3.2 Modelos Matemáticos
3.2.2 Decaimento em degrau da probabilidade em função do investimento
Este trabalho propõe um modelo no qual o decaimento da probabilidade em função do valor investido ocorre em forma de degrau. Isso porque, em alguns casos, não faz sentido um investimento parcial no ativo, por exemplo, em situação de troca completa de equi- pamentos. Nestas aplicações é necessário decidir entre investir o valor total previsto para cada ativo e reduzir a probabilidade de falha ao mínimo naquele ativo, ou não investir e permanecer com a probabilidade de falha inicial. Para modelar esse tipo de aplicação pode-se criar uma variável binária xi que de nirá se o ativo i receberá ou não o investi-
mento.Este modelo binário pode ser aplicado em casos em que a decisão de investimento não pode considerar investimentos parciais. Este é o caso de investimentos em equipa- mentos que possuem valores xos, normalmente mais altos, e que a decisão de valores parciais é impossibilita a compra do equipamento.
Uma falha por ativo (k = 1) Neste caso, pode-se assumir que
pi = Pi(1 − xi),
e o problema de otimização assume a forma M in R =
n
X
i=1
[Ri − Rixi] . (3.12)
Sujeito às restrições dadas pelas inequações (3.13) e (3.14).
n X i=1 costixi 6 M. (3.13) xi {0, 1} , ∀i = 1, ..., n. (3.14) onde:
xi: decisão de alocação do valor total necessário costi em prevenção no ativo i, sendo
xi = 0,se não é investido o valor total necessário para proteção costi no ativo i,
xi = 1, se é investido o valor total necessário costi para proteção do ativo i.
Neste caso a relação entre redução da vulnerabilidade e valor do investimento é de nida de forma binária: ou o valor total aié investido para reduzir totalmente a vulnerabilidade
daquele ativo, ou qualquer investimento realizado que seja menor que o valor total irá manter a vulnerabilidade sem modi cações.
A inequação da restrição (3.25) faz com que a soma das alocações realizadas, para as quais xi = 1 não ultrapasse o orçamento máximo disponível e a restrição da inequação
3.14 mostra a decisão de investimento ou não investimento para cada um dos ativos. Essa restrição da inequação 3.14 mostra a variável binária do modelo. Este problema é um problema de programação linear inteira.
Mais de uma falha por ativo (k > 1)
Se o sistema admitir mais de uma falha por ativo, sob a hipótese de redução linear da probabilidade em função do investimento,
pij = Pij(1 − xij),
Neste caso (k > 1 ) o modelo é não linear em aijdevido aos produtos mistos derivados
da árvores de falhas.
3.2.3 Decaimento exponencial da probabilidade em função do in-
vestimento
Pode-se adaptar o modelo matemático de otimização de Lewis (2006) para aplicação no problema ferroviário de decisão de investimentos a m de minimizar o risco total da malha. Além disso, pode ser considerado conforme proposto por Xie et al. (2009) que, como se trata de um sistema de transporte, o sistema ferroviário segue um comportamento no qual a vulnerabilidade se reduz exponencialmente em função do valor do investimento conforme apresentado na teoria dos sistemas críticos de Bak (1996).
Uma falha por ativo (k = 1)
Considerando a existência de apenas uma falha associada a cada ativo do sistema, ou a existência de falhas que possam ser consideradas no modelo através de uma única proba- bilidade de ocorrência, o presente trabalho propõe um modelo de redução exponencial da vulnerabilidade em função do valor investido, seguindo a teoria dos sistemas críticos de Bak (1996). Para isso, os parâmetros do problema são:
M : orçamento máximo disponível para alocação em prevenção, que não pode ser ultrapassado.
Pi : probabilidade de ocorrência de falha no ativo i, dada pelo produto da ameaça pela
vulnerabilidade, Ti· Vi, que variam de 0% a 100%, e que dependem da alocação realizada
no ativo i;
n : número de ativos do sistema.
As variáveis de decisão representam os valores monetários que devem ser investidos em cada ativo e são representadas por:
ai: alocação em prevenção no ativo i.
A função objetivo é minimizar o risco total R dado pela multiplicação da probabilidade de ocorrência da falha Pi (que pode ser escrita como produto da ameaça pela vulnera-
bilidade, TiVi) pela consequência Ci, ponderada por um fator wi do sistema, conforme
equação 3.15. M in R = n X i=1 wiRi = n X i=1 wiPiCi = n X i=1 wiTiViCi. (3.15)
Contudo, como a relação entre redução da vulnerabilidade e valor do investimento ocorre de maneira exponencial, de acordo com a teoria dos sistemas críticos apresentada por Bak (1996). Reescrevendo a função objetivo obtem-se a equação 3.16.
M in R = n X i=1 Viexp(−k·alloci)TiCiwi = n X i=1 Riexp(−k·alloci). (3.16)
Sujeita às restrições dadas pelas inequações 3.17 e 3.18.
n
X
i=1
alloci 6 M. (3.17)
ai > 0. (3.18)
A inequação da restrição 3.17 faz com que a soma das alocações realizadas não ul- trapasse o orçamento máximo disponível e a restrição da inequação 3.18 de ne que a alocação de cada ativo deve ser maior ou igual a zero. Este problema é um problema de programação não linear que para ser resolvido precisa de heurísticas.
Ainda neste caso, o valor necessário para proteção em cada ativo pode ser considerado tão grande quanto se deseje, mas um valor de costi pode ser xado para que a vulnerabi-
lidade se reduza a uma porcentagem mínima de nida para cada caso (por exemplo, 5%), neste caso é possível reescrever a restrição da inequação 3.18 como
0 6 ai 6 costi. (3.19)
Este modelo pode ser utilizado para análise da malha nacional ferroviária, por exemplo, uma vez que existem nancimentos liberados pelo BNDES que devem aplicados exclusi- vamente em determinados tipos de falhas (rubricas especí cas) e que visam a melhoria
da malha nacional como um todo.
Mais de uma falha por ativo (k > 1)
Considerando a existência de várias falhas possíveis em cada ativo do sistema, e a exis- tência de uma a árvore de falhas, F T com j eventos possíveis, a adaptação do modelo matemático de otimização de Lewis (2006) para aplicação no problema ferroviário de decisão de investimentos minimiza o risco total da malha. Xie et el. (2009) tratam os sistemas de transporte, incluindo o ferroviário como um sistema crítico, podendo assumir o decaimento exponencial da probabilidade em função do investimento realizado.
Neste modelo as variáveis de decisão representam os valores monetários que devem ser investidos em cada ativo e são representadas por:
ai: alocação em prevenção no ativo i.
Os parâmetros do problema são:
M : orçamento máximo disponível para alocação em prevenção, que não pode ser ultrapassado.
F Tj: valor binário, 0 ou 1, que indica se o evento j não se propaga ou se propaga até
o topo da árvore de eventos, respectivamente;
Ci : consequência ou dano causado pela falha no ativo i,
bij : valor binário, 0 ou 1, que indica a não ocorrência ou ocorrência do evento na
árvore de eventos, respectivamente;
pi : probabilidade de ocorrência de falha no ativo i, dada pelo produto da ameaça pela
vulnerabilidade, Ti· Vi, que varia de 0% a 100%, e que depende da alocação realizada no
ativo i;
costi : valor necessário para proteção do ativo i expresso em unidades monetárias,
n : número de ameaças na árvore de falhas; k : número de eventos na árvore de eventos.
A função objetivo é minimizar o risco R total do sistema dado pela equação (3.20). M in R = k X j=1 F Tj " n X i=1 Cibij n Y i=1 (1 − pi)(1−bij)p (bij) i # . (3.20)
Sujeito às restrições dadas pelas inequações (3.21) e (3.22).
n
X
i=1
ai 6 M. (3.21)
0 6 ai 6 costi. (3.22)
A restrição da inequação (3.21) impõe uma limitação, o total das alocações em cada um dos ativos quando somadas não podem ultrapassar o valor de orçamento máximo M
que se encontra disponível para realização do investimento. A restrição da inequação (3.22) canaliza o valor da alocação entre zero e o valor do custo para redução máxima da vulnerabilidade. A função objetivo da equação (3.20) modela o risco de qualquer árvore de falhas. Mas, por ser não linear torna-se difícil de minimizar por métodos tradicionais de otimização, pois o espaço de soluções de R é n-dimensional.
Neste caso, probabilidade pi depende do valor da alocação ai conforme a equação
exponencial (3.23), onde os Di, para i = 1, 2 dependem do modelo.
f (ai) = α exp β ai. (3.23)
Para aplicação no caso do problema de decisão dos investimentos para segurança nas ferrovias, este trabalho propõe os seguintes passos:
1) listar os ativos do sistema: cidades e trechos da malha ferroviária considerada, informando um valor de ameaça, vulnerabilidade e consequência para cada ativo;
2) executar a análise do sistema, identi cando:
2.1) o grau de cada uma das cidades: número de trechos conectados a cada cidade; 2.2) a centralidade de cada um dos trechos e cidades: número de menores caminhos que passam por cada trecho e cada cidade;
3) calcular o risco inicial de cada cidade e cada trecho;
4) identi car quais os trechos e cidades que possuem maior risco e aplicar o modelo para decidir o investimento.
Em uma segunda etapa, nos trechos e cidades que apresentam particularidades é pro- posto neste trabalho a inserção de diferentes ameaças que irão compor a árvores de falhas, então é possível modelar o sistema como uma árvore de falhas, considerando as diferentes possibilidades de prejuízos ao sistema no caso de ocorrência dessas falhas; analisar a árvore de falhas usando uma árvore de eventos e calculando o risco de cada evento; e analisar o orçamento, computando utilização ótima dos recursos limitados de forma a minimizar o risco total do sistema.
3.2.4 Métodos de Resolução
Nos modelos porposto, quando considerada a relação entre a alocação de recursos e a diminuição da vulnerabilidade de maneira exponencial, como ocorre nos sistemas críticos da teoria de Bak (1996), é usual a utilização de heurísticas para tornar a complexidade computacional factível, uma vez que essa relação é não linear. Assim, os modelos ex- ponenciais precisam de uma heurística para serem resolvidos, pois métodos exatos de otimização não irão obter uma resposta em tempo computacional adequado.
Para soluções do modelo exponencial com mais que uma falha por ativo, a ferramenta de simulação MBRA possui uma heurística própria que inicialmente distribui as M uni- dades monetárias nas n ameaças. Isso pode ser feito da mesma maneira que se distribui
cartas a jogadores até que M seja totalmente alocado. Na maioria dos casos, as ameaças recebem aproximadamente um mesmo valor ou um valor proporcional ao dano que causa- riam. Esta distribuição de dotação inicial satisfaz a restrição 3.11, a qual deve ser mantida durante todos os próximos passos. Para car dentro destes limites, deve ser movido um mesmo número de unidades monetárias de uma ameaça para outra. As ameaças da árvore de falhas selecionadas aleatoriamente são chamadas de doadoras e receptoras. Então são repetidos os seguintes passos:
1. Selecione uma ameaça ao acaso, chamada de doadora; selecione outra ameaça ao acaso, chamada de receptora.
2. Se (0 6 pi 6 probi) para a dadora e (0 6 pi 6 probi) para a receptora, deduzir $ 1
da doadora e adicionar $ 1 para a receptora.
3. Se o risco R não é diminuiu, levar de volta a doação; caso contrário, mantê-lo. Essa aplicação é repetida até resultar em uma alocação de M para cada ameaça de tal forma que o risco R é minimizado.
Analisando o caso das ferrovias, este trabalho propõe que a redução da vulnerabilidade em função da alocação em prevenção pode ser linear ou degrau, além da exponencial. Assim, é possível considerar o caso da redução da probabilidade em função do investimento de forma degrau, na qual se aloca recursos totalmente ou não se aloca recursos naquele ativo. Isso signi ca que uma alocação parcial é ine ciente. No caso linear a vulnerabilidade decai linearmente e proporcionalmente com o valor investido. Para esses casos, decaimento linear e degrau da vulnerabilidade em função do investimento, métodos exatos de solução resolvem o problema em um tempo computacional razoável, dispensando a utilização de heurísticas.
No MBRA também é possível alocar recursos em resposta que diminuem a consequên- cia. As alocações em prevenção e em resposta reduzem os valores das vulnerabilidades e das consequências, respectivamente. O MBRA considera também na alocação de resposta uma relação exponencial com a diminuição da consequência, porém com uma curva mais acentuada, signi cando que as alocações em resposta são mais efetivas para a minimização do risco do que a alocação em prevenção.
Em geral, método tradicionais de otimização, como solvers disponíveis como o do MSExcel, GLPK, GAMS, etc. e podem ser utilizados para resolver as formulações que consideram o decaimento da vulnerabilidade em função do investimento como sendo linear ou binário. Um resumo dos modelos é apresentado nas Figuras 3.2 e 3.3, seguindo a ponderação descrita no Capítulo 2, na Seção 2.4.
Apesar da complexidade dos algoritmos, os tempos para obter as soluções exatas utilizando solvers tradicionais para os modelos com decaimento linear e binário da proba- bilidade em função do investimento são adequados, mesmo quando consideradas malhas grandes com muitos ativos. A heurística do MBRA também retorna solução em tempo computacional adequado para o modelo exponencial.
Figura 3.2: Modelos Formulados: diferentes tipos de decaimento da vulnerabilidade em função do investimento.
Fonte: Elaboração Própria.
Figura 3.3: Modelos Formulados: ponderações utilizadas para cada uma das formas de decaimento da vulnerabilidade em função do investimento.
Fonte: Elaboração Própria.
Uma possível di culdade para aplicação dos modelos propostos pode ser a inexistência de registros de dados da malhas que permitam calcular as porcentagens de ameaça e vulnerabilidade em cada estação ou trecho ferroviário. Entretanto, como os registros das quantidades e gravidades dos acidentes ferroviários no Brasil são obrigatórios para o cumprimento de metas da concessões, mais recententemente uma maior quantidade de dados está disponível para ser utilizada como parâmetro de entrada.
Assim, considerando que existe uma única falha por ativo do sistema, ou que diver- sas falhas possam ser consideradas conjuntamente em uma única probabilidade, exitem três tipos de decaimento da vulnerabilidade em função do valor investido: exponencial, binário e linear. Em cada um deles, o modelo pode ser utilizado com diferentes tipos de ponderação: sem peso, ponderado pelo grau, ponderado pela centralidade e ponderado pelo produto da centralidade pelo grau. No total, para o caso de uma falha por ativo, são possíveis 12 modelos propostos neste trabalho para aplicação no setor ferroviário.
Considerando a exstência de diversas falhas por ativo no sistema e que essas falhas podem ser tratadas com árvores de falhas e eventos, existem mais outros 12 modelos de otimização. Cada um dos modelos é adequado a um tipo de investimento a ser realizado no setor ferroviário.
Retomando, este trabalho propõe os seguintes modelos considerando a existência de uma falha por ativo no sistema ferroviário:
Decaimento linear da prbabilidade me função do investimento: Parâmetros:
M : orçamento máximo disponível para alocação em prevenção, que não pode ser ultrapassado.
Ci: consequência ou dano causado pela falha no ativo i,
Pi : probabilidade de ocorrência de falha no ativo i, dada pelo produto da ameaça pela
vulnerabilidade, Ti· Vi, que variam de 0% a 100%, e que dependem da alocação realizada
no ativo i;
costi : valor necessário para proteção do ativo i expresso em unidades monetárias,
n : número de ativos do sistema.
As variáveis de decisão representam os valores monetários que devem ser investidos em cada ativo e são representadas por:
ai: alocação em prevenção no ativo i.
A função objetivo é dada pela 3.24. M in R = n X i=1 −Ri costi ai+ Ri . (3.24)
Sujeito às restrições dadas pelas inequações 3.25 e 3.26.
n
X
i=1
ai 6 M. (3.25)
0 6 ai 6 costi. (3.26)
Decaimento degrau da probabilidade em função do investimento: Parâmetros:
M : orçamento máximo disponível para alocação em prevenção, que não pode ser ultrapassado.
Ci: consequência ou dano causado pela falha no ativo i,
Pi : probabilidade de ocorrência de falha no ativo i, dada pelo produto da ameaça pela
vulnerabilidade, Ti· Vi, que variam de 0% a 100%, e que dependem da alocação realizada
no ativo i;
costi : valor necessário para proteção do ativo i expresso em unidades monetárias,
As variáveis de decisão representam a decisão binária de investir ou não investir o valor total necessário para proteção em cada ativo e são representadas por:
xi: decisão de alocação do valor total necessário costi em prevenção no ativo i, sendo
xi = 0,se não é investido o valor total necessário para proteção costi no ativo i, ou
xi = 1, se é investido o valor total necessário costi para proteção do ativo i.
A função objetivo é dada pela equação 3.27. M in R =
n
X
i=1
[Ri − Rixi] . (3.27)
Sujeito às restrições dadas pelas inequações 3.28 e 3.29.
n
X
i=1
costixi 6 M. (3.28)
xi {0, 1} , ∀i = 1, ..., n. (3.29)
Decaimento exponencial da probabilidade em função do investimento: Parâmetros:
M : orçamento máximo disponível para alocação em prevenção, que não pode ser ultrapassado.
Ci: consequência ou dano causado pela falha no ativo i,
Pi : probabilidade de ocorrência de falha no ativo i, dada pelo produto da ameaça pela
vulnerabilidade, Ti· Vi, que variam de 0% a 100%, e que dependem da alocação realizada
no ativo i;
n : número de ativos do sistema.
As variáveis de decisão representam os valores monetários que devem ser investidos em cada ativo e são representadas por:
ai: alocação em prevenção no ativo i.
A função objetivo é dada pela equação 3.30. M in R =
n
X
i=1
Riexp(−k·alloci). (3.30)
Sujeita às restrições dadas pelas inequações 3.31 e 3.32.
n
X
i=1
ai 6 M. (3.31)
0 6 ai 6 costi. (3.32)
Em cada um dos três modelos, são consideradas as diferentes formas de ponderação dos pontos da malha ferroviária para determinação dos risco de trecho e cidade no sistema
como um todo, permitindo ao decisor alocar de forma ótima os recursos.
Além disso, considerando árvores de falhas e eventos em cada um dos ativos do sistema, este trabalho ainda propõe o modelo linear para várias falhas por ativo.
Decaimento linear da probabilidade em função do investimento: Parâmetros:
M : orçamento máximo disponível para alocação em prevenção, que não pode ser ultrapassado.
F Tj: valor binário, 0 ou 1, que indica se o evento j não se propaga ou se propaga até
o topo da árvore de eventos, respectivamente;
Ci: consequência ou dano causado pela falha no ativo i,
bij : valor binário, 0 ou 1, que indica a não ocorrência ou ocorrência do evento na
árvore de eventos, respectivamente;
probi : probabilidade de ocorrência de falha no ativo i, dada pelo produto da ameaça
pela vulnerabilidade, Ti· Vi, que varia de 0% a 100%;
costi : valor necessário para proteção do ativo i expresso em unidades monetárias,
mi = probcosti
i : a probabilidade de ocorrência da falha, dividida pelo o valor necessário para proteção do ativo i.
n : número de ameaças na árvore de falhas; k : número de eventos na árvore de eventos. As variáveis de decisão são todos os:
ai: alocação em prevenção no ativo i.
A função objetivo do problema é dada pela equação 3.33. M in R = k X j=1 F Tj " n X i=1 Cibij n Y i=1 (1 − aimi)(1−bij)aim (bij) i # . (3.33)
Sujeita às restrições das inequações 3.34 e 3.35.
n
X
i=1
ai 6 M. (3.34)
0 6 ai 6 costi. (3.35)
Finalmente, considerando ainda várias falhas por ativo do sistema, esse trabalho pro- põe a utilização do modelo proposto por Lewis (2010), considerando o comportamento do sistema de transporte como o dos sistemas críticos de Bak (1996) , conforme considerado por Xie et al. (2009), a m de aplicá-lo ao sistema ferroviário.
Decaimento exponencial da probabilidade em função do investimento: Parâmetros:
M : orçamento máximo disponível para alocação em prevenção, que não pode ser ultrapassado.
F Tj: valor binário, 0 ou 1, que indica se o evento j não se propaga ou se propaga até
o topo da árvore de eventos, respectivamente;
Ci: consequência ou dano causado pela falha no ativo i,
bij : valor binário, 0 ou 1, que indica a não ocorrência ou ocorrência do evento na
árvore de eventos, respectivamente;
pi : probabilidade de ocorrência de falha no ativo i, dada pelo produto da ameaça pela
vulnerabilidade, Ti· Vi, que varia de 0% a 100%, e que depende da alocação realizada no
ativo i;
costi : valor necessário para proteção do ativo i expresso em unidades monetárias,
n : número de ameaças na árvore de falhas; k : número de eventos na árvore de eventos.
As variáveis de decisão representam os valores a serem investidos em cada ativo: ai: alocação em prevenção no ativo i.
A função objetivo é dada pela equação3.36. M in R = k X j=1 F Tj " n X i=1 Cibij n Y i=1 (1 − pi)(1−bij)p (bij) i #