Teorema 2.7.1. A circunferência que passa pelos pés das perpendiculares baixadas dos vértices de qualquer triângulo sobre os lados opostos a eles, passa também pelos pontos médios dos lados, assim como pelos pontos médios dos segmentos que ligam os vértices ao ponto de intersecção das perpendiculares.
Demonstração: Consideremos o triângulo ABC.
Sejam Ma, Mb e Mc pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente.
Sejam Ha, Hb e Hc os pés das alturas relativas aos lados BC, AC e AB, respectivamente.
Seja H o ortocentro do triângulo. Sejam Da, Db e Dc pontos médios dos segmentos AH,
BH e CH, respectivamente.
Figura 2.21 – Circunferência de nove pontos.
Observando que Mb e Mcsão pontos médios dos lados AC e AB respectivamente,
temos que MbMck BC e MbMc
1 2BC.
Considerando o triângulo HBC, temos, Db e Dc pontos médios de BH e CH
respectivamente, então DbDc k BC e DbDc
1 2BC.
Logo, temos MbMc DbDc e MbMc k DbDc, portanto McDbDcMb é um
paralelogramo.
Consideremos o triângulo ABH, temos McDb k AHa e, então, McDb K DbDc e
o ângulo Db do paralelogramo McDbDcMb é reto, logo McDbDcMb é um retângulo.
Com isso, os segmentos McDc e MbDb são diagonais do retângulo McDbDcMb,
são congruentes e interseccionam-se em seu ponto médio M .
Figura 2.22 – Demonstração da circunferência de nove pontos.
McDa K DaDc logo o paralelogramo McMaDcDa é um retângulo.
Analogamente temos: McMa\\DcDa\\AC,McDa \\ BHb e McDa DaDc, logo McMaDcDa é retângulo.
Figura 2.21 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos. E MaMb\\DaDb\\AB,MbDa \\ CHc e MbDa DaDb, Logo MaMbDaDb é retângulo.
Figura 2.22 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos. Concluímos que as diagonais McDcMaDaMbDb e interseccionam-se em M e Ma,
Mb, Mc, Da, Db e Dc pertencem à mesma circunferência.
Sabemos que um ângulo inscrito em uma circunferência é um ângulo reto e que todo triângulo é inscritível.
Figura 2.23 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos.
Figura 2.23 – Demonstração do Teorema da Circunferência de Nove Pontos.
E MaMb k DaDb k AB, MbDa k CHc e MbDa K DaDb. Logo MaMbDaDb é
retângulo.
Analogamente temos: McMa\\DcDa\\AC,McDa \\ BHb e McDa DaDc, logo McMaDcDa é retângulo.
Figura 2.21 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos. E MaMb\\DaDb\\AB,MbDa \\ CHc e MbDa DaDb, Logo MaMbDaDb é retângulo.
Figura 2.22 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos. Concluímos que as diagonais McDcMaDaMbDb e interseccionam-se em M e Ma,
Mb, Mc, Da, Db e Dc pertencem à mesma circunferência.
Sabemos que um ângulo inscrito em uma circunferência é um ângulo reto e que todo triângulo é inscritível.
Figura 2.23 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos.
Figura 2.24 – Demonstração da circunferência de nove pontos.
Concluímos que as diagonais McDc MaDb e interseccionam-se em M e então
Ma, Mb, Mc, Da, Db e Dc pertencem à mesma circunferência de centro M .
Sabemos que um ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto e que todo triângulo é inscritível.
Analogamente temos: McMa\\DcDa\\AC ,McDa \\ BHb e McDa DaDc, logo McMaDcDa é retângulo.
Figura 2.21 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos. E MaMb\\DaDb\\AB,MbDa \\ CHc e MbDa DaDb, Logo MaMbDaDb é retângulo.
Figura 2.22 – Ilustração da demonstração da circunferência de nove pontos. Concluímos que as diagonais McDcMaDaMbDb e interseccionam-se em M e Ma,
Mb, Mc, Da, Db e Dc pertencem à mesma circunferência.
Sabemos que um ângulo inscrito em uma circunferência é um ângulo reto e que todo triângulo é inscritível.
Temos que: DbHbMb, DcHcMc e DaHaMa são triângulos retângulos e DbMb,
DcMc e DaMa são as hipotenusas relativas a esses triângulos e diâmetros da circunferência
determinada por esses pontos.
Concluímos então que os pontos Ma, Mb, Mc, Da, Db, Dc, Ha, Hbe Hcpertencem
à mesma circunferência. A qual denominamos circunferência de nove pontos.
2.7.1
A reta de Euler
Ainda de acordo com [REZENDE] [26], p. 98.
Teorema 2.7.2. O circuncentro, o baricentro e o ortocentro de um triângulo são colineares.
Além disso, o baricentro divide o segmento cuja extremidades são o circuncentro e o ortocentro, na razão 1:2.
Consideremos o triângulo ABC, os pontos médios Ma, Mb e Mc dos lados BC,
AC e AB, as alturas AHa e BHb o ortocentro H e o baricentro G.
Temos que: DbHbMb, DcHcMc e DaHaMa são triângulos retângulos e DbMb , DcMc e
DaMa são as hipotenusas relativas a esses triângulos e diâmetros da circunferência
determinada por esses pontos.
Concluímos então que os pontos Ma, Mb, Mc, Da, Db, Dc, Ha, Hb e Hc pertencem à mesma
circunferência, a qual denominamos circunferência de nove pontos.
2.6.2 A RETA DE EULER
Teorema 2.6.21:O circuncentro, o baricentro e o ortocentro de um triângulo são
colineares. Além disso, o baricentro divide o segmento cuja extremidades são o circuncentro e o ortocentro, na razão 1:2.
Definição 2.6.22: A reta que contém esses três pontos notáveis do triângulo é chamada
Reta de Euler.
Consideremos o triângulo ABC, os pontos médios Ma, Mb e Mc dos lados BC , AC e AB
, as alturas AHa e BHb, o ortocentro H e o baricentro G.
Figura 2.24 – Ilustração da demonstração da reta de Euler.
Consideremos o triângulo medial MaMbMc do triângulo ABC e o ortocentro O deste
triângulo.
Consideremos o circuncentro C do triângulo ABC, podemos observar que O=C.
Pelo caso de semelhança L.L.L, temos que ABC~ MaMbMc , com razão de semelhança
2 1 .
Já sabemos que MaMb \\ AB e MaMc \\ AC , logo AMbMaMc é um paralelogramo e
suas diagonais interseccionam-se em Q. Podemos então observar que a medianaMaQ do
triângulo MaMbMcestá contida na mediana AMa do triângulo ABC, de forma análoga as
diagonais do paralelogramo BMaMbMc interseccionam-se em um ponto P e a mediana
MbP do triângulo MaMbMc está contida na mediana BMb do triângulo ABC e o mesmo
Figura 2.26 – Demonstração da reta de Euler.
Consideremos o triângulo medial MaMbMc do triângulo ABC e o ortocentro
O deste triângulo.
Consideremos o circuncentro do triângulo ABC. É fácil ver que O coincide com C.
Pelo caso de semelhança L.L.L., obtemos que ∆ABC ∆MaMbMc, com razão
de semelhança 1 2.
Já sabemos que MaMb k AB e MaMc k AC, logo AMbMaMc é um paralelo-
gramo e suas diagonais interseccionam-se no ponto Q. Podemos então observar que a mediana MaQ do triângulo MaMbMcestá contida na mediana AMa do triângulo ABC, de
forma análoga as diagonais do paralelogramo BMaMbMc interseccionam-se em um ponto
ABC e o mesmo ocorre com a terceira mediana. Conclui-se então que os triângulos ABC
e MaMbMcocorre com a terceira mediana. Conclui-se então que os triângulos ABC e Mpossuem o mesmo baricentro G. aMbMc
possuem o mesmo baricentro G.
Figura 2.25 – Ilustração da demonstração da reta de Euler. Pela semelhança dos triângulos ABC e MaMbMc, temos AH 2 MaO.
As retas AH e MaO são paralelas pois são perpendiculares a lado BC , logo o ângulo HAG é congruente ao ângulo GMaO.
Vimos que as medianas de um triângulo são concorrentes em um ponto que dista de cada vértice dois terços da distância deste vértice ao ponto médio do lado oposto, logo AG=2
MaG.
Os ângulos AGH e MaGO são congruentes pois são opostos pelo vértice.
Portanto AGH ~ MaGO e, O,G e H são colineares e a reta que contêm esses pontos denominamos reta de Euler.
GH OG
2 1
, ou seja, o baricentro divide o segmento OH ,cuja extremidades são o circuncentro e o ortocentro, na razão 1:2.
Figura 2.27 – Demonstração da reta de Euler.
Pela semelhança dos triângulos ABC e MaMbMc, temos AH 2MaO.
As retas AH e MaO são paralelas pois são perpendiculares ao lado BC, logo o
ângulo HAG é congruente ao ângulo GMaO.
Vimos que as medianas de um triângulo são concorrentes em um ponto que dista de cada vértice dois terços da distância deste vértice ao ponto médio do lado oposto, logo AG 2MaG.
Portanto, pelo caso de semelhança L.A.L. temos: ∆AGH ∆MaGO com razão
de semelhança 2 e, então, o ângulo AGH é congruente ao ângulo MaGO. Concluímos que
O, G e H são colineares e OG 1
2GH, ou seja, o baricentro divide o segmento OH, cujas extremidades são o circuncentro e o ortocentro, na razão 1:2.
Definição 2.7.3 A reta que contém esses três pontos notáveis do triângulo, ortocentro, circuncentro e incentro, é chamada Reta de Euler.
No capítulo 6 realizamos as construções dos pontos notáveis dos triângulos com uso das dobraduras. Ver 6.5.1, p. 182.
3 A Geometria Euclidiana Plana e os Núme-
ros Construtíveis
O assunto a ser abordado nesse capítulo é sobre alguns números construtíveis utilizando da régua sem escala e compasso, como é feito na Geometria Euclidiana Plana e as consequências dessas construções.
Serão apresentadas algumas construções clássicas que compõem o currículo de Matemática do Ensino Fundamental e Médio. No capítulo 6 mostraremos que estas construções são possíveis também com dobraduras.