Cenário com decaimento exponencial da probabilidade

Assume-se que há uma relação exponencial entre o investimento realizado e a redução da probabilidade de ocorrência do evento, como ocorre em sistemas considerados críticos. O modelo é aplicado, considerando as diferentes ponderações do risco em cada ativo da malha ferroviária.

Como não é conhecido um valor especíco de investimento para cada trecho e cidade, o valor considerado é maior que o valor máximo de consequência em todos os trechos e cidades. A diferença entre os quatro cenários está na consideração do peso no cálculo do risco de cada ativo: 1- sem poderação, 2- ponderado pelo grau (proporção do número de ligações de cada cidade), 3- ponderado pela centralidade (proporção do número de menores caminhos entres quaisquer dois pontos da malha), 4- ponderado pelo grau e pela centralidade (multiplicação dos dois pesos anteriores).

Considerando os dados iniciais seriam necessário 185.000 para investimentos em pre- venção. Entretanto, o orçamento disponível é de 51.000. O modelo matemático é

M in R = k X j=1 F Tj " _n X i=1 wiCibij n Y i=1 (1 − pi)(1−bij)p (bij) i # . (4.5)

Sujeito às restrições dadas pelas inequações 4.6 e 4.7.

n

X

i=1

ai 6 M. (4.6)

0 6 ai 6 costi. (4.7)

E os valores de wivariam em cada um dos cenários:

1- sem poderação wi = 1;

2- ponderado pelo grau (proporção do número de ligações de cada cidade), wi = g(vi)

maxjg(vj), onde g(v) que é número de links de um nó v e maxjg(vj) é o maior grau dentre todos os ativos do sistema;

Tabela 4.5: Cenários de aplicação do modelo proposto com diferentes ponderações consi- derando um orçamento necessário total de 185.000 e um orçamento disponível de 51.000. Fonte: Elaboração Própria.

Cenários Ponderação

Variáveis Sem peso Grau Centralidade Grau.Centralidade

Risco inicial 216,56 216,56 216,56 216,56 Valor investido 50678,91 47267,04 44020,46 44309,65 Saldo 321,09 3732,96 6979,54 6690,35 Risco nal 74,38 80,09 90,42 100,38 Risco Trechos 1º T31 C32-C33 T33 C33-C34 T23 C22-C23 T23 C22-C23 2º T23 C22-C23 T13 C13-C14 T25 C25-C26 T25 C25-C26 3º T12 C12-C13 T31 C32-C33 T30 C30-C33 T30 C30-C33 4º T15 C15-C16 T23 C22-C23 T37 C24-C25 T37 C24-C25 5º T30 C30-C33 T12 C12-C13 T05 C5-C7 T13 C13-C14 6º T05 C5-C7 T15 C15-C16 T27 C27-C28 T05 C5-C7 Risco Estações 1º C32 C33 C33 C33 2º C33 C32 C30 C07 3º C04 C04 C29 C25 4º C25 C09 C25 C09 5º C07 C20 C04 C30 6º C11 C11 C07 C16

quaisquer dois pontos da malha), wi = _maxc(vi)

jc(vj) onde c(v) = X a,b6=v gavb gab (4.8) sendo gab o número de menores caminhos entre a e b, e gavb é o número de menores

caminhos que passam por v.

4- ponderado pelo grau e pela centralidade (multiplicação dos dois pesos anteriores), wi = _maxg(v_jg(vi)_j)maxc(v_jc(vi)_j).

Os resultados de cada um dos quatro cenários está na Tabela 4.5.

Os valores dos riscos nais foram 74,38; 80,09; 90,42 e 100,38 para os cenários sem ponderação, ponderado pelo grau, ponderado pela centralidade e ponderado pelo produto do grau pela centralidade, respectivamente. Dentre as quatro ponderações consideradas no sistema, a que apresentou maior risco nal foi o que ponderou centralidade e grau simultaneamente, entretanto, esse cenário pode ter preferência sobre os demais por consi- derar que tanto o número de ligações quanto o número de menores caminhos são essenciais na malha ferroviária.

A partir da análise do risco nal em cada um dos ativos do sistema, utilizando a ferramenta de simulação MBRA foi possível obter a malha com indicação dos ativos de maior risco do sistema, para cada um dos quatro cenários de ponderação. A Figura 4.2 (a) mostra a classicação dos ativos do sistema utilizando o modelo exponencial, sem

considerar a ponderação no cálculo do risco. Os ativos circulados indicados na malha são as cidades com os maiores riscos da malha e os ativos indicados com as setas e numerados são os trechos com os maiores riscos da malha. Os números indicam a classicação dos riscos dos ativos, incluindo estações e trechos, classicando com os números 1 a 9 os ativos de maior risco, em ordem decrescente.

As Figuras 4.2 (b) e 4.3 (a) e (b) mostram os resultados para diferentes formas de pon- deração da malha utilizando o decaimento exponencial da probabilidade. Nota-se que as diferentes ponderações, pelo grau, pela centralidade e pelos dois fatores simultâneamente, alteram a classicação dos nove primeiros ativos de maior risco do sistema.

Comparação com uma solução de senso comum

Conforme discutido no Capítulo 2, outras estratégias de decisão de investimentos podem ser tomadas, por diferentes motivações. Considere o caso em que a estratégia utilizada é apenas classicando os ativos por maior número de acidentes e realizando a alocação do maior para o menor número de acidentes por trecho até que o orçamento disponível se esgote. Neste caso, obtem-se o resutado da Tabela 4.6 que também compara os ativos que receberam alocações utilizando essa estratégia com os ativos que receberam alocação com as quatro ponderações diferentes que utilizaram o modelo matemático exponencial de otimização.

A principal contribuição da aplicação dos modelos é que, independentemente da pon- deração considerada, os investimentos são realizados nas estações/trechos que são relevan- tes para a malha como um todo, minimizando alocações de recursos em ativos isolados, cuja falta de funcionamento não afeta signicativamante o funcionamento do restante da malha.

O modelo de otimização apresenta diferenças signicativas nas decisões de alocação em relação a estratégia proporcial ao número de acidentes por ativo. Interessante notar que o ativo C20 somente aparece na estratégia que não considera o modelo matemático. Assim, pode-se concluir que essa alocação está sendo realizada de forma a desconsiderar a malha como um todo.

Outra importante diferença é que a locação no ativo C01 não ocorre quando se pondera grau e centralidade na ponderação do modelo matemático, isso pode signicar que apenas com uma ponderação, ou com a estratégia de alocar nos ativos com maior número de acidentes esse ativo parece importante, mas quando se considera simultaneamente dois importantes fatores da malha, esse ativo deixa de ter prioridade de investimento.

Além desses dois casos especícos, outras diferenças da Tabela 4.6 levam ao enten- dimento de que tanto o uso do modelo de otimização quanto a ponderação simultânea de fatores relevantes da malha são denitivos para melhor alocar os recursos disponíveis quando se quer diminuir o risco da malha considerando a importância de cada ativo para o sistema todo.

(a)

(b)

Figura 4.2: Malha com a classicação do risco dos ativos para o modelo de decaimento exponencial da probabilidade em função do investimento: (a) sem ponderação; (b) pon- derado pelo Grau.

(a)

(b)

Figura 4.3: Malha com a classicação do risco dos ativos para o modelo de decaimento exponencial da probabilidade em função do investimento: (a) ponderado pela Centrali- dade; e (b) ponderado pelo Grau e pela Centralidade.

Table 4.6: Comparação dos ativos que receberam investimentos utilizando os quatro ce- nários do modelos exponenciais propostos com diferentes ponderações e a estratégia de alocação que não considera os modelos de otimização.

Fonte: Elaboração Própria.

Modelo de Decaimento Exponencial com diferentes ponderações Sem modelo: maior

Sem peso Grau Centralidade Grau.Centralidade número de acidentes

C01 C01 C01 sem alocação C01

sem alocação sem alocação sem alocação C04 sem alocação

C05 C05 C05 C05 C05

sem alocação C07 C07 C07 sem alocação

C09 C09 C09 C09 C09

C12 C12 C12 C12 C12

C14 C14 C14 C14 C14

C16 C16 C16 C16 C16

C18 C18 sem alocação sem alocação C18

C19 C19 C19 C19 C19

sem alocação sem alocação sem alocação sem alocação C20

C24 C24 C24 C24 C24

C25 C25 C25 C25 C25

sem alocação sem alocação sem alocação C29 sem alocação

C32 C32 C32 C32 C32

C33 C33 C33 C33 C33

C35 C35 C35 C35 C35

C36 C36 C36 C36 C36

T33 C33-C34 T33 C33-C34 T33 C33-C34 T33 C33-C34 T32 C31-C33

T32 C31-C33 T32 C31-C33 T32 C31-C33 sem alocação sem alocação

T30 C30-C33 T30 C30-C33 T30 C30-C33 T30 C30-C33 T30 C30-C33

T19 C20-C19 T19 C20-C19 T19 C20-C19 T19 C20-C19 T19 C20-C19

T15 C15-C16 T15 C15-C16 T15 C15-C16 T15 C15-C16 T15 C15-C16

T14 C14-C15 T14 C14-C15 T14 C14-C15 T14 C14-C15 T14 C14-C15

Figura 4.4: Decrescimento da vulnerabilidade em função do valor investido no sistema, considerando o risco sem ponderação.

Fonte: Elaboração Própria utilizando o MBRA.

Outro resultado que pode ser analisado a partir dessa simulação, é como se dá a redução do risco e da vulnerabilidade em função do valor destinado ao investimento em prevenção no sistema. Como neste caso é considerada a redução da vulnerabilidade em função do investimento de forma exponencial, conforme proposto na teoria dos sistemas críticos, a redução do risco também se dá de forma exponencial com o investimento disponível.

Inicialmente, para o caso em que se considera a malha da Figura 4.1 sem ponderação no cálculo do risco de cada ativo do sistema, obtem-se o gráco (a) da Figura 4.5 que mostra o decrescimento do risco em função o orçamento destinado à prevenção na malha considerada. O gráco da Figura 4.4 mostra a redução da vulnerabilidade em função do valor investido na malha. Nesse caso, a função de decaimento da vulnerabilidade em função do investimento, obtida através do Mathematica, é dada por

f (ai) = 73, 8456 exp −(5, 89948 10−6)ai. (4.9)

Para o caso em que se considera a malha da Figura 4.1 ponderando o cálculo do risco de cada ativo do sistema pelo grau, obtem-se o gráco (b) da Figura 4.5 que mostra o de- crescimento do risco em função o orçamento destinado à prevenção na malha considerada. O decrescimento da vulnerabilidade em função do investimento na malha para este caso, utilizando o ajuste de curva exponencial do software Mathematica é dada pela equação 4.10.

f (ai) = 69, 2454 exp −(7, 35949 10−6)ai. (4.10)

Para o caso em que se considera a malha da Figura 4.1 ponderando o cálculo do risco de cada ativo do sistema pela centralidade, obtem-se o gráco (c) da Figura 4.5 que mostra o decrescimento do risco em função o orçamento destinado à prevenção na malha considerada. A função de decrescimento da vulnerabilidade pelo valor do investimento na malha obtida no Mathematica é dada pela equação 4.11.

f (ai) = 79, 1927 exp −(5, 89526 10−6)ai. (4.11)

Finalmente, para o caso em que se considera a malha da Figura 4.1 ponderando o cálculo do risco de cada ativo do sistema pela centralidade multiplicada pelo grau, obtem- se o gráco (d) da Figura 4.5 que mostra o decrescimento do risco em função o orçamento destinado à prevenção na malha considerada. O decrescimento da vulnerabilidade em função do investimento na malha é dada pela equação 4.12.

f (ai) = 84, 197 exp −(6, 02665 10−6)ai. (4.12)

Assim, no modelo exponencial o risco e a vulnerabilidade não são zerados, mesmo que seja investido um valor alto, pois, neste modelo algumas ameaças e vulnerabilidade per- manecem apesar dos investimentos. O que o modelo mostra são quais o locais estratégicos que reduzem mais rapidamente o risco total do sistema ao patamar mínimo considerado possível em um sistema crítico.