Circuitos RL com corrente alternada

posto apenas de um indutor ideal e um gerador. Se a tens˜ao do gerador ´e dada por V_G(t) = V0sen(ωt), podemos definir uma tens˜ao complexa eVG(t)como

e

V_G(t) ≡ V0ejωt, (7.20)

de maneira que a tens˜ao que tem sentido f´ısico (ou seja, a grandeza que pode ser medida) V_G(t)pode ser obtida como

V_G(t) =ImhVe_G(t) i

. (7.21)

Para esse circuito vimos que a corrente ´e dada por

i(t) = i0sen(ωt − π/2) , (7.22)

com i0 = V0/(ωL). Como no caso da voltagem, podemos definir uma grandeza complexa

associada `a corrente. Essa corrente complexa ´e

ei(t) ≡ i0ej(ωt−π/2), (7.23)

e a corrente que tem sentido f´ısico pode ser obtida como i(t) =Imhei(t)

i

. (7.24)

Assim como vimos no caso dos circuitos capacitivos, este formalismo de n ´umeros com- plexos nos permite escrever uma relac¸˜ao an´aloga `a Lei de Ohm, mas para circuitos alimen- tados com correntes alternadas:

e

V_G(t) = eZ ei(t) , (7.25)

onde eZ ´e a impedˆancia complexa. Como j´a temos as express ˜oes para eV (t)e ei(t), podemos encontrar eZ para este circuito puramente indutivo:

e Z_L = VeG(t) ei(t) = V0e jωt (V0/ωL) ej(ωt−π/2) = ωL e−jπ/2 = ωL −j = jXL. (7.26)

Vemos portanto que para um indutor a impedˆancia complexa ´e um n ´umero imagin´ario puro positivo, resultado do comportamento do indutor, que sempre causa um atraso de fase da corrente em relac¸˜ao `a voltagem da fonte.

7.6

Circuitos RL com corrente alternada

Aplicando a lei das tens ˜oes de Kirchhoff ao circuito mostrado na figura 7.3 obtemos:

V_G(t) = V_L(t) + V_R(t) (7.27)

V0sen(ωt) = L

di(t)

7.6 Circuitos RL com corrente alternada 77

Figura 7.3: Circuito RL com gerador de sinal senoidal.

Como possui apenas componentes lineares, quando este circuito ´e alimentado por uma tens˜ao VG(t) = V0sen(ωt), esperamos que a corrente tenha como forma mais geral

i(t) = i0sen(ωt + ϕ) , (7.29)

onde ϕ representa a diferenc¸a de fase entre a corrente e a tens˜ao da fonte. Substituindo a express˜ao para i(t) na equac¸˜ao 7.28 encontramos

V0sen(ωt) = ωLi0cos(ωt + ϕ) + Ri0sen(ωt + ϕ) . (7.30)

Mas a equac¸˜ao 7.30 pode ser reescrita ap ´os aplicarmos identidades trigonom´etricas sim- ples, e obtemos

sen(ωt)hRi0cosϕ − ωLi0senϕ − V0

i

+ cos(ωt)hωLi0cosϕ + Ri0senϕ

i

= 0. (7.31)

Para que a equac¸˜ao seja satisfeita, ´e necess´ario que os coeficientes dos termos em sen(ωt) e cos(ωt) sejam nulos, o que nos leva a duas igualdades:

(Ri0) cos ϕ − (ωLi0) sen ϕ = V0, (7.32)

e

(ωLi0) cos ϕ + (Ri0) sen ϕ = 0 . (7.33)

Resolvendo a equac¸˜ao 7.33, obtemos que a diferenc¸a de fase entre a corrente e a volta- gem ´e dada por

tan ϕ = −ωL

R = −

XL

R . (7.34)

A figura 7.4 mostra a variac¸˜ao da diferenc¸a de fase com a frequˆencia angular para um certo par de valores R e L. Pode-se observar que ϕ pode assumir valores entre − π/2 (frequˆencias mais altas) e 0 (frequˆencias mais baixas), mostrando que num circuito RL a corrente sempre est´a atrasada em relac¸˜ao `a tens˜ao da fonte.

7.6 Circuitos RL com corrente alternada 78

Figura 7.4: Variac¸˜ao da diferenc¸a de fase entre corrente e tens˜ao com a frequˆencia angular, para um circuito RL com R = 10 Ω e L = 10 mH.

J´a a equac¸˜ao 7.29 pode ser simplificada escrevendo sen ϕ e cos ϕ em func¸˜ao de tan ϕ utilizando as relac¸ ˜oes

sen ϕ = _p tan ϕ

1 + tan2_ϕ, (7.35)

e

cos ϕ = _p 1

1 + tan2ϕ. (7.36)

Substituindo essas relac¸ ˜oes na equac¸˜ao 7.32 e fazendo uso de 7.34, obtemos V0

i0

=pR2_{+ X}

L2. (7.37)

Esta raz˜ao entre as amplitudes de tens˜ao e de corrente ´e o que definimos como a im- pedˆancia do circuito RL: Z ≡ V0 i0 = q R2_{+ X}2 L. (7.38)

Assim como no caso do circuito RC, a impedˆancia do circuito RL tem a dimens˜ao de resistˆencia; e novamente vemos que a impedˆancia desempenha, em circuitos com corrente alternada, um papel an´alogo ao da resistˆencia em circuitos com corrente cont´ınua. Por ´ultimo, note que a relac¸˜ao entre Z, R e XL ´e uma equac¸˜ao que tem a mesma forma da

relac¸˜ao entre o m ´odulo de um n ´umero complexo e suas componentes real e imagin´aria. Isso sugere que postulemos a existˆencia de uma impedˆancia complexa, com a parte real igual `a resistˆencia e a parte imagin´aria igual `a reatˆancia indutiva (veja a figura 7.5):

e

7.7 Procedimentos experimentais 79

Figura 7.5: Componentes real e imagin´aria da impedˆancia complexa eZ.

As equac¸ ˜oes 7.34 e 7.38 nos permitem obter uma relac¸˜ao entre as amplitudes de tens˜ao nos trˆes componentes do circuito (gerador, resistor e indutor)

V02 = V_0R2+ V_0L2. (7.40)

e uma forma alternativa para calcular a diferenc¸a de fase a partir das amplitudes de tens˜ao: tan ϕ = −V0L

V_0R. (7.41)

7.7

Procedimentos experimentais

7.7.1

Procedimento I: medidas de τ e t

com onda quadrada

Vamos estudar um circuito RL con onda quadrada e obter experimentalmente o valor de sua constante de tempo τ .

1. Monte o circuito da figura 7.6 utilizando um resistor R = 1 kΩ e um indutor de L = 23, 2 mH. Ajuste no gerador de sinais uma forma de onda quadrada de frequˆencia f = 5kHz e com tens˜ao pico-a-pico Vpp = 6V, variando entre Vmin = 0V e Vmax = 6V.

2. Fac¸a a medida de t1/2 e τ para o circuito RL montado usando o mesmo m´etodo dos

circuitos RC, ou seja, atrav´es da medida do tempo necess´ario para a tens˜ao no indu- tor, VL, cair `a metade e a 37% de seu valor inicial, respectivamente. Anote os valores

obtidos com suas incertezas.

3. A partir do valor medido de t1/2 e usando a express˜ao 4.19, calcule o valor de τ com

sua incerteza. Compare com o valor obtido atrav´es da medida direta da constante de tempo.

7.7 Procedimentos experimentais 80

Figura 7.6: Montagem a ser realizada para medidas da constante de tempo do circuito RL. Observe que o sinal da fonte de tens˜ao, VB, ser´a visualizado no canal 1 do oscilosc ´opio e o sinal da tens˜ao

no indutor, VL, ser´a visualizado no canal 2.

7.7.2

Procedimento II: medida de τ do gr´afico de V

1. Utilizando o mesmo circuito utilizado para o Procedimento I, figura 7.6, ajuste nova- mente o oscilosc ´opio para apresentar na tela uma imagem semelhante `a que ´e mos- trada na figura 4.8.

2. Utilize um dos m´etodos de medida, grat´ıcula ou cursor, para medir sete pares de valores de t e VL. Anote os valores obtidos em uma tabela, com suas respectivas

incertezas. Anote tamb´em os valores das escalas de tempo e voltagem utilizadas nas medidas. Mec¸a os valores de R e L usando um mult´ımetro.

3. Os pontos obtidos correspondem `a func¸˜ao 7.7. Queremos, a partir de um gr´afico desta func¸˜ao, obter o valor da constante de tempo τ atrav´es de um ajuste. Para fa- cilitar este trabalho, vamos linearizar a equac¸˜ao 7.7, isto ´e, fazer uma mudanc¸a de vari´aveis que ir´a torn´a-la uma equac¸˜ao linear, com a seguinte forma:

ln(VL) = ln(VB) −

t

τ . (7.42)

4. Fac¸a o gr´afico de ln(VL/Volt) versus t e obtenha o valor de τ fazendo um ajuste linear.

Os valores de VL s˜ao divididos por 1 volt para que o argumento do logaritmo seja

uma grandeza adimensional.

5. Compare o valor medido da constante de tempo com seu valor nominal, dado pela equac¸˜ao 7.5.

7.7 Procedimentos experimentais 81

7.7.3

Procedimento III: medida da diferen¸ca de fase e da reatˆancia indu-

tiva de um circuito RL com corrente alternada

Vamos caracterizar um circuito RL, verificando a diferenc¸a de fase entre a corrente que flui no circuito e a tens˜ao aplicada pelo gerador. Poderemos ent˜ao calcular a reatˆancia indutiva para a frequˆencia escolhida e comparar com seu valor esperado.

1. Monte o circuito da figura 7.3 utilizando um resistor R = 100 Ω e um indutor de L = 23, 2mH. Mec¸a com um mult´ımetro os valores de R e L.

2. Ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com uma tens˜ao senoidal com frequˆencia pr ´oxima a f2 = 500 Hz e uma amplitude pr ´oxima a 4 V. Com o osci-

losc ´opio mec¸a a frequˆencia do sinal com sua respectiva incerteza.

3. Observe que existe uma diferenc¸a de fase ∆ϕ2 entre o sinal do canal 1 (tens˜ao do

gerador) e o sinal do canal 2 (tens˜ao sobre o resistor). Utilizando o mesmo m´etodo empregado no circuito RC, mec¸a a diferenc¸a de fase entre a corrente e a tens˜ao do gerador, com sua incerteza. N˜ao esquec¸a de utilizar o valor de f2 medido no item

anterior.

4. A partir do valor obtido para ∆ϕ2, calcule o valor da reatˆancia indutiva XL para a

frequˆencia f2 e compare com o valor nominal.

5. Mec¸a no oscilosc ´opio as amplitudes das voltagens do gerador (V0) e do resistor (V0R).

A partir da equac¸˜ao 7.40 calcule a amplitude da tens˜ao no indutor, V0L e sua incer-

teza.

6. Calcule de maneira alternativa, a partir da equac¸˜ao 7.41 e das amplitudes medidas e calculadas na pergunta anterior, a diferenc¸a de fase ∆ϕ2 e sua incerteza. Compare

o valor com o valor obtido na quest˜ao 3 deste procedimento. Os valores s˜ao com- pat´ıveis?

8