vez a comparação entre a Geometria do Origami e a Geometria Euclidiana; ele afirmou que a Geometria do Origami permite efetuar todas as construções Euclidianas a partir dos axiomas I, II e V de Huzita-Hatori.
Esta demonstração será feita a seguir, conforme [MATOS] [21] p. 121 e 133, fez em seu trabalho:
Primeiro serão apresentadas as cinco construções geométricas elementares que realizam as construções Euclidianas com régua sem escala e compasso; em seguida será demonstrado que com os Axiomas do Origami podemos realizar essas construções e, por último mostrar a equivalência entre os Axiomas do Origami.
Veremos em seguida, os procedimentos 1 a 5, que realizam as construções Euclidianas através de régua sem escala e compasso:
Construção 1. Dados dois pontos distintos A e B, podemos traçar uma única reta contendo ambos os pontos, usando uma régua.
Construção 2. Dados um ponto M e um segmento de reta de comprimento r ¡ 0, podemos traçar uma única circunferência c tM; ru, tendo M como centro e r como raio, usando o compasso.
Figura 5.26 – Circunferência de centro M e raio r.
Construção 3. Dadas duas retas não paralelas l1 e l2, podemos determinar o único ponto de interseção entre elas, o qual denominaremos: P l1X l2.
Figura 5.27 – Retas l1 e l2 concorrentes em um ponto P .
Construção 4. Se são dados uma circunferência c tM; ru e uma reta l, tal que o segmento ortogonal à reta l, com extremidade no ponto M , possui medida menor que r, então podemos determinar os pontos de interseção entre c e l.
Figura 5.28 – Reta l que intersecciona a circunferência c tM; ru nos pontos F e G.
Construção 5.
i) Dadas duas circunferências c1 tM1; r1u e c2 tM2; r2u tais que |r1 r2|
M1M2 r1 r2, então é possível encontrar dois pontos de intersecção de c1 com c2.
Figura 5.29 – Intersecção das circunferências c1 tM1; r1u e c2 tM2; r2u, tal que |r1 r2| M1M2 r1 r2.
ii) No caso em que M1M2 |r1 r2| ou M1M2 r1 r2, existe um único ponto de intersecção de c1 com c2 e as duas circunferências são tangentes neste ponto.
Figura 5.30 – Intersecção das circunferências c1 M1; r1 e c2 M2; r2, tal que M1M2
r1 r2 e M1M2 |r1 r2|.
Agora, veremos como podemos substituir, ou seja, fazer as mesmas construções com régua sem escala e compasso, os procedimentos 1 a 5, com dobraduras de papel. Para isso será feita uma combinação dos cinco primeiros axiomas do Origami.
Começando com a Construção 1, podemos facilmente observar que é a mesma construção do Axioma I, no caso da construção do Origami a dobra representa a reta traçada.
Na Construção 2, usando os Axiomas do Origami, podemos determinar alguns pontos e retas tangentes que definem bem uma circunferência, através da combinação dos Axiomas. Veja:
Passo 1: Conhecidos o centro M e o raio r AB, dobrando A sobre M pelo Axioma II, dobramos a mediatriz de M A, o que implica em levar B em B1. Assim temos
r MB1.
Figura 5.31 – Construção por dobradura do raio de uma circunferência c tM; ru.
Passo 2: Seja uma reta l contendo M . Sobre esta reta dada podemos dobrar o raio M B1, pelo Axioma III, fazendo a reflexão de B1 através da reta que determina a
bissetriz do ângulo de vértice M , formado entre M B1 e a reta l. Assim, determinamos o ponto P , da circunferência procurada, e o diâmetro está sobre a reta l.
Pelo Axioma II, através da dobradura de l sobre si mesma e passando por M , podemos determinar o ponto P1, pertencente à circunferência e diametralmente oposto ao ponto P .
Figura 5.32 – Construção por dobradura dos pontos P e P1 pertencentes a circunferência
c tM; ru.
Passo 3: Dobrar l sobre ela própria de modo a construir uma perpendicular por P que é possível pelo Axioma IV. Assim, encontraremos a única reta t, perpendicular a l, que contém P . Como l contém o raio M P , a reta t será tangente à circunferência em
P . A mesma construção pode ser feita analogamente em P1.
Figura 5.33 – Construção por dobradura da reta t tangente a circunferência c tM; ru em P .
Continuando com procedimento análogo são obtidos mais pontos e tangentes à circunferência e, consequentemente, sua envoltória de tangentes.
Também existe uma identidade entre a Construção 3 e o Axioma I. A primeira estabelece, a partir de duas retas não paralelas, l1 e l2, a existência de um único ponto de interseção P l1X l2, enquanto para o segundo, ao dobrarmos duas retas não paralelas, as dobras que as formam também determinarão um único ponto de interseção P l1X l2, construído pelo encontro dos vincos.
Este ponto é único, pois, se existisse um segundo ponto de intersecção, pelo Axioma I eles determinariam uma única reta e então as retas l1 e l2 seriam a mesma dobra.
Então, é possível realizar a Construção 3 através de dobraduras pelo Axioma I. Para a Construção 4:
Sejam dadas a circunferência c tM; ru e a reta l tal que o segmento IM ortogonal a l, onde I é o pé da perpendicular baixada de M a l, tenha medida menor que
r. Seja P um ponto qualquer da circunferência c.
Pelo Axioma V, dados os pontos P e M , e a reta l, existe uma reta m que passa por M e leva P em P1 , com P1 pertencente a l.
Seja N o ponto de intersecção entre a reta m e o segmento P P1. Obtemos que os triângulos P N M e P1N M são congruentes, pelo caso L.A.L.
Logo P1M P M e portanto P1 pertence à circunferência c.
Figura 5.34 – Construção por dobradura da intersecção da circunferência c tM; ru com a reta l.
Seja P2 o simétrico de P1 em relação à reta IM .
Para mostrar que P2 está na circunferência, usamos novamente o caso L.A.L. de congruência nos triângulos M IP1 e M IP2, do que resulta M P2 MP1. Portanto obtemos que P2 pertence à circunferência.
Assim temos que P1 e P2 são os pontos pertencentes à intersecção da reta l com a circunferência c.
Para Construção 5: Vamos abordar o caso i:
Como |r1 r2| M1M2 r1 r2, o que equivale a dizer que cada um dos números r1, r2 e M1M2 é menor que a soma dos outros dois, então podemos afirmar que existe um triângulo M1M2F tal que M1F r1 e M2F r2. Ver, por exemplo, Lema 6.36 de [REZENDE] [26].
Figura 5.35 – Intersecção das circunferências c1 tM1; r1u e c2 tM2; r2u, tal que |r1 r2| M1M2 r1 r2.
Vejamos como construir tal triângulo usando os Axiomas do Origami. Seja F1 o pé da perpendicular a M1M2 passando por F .
Figura 5.36 – Intersecção das circunferências c1 tM1; r1u e c2 tM2; r2u, tal que |r1 r2| M1M2 r1 r2.
Pelo Teorema de Pitágoras aplicado aos triângulos M1F1F e M2F1F , temos
x r 2 1 m2 r22 2m 1 2 r2 1 m2 r22 m .
Para obter F1 a partir do pontos M1 e M2 com os Axiomas do Origami, vamos construir inicialmente um triângulo retângulo de catetos m e r1, obtendo a hipotenusa que mede ar2
1 m2.
Em seguida construímos um outro triângulo retângulo, mas desta vez com dos catetos medindo r2 e a hipotenusa medindo
a
r2 1 m2.
Com esses dados obtemos o outro cateto com medida igual à ar2
1 m2 r22. Para esta construção usamos também os Axiomas I a V do Origami.
Com esses dados, usando o Teorema de Tales p. 38 e os Axiomas I a V, construímos r
2
1 m2 r22
m .
Figura 5.37 – Triângulos ABC e AGD com AB ar2
1 m2 r22, AC m e AD a r2 1 m2 r22. Temos AG r 2 1 m2 r22 m .
Para obter x, basta obter a metade de AG, ou seja, x 1 2AG. Então é possível obter o ponto F1 na dobra M1M2.
A seguir, obtemos a reta p perpendicular a M1M2 por F1 e, depois obtemos o ponto F em p tal que M1F r1.
Como M1F r1 e M2F r2, então F pertence à intersecção de c1 com c2. Seja E a reflexão de F em relação à reta M1M2. Obtemos que também E pertence à intersecção de c1 com c2.
Assim, E e F são o dois pontos de intersecção de c1 com c2.
Para o caso (ii) da construção 5, é fácil mostrar que existe um único ponto de intersecção de c1 com c2, usando os Axiomas do Origami.
Acabamos de mostrar que com os Axiomas I a V, do Origami, podemos efetuar todas as construções euclidianas, ou seja, construir os números que podem ser construídos com régua não graduada e compasso.
Vamos mostrar agora que estas construções podem ser efetuadas apenas com os Axiomas I, II e V, como segue.
(I) Dados dois pontos distintos P1 e P2 existe apenas uma dobra que passa por eles. A duplicidade desta construção, desde que as retas não sejam paralelas, gera um ponto de intersecção.
(II) Dados dois pontos distintos P1 e P2, existe apenas uma dobra que coloca
P1 sobre P2.
(V) Dados dois pontos P1 e P2 e uma reta r1, se a distância de P1 a P2 for igual ou superior a distância de P2 a r1, existe uma dobra que coloca P1 sobre r1 e que passa por P2.
Mostraremos que o conjunto de Axiomas I, II e V é equivalente ao conjunto formado pelos Axiomas I a V. Se retirarmos os Axiomas III e IV, continuamos com os mesmos números construtíveis.
(i) para retirar o Axioma III, no caso em que as duas retas não são paralelas, dadas as retas construídas r1 e r2, não paralelas, podemos construir um ponto de interseção
Q e escolher outro ponto construído P sobre r1, realizando a dobra d. A reta b, construída pelo Axioma V, que passa por Q e reflete P sobre r2, é a bissetriz do ângulo formado =P QP1, que possui Q como vértice.
Figura 5.38 – Construção por dobradura da bissetriz b de =P QP1.
(ii) para retirar o Axioma IV, considere a reta d e o ponto P não pertencente a ela.
Queremos construir a reta perpendicular à reta d passando pelo ponto P . Sejam P1 e P2 dois pontos distintos construídos sobre a reta d.
Pelo Axioma II, podemos construir a mediatriz m, de P1P2.
Na subseção 5.2.2 em (ii), vimos que podemos construir a reta t, paralela à m, passando por P .
Figura 5.39 – Construção por dobradura da perpendicular a reta d passando por P .
A reta t é a reta procurada.
Já vimos no capítulo anterior que, a geometria da construção com régua sem escala e compasso resolve várias equações quadráticas.
Como observamos, a geometria do Origami faz todas as construções da geo- metria com régua sem escala e compasso. Podemos concluir que a geometria do Origami também resolve as equações quadráticas.