e Q = ∑mbiti, temos que

PQ = anSn,0(bm)tm+n+ . . . =anαn(b_m)tm+n+ . . . .

Portanto, como α é um morfismo injetivo e como A não tem divisores de zero, então gr (PQ) = n + m. Isto implica em A[t] não ter divisores de zero.

i≥1 gera A[t,α,δ] como um R -módulo à direita. Isto significa que todo elemento P de A[t,α,δ] pode ser escrito como P = ∑ni=0tiai, onde a0, . . . ,an∈ A. Provemos isto, por indução, no grau n = gr(P). Para n = 0, o resultado é claramente verdadeiro. Suponha que também seja verdade, para 1 ≤ k < n, que todo P com grau gr(P) = k possa ser escrito como A -módulo à direita gerado por {ti_}

1≤k≤n. Seja P = ∑ni=0aiti, temos que

tnα−n(an) =antn+termos de grau menor. (4.13)

Para obter a equação (4.13), já assumimos α invertível e usamos a equação (4.2) para deduzi-la. Assim, podemos isolar antn=tnα−n(an) + termos de grau menor. Portanto, P = tn−n(an) + termos de grau menor, ou seja, P − tn_a

n=tn−1an−1+ . . . +t0a0. Logo P = tnan+tn−1an−1+ . . . +t0a0. Resta provar que o conjunto {ti_}

i≥0 é livre. Suponha que este conjunto não seja livre. Então existe uma relação da forma

tnan+tn−1an−1+ . . . +ta1+a0=0

com an6=0. Usando equação (4.13), uma vez que obtemos, por indução, a equação gerada como módulo à direita da forma

αn(an)tn+termos de grau menor.

e, pelo item (b), isto implica em αn(an) =0. Como a aplicação α é isomorfismo, obtemos an=0 que é uma contradição. Logo está demonstado o item (c) e, em consequencia, o corolário.

Exemplo 4.1.1 (básico). Considere o caso especial onde α = id e δ = 0. Então a extensão de Ore A[t, idA,0] é claramente isomorfa a álgebra dos polinômios A[t]. No caso de uma derivações genérica, a álgebra A[t, id, δ] é uma ‘álgebra de polinômios com operadores diferenciais’. Quando A = k e δ é a derivação usual _dxd de polinômios, então A[t, id, δ] é a álgebra de Weyl, que é gerada pela duas variáveis x e δ com conhecida relação de Heisenberg δx − xδ.

Definição 4.2. Seja A um anel. Dizemos que A é um anel Noetheriano 1_{; se uma, e por con-} sequência ambas, das seguintes seguintes propriedades equivalentes forem válidas:

1_{No início do século XX, Amy Noether definiu a condição de cadeia ascendente para os anéis comutativos. Em}

homenagem a autora deste conceito, os aneis que satisfazem a condição de cadeia ascendente são denominados anéis Noetherianos. O conceito é generalizável para múdulos, anéis e álgebras comutativos e não-comutativos. Este compor- tamento para anéis comutativos é conveniente, porque é uma condição suficiente, por exemplo, para garantir a existência de uma decomposição primária para ideais.

4.1 EXTENSÕES DE ORE 96

(i) Qualquer ideal à esquerda I de A é finitamente gerado, i.e., existem a1, . . . ,an em I tais que I = Aa1+ . . . + Aan

(ii) (Condição de Cadeia Ascendente (cca)) Toda sequência ascendente I1⊂I2⊂ . . . ⊂Ii⊂ . . . ⊂ A de ideais à esquerda de A é finita, i.e., existe um inteiro r tal que Ir =I, para todo i ≥ 0. Como vimos podemos definir anéis Noetherianos de duas maneiras. Contudo, não é difícil verif- car que estas condições são equivalentes.

Proposição 4.1. Seja φ : A → A0 _{um morfismo sobrejetivo dos anéis. Se A é Notheriano, então} A0 também é Noetheriano.

Demonstração. Seja J um ideal à esquerda de A0_. _{O ideal à esquerda I = φ}−1₍_{J) de A é gerado} pelos elementos a1, . . . ,an. Portanto J = φ(φ−1(I)) é gerado por φ(a1), . . . , φ(an).

O teorema a seguir é a versão não-comutativa do teorema da base de Hilbert.

Teorema 4.2. Sejam A uma álgebra, α um automorfismo de álgebra e δ uma α -derivação de A. Se A é Noetheriano, então a extensão de Ore também é Noetheriana.

Demonstração. Seja I um ideal a esquerda da extensão de Ore A[t,α,δ]. Temos que provar que I é um ideal finitamente gerado. Dando um inteiro d > 0, definimos Id como a união de {0} e todos os elementos de A, que são coeficientes líderes dos elementos de grau d de I. Uma simples verificação mostra que Id é um ideal à esquerda de A, pois a multiplicação à esquerda de um elemento de c ∈ Id por um elemento a ∈ A resulta em ca, que é o coeficiente para algum polinômio de grau d em I.

Por outro lado, se a é o coeficiente líder de algum polinômio P, então α(a) é o coeficiente líder de tP. Consequentemente, α(Id) está incluída em Id+1. Portanto temos a cadeia ascendente abaixo

I0⊆ α−1(I1) ⊆ α−2(I2) ⊆ . . . ⊆ α−i(Ii) ⊆ . . .

de ideais à esquerda de A. Desde que A seja Noetheriano à esquerda, existe um inteiro n tal que In+i= αi(In) para todos i > 0.

Para qualquer d com 0 6 d 6 n, escolha os geradores ad,1, . . . ,ad,p de Id. Seja Pd,i o polinô- mio de I cujo o coeficiente líder é ad,i. Provemos, por indução no grau, que qualquer polinômio P em I pertence ao ideal I0₌

∑

d,iA[t, α, δ]Pd,i

. Isto implicará que I = I0 é finitamente gerado, que implicará no teorema. A hipótese de indução está clara para o caso de grau 0. Suponha que tenhamos provado que todo elemento de grau menor d em I está em I0_. _{Seja P um elemento de} grau d de I.

(a) Se d 6 n, o coeficiente líder a de P é da forma a = ∑06i6priad,i, onde r0, . . . ,rp são

elementos de A. Consequentemente, Q = P −

_∑

06i6p

riPd,i é um elemento de I com grau menor que d. E, por hipótese de indução, Q pertence a I.

(b) Se d > n, o coeficiente líder a de P pertence à Id= αd−n(In) = (αd−n(ad,1), ..., αd−n(ad,p)). O coeficiente líder a pode ser escrito como a = ∑0riαd−n(ad,i) para alguns r0, . . . ,rp∈ A. Con- sidere o polinômio

Q = P −

_∑

06i

No documento TENSORES INTEGRAIS EM ÁLGEBRAS DE HOPF (páginas 94-98)