5.3 Simula¸c˜oes Num´ericas
5.3.1 Cunha
Este exemplo mostra uma cunha de espessura unit´aria submetida a uma for¸ca concentrada em um dos v´ertices, conforme mostrado na figura 5.17. As caracter´ıs- ticas do material s˜ao as seguintes, em unidades consistentes:
– M´odulo de Elasticidade E = 1, 0; – Coeficiente de Poisson ν = 0, 3;
A solu¸c˜ao exata para as tens˜oes radiais σrdeste problema ´e fornecida pela Teoria
da Elasticidade (Timoshenko e Goodier, 1951) e mostrada na equa¸c˜ao 5.1. O modelo de an´alise utilizado ´e o de estado plano de deforma¸c˜oes e os elementos finitos s˜ao triangulares.
Figura 5.17: Cunha com for¸ca concentrada
σr =
20 cos θ
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Devido `a simetria do problema, somente metade da cunha ´e analisada. Al´em disso, para facilitar o entendimento da an´alise, a investiga¸c˜ao foi dividida em trˆes partes:
– Na se¸c˜ao 5.3.1.1 o problema ´e resolvido utilizando a teoria do MEF conven- cional, reproduzindo o que foi feito em Soriano (2003) e, posteriormente, no trabalho de Almeida (2005);
– Na se¸c˜ao 5.3.1.2 resolve-se o problema utilizando o MEFG;
– Na se¸c˜ao 5.3.1.3 o problema ´e resolvido utilizando as diversas t´ecnicas do M EF Ggl.
5.3.1.1 Solu¸c˜ao pelo MEF
O problema ´e resolvido pelo MEF convencional utilizando 3 configura¸c˜oes dis- tintas de malha, todas com elementos triangulares de 3 n´os, conforme pode ser visto na figura 5.18.
(a) 25 elementos (b) 100 elementos (c) 400 elementos
Figura 5.18: Malha de elementos finitos para o problema
Os resultados encontrados para a distribui¸c˜ao de σr ao longo de todo o dom´ınio
(a) 25 elementos T3
(b) 100 elementos T3
(c) 400 elementos T3
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J´a os resultados de tens˜ao σr ao longo da linha de simetria s˜ao mostrados na
figura 5.20 para an´alises com 25, 100 e 400 elementos triangulares.
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
σ
r referência 25T3 100T3 400T3Figura 5.20: Resultados para malha de elementos finitos com 25 (25T3), 100 (100T3) e 400 (400T3) elementos
A observa¸c˜ao do gr´afico da figura 5.20 permite concluir que ocorre convergˆencia da tens˜ao σr para solu¸c˜ao exata quando a malha do problema ´e submetida a refi-
namento h. O esfor¸co computacional gasto no processamento de todo dom´ınio do problema, contudo, poderia ter sido evitado utilizando t´ecnicas de enriquecimento da Parti¸c˜ao da Unidade (PU), como ser´a abordado na se¸c˜ao 5.3.1.2, ou atrav´es de t´ecnicas de solu¸c˜ao que utilizam estrat´egia Global-Local, se¸c˜ao 5.3.1.3, j´a que a sin- gularidade do campo de tens˜oes ´e mais significativa na regi˜ao pr´oxima `a aplica¸c˜ao da carga concentrada.
5.3.1.2 Solu¸c˜ao pelo MEFG
Nesta se¸c˜ao o refinamento p ´e avaliado, dentro do contexto do MEF e do MEFG convencional. Nesta se¸c˜ao utilizam-se trˆes tipos de malhas distintas:
– 25T3P1 : Composta de 25 elementos triangulares de 3 n´os e fun¸c˜ao de enri- quecimento de primeiro grau, ou seja, aproxima¸c˜ao polinomial de grau 2; – 25T6 : Composta de 25 elementos triangulares de 6 n´os cada, ou seja, aproxi-
ma¸c˜ao polinomial de grau 2;
– 25T3P2 : Composta de 25 elementos triangulares de 3 n´os e fun¸c˜ao de enri- quecimento de segundo grau, ou seja, aproxima¸c˜ao polinomial de grau 3.
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
σ
r referência 25T3P1 25T6 25T3P2Figura 5.21: Resultados de σr para cunha submetida a enriquecimento
A an´alise do gr´afico da figura 5.21 permite observar, como esperado, que os me- lhores resultados s˜ao obtidos para aproxima¸c˜oes de ordem polinomiais mais elevadas. Al´em disso, comprovando o que foi discutido na se¸c˜ao 4.4, o elemento T3 enriquecido com fun¸c˜ao de primeiro grau obteve resposta semelhante `aquela oferecida pelo T6, j´a que ambos reproduzem aproxima¸c˜oes polinomiais do segundo grau. A diferen¸ca en- contrada nesta an´alise pode ser explicada pela dificuldade em expressar exatamente a mesma condi¸c˜ao de contorno entre os elementos T3 e T6, j´a que as condi¸c˜oes de contorno foram aplicadas nodalmente, ou seja, n˜ao foi utilizado o m´etodo da pe- nalidade. A diferen¸ca ressente do fato de que v´arios dos graus de liberdade do T3 enriquecido n˜ao tˆem significado f´ısico direto, como os parˆametros bjida equa¸c˜ao 2.4.
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5.3.1.3 Solu¸c˜ao pelo M EF Ggl
Nesta se¸c˜ao s˜ao utilizadas duas estrat´egias para solu¸c˜ao do problema de M EF Ggl.
Na primeira delas (figura 5.22), a regi˜ao de singularidade d´a origem a apenas um dom´ınio local, que fornece as informa¸c˜oes para o enriquecimento dos n´os do dom´ınio global. J´a na segunda estrat´egia (figura 5.23), cada n´o do dom´ınio global que ser´a enriquecido com a fun¸c˜ao de enriquecimento Global-Local d´a origem a um dom´ınio local independente, composto pelos elementos da nuvem do mesmo n´o.
– Estrat´egia com um dom´ınio local
A figura 5.22 mostra a estrat´egia de solu¸c˜ao utilizando o M EF Ggl.
(a) Primeiro problema local
(b) Segundo problema local
Na figura 5.22(a) ´e poss´ıvel ver que o dom´ınio local abrange apenas um elemento finito do dom´ınio global. J´a na figura 5.22(b) o dom´ınio local abrange trˆes elementos finitos do dom´ınio global. O dom´ınio local com trˆes elementos finitos permite que 3 n´os do problema global final sejam enriquecidos com fun¸c˜ao de enriquecimento Global-Local.
– Estrat´egia com v´arios dom´ınios locais superpostos
Nesta segunda estrat´egia, a regi˜ao definida por trˆes elementos do dom´ınio global ´e dividida em trˆes dom´ınios locais. Cada dom´ınio local ser´a o respons´avel pelo enriquecimento de um n´o do dom´ınio global com fun¸c˜oes de enriquecimento Global- Local. A figura 5.23 ilustra como ´e realizada esta estrat´egia.
Figura 5.23: Estrat´egia de solu¸c˜ao Global-Local com v´arios dom´ınios locais
A seguir, na figura 5.24 ´e poss´ıvel visualizar os trˆes dom´ınios locais utilizados na solu¸c˜ao do problema, com seu respectivo n´o global, que ser´a enriquecido. Observa-se que cada dom´ınio local ´e composto pela nuvem de elementos do n´o global, que pos- teriormente ser´a enriquecido com fun¸c˜oes de enriquecimento do tipo Global-Local.
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(a) Local 1 (b) Local 2 (c) Local 3
Figura 5.24: Nuvem para cada n´o do dom´ınio global
A figura 5.25 apresenta o resultado de tens˜ao σr para as duas estrat´egias de
solu¸c˜ao realizadas (com um dom´ınio local, denominada “cunhaUm” e v´arios dom´ı- nios locais, denominado “cunhaVarios”), obtido na etapa 2, ou seja, diretamente no dom´ınio local. -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
y
σ
r referência cunhaUm-local cunhaVarios-local1 cunhaVarios-local2 cunhaVarios-local3J´a a figura 5.26 compara os resultados da an´alise global enriquecida para as duas estrat´egias empregadas. Na figura s˜ao mostrados trˆes resultados, sendo eles:
– referˆencia: resultado anal´ıtico da tens˜ao σr, conforme equa¸c˜ao 5.1;
– cunhaUm: resultado da tens˜ao σr para estrat´egia com apenas um dom´ınio
local;
– cunha: resultado da tens˜ao σr para a estrat´egia composta de trˆes dom´ınios
locais -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
σ
r referência cunhaUm-global cunha-globalFigura 5.26: Resultado de tens˜ao σr para os dom´ınios globais
Atrav´es da an´alise dos gr´aficos, percebe-se que as duas estrat´egias de solu¸c˜ao do M EF Ggl produziram resultados semelhantes, tanto para os resultados obtidos nos
dom´ınios locais, quanto para os resultados em n´ıvel de dom´ınio global.
A estrat´egia com v´arios dom´ınios locais, contudo, pode ser atrativa para simu- la¸c˜oes realizadas utilizando processamento paralelo, j´a que, uma vez resolvido o problema inicial global, os problemas se tornam independentes.
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