Algoritmos e complexidade no modelo de computação quântica

Universidade de Aveiro

2007

Departamento de Matemática

ANTÓNIO FERREIRA

PEREIRA

ALGORITMOS E COMPLEXIDADE

NO MODELO DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA

Universidade de Aveiro

2007

Departamento de Matemática

ANTÓNIO FERREIRA

PEREIRA

ALGORITMOS E COMPLEXIDADE

NO MODELO DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA

tese apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos

necessários à obtenção do grau de Doutor em Matemática, realizada sob a

orientação científica da Doutora Maria Rosália Dinis Rodrigues, Professora

Associada do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

À magia

nos teus olhos

o júri

presidente

Doutor José Rodrigues Ferreira da Rocha

Professor Catedrático da Universidade de Aveiro

vogais

Doutor Jesús García López de Lacalle

Professor Catedrático da Escuela Universitária de Informática da Universidade

Politécnica de Madrid

Doutor José Fernando Ferreira Mendes

Professor Catedrático da Universidade de Aveiro

Doutor Domingos Moreira Cardoso

Professor Catedrático da Universidade de Aveiro

Doutora Maria Rosália Dinis Rodrigues

Professora Associada da Universidade de Aveiro (Orientadora)

Doutor Paulo Alexandre Carreira Mateus

Professor Auxiliar com Agregação do Instituto Superior Técnico da Universidade

Técnica de Lisboa

agradecimentos

À minha orientadora Doutora Rosália Rodrigues que sempre me incutiu o

espírito da investigação. A ela o meu sincero agradecimento. Jamais

esquecerei a sua constante amizade, disponibilidade, apoio e incentivo.

Ao Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, pelas excelentes

condições de trabalho proporcionadas.

À Unidade de I&D Centro de Estudos em Optimização e Controlo, pelo apoio

financeiro prestado.

A todos os meus colegas do departamento, incluindo funcionários, pelo

ambiente de trabalho proporcionado.

Aos meus pais, irmãs e irmãos, pelo carinho constante.

palavras-chave

computação quântica, redundância, aritmética, algoritmos, circuitos,

complexidade, qudits

resumo

Nesta tese estudam-se as implicações da introdução no modelo de

Computação Quântica do conceito de Sistema de Representação Redundante,

em particular no que concerne à eficiência de Algoritmos para Aritmética.

Têm vindo a ser apresentadas diversas considerações favoráveis sobre a

exequibilidade de modelos de Computação Quântica em que a unidade de

informação, o qudit, admite mais do que os dois níveis distintos

proporcionados pelo qubit. O problema da equivalência, ou não, em termos de

Complexidade Computacional entre modelos baseados em qubits e aqueles

baseados em qudits encontra-se apenas parcialmente resolvido.

A análise da Complexidade Computacional de modelos em que se consideram

misturas de diferentes unidades de informação, denominados Sistemas

Quânticos Híbridos, é uma área praticamente inexplorada. Assim, propõe-se

um modelo formal para Computação Quântica nestes sistemas híbridos,

generalizando, por inclusão, os modelos baseados em qubits e qudits.

Com base no modelo proposto, desenvolvem-se duas classes de circuitos

quânticos, com profundidade constante, para a adição das representações de

dois números num qualquer sistema redundante. Estabelecem-se ainda

condições para a aplicação de um algoritmo de adição, em tempo constante,

de um número polinomial de representações redundantes de números. Como

consequência, justifica-se a existência de classes de circuitos quânticos, com

profundidade constante, para aproximar a soma de um número polinomial de

representações redundantes.

Por fim, descrevem-se as principais características de um Simulador Simbólico

para Algoritmos em Computação Quântica, seguindo-se uma análise de

resultados obtidos em simulações do algoritmo de Grover.

keywords

quantum computation, redundancy, arithmetic, algorithms, circuits, complexity,

qudits

abstract

In this thesis we study the effect of merging the concept of Redundant Number

Systems with Quantum Computation, manly with respect to Quantum

Arithmetic Algorithms.

Several favorable opinions have been advanced on the feasibility of Quantum

Computation models where the unit of information, the qudit, has more than the

two levels provided by the qubit. However, the equivalence between this model

and the qubit based one is only partially established.

The Computational Complexity analysis of Hybrid Quantum Computation

models where mixtures of several, distinct, units of information coexist has just

started. We propose a new and general formal model for Quantum

Computation with Hybrid Quantum Systems, generalizing, by inclusion, all the

above mentioned models.

Based on this model, we report two classes of constant depth quantum circuits

for the addition of two numbers in redundant number systems.

Also, we derive conditions for the feasibility of addition, in constant time, of a

polynomial number of numbers (represented in any redundant number system)

and justify the existence of constant depth quantum circuits for approximating

the sum of a polynomial number of numbers.

Finally, we report the development of a Symbolic Quantum Computer Simulator

and discuss the time-results of the simulation of Grover’s algorithm.

´Indice

i

Lista de Figuras

v

Lista de S´ımbolos

vii

Prel ´udio

1

1 T ´opicos de Computac¸ ˜ao Qu ˆantica

5

1.1

Os bits qu ˆanticos

. . . 5

1.2

Sistemas de qubits

. . . 7

1.3

Observac¸ ˜ao de um sistema qu ˆantico

. . . 10

1.4

O Princ´ıpio da Incerteza de Heisenberg

. . . 13

1.5

Din ˆamica de sistemas qu ˆanticos fechados

. . . 15

1.6

Portas e circuitos qu ˆanticos

. . . 17

1.7

Algoritmos qu ˆanticos

. . . 20

2 Circuitos Qu ˆanticos e Complexidade

23

2.1

Registos qu ˆanticos

. . . 24

2.2

Portas qu ˆanticas

. . . 28

2.2.1

Portas qu ˆanticas elementares e universalidade

. . . 32

2.4

Circuitos qu ˆanticos

. . . 40

2.4.1

Grafo de um circuito qu ˆantico

. . . 41

2.4.2

Realizac¸ ˜ao de operadores por circuitos qu ˆanticos

. . . 46

2.4.3

Circuitos qu ˆanticos reconhecedores de linguagens

. . . 48

2.5

Paralelizac¸ ˜ao de operadores qu ˆanticos

. . . 52

3 Adic¸ ˜ao em Tempo Constante

57

3.1

Adic¸ ˜ao de dois inteiros

. . . 58

3.1.1

O circuito QCFA para o problema

Soma

_N

(n)

. . . 60

3.1.2

O somador qu ˆantico LCPA

. . . 63

3.1.3

O circuito QCFA no sistema

GSD(3, 3, 4)

. . . 67

3.2

Adic¸ ˜ao de

m

inteiros

. . . 69

4 Simulac¸ ˜ao de Algoritmos Qu ˆanticos

73

4.1

Descric¸ ˜ao do simulador

. . . 74

4.1.1

Kets

. . . 75

4.1.2

Bras

. . . 75

4.1.3

Produto Interno e BraKets

. . . 77

4.1.4

Produto de Kronecker

. . . 77

4.1.5

Operadores

. . . 78

4.1.6

Coment ´ario

. . . 81

4.2

O algoritmo de Grover

. . . 82

4.3

Simulac¸ ˜ao do algoritmo de Grover

. . . 83

4.3.1

Simulac¸ ˜oes no cen ´ario I – Bases de Dados Qu ˆanticas

. . . 83

4.3.2

Simulac¸ ˜oes no cen ´ario II – Bases de Dados Cl ´assicas

. . . 85

4.4

Conclus ˜oes

. . . 87

Ep´ılogo

91

Ap ˆendice A Noc¸ ˜oes elementares

95

A.1

Observ ´aveis

. . . 98

Ap ˆendice B Decomposic¸ ˜ao de operadores em produtos tensoriais

101

B.1

Decomposic¸ ˜ao do operador de Walsh-Hadamard

. . . 101

B.2

Decomposic¸ ˜ao do operador Produto Externo

. . . 103

Bibliografia

105

1.1 Relação entretrês possíveis basesde polarização deum fotão . . . 7

1.2 Medição de um observável deum sistemaquânti o. . . 12

1.3 A portaquânti a de Hadamard. . . 18

1.4 A çãoda porta

CNOT

. . . 18

1.5 Cir uito quânti o para ooperador

H

· X

.. . . 19

1.6 Um ir uito para obter um estado EPR. . . 19

1.7 Cir uito quânti o para oalgoritmo de Deuts h. . . 20

1.8 Cir uito quânti o para oalgoritmo de Deuts h-Jozsa. . . 21

2.1 Apli ação sequen ialde

k

portas

INC

. . . 34

2.2 Apli ação sequen ialde

k

portas

DEC

. . . 34

2.3 Portagenéri a de ontrolo . . . 35

2.4 A portaquânti a

PLUS

. . . 36

2.5 A portaquânti a

MINUS

. . . 36

2.6 A portaquânti a de ópia. . . 36

2.7 Realização de um operador porum ir uito. . . 47

2.8 Realização de um operador porum ir uito om an ilas. . . 47

2.9 Fun ionalidade deum ir uito quânti o. . . 49

2.10 Realização oman ilas de umapermutaçãodo estado

n

qudits. . . 53

2.11 A çãoda porta quânti a

SWAP

. . . 54

2.13 Realização sem an ilasdapermutação

π

do exemplo 2.1 . . . 54

2.14 A porta defanout . . . 55

3.1 Asportasquânti as

C

,

W

e

Z

para o ir uito QCFA . . . 61

3.2 O ir uito quânti o QCFA para instân iasde tamanho

n = 2

. . . 63

3.3 Asportasquânti as

E

,

C

,

W

e

Z

para o ir uito QLCPA . . . 64

3.4 O ir uito QLCPA para

n = 2

qudits . . . 66

3.5 Cál ulo dosdígitos detransporteno sistema

GSD(3, 3, 4)

. . . 67

3.6 Implementação emsérie daporta

C

. . . 67

3.7 A a çãodo operador

X

no ál ulodosdígitos de transporte . . . 68

3.8 Implementação emparalelo daporta

C

. . . 68

3.9 Cál ulo dassomaspar iais nosistema

GSD(3, 3, 4)

. . . 68

4.1 Algumas regrasalgébri as eexemplos deobje tos ket . . . 76

4.2 Algumas propriedadesde obje tos bra . . . 76

4.3 Algumas regrasalgébri as doproduto interno de kets . . . 77

4.4 Algumas propriedadesalgébri as doproduto tensorial . . . 78

4.5 A a çãodo operador de Hadamard . . . 79

4.6 A a çãodo operador de Walsh-Hadamard . . . 80

4.7 A a çãodo operador Produto Externo . . . 80

4.8 Parteprin ipal do programa emMathemati a para assimulaçõesno enário I 84 4.9 Temposdassimulaçõesdo algoritmo de Grover no enário I . . . 86

4.10 Parteprin ipal do programa emMathemati a para assimulaçõesno enário II 87 4.11 Temposdassimulaçõesdo algoritmo de Grover no enário II. . . 88

B.1 Esquema daa ção de

H

⊗n

seguida daa ção deum operador

U

. . . 103

∅

Conjunto vazio.

Γ

Linguagem oualfabeto.

N

Conjunto dosinteirospositivos.

Z

Conjunto dosinteiros.

C

Corpo dosnúmeros omplexos.

Z

_d

Para

d

≥ 2

, denota o onjunto

{k ∈ Z, 0 ≤ k < d}

.

U

Operador unitário.

[m .. n]

Para

m, n

∈ Z

, denotao onjunto

{k ∈ Z, m ≤ k ≤ n}

. Para

m > n

,

[m .. n] =

∅

.

h

_

|

_

i

Produto interno. A çãode um bra sobre um ket.

h

_

|

Bra: fun ional linearnum espaço deHilbert.

|

_

i

Ket: elemento de um espaço de Hilbert, geralmente omnorma 1.

H

Espaço deHilbert.

V

Espaço ve torial.

U(H)

Conjunto dosoperadores linearesno espaço deHilbert

H

.

∼

=

Isomorsmo.

≡

Equivalên iaentrenotaçõesoudesignações.

†

Para um operador

A

,

A

†

denota o operador adjunto de

A

. Se

H

é um espaço de Hilbert,

H

†

denotao espaçodualde

H

.

\

Complementar de um onjunto.

N

n

i=1

Produto tensorial iterado. A ordem dosfa toresé

N

n

Na tese de Chur h, formulada por volta de 1930, diz-se essen ialmente quequalquer função

omputável é omputável por uma máquina de Turing. Esta onje tura surge na sequên ia

dedemonstraçõesdeequivalên iaentrevários modelos de omputaçãoaparentemente

distin-tos. A ligação entre o modelo matemáti o abstra to da máquinade Turing om a Físi a foi

despoletada em 1982, por Feynman, ao salientar a aparente intratabilidade da simulação de

pro essos da Me âni a Quânti a e posteriormente formalizada por David Deuts h naquela

que ou onhe ida por Tese Forte deChur h-Turing.

Em última instân ia qualquer omputaçãoé realizada por um sistema físi o, sejaele um

sistema lássi oou quânti o. Por essa altura, assiste-seao traçar ini ial de um novo modelo

de omputação baseadonasleisda Físi a Quânti a,a Computação Quânti a.

Desde então, esta área tem sido alvo de investigação fortemente a tiva, nomeadamente

após os resultados surpreendentes obtidos por Peter Shor sobre a possibilidade de resolver

emtempopolinomial, num (hipotéti o) omputadorquânti o, ertosproblemaspara osquais

nãose onhe em algoritmos lássi os e ientes.

AComputaçãoQuânti aevoluiuentretantoparaumavastaáreadeintera ção omoutras

áreasdo onhe imento,entreasquaissedesta amaFísi aQuânti aeaComputaçãoClássi a

emsubáreas omoaTeoriadaComplexidadeeodesenvolvimentodeAlgoritmos,entreoutras.

Se por exagero sediz quea Computação Clássi a é a iên iado bitentão por analogia a

ComputaçãoQuânti aé a tualmente a iên iadoqubit.

Várias onsideraçõesforamentretantoapresentadassobreaexequibilidadedefundamentar

admite maisdoqueosdois níveisdistintosdo qubit.

Nãoédetodoevidente aequivalên iaentremodelosde omputaçãobaseados emqubitse

modelosbaseadosemqudits,muitomenosemquetermossepoderádenirumatal

equivalên- ia. As di uldades agravam-sequando se onsideram sistemas de omputação em misturas

de diferentesunidades de informação, denominados sistemasquânti os híbridos.

A motivação subja ente ao trabalho de investigação realizado é a questão de lari ar

as onsequên ias geraisda introdução do on eito lássi o de Sistema de Representação

Re-dundante na área da Computação Quânti a, em parti ular no que on erne à e iên ia de

Algoritmos para Aritméti a.

Desdeoiní ioquesetornouevidente ane essidadefundamentarosresultados obtidossob

um modelo para Computação Quânti a em sistemas híbridos, até então inexistente. Assim,

no apítulo 2 ali erça-se a onstrução de um possível modelo que generaliza, por in lusão,

os modelos de omputação baseados em sistemas de qubits, qudits e qudits em sistemas

representaçãoredundantes.

No apítulo 1 apresenta-se, de umaforma su inta e in ompleta, uma introdução à

Com-putação Quânti a. Re orre-se sobretudo a exemplos para salientar as propriedades de

para-lelismo exponen ial e entrelaçamento de estados presentes neste modelo de omputação, os

quais onstituem osingredientes basepara o desenvolvimento de algoritmos quânti os.

No apítulo2estabele em-seasnoçõesfundamentaisdeummodelodeComputação

Quân-ti a generalizado, formalizando-se os on eitos de registo, medição, ir uito, realização de

operadorese re onhe imento de linguagenspor ir uitos.

Omodelogeralproposto on retiza-seno apítulo3,ondeseestudaoproblemadaadição

denúmeros,representadosporsequên iasdedígitos, emsistemasderepresentação

redundan-tes. Tendo porbases doisalgoritmos lássi os deadiçãooriginalmente des ritospor Parhami

[44℄, onstroem-seduas lassesde ir uitosquânti os omprofundidade onstante etamanho

linear para a adição de dois números em sistemas redundantes. De uma forma uni ada,

de adição de um número polinomial de números, sem propagação de dígitos de transporte.

Rela ionando estes resultados, om os trabalho de Cotofana e Vassiliadis [11, 12℄ na área

de ir uitos lássi os em Redes Neuronais e om os resultados de Høyer e ’palek [29℄[28 ℄

justi a-sea possibilidade de onstruir ir uitosquânti os omprofundidade onstante para

aproximara somade um númeropolinomial denúmeros.

No apítulo4trata-seoproblemadasimulaçãodealgoritmosquânti osem omputadores

lássi os. Apresentam-se as ara terísti as úni as do Simulador Simbóli o de Computação

Quânti a,valiosoauxiliarna análiseedesenvolvimento dosalgoritmosdearitméti a

apresen-tadosno apítulo3. Analisam-se, atítuloexempli ativo, osresultados obtidosnasimulação

Tópi os de Computação Quânti a

h

1

|

Neste primeiro apítulo, apresenta-se uma breve introdução à Computação Quânti a. A

sele çãode tópi ospautou-se por salientar duas ara terísti as essen iais da omputação em

sistemas quânti os: paralelismo exponen ial e entrelaçamento. Com o propósito subja ente

deintroduzir anotação de Dira , dis utem-se os on eitos desistema de qubitsbem omoa

dinâmi ae evolução emsistemasquânti os.

No apêndi e A en ontra-se uma ompilação de alguns on eitos e denições bási as de

Álgebra Linearreferidos pelaprimeira vez neste apítulo.

Deumaformainformal referem-seaindaasnoções deportase ir uitosquânti os,

exem-pli ados omo algoritmo de Deuts h-Jozsa. Para umaexposição ompleta dostópi osaqui

des ritos,bem omodemuitosoutrosomitidos,re omendam-seostextosdeNielseneChuang

[39℄ou Kitaev et al.[33℄.

1.1

Os bits qu ˆanticos

Aunidadede informaçãoquânti adenomina-se qubit. Contrariamente aobit lássi o,

onhe- ido por bit de Shannon, um qubit permite, em erto sentido, representar em simultâneo os

valores

0

e

1

.

Um exemplo de uma possível realização físi a de um qubit provém dos possíveis estados

depolarização de um fotão: polarização verti al representada por

|li

, polarização horizontal representada por

|↔i

ou uma sobreposição destesdois estados. Uma outra realização físi a deum qubitédadaporumapartí uladespin

1

para ima,estadoesserepresentado por

|1i

, num estadodespinparabaixo,representadopor

|0i

, ou aindanumasobreposição dosestados

|0i

e

|1i

.

Independente de uma on retização físi aespe í a, onsidera-se umqubit omoum

mo-delo de um sistema quânti o ujos possíveis estados são representáveis por ertos elementos

de um espaço deHilbertde dimensão 2.

OselementosdeumespaçodeHilbert

H

denominam-seve toresketousimplesmente kets, representadossegundo Dira por

|ψi

,

|φi

, et .

Oselementos do espaçodual,

H

†

, deum espaço de Hilbert

H

denominam-se ve tores bra ou simplesmente bras edenotam-se por

hψ|

,

hφ|

, et .

Paraumbra

hφ|

eumket

|ψi

onúmero omplexo

hφ| (|ψi)

,resultadodaa çãodofun ional

hφ|

sobre

|ψi

, denota-se simplesmente por

hφ|ψi

edenomina-se umbraket. Exemplo 1.1. Polarização daLuz

Considere-seumarepresentaçãodosestadosdepolarizaçãodeumfotãoporketsdeumespaço

de Hilbert,

H

,de dimensão 2. Umapossívelbaseortonormada de

H

é onstituída peloskets

| i

e

|i

os quais representam os dois sentidos possíveis da polarização ir ular do fotão. Uma outra base é onstituída pelos kets

|li

e

|↔i

os quais representam, respe tivamente, polarizaçãoverti alepolarizaçãohorizontal. Umater eirapossibilidadeédadapeloskets

|րi

e

|ցi

que representam, respe tivamente, polarizações segundo os ângulos

θ =

π

4

e

θ =

−

π

4

. É laro que duas quaisquer bases estão rela ionadas por intermédio de uma transformação

linear 1

. A gura 1.1sintetiza asrelaçõesentre astrês basesanteriormente referidas.

Em termosda base

{|li , |↔i}

esteskets apresentama seguinte formave torial:

|li =





1

0





|րi =

√

1

2





1

1





|i =

√

1

2





1

−i





|↔i =





0

1





|ցi =

√

1

2





1

−1





| i =

√

1

2





1

i





Osestadosdeumsistemaquânti o orrespondemaketsnum ertoespaçodeHilbert. Dois

kets representam o mesmoestado se diferem apenas por um fa tor multipli ativo omplexo.

1

|րi =

√

1

2

|li + |↔i

|ցi =

√

1

2

|li − |↔i

|րi =

1+i

2

|i +

1

−i

2

| i

|ցi =

1

−i

2

|i +

1+i

2

| i

|li =

√

1

2

|րi + |ցi

|↔i =

√

1

2

|րi − |ցi

|li =

√

1

2

|i + | i

|↔i =

√

i

2

|i − | i

|i =

√

1

2

|li − i |↔i

| i =

√

1

2

|li + i |↔i

|i =

1

−i

2

|րi +

1+i

2

|ցi

| i =

1+i

2

|րi +

1

−i

2

|ցi

Figura1.1: Relação entre trêspossíveis bases depolarização de umfotão

Maispre isamente,

|φi

e

|ψi

representamomesmoestadoquânti oseesóseexisteumes alar não nulo

α

∈ C

tal que

|φi = α |ψi

. Uma vez que um estado é representado por um ket a menosdeum fa tormultipli ativo, identi am-seosestados omketsnormalizados, i.e., kets

|φi

taisque

hφ|φi = 1

ou seja

k |φi k = 1

.

Desta forma é possível atribuir um ara ter probabilísti o aos oe ientes omplexos,

denominadosamplitudes,narepresentaçãodeum ket normalizadoemtermosdeuma

ombi-naçãolinear omplexadeve toresdeumabaseortonormada. Oquadradodomódulode ada

amplitude orrespondeà probabilidade de observar oestado baseao qualestá asso iada.

Exemplo 1.2. Considere-se a base ortonormada de um espaço de Hilbert de dimensão 2

onstituída pelos kets

|0i

e

|1i

, naturalmente asso iados aos dígitos binários

0

e

1

. Seja

|ψi = α |0i+β |1i

oestadodeumqubit, om

|α|

2

₊

_|β|

2

_{= 1}

. Nestas ondições,aprobabilidade

deobservar o bit

0

é

|α|

2

e aprobabilidade deobservar o bit

1

é

|β|

2

.

1.2

Sistemas de qubits

Considere-se um sistema onstituído por dois bits lássi os. Os quatro possíveis estadosdo

sistemasãoobviamente

00

,

01

,

10

e

11

. De modoanálogo um sistemade dois bits quânti os possui quatro estados base denotados por

|00i

,

|01i

,

|10i

e

|11i

. Mas em geral o estado do sistemade dois qubits é uma sobreposição desses estados, atribuindo a ada um deles uma

amplitude omplexa. Mais pre isamente,é um ket da forma

|ψi = α

00

|00i + α

01

|01i + α

10

|10i + α

11

|11i .

O espaço de estados subja ente a um sistema de dois qubits tem portanto dimensão 4

e é dado pelo produto tensorial dos espaços de Hilbert asso iados a ada um dos qubits do

sistema.

Se

|φi

e

|ψi

são,respe tivamente,ketsdosespaçosdeHilbert

H

1

e

H

2

entãooseuproduto tensorial é denotado por

|φi ⊗ |ψi

ou simplesmente

|φi |ψi

.

Exemplo 1.3. Considere-se um registo de dois qubits, i.e., um qualquer sistema quânti o

onstituído pordois qubits. Sejam

H

1

e

H

2

osespaçosdeHilbertsubja entesa ada um dos qubits, ada espaço de dimensão

2

, om as bases

{|0

1

i , |1

1

i}

e

{|0

2

i , |1

2

i}

respe tivamente. Em termos destasbases onstrói-seumabase para oespaço produto tensorial

H

1

⊗ H

2

:

|0i ≡ |00i ≡ |0

1

i |0

2

i ≡ |0

1

i ⊗ |0

2

i =





1

0





⊗





1

0





=



1 0 0 0



⊺

|1i ≡ |01i ≡ |0

1

i |1

2

i ≡ |0

1

i ⊗ |1

2

i =





1

0





⊗





0

1





=



0 1 0 0



⊺

|2i ≡ |10i ≡ |1

1

i |0

2

i ≡ |1

1

i ⊗ |0

2

i =





0

1





⊗





1

0





=



0 0 1 0



⊺

|3i ≡ |11i ≡ |1

1

i |1

2

i ≡ |1

1

i ⊗ |1

2

i =





0

1





⊗





0

1





=



0 0 0 1



⊺

Considerem-se dois sistemas quânti os preparados nos estados

|ψi

e

|φi

perten entes a diferentes espaços de Hilbert,

H

1

e

H

2

. Quando vistos omo onstituintes de um úni o

sistemaquânti o omposto, o estado do sistema onjunto é o produto tensorial dos estados

de ada um dossistemas,

|ψi ⊗ |φi ∈ H

1

⊗ H

2

.

No entanto existem ketsno espaço

H

1

⊗ H

2

não representáveis naforma anterior.

Diz-se queum sistema omposto por

n

sistemasquânti os om espaçosde Hilbert subja- entes

H

1

,

H

2

, . . . ,

H

n

se en ontraem entrelaçamento quânti o se não épossívelde ompor o seuestado

|ψi ∈ H =

N

n

j=1

H

j

num produto tensorial da forma

|ψi =

n

O

j=1

|ψ

j

i ,

om adaket

|ψ

j

i

noespaço

H

j

. Nesse asodiz-seaindaqueoestadodosistemaéentrelaçado. No exemplo1.8 dase ção 1.5o estado

|ψ

1

i

éentrelaçado.

Exemplo1.4. Considere-seumespaçodeHilbert

H

dedimensão2 omumabase

{|0i , |1i}

. Sejam

H

0

,

H

1

, . . . ,

H

n

−1

espaços de Hilbert, ada um deles isomorfo a

H

e om as bases induzidaspelosisomorsmos:

{|0i

i

,

|1i

i

} , i ∈ [0 .. n − 1]

.

Suponha-se que ada um dos qubits de um registo de

n

qubits é ini ialmente preparado noestado

1

√

2

(

|0

i

i + |1

i

i) , i ∈ [0 .. n − 1] .

Então oestadodo sistemaquânti o onstituído pelos

n

qubitséoket

|ψi

, noespaçoproduto tensorial

H

n

−1

⊗ H

n

−2

⊗ . . . ⊗ H

0

, idênti o a

|ψi =

_√

1

2

(

|0

n−1

i + |1

n−1

i) ⊗

1

√

2

(

|0

n−2

i + |1

n−2

i) ⊗ . . . ⊗

1

√

2

(

|0

0

i + |1

0

i)

=



√

1

2



n



|0

n

−1

i |0

n

−2

i . . . |0

1

i |0

0

i

+

|0

n

−1

i |0

n

−2

i . . . |0

1

i |1

0

i

+ . . .

+

_|1

n

−1

i |1

n

−2

i . . . |1

1

i |1

0

i



.

Ao identi ar os

n

espaçosde Hilbert om

H

, omitem-se os índi es, e a expressão anterioré simplesmente

|ψi =



√

1

2



n

|00 . . . 00i + |00 . . . 01i + . . . + |11 . . . 11i

∈

O

i

Oestadodoregistode

n

qubitséentãoumasobreposiçãodosketsrotuladospelas sequên- ias de

n

bits. Cadaumadassequên iasbinárias

b

n

−1

b

n

−2

. . . b

1

b

0

identi a-se naturalmente om ointeiro

b

n

−1

2

n−1

+ b

n

−2

2

n−2

+ . . . + b

1

2

1

+ b

0

2

0

. Assim,interpretando ada sequên ia omo a representação binária de um inteiro, é possível es rever o estado do registo quânti o

na forma

|ψi =



√

1

2



n

|0i + |1i + |2i + . . . + |2

n

− 1i

.

Esta última expressão sugere que o registo ontém uma sobreposição dos inteiros desde

0 a

2

n

_{− 1}

, um paralelismo massivo, o qual é realizável de forma e iente ( f. apítulo 4 e

apêndi e B). Em ontrapartida, uma úni a medição do registo destruirá ompletamente o

paralelismo: o mundo quânti o sele iona um e um só dos

2

n

inteiros om probabilidade









1

√

2



n







2

=

1

2

n

. Note-seaindaque oestado

|ψi

não é entrelaçado.

1.3

Observac¸ ˜ao de um sistema qu ˆantico

A a ção de um operador linear

A

sobre um ket

|ψi

,

A(

|ψi)

, denota-se simplesmente por

A

_|ψi

. Para dois kets

|ψi , |φi

num espaçodeHilbert

H

, ooperador produtoexterno,

|ψihφ|

, é um operadorlinear denidopor

|ψihφ| |ηi = |ψi hφ|ηi = hφ|ηi |ψi

, para

|ηi ∈ H

.

Um observável é uma propriedade de um sistema quânti o que em prin ípio pode ser

medida. Em von Neumann [53℄ onsideram-se medições proje tivas ortogonais, obtidas por

de omposiçãoespe traldeobserváveis. Veja-seadeniçãoealgumaspropriedadesbási asno

apêndi e A.

Exemplo 1.5. Sejam

{|0i , |1i , |2i , |3i}

umabase ortonormada de um espaço de Hilbert

H

e

A

oobservávelrepresentado naquela basepela matriz

A

=

















0 0

−i 0

0 0

0

1

i 0

0

0

0 1

0

0

















.

Esteobservávelédegenerado, om2valorespróprios

λ

0

= +1

e

λ

1

=

−1

. Umabase ortonor-madapara oespaço próprio

P

λ

0

é onstituída peloskets

|+1, 0i =

√

1

2

(

−i |0i + |2i) =

1

√

2

(

−i 0 1 0)

⊺

e

|+1, 1i =

1

√

2

(

|1i + |3i) =

1

√

2

(0 1 0 1)

⊺

_.

Deigualmodo,umabaseortonormada para o espaçopróprio

P

λ

1

é

|−1, 0i =

√

1

2

(i

|0i + |2i) =

1

√

2

(i 0 1 0)

⊺

e

|−1, 1i =

1

√

2

(

− |1i + |3i) =

1

√

2

(0

− 1 0 1)

⊺

_.

Ade omposição espe traldo observável

A

é assim

A

= λ

0

P

λ

0

+ λ

1

P

λ

1

= (

|+1, 0ih+1, 0| + |+1, 1ih+1, 1|) − (|−1, 0ih−1, 0| + |−1, 1ih−1, 1|)

easuarepresentaçãomatri ialemtermosdabase

|+1, 0i , |+1, 1i , |−1, 0i , |−1, 1i

éamatriz diagonal

















1 0

0

0

0 1

0

0

0 0

−1

0

0 0

0

−1

















.

Note-seaindaque

P

λ

0

e

P

λ

1

onstituemum onjunto ompletodeproje tores ortogonais,isto é,

P

λ

0

+ P

λ

1

=

|+1, 0ih+1, 0| + |+1, 1ih+1, 1|

+

|−1, 0ih−1, 0| + |−1, 1ih−1, 1|

= I .

Amediçãodeumobservável

A

deumsistemaquânti onumestado

|ψi

tem omoresultado um valor próprio de

A

,

λ

i

, omprobabilidade

prob(λ

i

) =

kP

λ

i

|ψik

2

₌

hψ| P

λ

i

|ψi .

Alémdisso oestado do sistemaquânti o apósa mediçãoé o elemento do espaçopróprio

P

λ

i

dadopor

P

λ

i

|ψi

p

hψ| P

λ

i

|ψi

.

Comoseilustranagura1.2,seoresultadodeumamediçãodoestadodosistemaquânti o

for

λ

i

om probabilidade

hψ| P

λ

1 a medição 2 a medição

|ψi =

P

i

P

λ

i

|ψi

−→

P

_λi

|ψi

√

hψ|P

λi

|ψi

−→

P

_λi

|ψi

√

hψ|P

λi

|ψi

prob =

hψ| P

λ

i

|ψi

prob = 1

Figura1.2: Mediçãode um observávelde um sistemaquânti o.

já não possui ará ter probabilísti o: o resultado é o mesmo valor próprio

λ

i

e o estado do sistemamantém-se idênti o a

P

λi

|ψi

√

hψ|P

_λi

|ψi

.

Exemplo 1.6. Sejam

H

o espaço de Hilbert e

A

o observável denidos no exemplo 1.5 e onsidere-se um sistemaquânti o preparado noestado

|ψi =

√

i

3

|0i −

1

√

3

|2i +

1

√

3

|3i =

1

√

3

(i, 0,

−1, 1)

⊺

_.

Nabase

|+1, 0i , |+1, 1i , |−1, 0i , |−1, 1i

, o estado

|ψi

é idênti o a

|ψi = −

√

√

2

3

|1, 0i +

√

2

2

√

3

(

|1, 1i + |−1, 1i) .

Amedição dosistemaquânti o relativamente ao observável

A

tem omo resultado

•

o valor próprio

λ

0

= +1

om probabilidade

5

6

e o estado do sistema passa a ser

1

√

5

(

−2 |1, 0i + |1, 1i)

. Esteestado é idênti o a

2i

√

10

|0i +

1

√

10

|1i −

2

√

10

|2i +

1

√

10

|3i .

•

ouovalorpróprio

λ

1

=

−1

omprobabilidade

1

6

e,neste aso,oestadodosistemapassa a ser

|−1, 1i =

1

√

2

(

− |1i + |3i)

.

Re orrendo a um outroexemplo, omum naliteratura, ilustram-se estaspropriedades da

Me âni a Quânti a, no mínimo pou o intuitivas numa perspe tiva lássi a, todavia

experi-mentalmente onrmadas.

Exemplo 1.7. Polarização da Luz. Tendo em onta as relações apresentadas na gura 1.1

ilustra-seemseguidaumaexperiên iaemqueumfotãopolarizado ir ularmenteparaadireita

|i =

1

√

2

(|li − i |↔i)

−−−−−→









prob =

1

2

−−−−−→

|li

prob =

1

2

−−−−−→

NenhumFotão

Na experiên ia seguinte olo ou-se um ltro de polarização horizontal, o qual mede o

observável

|↔ih↔|

, aseguiraum ltrode polarização verti al. Aprobabilidade deen ontrar um qualquerfotãono estado

α

|li + β |↔i

, emque

|α|

2

₊

_|β|

2

_{= 1}

,a seguiraoúltimo ltroé

nula.

α

|li + β |↔i

−−−−−→









prob =

|α|

2

−−−−−−−−→ |li−−−−−→









prob = 1

−−−−−−−−→

NenhumFotão

Obtém-seum resultadoinesperadoquando se olo a um ltro diagonalmente polarizado,

o qual mede o observável

|րihր|

, entre os dois ltros da experiên ia anterior. De fa to, a probabilidade de observar um fotão a seguir ao último ltro não é nula, omo seilustra em

seguida.

α

|li + β |↔i

−−−−−→









prob =

|α|

2

−−−−−−−−→ |li =

1

√

₂

(|րi + |ցi) −−−−−→









$

%

'

&

−−−−−−−−→

prob =

1

2

_{|րi =}

1

√

2

(

|li + |↔i) −−−−−→









prob =

1

2

−−−−−−−−→ |↔i

1.4

O Princ´ıpio da Incerteza de Heisenberg

Ovalor esperadode umamediçãode um estado

|ψi

por um observável

A

é

Demonstra-seemseguidaestapropriedade, omoobje tivodeilustraranotaçãodeDira .

Sejam

λ

0

, λ

1

, . . . , λ

n

−1

osvaloresprópriosdistintosdoobservável

A

e

P

λ

0

, P

λ

1

, . . . , P

λ

n−1

os respe tivos proje tores. Pelo teorema da de omposição espe tral,

A

=

P

n

−1

j=0

λ

j

P

λ

j

e o

valor próprioobservado esperadoé assim dadopor

hAi =

n

−1

X

j=0

λ

j

prob(λ

j

).

Mas

prob(λ

j

) =

hψ| P

λ

j

|ψi

. Logo

hAi =

n−1

X

j=0

λ

j

hψ| P

λ

j

|ψi = hψ|

n−1

X

j=0

P

λ

j

|ψi = hψ| A |ψi .

q.e.d.

Ain erteza envolvidanopro essodemediçãodeum observável

A

dene-se omoodesvio

padrão dosvalorespróprios observados,

r

_D

∆A

2

E

,

emque

∆A = A

− hAi

.

Dois observáveis

A

e

B

dizem-se ompatíveis se omutam entre si, isto é, se

AB

= BA

. Caso ontrário, dizem-se in ompatíveis.

O omutador de doisoperadoreslineares

A

e

B

dene-se por

[A, B] = AB

− BA.

Assim,dois observáveis

A

e

B

são ompatíveis see sóse

[A, B] = 0

.

AdesigualdadedeCau hy-S hwarzpermitedemonstraradesignadarelaçãode

Robertson-S hrödinger,

D

(∆A)

2

E D

(∆B)

2

E

≥

1

4

|h[A, B]i|

2

_.

Substituindonestaúltimaexpressão

A

por

A

− hAi

e

B

por

B

− hBi

obtém-seoprin ípio da in erteza deHeisenbergna forma

∆A

_{· ∆B ≥}

1

Salienta-se queestas propriedades devem ser interpretadas no ontexto da Me âni a

Es-tatísti aenão omoresultado deduasúni asobservações onse utivasdeummesmosistema

quânti opelos observáveis

A

e

B

.

1.5

Din ˆamica de sistemas qu ˆanticos fechados

Osoperadores unitários sãofundamentais emme âni aquânti anomeadamente porque:

•

Ossistemasquânti osfe hadosevoluemsomente pora çãodetransformaçõesunitárias.

•

Astransformações unitárias preservamasprobabilidades quânti as.

Aanálise do omportamento dinâmi ode sistemasquânti os abertos é muitomais omplexa

enão é abordadaneste trabalho.

Seja

|ψ(t)i

o estado omo função do tempo

t

de um sistemame âni o quânti o fe hado. O omportamento dinâmi o desse sistemaédeterminado pelaequação de S hrödinger

i~

∂

∂t

|ψ(t)i = H |ψ(t)i ,

em que

~

denota a onstante de Plan k dividida por

2π

, e

H

é o Hamiltoniano. É possível es rever esta equação naforma

∂

∂t

U(t) =

−

i

~

H(t)U(t) ,

emque

|ψ(t)i = U(t) |ψ(0)i

e asolução é dada por

U(t) = lim

n→∞

e

−

i

~

H(n

t

n

)

t

n

· e

−

i

~

H((n−1)

t

n

)

t

n

· . . . · e

−

i

~

H(1

t

n

)

t

n

· e

−

i

~

H(0

t

n

)

t

n

QuandooHamiltonianoéindependentedotempo,

H(t) = H

,afórmulaanterior simpli a-separa

U(t) = e

−

i

~

Ht

.

Exemplo 1.8. Considere-seoestado de um um registode 2 qubitsno instante

t = 0

,

|ψ

0

i =

 |0i − |1i

√

2



⊗ |0i =

√

1

2

(

|0i − |2i) =

1

√

2

















1

0

−1

0

















.

Suponha-se queo omportamento dinâmi o do registo entreos instantes

t = 0

e

t = 1

é determinadoporumHamiltoniano onstante,

H

,denidoemtermosdabase

{|0i , |1i , |2i , |3i}

por

H

=

π~

2

















0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

1

−1

0 0

₋₁

1

















.

Pela equaçãode S hrödinger,o Hamiltoniano

H

determinaa transformaçãounitária

U

= e

−

~

i

H

=

















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

















=

_{|0ih0| + |1ih1| + |2ih3| + |3ih2| .}

O estado ini ial do registo evolui por a ção de

U

de tal modo que no instante

t = 1

o estado do sistemaé

|ψ

1

i = U |ψ

0

i

. Expli itamente,

|ψ

1

i =

















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

















·

√

1

2

















1

0

−1

0

















=

√

1

2

















1

0

0

−1

















=

_√

1

2

|00i − |11i

=

_√

1

2

|0i − |3i

.

Oestado resultante, denominado um estado EPRem homenagema Einstein, Podolsky e

Rosen, possui a propriedadenotável de serimpossíveles revê-lo omo um produto tensorial

de dois estados, ada estado asso iado a um dos qubits do sistema. Num erto sentido, os

qubits perderam a sua individualidade. Por exemplo, a medição de apenas um dos qubits

1.6

Portas e circuitos qu ˆanticos

São sobejamente onhe idas diversasté ni as gerais de de omposição de operadoreslineares

omoproduto de operadoresmaissimples.

No ontexto da Computação Quânti a mostra-se que existem onjuntos universais de

operadores unitários, designados bases de operadores unitários, tais que qualquer operador

unitário se pode es rever omo produto de operadores dessa base. Para além disso,

esta-bele endo uma denição apropriada de distân ia entre operadores, mostra-se que existem

onjuntosnitosdeoperadoresunitáriosquepermitem aproximarqualqueroperadorunitário

usandoapenasoperadores dessabase.

Dadaa sua importân ia práti a bem omo ao nível da omplexidade omputa ionaleste

assunto tem sido tratado por diversos autores, veja-se por exemplo Kitaev et al. [33℄, pág.

188200ou,para umaabordagem maisformal,Brylinski e Brylinski[9℄.

O mais simples exemplo não trivial (diferente da identidade

I

) de uma porta quânti a sobre um qubit é sem dúvida o análogo quânti o da porta lássi a

NOT

, denotada por

X

e denidarelativamente à base

{|0i , |1i}

de um espaçode Hilbertde dimensão2 pela matriz

X

=





0 1

1 0





.

Conhe idotambémporoperadordenegaçãoouporta

NOT

,

X

satisfaz

X

|0i = |1i

e

X

|1i =

|0i

.

Um outro exemplo fundamental de uma porta quânti a de um qubit, por permitir riar

estadosquesãosobreposiçõesuniformesdeestadosbase,éaportadeHadamard,

H

. Dene-se relativamente àbase

{|0i , |1i}

por

H

_{|ii =}

√

1

2

|0i + (−1)

i

_|1i

_{, i = 0, 1.}

Agura 1.3ilustra a a çãode

H

sobre umqubit ini ialmente no estado

|0i

.

Umade omposiçãodeumoperadorunitárionumprodutotensorialdeoperadorespermite

|0i

H

√

1

₂

(

|0i + |1i)

Figura 1.3: A porta quânti a deHadamard.

fa toresdade omposição. Re ipro amente,aapli açãoemparalelodeum onjuntodeportas

quânti aséformalizada peloproduto tensorial dosoperadoressubja entesa essasportas.

Por exemplo, o estado do registo de

n

qubits onsiderado no exemplo 1.4 obtém-se por apli ação emparalelode

n

portas deHadamard,

H

⊗ · · · ⊗ H

.

Noentanto, existemoperadoresunitáriosquenãosepodemes rever naformadeum

pro-duto tensorial de operadores, ada um deles asso iadoa um dosqubitsdo sistema. Exemplo

dissoéaporta

CNOT

,aqualgeneralizaaporta lássi a

XOR

, denidarelativamente àbase

{|ii ⊗ |ji : i, j = 0, 1}

por

CNOT

|ii |ji = |ii |i ⊕ ji ,

onde

⊕

denota adiçãomódulo 2. A gura seguinte ilustra aa ção desteoperador.

|ii

•

|ii

|ji





_{|i ⊕ ji}

Figura1.4: A çãoda porta

CNOT

.

Combinandosequen ialmenteeou emparaleloum númerosu iente deportasquânti as,

é possível realizar operadores unitários om omplexidade res ente. A noção de ir uito

quânti o orresponde a um algoritmo para realizar um operador unitário a partir de um

pré-determinado onjunto de portas elementares. É ainda usual representar gra amente os

ir uitosquânti osnumagrelhare tangular. Aslinhashorizontais,designadasosquânti os,

representam os qubits do sistema. Em pontos espe í os ao longo da grelha, ins revem-se

pequenas aixas ou one tam-severti almente osquânti os. Cada aixa ouligação verti al

representa uma porta quânti a. Em ada diagrama de um ir uito onsidera-se ainda uma

portas quânti as.

Por exemplo,seoestadoini ialdeumqubit for

|0i

entãopelaa çãosequen ialdasportas quânti as

X

e

H

, o estado do qubit altera-se para

1

√

2

(

|0i − |1i)

. O diagrama do ir uito quânti o orrespondente ilustra-sena gura 1.5 .

|0i

X

H

√

1

₂

(

|0i − |1i)

Figura1.5: Cir uitoquânti o para o operador

H

· X

.

Considere-se ainda o exemplo 1.8 e observe-se que a matriz unitária

U

ali onsiderada nãoé maisdoquea matrizdo operador

CNOT

. Então um ir uitoquânti o quedes revea

evoluçãodaquele sistemaéo da gura seguinte.

|0i

X

H

•

|0i





Figura1.6: Um ir uito para obter umestado EPR.

Mostra-se ser possível transformar qualquer ir uito booleano lássi o para avaliar uma

função booleana

f :

{0, 1}

n

→ {0, 1}

m

num ir uito lássi o equivalente que utiliza apenas portasreversíveis. Apartir deste onstrói-seum ir uitoquânti o paraimplementarafunção

f

,[33 , págs. 6065℄.

Assim, onsidere-se

g :

{0, 1}

n+m

→ {0, 1}

n+m

, a versão reversível de

f

denida por

g(i, j) = (i, j

_{⊕ f(i))}

onde

⊕

denota a adição bit a bit módulo 2. Note-se que a função

g

é umapermutação de

{0, 1}

n+m

àqual orresponde naturalmente o operador unitário

U

f

num

espaçode Hilbertde dimensão

2

m+n

denido por

U

f

|ii |ji = |ii |j ⊕ f(i)i ,

para

i

∈ {0, 1}

n

e

j

∈ {0, 1}

m

1.7

Algoritmos qu ˆanticos

Umdosprimeirosemaissimplesalgoritmosqueilustraaforma omoaComputaçãoQuânti a

explora as propriedades da Me âni a Quânti a é sem dúvida o algoritmo de Deuts h [15 ℄,

representado nagura 1.7.

Seja

f :

{0, 1} → {0, 1}

umafunção booleana. Para determinar se

f

éounão umafunção onstante pare e laro, no ontexto lássi o, ser ne essário avaliar a função em

f (0)

e

f (1)

. Como severi aemseguida,o ir uitode Deuts hpermiteaferiramesmapropriedadesobre

a função

f

utilizando umaúni a vez aportaquânti a

U

f

. Considerem-se dois qubits ini ialmente nos estados

1

√

2

(

|0i + |1i)

e

1

√

2

(

|0i − |1i)

. A pre-paração destesestados realiza-seapli ando emparalelo portasde Hadamard. Desta forma o

estado ini ial do sistemaésimplesmente o produto tensorial dosestados

|ψ

1

i =

1

₂

(

|0i + |1i) ⊗ (|0i − |1i) .

Simplesmanipulaçõesalgébri as permitemveri arque, para

i

∈ {0, 1}

, aa çãodaporta

U

_f

sobre um estado daforma

1

√

2

|ii (|0i − |1i)

resultaem

1

√

2

(

−1)

f (i)

_{|ii (|0i − |1i)}

. Assim

|ψ

2

i = U

f

|ψ

1

i =











±

1

2

(

|0i + |1i) ⊗ (|0i − |1i)

se

f (0) = f (1)

±

1

2

(

|0i − |1i) ⊗ (|0i − |1i)

se

f (0)

6= f(1) .

Ao apli ara porta deHadamard ao primeiro qubit do sistema,o estado resultante é

|ψ

3

i = (H ⊗ I) |ψ

2

i =











±

1

2

|0i ⊗ (|0i − |1i)

se

f (0) = f (1)

±

1

₂

|1i ⊗ (|0i − |1i)

se

f (0)

6= f(1) .

Logoamediçãonaldoestadodoprimeiroqubitdosistema,denotadapor

FE

,permite

determinar se

f

éou não onstante.

|0i

H

U

f

H

FE

|1i

H

|0i

H

U

f

H

FE

|0i

H

H

FE

· · ·

· · ·

· · ·

|0i

H

H

FE

|1i

H

Figura1.8: Cir uitoquânti o para o algoritmo deDeuts h-Jozsa.

Talvez se possam olo ar algumas obje çõesquanto a omparar ae iên ia da avaliação

lássi ade umafunção

f

emdois pontos ontra umaúni autilização daportaquânti a

U

f

. Noentanto estasdissipam-se ompletamente quandose onsideraumaextensãodoalgoritmo

Deuts h, oalgoritmo deDeuts h-Jozsa [17℄.

Neste algoritmo, onsidera-se umafunção booleana

f :

{0, 1}

n

→ {0, 1}

juntamente om uma promessa de que esta é onstante ou equilibrada (i.e., toma tantos valores 0 omo 1).

Qualquer algoritmo lássi o determinista para de idir esta propriedade de

f

ne essita de avaliar a função em

2

n−1

_{+ 1}

pontosde

{0, 1}

n

. No entanto o ir uito quânti o representado

na gura 1.8 permite resolver o problema usando uma úni a vez a porta

U

f

. Uma análise

semelhanteàrealizadaparaoalgoritmo deDeuts hpermite on luirqueaobservação depelo

menosum bit

1

omoresultadodamediçãodoestadonaldos

n

primeirosqubitsdosistema indi aquea função éequilibrada( seos

n

bitsobservadossão

0

então afunção é onstante).

Em 1994, Simon [ 50, 51℄ apresenta um avanço relativamente ao algoritmo de

Deuts h-Jozsa. O algoritmo de Simon permite testar a periodi idade dasrepresentações binárias de

umafunção

f :

{0, 1}

n

→ {0, 1}

m

.

Substituindoasportas deHadamardno ir uitodeSimonporumatransformadade F

ou-rier quânti a, Peter Shor obtém em 1994 um algoritmo quânti o para resolver em tempo

polinomial o problema da fa torização de números inteiros em primos. Este resultado tem

enormeimportân iatantonaáreada riptograabem omoaonívelda omplexidade

para fa torizar númerosinteiros. Osdetalhes doalgoritmo podemser onsultadosnos

traba-lhos originais de Shor [48, 49 ℄ou em Pereira e Rodrigues [46 ℄. Todosestesalgoritmos foram

entretantogeneralizadoseuni ados,sendoa tualmente onhe idospor algoritmosquânti os

para estimação defase[31 ℄, [21 ℄,[1℄.

Numa outra vertente surge ainda o algoritmo quânti o de Grover [27℄, dis utido no

a-pítulo 4,e generalizaçõesposteriores onhe idas por algoritmos quânti osde ampli ação de

Cir uitos Quânti os e Complexidade

h

2

|

As origens da Teoria da Complexidade no Modelo de Computação Quânti a situam-se na

dé ada de 80 om os trabalhos pioneiros de Benio [3, 4, 5℄. Seguiu-se o desenvolvimento

e formalização do modelo da Máquina de Turing Quânti a por Deuts h [15℄, Bernstein e

Vazirani [6 ℄.

Pela mesma altura Deuts h [16 ℄ propõe, em alternativa, o Modelo de Cir uitos

Quânti- os posteriormente desenvolvido por Yao [ 55℄. A equivalên ia entre estes modelos tem sido

investigadapor vários autores, entre outros Nishimura e Ozawa[ 41, 42 , 43℄.

Entretanto, surge a ideia de um modelo de omputaçãoem sistemas quânti os nosquais

aunidadede informação, oqudit, possuimaisdoqueosdois níveis distintospermitidospelo

qubit[2 ℄,[13℄.

Nãoédetodo laroqueosmodelosde omputaçãobaseadosemqubitssejamequivalentes

amodelosbaseadosemqudits,muitomenosemquesentidoexistiráumatalequivalên ia. As

di uldadesaumentamquando sepensasistemas de omputação om misturasde diferentes

unidadesde informação, designados sistemashíbridos [37 ℄.

Desde edo se tornou evidente ser ne essário enquadrar os algoritmos de Aritméti a em

Sistemasde Representação Redundantes, des ritosno apítulo 3,sobum modelo formalque

permitisse uma posterior análise omparativa om osmétodosda Computação Quânti a em

sistemade qubits. Nessesentido, propõe-se neste apítulo umapossível formalização de um

modelo de Computação em Sistemas Quânti os Híbridos, o qual generaliza, por in lusão,

os modelos baseados em sistemas de qubits, qudits e qudits para sistemas representação

2.1

Registos qu ˆanticos

... quantum phenomena donoto ur in a Hilbert spa e,

they o ur in a laboratory. 

Asher Peres

Subja entea adasistemaquânti o onsidera-seumespaçodeHilbert,oespaçodeestados.

Os possíveisestadosde um sistemaquânti o sãorepresentados, seguindo Dira ,porkets

|φi

,

|ψi

,et . Nesta teseassume-se quetodososespaçostêmdimensão nita.

Asso iadoa adasistemaquânti o onsidera-se aindaumabaseortonormadapreferen ial

do espaço de Hilbertsubja ente, a base omputa ional. Os estados de um sistema quânti o

sãoaindaidenti ados omosve toresdenormaumdoespaçodeHilbertsubja ente. Assim,

ada estado é representado por uma ombinação linear, om oe ientes em

C

, dosve tores

da base omputa ional.

Para representar osve tores da base omputa ional de um sistemaquânti o re orre-se a

umalinguagem

Γ

, ujo ardinalse denotapor

|Γ|

.

Denição 2.1. Oespaçode estados sobre umalinguagem

Γ

,

H(Γ)

, éoespaço deHilbertde dimensão

|Γ|

geradopela baseortonormada onstituída pelos ve tores

|si

,

s

∈ Γ

. Esta base denomina-se base omputa ional.

Denição 2.2. Seja

Γ

uma linguagem. Um

Γ

qudit é um sistema quânti o om um espaço de estadossubja ente

H(Γ)

.

Nadeniçãoanterior,apertinentequestãodoqueseentendeporsistemaquânti o,embora

fundamental de um ponto de vista te nológi o, não se aprofundada neste trabalho. Nota-se

apenasque, na práti a, ada

Γ

qudit érealizado por um sistemafísi o on reto.

É possível (e adequado) prosseguir o desenvolvimento teóri o de um Modelo de

Compu-tação Quânti a de modo independente das on retizações espe í as, a tuais ou futuras, do

obje to matemáti o qudit. Nesse sentido, é onveniente estabele er um onjunto de

prin- ípios fundamentais que evitem o desfazamento do modelo relativamente à realidade físi a

Postulado 1: Asso iado a um sistema físi o isolado existe um espaço ve torial

om produto interno, o espaço de estados. O sistema é ompletamente des rito

porumve tordeestado,umve tordenormaumnoespaçodeestadosdosistema.

Assim, assume-se que o onteúdo matemáti o do obje to físi o qudit é ompletamente

apturadopelanoção deestado.

Denição 2.3. Um estado de um

Γ

qudité um ve tor de norma um do espaço de estados subja ente

H(Γ)

.

O estado de um

Γ

qudit denota-se por um ket. Por exemplo, para

s

∈ Γ

, a expressão

|ψi = |si

signi a que o estado do qudit é

|si

. Da denição anterior de orre que a forma geral do estado de um

Γ

qudité uma ombinação linear omplexa dos estados base, i.e, dos elementosda base omputa ional, da forma

|ψi =

X

s∈Γ

α

s

|si,

para

α

s

∈ C, s ∈ Γ ,

(2.1)

quesatisfaça a ondição de normalização

X

s

∈Γ

|α

s

|

2

= 1 .

(2.2) Observação 2.1. A denição usual de qudit obtém-se dasdenições anteriores onsiderando

Γ = [0 .. d

− 1]

e denomina-se simplesmente

d

qudit. A denição de qubit orresponde a

Γ =

_{{0, 1}}

.

Uma vez denidas as unidades bási as de informação, os

Γ

qudits, é agora ne essário formalizar o on eito de sistema de qudits. Nesse sentido, denomina-se sistema quânti o

omposto um sistema quânti o no qual se identi am vários subsistemas. Se se onsiderar

ada qudit omo um sistema quânti o isolado então é possível onsiderar que os estados

de uma ole ção de qudits são tuplos de estados, ada um asso iado a um dos qudits do

sistema. No entanto, nem todosos possíveis estados de um sistema quânti o omposto são

ara terizáveisporsequên iasdeestadosasso iadosaossubsistemas. Nesses asosdiz-sequeo

Postulado 2: O espaço de estados subja ente a um sistema quânti o omposto

porváriossubsistemasidenti a-se omoprodutotensorialdosespaçosasso iados

a ada umdos subsistemas.

Na se ção 2.3 ver-se-á que os elementos da linguagem

Γ

, bem omo os respe tivos esta-dosbase, estão intrinse amente asso iados àsquantidadespossíveis deobservar num sistema

quânti o. Pare e lógi o pensar-seque osvaloresobserváveis num sistemaquânti o omposto

sejam tuplos de valores observáveis, ada valor asso iado a um subsistema. Este é o ponto

de vista adoptado om o intuito de formalizar o on eito de estado de um sistema quânti o

omposto.

Designa-se por linguagem produto de

n

linguagens

Γ

1

, Γ

2

, . . . , Γ

n

a linguagem dada pelo produto artesiano

Γ = Γ

1

Γ

2

· · · Γ

n

.

Diz-seneste asoque

Γ

tem omprimento

n

ees reve-se

comp(Γ) = n

. Note-sequeaspalavras de uma linguagem produto têm todas o mesmo omprimento e são da forma

s

1

s

2

. . . s

n

≡

(s

1

, s

2

, . . . , s

n

)

para

s

1

∈ Γ

1

, s

2

∈ Γ

2

, . . . , s

n

∈ Γ

n

.

Denição2.4. Seja

Γ

umalinguagemproduto. Um

Γ

qudit ompostoéumsistemaquânti o om um espaçode estadossubja ente

H(Γ)

.

Peladeniçãoanteriorabase omputa ionaldoespaçodeestadosdeum

Γ

qudit omposto é onstituída por

|Γ|

estados

|s

1

s

2

. . . s

n

i

,

s

i

∈ Γ

i

,

i = 1, . . . , n

. Cada um dos estados base

|s

1

s

2

. . . s

n

i

identi a-se naturalmente om o produto tensorial dos orrespondentes estados basedossubsistemas:

|s

1

i ⊗ |s

2

i ⊗ . . . ⊗ |s

n

i

. Daquide orrea equivalên iaentreos on eitos de

Γ

qudit ompostoe sistemaquânti o omposto referidonoPostulado2.

Teorema 2.1. Dadas as linguagens

Γ

i

,

i

∈ [1 .. n]

, e a orrespondente linguagem produto

Γ =

Q

n

_i=1

Γ

i

, então

H(Γ) ∼

=

n

O

i=1

H(Γ

i

) .