Circuitos qu ˆanticos reconhecedores de linguagens

2.4 Circuitos qu ˆanticos

2.4.3 Circuitos qu ˆanticos reconhecedores de linguagens

Denição 2.18. Um

(Γ, In, Out)

ir uito quânti o é um terno

(C, In, Out)

onde

C

é um

Γ

- ir uito quânti o e

In

Out

são onjuntosde índi es

In, Out⊆ [1 .. comp(Γ)]

As linguagens de entrada e saída de um

(Γ, In, Out)

ir uito quânti o são, respe tiva- mente,

ΓIn

ΓOut

A ada ir uito quânti o asso ia-se um

Γ

-registo quânti o

R = (ψ, I)

de forma que, on- siderando

I =

i1

.. icomp(Γ)

, o

j

-ésimo o quânti o no ir uito orresponde ao

Γi

j

qudit

ψij

do registo

R

. Assim,

RIn

denota o registo de entrada do ir uito dado pelo subregisto

R

onstituído pelos qudits

{ψi

: i∈ IIn}

e o registo de saída do ir uito orresponde ao subregisto

ROut

R

onstituído pelos qudits

{ψi

: i∈ IOut}

A fun ionalidade de um ir uito quânti o, ilustrada na gura 2.9, onsiste no seguinte

pro esso: Ini ialmente prepara-se oregisto de entrada num estado

|xi

orrespondente a uma dada palavra

x

∈ ΓIn

enquanto o registo onstituído pelos restantes qudits,

{ψi

: i∈ I\IIn}

, éini ializado noestado

|0i

. Assim, amenos de umapermutação, oestado ini ial do sistema quânti osubja ente aoregisto

R

|xi ⊗ |0i

. Apósaevoluçãounitáriapres rita pelooperador realizadopelo ir uito,efe tua-se umamediçãodo registode saída nabase omputa ional, a

qualterá omoresultado uma erta palavra

y

∈ ΓOut

. Denota-se por

prob

C(y

| x)

aprobabilidade de observar

y

∈ ΓOut

pelamediçãodoregisto desaída de um ir uitoquânti odado queo registode entradaé ini ializado om

x∈ ΓIn

Seja

|ψi =

P

s∈Γαs|si

o estado do registo

R

asso iado ao ir uito

C

após a a ção do operador unitário

UC

realizado pelo ir uito e antes da medição nal. Note-se que

|ψi =

UC

π−1_In(x, 0)

onde

πIn

é a permutação de

I

tal que

πIn(I) = IIn× (I \ IIn)

. Seja

πOut

a permutação de

I

tal que

πOut(I) = IOut× (I \ IOut)

. De a ordo om o teorema 2.5 a probabilidade deobservar

y

dada a entrada

x

prob_C(y| x) =

X

u∈ΓI_\IOut

απ−1

Out(yu)

2 .

|xi

FE

y

|0i



























Figura2.9: Fun ionalidade deum ir uitoquânti o.

Observação 2.5. No que se segue, faz-se uso da notação

Γ

(n)

para indi ar que existem

n

linguagens

Γ1, Γ2, . . . , Γn

taisque

Γ

(n)_{= Γ}

1Γ2· · · Γn

istoéque

Γ

(n)

éumalinguagemproduto

n

linguagens. Àpriorinão seassumea validade dare orrên ia

Γ

(n+1)_{= Γ}(n)_Γ

n+1

embora estasejaverdadeiraemsistemasdequbitsoumaisgeralmenteemsistemasnãohíbridos(todos

osquditsdosistema denidossobre a mesmalinguagem).

Uma família de ir uitos quânti os é uma su essão

C = {Cn}

(Γ(n), In(n), Out(n))

ir uito quânti o. Para

n∈ N

Γ

(n)

In

representa a linguagem de entrada do

n

-ésimo ir uito da família, i.e.,

Γ(n)_In

= Γ(n)_In(n)

. A linguagem deentrada dafamília

C

de ir uitosquânti osdene-se 5

por

Γ(_In∗)

=

[

n∈N

Γ(n)_In

.

Seja

C

(Γ, In, Out)

ir uito quânti o e

{0, 1} ⊆ ΓOut

. Para

x

∈ ΓIn

diz-se que

C

a eita

x

om probabilidade

p

prob

C(1

| x) = p

. Diz-se que rejeita

x

om probabilidade

p

prob_C(0| x) = p

Diz-se que

C

re onhe e uma linguagem

L

⊆ ΓIn

om probabilidade pelo menos

p

C

a eita

x

om probabilidade pelo menos

p

para

x

∈ L

e se rejeita

x

om probabilidade pelo menos

p

para

x /∈ L

Diz-se que uma família de ir uitos quânti os

C = {Cn}

n∈N

re onhe e uma linguagem

L_{⊆ Γ}(∗)_In

omprobabilidadepelomenos

p

∀n ∈ N

Cn

re onhe ealinguagem

Ln= L∩ Γ

(n)

In

om probabilidade pelo menos

p

Diz-se que

C

re onhe e uma linguagem

L

⊆ Γ

(∗)

In

om probabilidade uniformemente superior a

p

se existe uma onstante

0 < δ

≤ 1 − p

tal que

∀n ∈ N

Cn

re onhe e

Ln

om probabilidade pelomenos

p + δ

Asdeniçõesanteriorespermitem onsiderar lassesdelinguagensre onhe idaspor lasses

de famíliasde ir uitosquânti oseassim ali erçar umateoria daComplexidade de Cir uitos

Quânti osem sistemas de

Γ

qudits. Nessesentido é ainda imperativo xar um onjunto de portas quânti asbase.

Denição2.19. Seja

G

um onjuntodeoperadoresunitáriosem

Γ

(∗)

. Diz-sequeumoperador

unitário

U

érealizávelpor um ir uito quânti o ombasenum onjunto deportasquânti as

G

seexisteum ir uitoquânti o

K = (U1, I1) , (U2, I2) , . . . , (Um, Im)

querealiza

U

etalque

Ui∈ G

i = 1, . . . , m

Oselementos de

G

designam-seportasbase.

O tamanho do menor ir uito quânti o om base

G

que realiza um dado operador

U

designa-se por tamanhode

U

G

A denição éanáloga àlinguagem defe ho deKleeneemlinguagens formais. No entanto alinguagem

A denição anterior foi olo ada em termos de realização de operadores. É possível

onsiderar-seuma deniçãoanáloga para re onhe imento de linguagens.

Se por um lado o onjunto onstituído pelas portas de Rotação de Givens ( om ângulo

θ

omputável) e pelas portas de Controlo de Muthukrishnan-Stroud, referidasna se ção 2.2 , é andidato a onjunto (innito) exa tamente universal para omputação em sistemas de

Γ

qudits, por outroen ontra-se emaberto o problema de determinar um onjunto nito de portas quânti asaproximadamente universal.

Um outro aspe to é a questão da uniformidade dos ir uitos. Sabe-se, no ontexto dos

ir uitosbooleanos lássi os,serne essáriointroduzirumanoçãodeuniformidadede ir uitos

para que o modelo seja razoável (i.e., de modo a inibir a possibilidade de uma família de

ir uitosde idirlinguagensnãode idíveispelasmáquinasdeTuring). Parasistemasdequbits,

sóre entemente sees lare eram asquestõesdauniformidade eequivalên iaentreosmodelos

demáquinas de Turing quânti ase famíliasde ir uitosquânti os.

Considere-seumalinguagem

L⊆ {0, 1}

∗

. Diz-seque

• L

perten e à lasse de omplexidade

L

∈

EQP

(exa t quantum polinomial time) se existe uma máquina de Turing quânti a que em tempo polinomial re onhe e

L

om probabilidade

1

(re onhe e alinguagem de formaexa ta);

• L

perten e à lassede omplexidade

BQP

(bounded probabilisti quantum polinomial time)seexisteumamáquinadeTuringquânti a,

M

,queemtempopolinomialre onhe e

L

omprobabilidade uniformemente superior a

1/2

;

• L

perten e à lasse de omplexidade

ZQP

(zero error quantum polinomial time) se existe uma máquina de Turing quânti a,

M

, que em tempo polinomial re onhe e

L

omprobabilidadeuniformemente superiora

1/2

eparaalémdissosatisfazas ondições seguintes:

1. se

M

a eita

x

om probabilidade não nulaentão rejeita

x

omprobabilidade

0

; 2. se

M

rejeita

x

omprobabilidade não nula então a eita

x

omprobabilidade

0

. Em 2000, Kitaev e Watrous [ 34℄ deniram um modelo de famílias de ir uitos quânti os

as, a base de Shor, equivalente a

BQP

. Este modelo é apenas adequado no ontexto de re onhe imento probabilísti o de linguagens, uma vez queno aso exa toas famílias de ir-

uitos uniformemente gerados em tempo polinomial re onhe em a lasse

P

em vez de

EQP

[40℄. Por outro lado, removendo a restrição no número de portas quânti as base obtém-se

o modelodas famíliasde ir uitosquânti osuniformes. Mostra-se que esta lasse re onhe e

pre isamente

BQP

mas, no asos exa toe de erro zero, re onhe em mais do que deveriam. De fa to,mostra-se queneste modelo é possível onstruir umafamília de ir uitosquânti os

queimplementa de formaexa taa transformada quânti a deFourier de qualquer ordem,um

problemanãoresolúveldeformaexa tapormáquinasdeTuringQuânti as[36℄,[43℄. Aques-

tão da uniformidade foi nalmente resolvida por Nishimura e Ozawa [42 ℄ ao estabele erem

uma equivalên ia perfeita entre máquinas de Turing quânti as e um modelo de famílias de

ir uitos quânti osuniformes nitamente gerados.

Qualquer modelo razoável de

Γ

ir uitos uniformes deverá ter em onsideração que o número de diferentes tipos de qudits deve ser nito, aso ontrário poder-se-ia odi ar a

informaçãonão omputávelnadimensãodoespaçodeestadosdossistemasfísi ossubja entes.

Neste modelo, é ne essário ainda formalizar um on eito adequado de famílias de ir uitos

uniformes nitamente gerados. A formalizaçãodestes on eitos en ontra-senumafaseini ial

de investigação bem omoo onsequente estudo darelação entreosmodelos de Computação

Quânti a baseados em qubits, qudits e

Γ

qudits. Conje tura-se no entanto que o poder omputa ionaldestestrêsmodelosseráequivalente,i.e.,a lasse

BQP

seráequivalenteà lasse de famíliasde ir uitosquânti os uniformesnitamente geradosem qualquer dosmodelos.

No documento Algoritmos e complexidade no modelo de computação quântica (páginas 70-74)

Circuitos qu ˆanticos reconhecedores de linguagens

2.4 Circuitos qu ˆanticos

2.4.3 Circuitos qu ˆanticos reconhecedores de linguagens

(Γ, In, Out)

(C, In, Out)

C

Γ

In

Out

In, Out⊆ [1 .. comp(Γ)]

(Γ, In, Out)

ΓIn

ΓOut

Γ

R = (ψ, I)

I =

i1

.. icomp(Γ)

j

Γi

j

ψij

R

RIn

R

{ψi

: i∈ IIn}

ROut

R

{ψi

: i∈ IOut}

|xi

x

∈ ΓIn

{ψi

: i∈ I\IIn}

|0i

R

|xi ⊗ |0i

y

∈ ΓOut

prob

C(y

| x)

y

∈ ΓOut

x∈ ΓIn

|ψi =

P

s∈Γαs|si

R

C

UC

|ψi =

UC

π−1In(x, 0)

πIn

I

πIn(I) = IIn× (I \ IIn)

πOut

I

πOut(I) = IOut× (I \ IOut)

y

x

probC(y| x) =

X

u∈ΓI\IOut

απ−1

Out(yu)

2

.

|xi

FE

y

|0i











π−1_In(x, 0)

prob_C(y| x) =

u∈ΓI_\IOut

(n)_{= Γ}

(n+1)_{= Γ}(n)_Γ

Γ(n)_In

= Γ(n)_In(n)

Γ(_In∗)

Γ(n)_In