Nesta seção, estudaremos as Classes de Chern para Fibrados suaves, por meio de polinômios invariantes munidos de uma conexão.
Sejam 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial complexo suave e 𝑇*(𝑀 ) o fibrado cotan- gente de 𝑀 . Fixemos as seguintes notações: Ω𝑞(𝑀, 𝐸) = Γ(Λ𝑞𝑇*(𝑀 ) ⊗ 𝐸) e Ω𝑞(𝑀 ) = Γ(Λ𝑞(𝑇*(𝑀 ))), de modo que estamos considerando seções sobre o corpo dos complexos
C.
Definição 2.6.1. Dizemos que uma aplicação C−linear ∇ : Ω0(𝑀, 𝐸) → Ω1(𝑀, 𝐸) é
uma conexão para um fibrado vetorial complexo suave 𝐸 → 𝑀 quando, para quaisquer
𝑓 ∈ Ω0(𝑀 ) e 𝑠 ∈ Ω0(𝑀, 𝐸), vale que:
∇(𝑓 𝑠) = 𝑓 ∇(𝑠) + 𝑑𝑓 ⊗ 𝑠.
Observação: O conceito de conexão também pode ser definido para fibrados vetoriais reais.
Entretanto, estamos interessados unicamente no caso complexo. O leitor interessado no caso real pode consultar [2] ou [18].
Teorema 2.6.2. Seja ∇ uma conexão para um fibrado vetorial complexo suave 𝐸 →
𝑀 . Então, existe uma única família (∇𝑖)𝑖∈N de extensões lineares ∇𝑖 : Ω𝑖(𝑀, 𝐸) → Ω𝑖+1(𝑀, 𝐸) e uma forma 𝐾 ∈ Ω2(𝑀, 𝐸𝑛𝑑(𝐸)), chamada de forma de curvatura, satisfa-
zendo as seguintes condições: a-) ∇0 = ∇
b-) ∇𝑖(𝛼 ⊗ 𝑠) = 𝑑𝛼 ⊗ 𝑠 + (−1)𝑖𝛼 ∧ ∇𝑖𝑠, para quaisquer 𝛼 ∈ Ω𝑖(𝑀 ) e 𝑠 ∈ Ω𝑖(𝑀, 𝐸).
c-) ∇𝑖+1∇𝑖𝑠 = 𝐾(𝑠) para todo 𝑠 ∈ Ω𝑖(𝑀, 𝐸)
Demonstração. Considere a conexão ∇ sobre um aberto 𝑈 ⊂ 𝑀 de modo que 𝐸 possua
uma base de seções locais {𝑠1, . . . , 𝑠𝑞}. Defina ∇1(𝜃1𝑠1 + · · · + 𝜃𝑛𝑠𝑛) =
∑︁
para quaisquer 1-formas 𝜃𝑖. Isto nos fornece um mapa que satisfaz a condição b-) e podemos aplicar o mesmo raciocínio para obter a família de extensões procurada.
Além disso, sobre esse mesmo aberto, existem 𝜃𝑖,𝑗 ∈ 𝐴1(𝑀 ) tais que ∇(𝑠𝑖) =
𝑞
∑︁
𝑗=1
𝜃𝑖,𝑗⊗ 𝑠𝑗.
Desse modo, podemos calcular ∇∇(𝑠𝑖), obtendo:
∇∇(𝑠𝑖) = 𝑞 ∑︁ 𝑗=1 (𝑑𝜃𝑖,𝑗− 𝑞 ∑︁ 𝑘=1 𝜃𝑖,𝑘 ∧ 𝜃𝑘,𝑗) ⊗ 𝑠𝑗
Seja 𝐾𝑖,𝑗 = (𝑑𝜃𝑖,𝑗−∑︀𝑞𝑘=1𝜃𝑖,𝑘∧ 𝜃𝑘,𝑗). Esta expressão nos fornece uma definição local de 𝐾. Para globalizarmos esta definição, observe que para outra base seções locais {𝑠′
1, . . . , 𝑠′𝑞}, existe uma matriz inversível 𝐴 que satisfaz 𝑠′ = 𝐴𝑠 e, se 𝐾′denota a expressão local para 𝐾 nessa nova base de seções locais, pode-se provar que [14]:
𝐾′ = 𝐴𝐾𝐴−1
e segue o resultado.
Sejam 𝐹 um corpo de característica 0, 𝐹 [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛] o anel polinomial em
𝑛-variáveis e 𝑆𝑛 o grupo de permutações. Temos uma ação de 𝑆𝑛 em 𝐹 [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛],
𝜑 : 𝑆𝑛× 𝐹 [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛] → 𝐹 [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛]
dada por
𝜑(𝜎, 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)) = 𝑓 (𝑥𝜎(1), . . . , 𝑥𝜎(𝑛))
É evidente que esta ação preserva o subanel 𝐹 [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛]𝑞 de polinômios ho- mogêneos de grau 𝑞.
A subálgebra dos polinômios invariantes pela ação 𝜑, ou seja, polinômios que satisfazem:
𝜑(𝜎, 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)) = 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)
é uma álgebra polinomial em certas funções elementares 𝜎𝑞 de grau 𝑞 [21] definidas por:
𝜎𝑞(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) =
∑︁
𝑖(1)<···<𝑖(𝑞)
𝑥𝑖(1). . . 𝑥𝑖(𝑞) ou seja, esta subálgebra é da forma 𝐹 [𝜎1, . . . , 𝜎𝑛].
seja, o anel dos polinômios da forma 𝑓 = 𝑚 ∑︁ 𝑖=0 𝑎𝑖𝐴𝑖𝑖
onde 𝐴𝑖 é uma matriz de ordem 𝑛 × 𝑛.
Podemos definir a ação de conjugação de 𝐺𝐿(𝑛, 𝐹 ) em 𝐹 [𝑥11, . . . , 𝑥𝑛𝑛] via:
𝐵.𝑓 (𝐴1, . . . , 𝐴𝑚) = 𝑓 (𝐵𝐴1𝐵−1, . . . , 𝐵𝐴𝑚𝐵−1)
e, a subálgebra de polinômios invariantes por essa ação é uma álgebra polinomial em elementos 𝑐1(𝑋), . . . , 𝑐𝑛(𝑋) definidos por:
𝑑𝑒𝑡(𝐼 + 𝑋𝑡) = ∑︁
0≤𝑖≤𝑛
𝑐𝑖(𝑋)𝑡𝑖 que denotamos por 𝐹 [𝑐1(𝑋), . . . , 𝑐𝑛(𝑋)]
Sabemos que 𝑑𝑒𝑡(𝐼 + 𝑋𝑡) = exp(−∑︀
1≤𝑗𝑇 𝑟(𝑋𝑗)−𝑡
𝑗
𝑗 ) e daí, temos a igualdade
𝐹 [𝑐1(𝑋), . . . , 𝑐𝑛(𝑋)] = 𝐹 [𝑇 𝑟(𝑋), 𝑇 𝑟(𝑋2), . . . , 𝑇 𝑟(𝑋𝑛)] .
Mas, 𝐾 se escreve localmente como 𝐾𝑖𝑗 = 𝑑𝜃𝑖𝑗−∑︀𝑘𝜃𝑖𝑘∧ 𝜃𝑘𝑗 e temos que, para duas cartas locais distintas nas quais 𝐾 se escreve como 𝐾𝑖𝑗 e 𝐾𝑖𝑗′ , existe uma matriz inversível 𝐴 que conjuga 𝐾 no seguinte sentido (𝐾𝑖𝑗) = 𝐴(𝐾𝑖𝑗′ )𝐴−1.
Assim, podemos dar a seguinte definição:
Definição 2.6.3. Seja 𝐸 → 𝑀 um fibrado suave com conexão ∇ e forma de curvatura
𝐾. Definimos as formas características de Chern 𝑐𝑗(𝐸, ∇) por meio da seguinte equação:
𝑐𝑗(𝐸, ∇) = 1
(2𝜋𝑖)𝑗𝑐𝑗(𝐾)
Proposição 2.6.4. Se a forma de curvatura se escreve como 𝐾 = 𝑑𝜃 − 𝜃 ∧ 𝜃, então
𝑑𝐾 = 𝜃 ∧ 𝐾 − 𝐾 ∧ 𝜃 = [𝜃, 𝐾]
Demonstração. Aplicando 𝑑 na expressão para 𝐾, temos:
𝑑𝐾 = 𝑑2𝜃 − 𝑑𝜃 ∧ 𝜃 + 𝜃 ∧ 𝑑𝜃 = −(𝐾 + 𝜃 ∧ 𝜃) ∧ 𝜃 + 𝜃 ∧ (𝐾 + 𝜃 ∧ 𝜃) = 𝜃 ∧ 𝐾 − 𝐾 ∧ 𝜃
Proposição 2.6.5. Seja 𝐸 → 𝑀 um fibrado suave de posto 𝑛 com conexão ∇. As formas
𝑐𝑗(𝐸, ∇) e 𝜑(𝐾) são fechadas, para todo polinômio invariante 𝜑 ∈ 𝐹 [𝑐1(𝑋), . . . , 𝑐𝑛(𝑋)].
𝑑𝑇 𝑟(𝐾𝑗) = 𝑇 𝑟(𝑑(𝐾𝑗)) = ∑︁ 𝑙+𝑖=𝑞−1
𝑇 𝑟(𝐾𝑙(𝑑𝐾)𝐾𝑖) = ∑︁ 𝑙+𝑖=𝑞−1
𝑇 𝑟(𝐾𝑙[𝜃, 𝐾]𝐾𝑖) = 𝑇 𝑟([𝜃, 𝐾𝑞]) = 0
Desse modo, 𝑇 𝑟(𝐾𝑗) é fechado, para todo 𝑗 ∈ N. Assim, como 𝐹 [𝑐
1(𝑋), . . . , 𝑐𝑛(𝑋)] =
𝐹 [𝑇 𝑟(𝑋), 𝑇 𝑟(𝑋2), . . . , 𝑇 𝑟(𝑋𝑛)], segue que as formas características e 𝜑(𝐾) são fechadas.
Dedicaremos o resto desta seção a estudar algumas propriedades homotópicas de conexões e curvaturas, de modo a conseguirmos relacionar as formas características de Chern com as Classes de Chern.
Seja 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial suave. Duas conexões ∇0 e ∇1 para este
fibrado são homotópicas quando existe uma conexão ∇ para o fibrado 𝐸 × [0, 1] → 𝑀 × [0, 1] cujas restrições a 𝐸 × 0 e 𝐸 × 1 coincidem com ∇0 e ∇1, respectivamente.
Duas conexões quaisquer sobre um fibrado suave como o descrito acima são homotópicas, via homotopia linear:
∇𝑡 = 𝑡∇1+ (1 − 𝑡)∇0 (2.6.1)
e o mesmo vale para a forma 𝜃 associada à forma de curvtura.
Um outro modo de vermos este fato é notando que, se ∇ e ∇′ são conexões num fibrado complexo 𝐸 → 𝑀 , então, para quaisquer 𝑓 ∈ Ω0(𝑀 ), 𝑠 ∈ Ω1(𝑀, 𝐸) temos
que
(∇ − ∇′)(𝑓 𝑠) = 𝑓 ∇(𝑠)
de onde conclui-se facilmente que essa diferença é uma 1−forma tomando valores em seções de 𝐸. Desse modo, o espaço de conexões é, de fato, um espaço afim.
Proposição 2.6.6. A forma de curvatura 𝐾𝑡 associada à conexão ∇𝑡definida em (2.6.1)
é dada por:
𝐾𝑡= (1 − 𝑡)𝐾0+ 𝑡𝐾1+ 𝑡(1 − 𝑡)(𝜃0− 𝜃1)2+ (𝜃0− 𝜃1)
Demonstração. Temos que 𝐾𝑡= 𝑑𝜃𝑡− 𝜃𝑡∧ 𝜃𝑡. Fazendo a substituição 𝜃𝑡= (1 − 𝑡)𝜃0+ 𝑡𝜃1
e usando que (1 − 𝑡) − (1 − 𝑡)2 = 𝑡(1 − 𝑡) com alguns cálculos simples, segue o resultado.
Defina o operador linear 𝑄 : Ω𝑞(𝑀 × [0, 1]) → Ω𝑞−1(𝑀 ) por :
𝑄(𝜔) = 𝑄(𝛼 + 𝛽 ∧ 𝑑𝑡) = (−1)𝑞−1
∫︁ 1
0
𝛽𝑑𝑡
Proposição 2.6.7. Seja 𝑗 : Ω𝑞(𝑀 ×[0, 1])×[0, 1] → Ω𝑞−1(𝑀 ) dada por 𝑗((𝛼+𝛽 ∧𝑑𝑡), 𝑠) =
𝛼𝑡=𝑠. Então, vale que:
𝑑𝑄 + 𝑄𝑑 = 𝑗1− 𝑗0
O passo chave para nossa construção está em aplicar o operador 𝑄 descrito acima na forma 𝜑(𝐾), onde 𝜑 é um polinômio invariante e 𝐾 é a forma de curvatura advinda de uma conexão em 𝑀 ×[0, 1], que já provamos ser fechada. Mais especificamente, se ∇0 e ∇1 são conexões em um fibrado suave 𝐸 → 𝑀 , ∇ é a homotopia linear entre
essas conexões e 𝐾 é a forma de curvatura associada a ∇, definimos, para todo polinômio invariante 𝜑 de grau 𝑞
𝜑(𝐾0, 𝐾1) = 𝑄(𝜑(𝐾)) ∈ Ω2𝑞−1(𝑀 )
E obtemos o resultado principal desta seção:
Teorema 2.6.8. Sejam ∇0 e ∇1 duas conexões para um fibrado vetorial suave 𝐸 → 𝑀
com formas de curvatura associadas 𝐾0 e 𝐾1, respectivamente. Seja também 𝜑 um polinô-
mio invariante homogêneo de grau 𝑞. Então, as duas 2𝑞-formas 𝜑(𝐾0) e 𝜑(𝐾1) definem
a mesma classe na cohomologia de de Rham. Em particular, as formas características de Chern 𝑐𝑞(𝐸, ∇) definem classes de cohomologia de de Rham de modo que não dependem
da conexão tomada para definir essas classes.
Demonstração. Apliquemos a fórmula 𝑑𝑄 + 𝑄𝑑 = 𝑗1 − 𝑗0 na forma 𝜑(𝐾0, 𝐾1). Como
𝑑𝜑(𝐾0, 𝐾1) = 0, temos:
𝑑𝑄(𝜑(𝐾0, 𝐾1)) = 𝑗1𝜑(𝐾0, 𝐾1) − 𝑗0𝜑(𝐾0, 𝐾1) = 𝜑(𝐾1) − 𝜑(𝐾0)
ou seja, 𝜑(𝐾1) e 𝜑(𝐾0) diferem por uma forma exata e portanto, na cohomo-
logia de de Rham, as classes definidas por elas coincidem, o que demonstra o Teorema.
Sabemos, pelo Teorema de de Rham, que existe um isomorfismo entre a coho- mologia de de Rham real 𝐻𝑑𝑅* (𝑀 ) e a cohomologia singular 𝐻*(𝑀, R), dado por
𝐼 : 𝜔 ∈ 𝐻𝑑𝑅𝑛 (𝑀 ) ↦→
∫︁
Δ
𝜎*𝜔 ∈ 𝐻𝑛(𝑀, R)
onde 𝜎 : Δ → 𝑀 é um simplexo singular. Sabemos que há um mapa canônico 𝐻𝑛(𝑀, Z) →
𝐻𝑛(𝑀, R) e que 𝐼(𝜔) pode ser visto, por meio da Dualidade de Poincaré, como um ele-
mento de 𝐻𝑛(𝑀, Z) se a integral assume valores inteiros avaliada em ciclos.
Levando em conta que 𝐻𝑑𝑅(𝑀, C) ∼* = 𝐻𝑑𝑅(𝑀 ) ⊗ C, pode-se mostrar, utilizando* o isomorfismo acima, que as formas características 𝑐𝑞(𝐸, ∇) são levadas nas classes de
Chern 𝑐𝑞(𝐸) ∈ 𝐻2𝑞(𝐸, Z). Para maiores detalhes, o leitor pode consultar o Apêndice C de [18].
Geometria Spin
3.1
Álgebras de Clifford e os Grupos Pin e Spin
Faremos nesta seção uma breve exposição da construção da Álgebra de Clifford associada a um espaço quadrático e de seus subgrupos Pin e Spin. Embora não tratemos da classificação destas álgebras, o leitor interessado pode consultar [17].
Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre um corpo 𝐹 munido de uma forma quadrática
𝑞 que satisfaz a regra do paralelogramo e seja também 𝑔 a forma bilinear induzida por 𝑞,
definida pela seguinte equação:
𝑔(𝑢, 𝑣) = 1
2(𝑞(𝑢 + 𝑣) − 𝑞(𝑢) − 𝑞(𝑣)) Denotando por 𝑇 (𝑉 ) a álgebra tensorial de 𝑉 , ou seja,
𝑇 (𝑉 ) =
∞
∑︁
𝑖=0 ⊗𝑖𝑉
podemos definir 𝐼𝑞(𝑉 ) como sendo o ideal de 𝑇 (𝑉 ) gerado por elementos da forma
𝑣 ⊗ 𝑣 + 𝑞(𝑣)𝐼
para todo 𝑣 ∈ 𝑉 . Definimos então a álgebra de Clifford do espaço quadrático (𝑉, 𝑞) como sendo
𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) = 𝑇 (𝑉 )/𝐼𝑞(𝑉 )
Se 𝜋 : 𝑇 (𝑉 ) → 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) é a projeção obtida pelo quociente acima, é fácil ver que 𝜋|𝑉 é injetiva e, portanto, 𝜋 fornece uma inclusão natural de 𝑉 em 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞). Se 𝑣.𝑤 denota o produto de dois elementos 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 em 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) induzido pelo produto em 𝑇 (𝑉 ) no quociente, é claro que este produto satisfaz, para todo 𝑣 ∈ 𝑉 , a seguinte propriedade:
𝑣.𝑣 = −𝑞(𝑣)𝐼
Além disso, se a característica do corpo 𝐹 for diferente de 2, podemos escrever a equação acima como:
𝑣.𝑤 + 𝑤.𝑣 = −2𝑔(𝑢, 𝑣)𝐼
A propriedade acima caracteriza álgebras de Clifford, uma vez que a seguinte propriedade é válida [17].
Proposição 3.1.1. Sejam (𝑉, 𝑞) um espaço quadrático, 𝐴 uma 𝐹 -álgebra associativa com
unidade e 𝑓 : 𝑉 → 𝐴 uma transformação linear que satisfaz, para todo 𝑣 ∈ 𝑉 , a seguinte equação:
𝑓 (𝑣).𝑓 (𝑣) = −𝑞(𝑣)𝐼
Então, 𝑓 possui uma única extensão a um homomorfismo entre 𝐹 -álgebras ˜𝑓 : 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) → 𝐴. Além disso, 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) é a única álgebra associativa com essa propriedade.
A propriedade acima traduz a universalidade da álgebra 𝐶𝑙(𝑉 ). De fato, se 𝐴′
é outra álgebra que possui uma injeção 𝑖 : 𝑉 → 𝐴′ e que, para toda transformação linear
𝑓 : 𝑉 → 𝐴 satisfazendo 𝑓 (𝑣).𝑓 (𝑣) = −𝑞(𝑣)𝐼 para todo 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑓 possua extensão a um
homomorfismo de álgebras ˜𝑓 : 𝐴′ → 𝐴.
Desse modo, a inclusão 𝑓 de 𝑉 em 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) possui uma extensão ˜𝑓 , que torna
o diagrama abaixo comutativo
𝑉 𝑓// 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) 𝐴′ ˜ 𝑓 ;;
e o isomorfismo entre 𝑉 ⊂ 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) e 𝑖(𝑉 ) ⊂ 𝐴′ induz um isomorfismo entre 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) e
𝐴′, como no diagrama abaixo:
𝑉 𝑖 // 𝑓 𝐴′ 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) ∼ = ;;
A propriedade também nos permite construir uma extensão de qualquer trans- formação linear 𝑇 : (𝑉, 𝑞) → (𝑉′, 𝑞′) que preserva as formas quadráticas, ou seja, 𝑞′(𝑇 (𝑣)) =
𝑞(𝑣), dada por um homomorfismo ˜𝑇 : 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) → 𝐶𝑙(𝑉′, 𝑞′). Em particular, toda trans- formação ortogonal 𝑇 ∈ 𝑂(𝑉, 𝑞) se estende a um automorfismo ˜𝑇 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑙(𝑉, 𝑞)).
homomorfismo 𝛼 : 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) → 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) que é dado pela extensão do endomorfismo
𝑣 ∈ 𝑉 ↦→ −𝑣 ∈ 𝑉
Como 𝛼2 = 𝐼, podemos decompor 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) como a soma dos autoespaços de
𝛼. Escrevendo 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞)± como sendo o autoespaço associado ao autovalor ±1, respecti- vamente, temos então que
𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) = 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞)+⊕ 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞)−
e com essa decomposição, 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) se torna uma álgebra Z2-graduada.
Estamos interessados em estudar certos subgrupos de 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞). Começamos considerando o subgrupo dos elementos inversíveis de 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞), denotado por 𝐶𝑙*(𝑉, 𝑞), dado por
𝐶𝑙*(𝑉, 𝑞) = {𝜑 ∈ 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞); ∃𝜑−1 com 𝜑.𝜑−1 = 𝜑−1.𝜑 = 1}
e observe que para todo 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑞(𝑣) ̸= 0, temos que 𝑣 ∈ 𝐶𝑙*(𝑉, 𝑞), uma vez que
𝑣.𝑣 = −𝑞(𝑣)𝐼.
Lembremos que 𝐴𝑑 é definida pela expressão
𝐴𝑑𝜑(𝑥) = 𝜑𝑥𝜑−1
para quaisquer 𝑥 ∈ 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞),𝜑 ∈ 𝐶𝑙*(𝑉, 𝑞). Ainda, definimos ˜𝐴𝑑 levando em conta o mapa 𝛼 definido anteriormente:
˜
𝐴𝑑𝜑(𝑥) = 𝛼(𝜑)𝑥𝜑−1
para quaisquer 𝑥 ∈ 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞),𝜑 ∈ 𝐶𝑙*(𝑉, 𝑞).
Utilizando a representação adjunta 𝐴𝑑 ou a representação adjunta torcida ˜𝐴𝑑,
podemos considerar 𝐶𝑙*(𝑉, 𝑞) como um subgrupo de 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑙(𝑉, 𝑞)) e estamos interessados em estudar alguns de seus subgrupos.
Proposição 3.1.2. Seja 𝑣 ∈ 𝑉 ⊂ 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) tal que 𝑞(𝑣) ̸= 0 e assuma que 𝑐ℎ𝑎𝑟(𝐹 ) ̸= 2.
Então, 𝐴𝑑𝑣(𝑉 ) = 𝑉 = ˜𝐴𝑑𝑣(𝑉 )
Demonstração. Temos que 𝑣−1 = −𝑣/𝑞(𝑣). Daí, para todo 𝑤 ∈ 𝑉 , temos:
−𝑞(𝑣)𝐴𝑑𝑣(𝑤) = −𝑞(𝑣)𝑣𝑤𝑣−1 = 𝑣𝑤𝑣 = (𝑣𝑤)𝑣 = (−2𝑔(𝑣, 𝑤)𝐼 − 𝑤𝑣)𝑣 =
de onde segue que 𝐴𝑑 é sobrejetiva. De maneira análoga, obtemos
˜
𝐴𝑑 = 𝑤 − 2𝑔(𝑣, 𝑤) 𝑞(𝑣) 𝑣
de onde segue que ˜𝐴𝑑 é a reflexão pelo subespaço ortogonal a 𝑣 e segue, portanto, o
resultado.
Podemos então definir 𝑃 (𝑉, 𝑞) como sendo o subgrupo de 𝐶𝑙*(𝑉, 𝑞) gerado pelos elementos 𝑣 ∈ 𝑉 , tal que 𝑞(𝑣) ̸= 0. As restrições das representações 𝐴𝑑 e ˜𝐴𝑑
fornecem representações de 𝑃 (𝑉, 𝑞) em 𝑂(𝑉, 𝑞), o grupo ortogonal do espaço quadrático (𝑉, 𝑞).
Observe também que, se 𝑞(𝑣) ̸= 0, então, para todo 𝜆 ∈ 𝐹 , temos que 𝐴𝑑𝜆𝑣 =
𝐴𝑑𝑣 e ˜𝐴𝑑𝜆𝑣= ˜𝐴𝑑𝑣, o que nos motiva a definir dois subgrupos muito relevantes de 𝑃 (𝑉, 𝑞):
Definição 3.1.3. Seja (𝑉, 𝑞) um espaço quadrático sobre um corpo 𝐹 cuja característica
é diferente de 2. Definimos o grupo Pin de (𝑉, 𝑞), denotado por 𝑃 𝑖𝑛(𝑉, 𝑞), como sendo o grupo gerado pelos elementos 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑞(𝑣) = ±1. O grupo Spin, denotado por
𝑆𝑝𝑖𝑛(𝑉, 𝑞), é definido como sendo
𝑆𝑝𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) = 𝑃 𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) ∩ 𝐶𝑙+(𝑉, 𝑞)
Desse modo, podemos escrever
𝑃 𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) = {𝑣1. . . 𝑣𝑙; 𝑞(𝑣𝑖) = ±1 para todo 𝑖 = 1, . . . , 𝑙}
𝑆𝑝𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) = {𝑣1. . . 𝑣𝑙 ∈ 𝑃 𝑖𝑛(𝑉, 𝑞); 𝑙 é par }
Diremos que 𝐹 é um corpo spin se 𝑐ℎ𝑎𝑟(𝐹 ) ̸= 2 e se pelo menos uma das equações 𝑡2 = 𝑎 e 𝑡2 = −𝑎 possui solução em 𝐹 , para todo 𝑎 ∈ 𝐹 ∖ {0}. Como exemplos
de corpos spin, destacamos R, C e Z𝑝, com 𝑝 ≡ 3 mod 4. A importância dos grupos Pin e Spin é decorrente do seguinte Teorema, cuja demonstração pode ser encontrada em [17]:
Teorema 3.1.4. Seja (𝑉, 𝑞) um espaço quadrático não-degenerado de dimensão finita
sobre um corpo spin 𝐹 e suponha que √−1 /∈ 𝐹 . Então, existem sequências exatas {1} → Z2 → 𝑆𝑝𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) → 𝑆𝑂(𝑉, 𝑞) → {𝐼}
{1} → Z2 → 𝑃 𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) → 𝑂(𝑉, 𝑞) → {𝐼}
que nos fornecem os recobrimentos de duas folhas ˜𝐴𝑑 : 𝑆𝑝𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) → 𝑆𝑂(𝑉, 𝑞) e ˜𝐴𝑑 : 𝑃 𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) → 𝑂(𝑉, 𝑞).
No caso em que (𝑉, 𝑞) ∼= (R𝑛, 𝑞
𝑛), com 𝑞𝑛(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) =∑︀𝑛𝑖=1𝑥2𝑖, temos que ˜𝐴𝑑 :
𝑆𝑝𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) → 𝑆𝑂(𝑛) é recobrimento universal, para todo 𝑛 ≥ 3. Nesse caso, denotamos 𝑆𝑝𝑖𝑛(𝑉, 𝑞) por 𝑆𝑝𝑖𝑛𝑛 e 𝐶𝑙(𝑉, 𝑞) por 𝐶𝑙𝑛.