Chapa com Trinca em Modo I de Abertura

Neste exemplo ´e feita a an´alise de uma chapa com trinca submetida a esfor¸co de tra¸c˜ao, conforme pode ser visto na figura 4.26. A presen¸ca da trinca produz um campo de tens˜oes de grande singularidade. O objetivo deste problema ´e ilus- trar e validar a utiliza¸c˜ao de fun¸c˜ao de enriquecimento que descreve o campo de deslocamento em regi˜oes singulares.

Figura 4.26: Geometria e carregamento da chapa submetida a esfor¸co de tra¸c˜ao

Este problema, analisado com modelo de an´alise de estado plano de tens˜ao e condi¸c˜oes de contorno em deslocamentos para garantir o equil´ıbrio de corpo r´ıgido, apresenta os seguintes parˆametros (em unidades consistentes):

– M´odulo de Elasticidade E = 1, 0; – Coeficiente de Poisson ν = 0, 3;

– Tens˜ao σ = 1, 0 distribu´ıda como for¸ca uniformemente distribu´ıda de fy = 0, 1

A solu¸c˜ao de referˆencia deste problema foi obtida utilizando o AN SY S comR

malha de 12087 p-elementos quadrilaterais, considerando simetria do problema e a partir da extrapola¸c˜ao para aproxima¸c˜oes polinomiais de grau p = 1, 2 e 3. O resultado encontrado de energia para todo o dom´ınio foi de 10,98326746.

Para este exemplo, contudo, ´e utilizado um n´umero bem menor de elementos finitos. A raz˜ao da utiliza¸c˜ao de um pequeno n´umero de elementos ´e demonstrar que o resultado equivalente ao problema de referˆencia pode ser alcan¸cado utilizando fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao local que descreve a singularidade na regi˜ao da trinca.

S˜ao utilizadas duas configura¸c˜oes de malha. Na primeira delas, explicitada na se¸c˜ao 4.4.4.1, o v´ertice do elemento finito coincide com a ponta da trinca. J´a na segunda configura¸c˜ao, na se¸c˜ao 4.4.4.2, a ponta da trinca encontra-se representada no interior do elemento finito. O objetivo em realizar estes tipos de disposi¸c˜ao da malha ´e mostrar a flexibilidade da implementa¸c˜ao das fun¸c˜oes de singularidade e investigar a qualidade da resposta obtida para estas diferentes configura¸c˜oes de elementos finitos.

Tamb´em ´e importante salientar que os resultados aqui encontrados ser˜ao retoma- dos no cap´ıtulo 5, onde os mesmos exemplos ser˜ao estudados utilizando a abordagem Global-Local do MEFG.

4.4.4.1 Ponta da trinca coincidente com v´ertice do elemento

Na malha do problema s˜ao utilizados 50 elementos finitos do tipo Q4. Cabe observar que a trinca ´e descrita pela malha, coincidindo com as arestas de dois ele- mentos (al´em de utilizar n´os duplos para representar a descontinuidade). A condi¸c˜ao de contorno de deslocamento empregada tamb´em ´e mostrada na figura 4.30.

Para o processo de enriquecimento singular com as fun¸c˜oes (4.4), por sua vez, foram investigados 6 diferentes tipos de enriquecimento da malha, variando a quan- tidade de n´os enriquecidos com a fun¸c˜ao que descreve a singularidade. A figura 4.27 apresenta as diversas configura¸c˜oes investigadas no problema.

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O gr´afico da figura 4.28 mostra a varia¸c˜ao da componente de tens˜ao σxx, extra´ıda

da solu¸c˜ao de referˆencia, ao longo da dire¸c˜ao x da coordenada y = 10, ou seja, ao longo da dire¸c˜ao de crescimento da trinca com origem no lado esquerdo da chapa. Nela ´e poss´ıvel verificar o elevado gradiente da componente de tens˜ao σx que existe

na regi˜ao pr´oxima `a ponta da trinca.

0 10 20 30 40 50 60 70 0 2 4 6 8 10 x σ x referência Região de grande singularidade

Figura 4.28: Componente de tens˜ao na coordenada y=10 ao longo da dire¸c˜ao x

A tabela 4.13 mostra a rela¸c˜ao entre N´umero de Graus de Liberdade (NGL) e energia de deforma¸c˜ao para as diversas configura¸c˜oes de enriquecimento (que foram mostradas na figura 4.27).

Tabela 4.13: Comparativo de energia de deforma¸c˜ao para as diversas configura¸c˜oes de enriquecimento investigadas

An´alise NGL Energia de Deforma¸c˜ao Erro relativo da Energ. de Def. (%)

Resultado de referˆencia - 10,98326 - 1 n´o enriquecido 136 10,84081 1,30 2 n´os enriquecidos 138 10,85387 1,18 6 n´os enriquecidos 146 10,88139 0,93 10 n´os enriquecidos 154 10,91493 0,62 21 n´os enriquecidos 176 10,93371 0,45 Todos n´os enriquecidos 268 10,97927 0,04

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J´a o gr´afico da figura 4.29 mostra a compara¸c˜ao de resposta de tens˜ao, na regi˜ao de singularidade, proporcionada pelas mesmas configura¸c˜oes.

0 10 20 30 40 50 60 70 7.95 7.96 7.97 7.98 7.99 8 x σ x referência 1 nó enriquecido 2 nós enriquecidos 6 nós enriquecidos 10 nós enriquecidos 21 nós enriquecidos todos nós enriquecidos

Figura 4.29: Componente de tens˜ao na regi˜ao de singularidade

A seguir, na figura 4.30, ´e mostrado a configura¸c˜ao deformada para o caso em que todos os n´os foram enriquecidos com a fun¸c˜ao de enriquecimento para campos de deslocamento singular.

No gr´afico 4.31, compara-se a utiliza¸c˜ao de enriquecimentos que descrevem con- di¸c˜oes de singularidade com aqueles que possuem aproxima¸c˜ao local de ordem po- linomial. Com apenas 1 n´o enriquecido (que acrescenta, portanto, somente 2 graus de liberdade ao problema original composto de elementos Q4 n˜ao enriquecidos), o problema aproximado pelas fun¸c˜oes singulares consegue obter um resultado melhor do que todos aqueles obtidos com aproxima¸c˜oes polinomiais.

0 10 20 30 40 50 60 70 7.95 7.96 7.97 7.98 7.99 8 x σ x referência 1 nó enriquecido Q4-P0 Q4-P1 Q4-P2 Q4-P3

Figura 4.31: Comparativo entre as diversas fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao local utilizadas na solu¸c˜ao do problema

A tabela 4.13 mostra a rela¸c˜ao entre N´umero de Graus de Liberdade (NGL) e energia de deforma¸c˜ao para os tipos de enriquecimento investigados.

Tabela 4.14: Comparativo de energia de deforma¸c˜ao para os diversos tipos de fun¸c˜ao de enriquecimento investigados

An´alise NGL Energia de Deforma¸c˜ao Erro relativo da Energ. de Deforma¸c˜ao

Resultado de referˆencia - 10,98326 -

1 n´o enriq. fun¸c˜ao singular 136 10,84081 1,30

Elemento Q4 sem enriq. 134 10,56466 3.81

Todos n´os enriq. fun¸c˜ao P1 268 10,75471 2,08

Todos n´os enriq. fun¸c˜ao P2 670 10,78436 1,81

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Atrav´es da an´alise dos resultados mostrados anteriormente, ´e poss´ıvel verificar que a aproxima¸c˜ao proporcionada pela fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao local, que representa campos de deslocamentos singulares, consegue representar o campo de tens˜oes da regi˜ao pr´oxima `a ponta da trinca de maneira satisfat´oria. Al´em disso, conforme foi observado na figura 4.31, verifica-se que esta aproxima¸c˜ao ´e bem superior `aquela obtida pelo enriquecimento polinomial, de caracter´ıstica suave. A an´alise, contudo, ´e baseada na discretiza¸c˜ao do problema mostrada na figura 4.27 e n˜ao leva em conta malhas de natureza geom´etrica que potencializam o resultado alcan¸cado com fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao local polinomiais, conforme j´a abordado em Barros (2002).

4.4.4.2 Trinca no interior do elemento

O mesmo problema da se¸c˜ao 4.4.4.1 ´e agora analisado considerando a trinca no interior do elemento, conforme pode ser visto na figura 4.32. O objetivo deste exemplo ´e mostrar a flexibilidade da implementa¸c˜ao e investigar a qualidade da resposta obtida por diferentes configura¸c˜oes de enriquecimento nodal. A figura 4.33 mostra as configura¸c˜oes de enriquecimento que s˜ao investigadas neste exemplo.

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A tabela 4.15 mostra a rela¸c˜ao entre Graus de Liberdade (NGL) e energia de deforma¸c˜ao para as configura¸c˜oes de enriquecimento nodal investigadas neste exem- plo.

Tabela 4.15: Comparativo de energia de deforma¸c˜ao para as diversas configura¸c˜oes de enriquecimento da figura 4.33

An´alise NGL Energia de Deforma¸c˜ao Erro relativo da Energ. de Def.

Resultado de referˆencia - 10,98326 - 2 n´os enriquecidos 138 10,06904 8,32 4 n´os enriquecidos 142 10.71688 2,43 6 n´os enriquecidos 146 10,72812 2,32 8 n´os enriquecidos 150 10,07825 8,24 12 n´os enriquecidos 158 10,80543 1,62 Todos n´os enriquecidos 234 10,87218 1,01 0 10 20 30 40 50 60 70 7.95 7.96 7.97 7.98 7.99 8

x

σ

x referência 2 nós enriquecidos 4 nós enriquecidos 6 nós enriquecidos 8 nós enriquecidos 12 nós enriquecidos todos nós enriquecidos

Figura 4.34: Componente de tens˜ao na regi˜ao de singularidade

Os resultados do gr´afico representado na figura 4.34 mostram que o enriqueci- mento utilizado consegue representar o campo de tens˜oes pr´oximo `a ponta da trinca, ainda que esta se encontre representada no meio do elemento. Nele ´e tamb´em pos- s´ıvel verificar que a aproxima¸c˜ao do resultado melhora na medida em que o n´umero de n´os enriquecidos aumenta. ´E necess´ario salientar, contudo, que isto s´o pode ser

afirmado para o caso em que todos os n´os que comp˜oem o elemento onde est´a in- serida a trinca s˜ao enriquecidos com fun¸c˜oes que representam a singularidade do campo de tens˜oes da regi˜ao. Isto pode ser claramente visualizado atrav´es da an´alise dos resultados das configura¸c˜oes com 2 e 8 n´os enriquecidos, que s˜ao aquelas que apresentam os piores resultados da an´alise (as configura¸c˜oes com 4 e 6 n´os enrique- cidos, por exemplo, apresentam resultados melhores utilizando um menor n´umero de NGL). Este ´e um aspecto relacionado `a propriedade da PU e `a estrat´egia de constru¸c˜ao da aproxima¸c˜ao. Para que uma fun¸c˜ao seja exatamente reproduzida em um determinado elemento, todos os seus n´os devem ter sido enriquecidos com tal fun¸c˜ao.

No documento Estratégia global-local aplicada ao método dos elementos finitos generalizados (páginas 96-105)