Instituto de Matemática, Estatística
e Computação Científica
Renato Junior Moreira e Silva
Sobre Certos Invariantes para Esferas Exóticas
CAMPINAS 2017
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Silva, Renato Júnior Moreira e,
Si38s SilSobre certos invariantes para esferas exóticas / Renato Júnior Moreira e Silva. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.
SilOrientador: Rafael de Freitas Leão.
SilDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Sil1. Topologia diferencial. 2. Difeomorfismos. 3. Invariantes geométricos. I. Leão, Rafael de Freitas,1979-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: On certain invariants on exotic spheres Palavras-chave em inglês:
Differential topology Diffeomorphisms Geometric invariants
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Rafael de Freitas Leão [Orientador] Ricardo Antonio Mosna
Llohann Dallagnol Sperança Data de defesa: 10-03-2017
Programa de Pós-Graduação: Matemática
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pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof.(a). Dr(a). RAFAEL DE FREITAS LEÃO
Prof.(a). Dr(a). RICARDO ANTONIO MOSNA
Prof.(a). Dr(a). LLOHANN DALLAGNOL SPERANÇA
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do(a) aluno(a).
Agradeço primeiramente a Deus, pelo auxílio dado para a realização deste projeto. Agradeço a meus pais, pelo trabalho duro e todo o esforço empenhado para me dar condições de cumprir mais uma etapa em minha vida. A minha avó, pelo grande ser humano que é e que me acompanhou e motivou em todas as etapas da minha vida, influenciando diretamente na minha formação enquanto ser humano. Agradeço também a minha namorada Gabriela, pelo companheirismo e pelos bons momentos que tornaram menos difícil a tarefa de me tornar mestre.
Agradeço a meu orientador, Rafael Leão, pela disposição e boa vontade desde o primeiro projeto de IC em 2012. Agradeço também a todos os professores e funcionários do IMECC, em particular aos professores Paulo Ruffino e Lucio Centrone por acreditarem em mim e por serem profissionais inspiradores. Agradeço também aos membros da banca de minha defesa por algumas dicas valiosas para a finalização deste trabalho.
Gostaria de agradecer também meus amigos, seja pelos bons momentos ou ainda pelo amparo mútuo nos momentos de desespero coletivo. Enfim, agradeço ao Clube de Regatas do Flamengo, que, mesmo sem a intenção, me forneceu a sanidade necessária, mascarada no ato de torcer, nos piores momentos destes últimos dois anos.
Em seu artigo clássico "On Manifold Homeomorphic to the 7-Sphere", Milnor constrói, por meio de fibrados de esferas, os primeiros exemplos de Esferas Exóticas utili-zando para verificar a exoticidade destas esferas o "invariante Lambda". Posteriormente, Eells e Kuiper constroem no artigo "An invariant for certain smooth manifolds"um in-variante para exoticidade de esferas homotópicas 7-dimensionais, o "inin-variante mu", que nos permite verificar quais das esferas exóticas são, de fato, Esferas de Milnor. Mais recentemente, Crowley e Goette construíram um novo invariante, chamado de "invariante t", que nos permite detectar exoticidade em 7-esferas homológicas racionais 2-conexas. O propósito deste trabalho foi estudar as construções destes invariantes e as ferramentas utilizadas para as construções das mesmas, como Classes Características, Teoria de Morse e Geometria Spin.
Palavras-chave: Topologia diferencial, difeomorfismos, invariantes
In his classic paper "On Manifolds Homeomorphic to the 7-Sphere", Milnor builds, using sphere bundles, the first examples of Exotic Spheres using to verify the exocity of these spheres the "lambda invariant". Later, Eells and Kuiper construct in the paper "An invariant for certain smooth manifolds" an invariant for exoticity of 7-dimensional homotopic spheres, the "mu invariant", which allows us to verify which of
the exotic spheres are, in fact, Milnor’s exotic spheres. More recently, Crowley and
Goette have constructed a new invariant, called the "t-invariant", which allows us to detect exoticity in 2-connected rational homology 7-spheres. The purpose of this work was to study the constructions of these invariants and the tools used to construct them, such as Characteristic Classes, Morse Theory and Spin Geometry.
Introdução 10
1 Teoria de Fibrados 13
1.1 Fibrados Vetoriais . . . 13
1.2 Funções de Clutch . . . 23
1.3 Fibrados Principais e Associados . . . 26
1.4 Classificação de Fibrados Principais . . . 29
2 Classes Características 32 2.1 As Classes de Stiefel-Whitney e de Chern . . . 32
2.2 Propriedades das Classes de Stiefel-Whitney e de Chern . . . 34
2.3 O Princípio da Decomposição e a Existência de Classes Características . . 36
2.4 A Classe de Pontryagin e algumas relações entre Fibrados Vetoriais Reais e Complexos . . . 38
2.5 Sequências Multiplicativas e o Caracter de Chern . . . 40
2.6 Classes Características e Conexões em Fibrados . . . 42
3 Geometria Spin 48 3.1 Álgebras de Clifford e os Grupos Pin e Spin . . . 48
3.2 Estrutura Spin e Operadores de Dirac . . . 52
3.3 Operadores Acoplados . . . 57
3.4 O Teorema do Índice . . . 57
4 Uma Construção Clássica: As Esferas de Milnor 60 4.1 O Teorema de Reeb: Uma caracterização parcial de Esferas . . . 60
4.2 O Invariante 𝜆 . . . . 63
4.3 As Esferas de Milnor . . . 66
4.4 O Invariante 𝜇 de Eells-Kuiper . . . . 68
4.5 A Construção de Gromoll-Meyer . . . 71
5 O t-invariante para Fibrados Quaterniônicos 74 5.1 Fibrados Quaterniônicos de Linha . . . 74
5.2 O 𝜏 -invariante extrínseco . . . . 75
5.3 O t-invariante intrínseco . . . 78
5.4 Classificação de Esferas Homológicas Racionais 2-conexas . . . 82
O problema da classificação de espaços geométricos tem suas raízes na geo-metria grega, em que eram atribuídos a determinadas figuras geométricas planas, como retas, triângulos e círculos, ainda que de maneira primitiva, alguns invariantes, como os ângulos de um triângulo isósceles e o próprio conceito de semelhança de triângulos.
Com o advento da topologia, o interesse na classificação desses espaços ge-ométricos, sendo agora espaços topológicos, era com respeito a homemomorfismos, ou seja, mapas contínuos e inversíveis cuja inversa é também contínua. Em outras pala-vras, buscava-se encontrar espaços cujas topologias eram preservadas por maps contí-nuos. Neste contexto, surgem de modo natural alguns invariantes a nível topológico, como o conceito de compacidade, os axiomas de enumerabilidade, a conexidade, dentre outros.
No entanto, embora estes conceitos fossem satisfatórios a nível topológico, ou
seja, quando lidamos com variedades 𝐶0, ao equipar uma variedade de uma estrutura
diferenciável 𝐶𝑘 esses conceitos ainda eram aplicáveis, mas não distinguiam propriedades
provenientes da estrutura diferenciável em si. Assim, surge de modo natural a seguinte questão:
Existem variedades diferenciáveis 𝑀 ,𝑁 que são homeomorfas, mas não difeomorfas entre si?
Na década de 1950 já eram bastante conhecidas algumas ferramentas mais so-fisticadas para o estudo de espaços topológicos, como grupos de Homologia, Cohomologia e Homotopia. Essa ideia de associar um ente algébrico, como um grupo, a um espaço topológico foi bastante frutífera para a topologia e forneceu, dentre inúmeras coisas, uma base sólida para o desenvolvimento da Teoria de Classes Características.
As classes características, que nada mais eram que um modo perspicaz de asso-ciar a um fibrado vetorial 𝐸 → 𝐵 um elemento na cohomologia de 𝐵, foram fundamentais para que, em Junho de 1956, Milnor desenvolvesse em "On Manifolds Homeomorphic to the 7-Sphere"o primeiro invariante que respondia a pergunta acima no caso em que 𝑀 e
𝑁 fossem esferas 7-dimensionais a nível topológico.
A ideia de Milnor foi aplicar o invariante apresentado, chamado de O Invariante
𝜆, ao espaço total de um fibrado de esferas da forma 𝑆3 → 𝑀 → 𝑆4 e, desse modo,
obteve alguns espaços que eram homeomorfos, mas não difeomorfos, à esfera padrão 𝑆7.
O comportamento fora do esperado apresentado por estes espaços motivou a denominação dos mesmos de Esferas Exóticas.
Entretanto, alguns novos questionamentos surgiram, tanto a nível topológico, como "quais esferas exóticas são, de fato, realizáveis como o espaço total de um fibrado de
esferas?", quanto a nível geométrico, como "Como se comportam as curvaturas de esferas exóticas". Em "An Invariant of Certain Smooth Manifolds", Eells e Kuiper constroem um
invariante, o Invariante 𝜇 que nos fornece a resposta para a primeira pergunta. Já em "An Exotic Sphere with nonnegative sectional curvature", Gromoll e Meyer fornecem um exemplo para a segunda, embora o caso geral permaneça sem resposta.
Além disso, em "Groups of Homotopy Sphere", Kervaire e Milnor demonstram que as classes de cobordismo de esferas homotópicas 7-dimensionais orientadas, denotada
por Θ7, formam um grupo com respeito à soma conexa e este grupo é isomorfo a Z28.
Desse modo, 𝜇 define um mapa injetivo
𝜇 : Θ7 → Q/Z
Mas, como já era sabido em "Groups of Homotopy Spheres"de Milnor e Ker-vaire e provado em "Generalized Poincaré’s Conjecture in dimensions greater than four"de
Smale, todo elemento de Θ7 é homeomorfo à esfera padrão 𝑆7. Desse modo, o invariante
𝜇 classifica as esferas exóticas de dimensão 7 a nível homotópico.
Tendo em mãos a classificação a nível homotópico, em "Kreck-Stolz Invariants for Quaternionic Line Bundles", Crowley e Goette constroem, utilizando fibrados Qua-terniônicos de linha e alguns resultados da teoria de Operadores de Dirac, baseados no trabalho "A diffeomorphism classification of 7-dimensional homegeneous Einstein Mani-folds with 𝑆𝑈 (3) × 𝑆𝑈 (2) × 𝑈 (1)−symmetry"de Kreck e Stolz, um invariante para esferas homológicas racionais 2-conexas, o invariante t. Este invariante, juntamente a uma ex-tensão do invariante 𝜇 de Eells-Kuiper, fornece a classificação destas esferas homológicas quanto a difeomorfismos.
Dedicamos este trabalho para a construção desses invariantes e para o de-senvolvimento de conceitos basilares para o entendimento dos mesmos. No capítulo 2, estudamos alguns elementos da Teoria de Fibrados Vetoriais e Principais. Além de de-monstrarmos o Teorema de Classificação para Fibrados Vetoriais, estudamos funções de
Clutch e demos uma breve exposição da Classificação de Fibrados Principais.
A Teoria de Classes Características é estudada no capítulo 3, em que definimos as classes de Stiefel-Whitney e de Chern e demonstramos algumas de suas propriedades. Desenvolvemos também neste capítulo estas classes como formas exatas, via Cohomologia de de Rham. Abordamos também um pouco sobre sequências multiplicativas e alguns invariantes derivados destas.
Ao longo do capítulo 4 estudamos as construções básicas para Álgebras de Clifford e Operadores de Dirac. Definimos o índice e enunciamos os célebres teoremas de Atyiah-Patodi-Singer para operadores acoplados e não-acoplados.
Os resultados estudados nestes capítulos são fundamentais para estudarmos os invariantes 𝜆, 𝜇 e a construção de Gromoll-Meyer, ao longo do capítulo 5, e o 𝑡−invariante (além de algumas propriedades de fibrados Quaterniônicos de linha)no capítulo 6.
Esperamos do leitor conhecimento prévio em Topologia Algébrica, Topologia Diferencial e algum conhecimento em Geometria Riemanniana.
Teoria de Fibrados
1.1
Fibrados Vetoriais
Esta seção é dedicada ao estudo de Fibrados e suas propriedades básicas. Nosso objetivo neste capítulo é fornecer as bases necessárias para estudarmos certos invariantes conhecidos como Classes Características. Tais invariantes terão papel fundamental no estudo de Esferas Exóticas. Existem divergências na literatura quanto à definição de fibrados (onde alguns autores exigem a trivialidade local como requisito para a definição de fibrados), entretanto ao longo deste capítulo seguiremos as terminologias encontradas em [10] e [14] onde fibrados são definidos de uma maneira bastante geral:
Definição 1.1.1. Dados 𝐸, 𝑀 espaços topológicos e 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 um mapa contínuo
sobrejetivo, dizemos que a tripla (𝐸, 𝑀, 𝜋) é um fibrado. O conjunto 𝜋−1(𝑏), 𝑏 ∈ 𝑀 é
chamado de Fibra sobre 𝑏, 𝐸 é dito o Espaço Total do Fibrado e 𝐵 é o Espaço Base do Fibrado.
Um exemplo imediato de fibrado é o Fibrado Trivial:
Exemplo 1.1.2. Se 𝐵 e 𝐹 são espaços topológicos, então (𝐵 × 𝐹, 𝐵, 𝜋), onde 𝜋 é a
projeção no primeiro fator, é um fibrado cuja fibra é homeomorfa a 𝐹 .
Entretanto, estamos interessados em casos mais particulares da definição acima. Mais especificamente, daremos a cada fibra uma estrutura algébrica e também daremos uma propriedade de trivialidade local. Isto nos levará ao conceito de Fibrado Vetorial.
Definição 1.1.3. Seja 𝐾 um espaço vetorial. Um fibrado (𝐸, 𝐵, 𝜋) é dito um Fibrado
Vetorial de posto 𝑛 se:
a-) Para todo 𝑏 ∈ 𝐵, a fibra 𝜋−1(𝑏) possui estrutura de espaço vetorial de
dimensão 𝑛 isomorfa a 𝐾 (geralmente, 𝐹 é igual a C ou R).
b-) Para todo 𝑏 ∈ 𝐵, existe uma vizinhança aberta 𝑏 ∈ 𝑈 ⊂ 𝐵 e um homeo-morfismo (chamado de trivialização local)
𝜓 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝑈 × 𝐹𝑛
que satisfaz 𝑝1∘ 𝜓 = 𝜋, onde 𝑝1 : 𝑈 × R𝑛→ 𝑈 é a projeção no primeiro fator
e dado 𝑏 ∈ 𝐵, a restrição 𝜓|𝜋−1(𝑏) é linear.
Adotaremos a seguinte nomenclatura: Para um fibrado vetorial (𝐸, 𝐵, 𝜋), se
𝐸 e 𝐵 são variedades de classe 𝐶𝑘 e 𝜋 é um mapa de classe 𝐶𝑘, diremos que o fibrado é
de classe 𝐶𝑘. Se 𝑘 = 0, diremos que o fibrado é um fibrado vetorial topológico e se 𝑘 = ∞,
diremos que o fibrado é um fibrado vetorial suave. Trabalharemos, neste capítulo, a nível de fibrados topológicos. Entretanto, nos capítulos seguintes (em particular, nos capítulos 4 e 5) lidaremos apenas com fibrados vetoriais suaves.
Exemplo 1.1.4. Se 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 é um fibrado vetorial, então 𝜋′ : 𝐸′ → 𝐵′ é um subfibrado
de 𝐸 se 𝐸′ é subespaço de 𝐸, 𝐵′é subespaço de 𝐵 e 𝜋′ = 𝜋|𝐸′. Usualmente, temos 𝐵 = 𝐵′.
Exemplo 1.1.5. Se 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 é um fibrado vetorial de posto 𝑛 então 𝜋 × 𝜋 : 𝐸 × 𝐸 →
𝐵 × 𝐵 é um fibrado vetorial de posto 2𝑛. De fato, se 𝜓 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝑈 × F𝑛 é uma
trivialização local desses fibrados, então, reorganizando coordenadas, 𝜓 × 𝜓 : 𝜋−1(𝑈 ) ×
𝜋−1(𝑈 ) → 𝑈 × 𝑈 × F2𝑛 é uma trivialização local para 𝐸 × 𝐸 .
Definição 1.1.6. Seja 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 um fibrado. Um mapa 𝑠 : 𝐵 → 𝐸 é uma seção de 𝜋
se, para todo 𝑏 ∈ 𝐵, 𝜋 ∘ 𝑠(𝑏) = 𝑏. Se o fibrado é de classe 𝐶𝑘, denotamos o conjunto da
seções de classe 𝐶𝑘 desse fibrado por Γ(𝐸).
Exemplo 1.1.7. Seja 𝑀 uma variedade suave. As seções 𝐶∞ do fibrado tangente de 𝑀 são os campos vetoriais 𝑋 : 𝑀 → 𝑇 𝑀 .
Podemos também considerar mapas entre fibrados, de modo que esses mapas preservem certas propriedades desejadas. Damos então a seguinte definição:
Definição 1.1.8. Sejam 𝜉1 = (𝐸, 𝐵, 𝜋) e 𝜉2 = (𝐸′, 𝐵′, 𝜋′) dois fibrados. Um morfismo
entre 𝜉1 e 𝜉2 é um par de mapas 𝑢 : 𝐸 → 𝐸′ e 𝑓 : 𝐵 → 𝐵′ contínuos satisfazendo
𝜋′∘ 𝑢 = 𝑓 ∘ 𝜋. Se 𝐵 = 𝐵′, pedimos que 𝑓 = 𝐼𝑑. Se 𝑢 possuir uma inversa, então 𝑢 é dito
um isomorfismo de fibrados.
No caso em que (𝐸, 𝐵, 𝜋) e (𝐸′, 𝐵′, 𝜋′) são fibrados vetoriais, pedimos também
que 𝑢|𝜋−1(𝑥) : 𝜋−1(𝑥) → 𝜋′−1(𝑓 (𝑥)) seja uma transformação linear com respeito às
estru-turas de espaço vetorial nas fibras, para todo 𝑥 ∈ 𝐵. Nesse caso, diremos que a dupla (𝑢, 𝑓 ) é um morfismo de fibrados vetoriais.
Teorema 1.1.9. Sejam (𝐸, 𝐵, 𝜋) e (𝐸′, 𝐵, 𝜋′) dois fibrados vetoriais. Um morfismo de
fibrados vetoriais 𝑢 : 𝐸 → 𝐸′ é um isomorfismo se, e somente se, 𝑢|𝜋−1(𝑥) : 𝜋−1(𝑥) →
𝜋′−1(𝑥) é isomorfismo, para todo 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑓 é difeomorfismo.
Suponha que 𝑢|𝜋−1(𝑥) : 𝜋−1(𝑥) → 𝜋′−1(𝑥) é isomorfismo, para todo 𝑥 ∈ 𝐵. Seja
𝑣 : 𝐸′ → 𝐸 a função definida de modo que a restrição de 𝑣 a 𝜋′−1(𝑥) seja igual a inversa
da transformação linear 𝑢|𝜋−1(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐵.
Mostraremos que 𝑣 é contínua: Seja 𝑈 ⊂ 𝐵 um aberto com trivializações locais
𝜓 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝐵 × 𝐹𝑛 de 𝐸 e 𝜓′ : 𝜋′−1(𝑈 ) → 𝐵 × 𝐹𝑛 de 𝐸′. É suficiente mostrar que
𝑣 : 𝜋′−1(𝑈 ) → 𝜋−1(𝑈 ) é contínua, para todo aberto 𝑈 como acima. Mas, (𝜓′)−1𝑢𝜓 tem a
forma (𝑏, 𝑥) ↦→ (𝑏, 𝑓𝑏(𝑥)), onde 𝑏 ↦→ 𝑓𝑏 é uma aplicação de 𝑈 → 𝐿𝑖𝑛(𝐹𝑛, 𝐹𝑛) ∼= 𝑀𝑛×𝑛(𝐹 )
e portanto, 𝜓−1𝑣𝜓′ tem a forma (𝑏, 𝑥) ↦→ (𝑏, 𝑓𝑏−1(𝑥)) e segue daí que 𝑣 é contínua. Logo,
𝑢 é isomorfismo.
Exemplo 1.1.10. Sejam 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 e 𝜋′ : 𝐸′ → 𝐵 dois fibrados vetoriais sobre a mesma
base 𝐵. Definimos a Soma de Whitney 𝐸 ⊕ 𝐸′ como sendo o fibrado (𝐸 ⊕ 𝐸′, 𝐵, 𝑝) onde:
𝐸 ⊕ 𝐸′ = {(𝑥, 𝑥′) ∈ 𝐸 ⊕ 𝐸′; 𝜋(𝑥) = 𝜋′(𝑥′)} ⊂ 𝐸 × 𝐸 e
𝑝 : 𝐸 ⊕ 𝐸′ → 𝐵
definida por 𝑝(𝑥, 𝑥′) = 𝜋(𝑥) = 𝜋′(𝑥′), com:
𝑝−1(𝑏) = 𝜋−1(𝑏) × 𝜋′−1(𝑏) ⊂ 𝐸 × 𝐸′
.
Assim, 𝑝 : 𝐸 ⊕𝐸′ → 𝐵 é fibrado vetorial cuja fibra é isomorfa a 𝜋−1(𝑏)⊕𝜋′−1(𝑏).
De fato, se 𝜓 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝑈 × F𝑛 e 𝜓′ : 𝜋′−1
(𝑈 ) → 𝑈 × F𝑚 são trivializações locais de 𝐸
e 𝐸′, respectivamente, então 𝜓 ⊕ 𝜓′ : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝑈 × F𝑛+𝑚 é uma trivialização local para
𝐸 ⊕ 𝐸′
Uma construção que será essencial neste capítulo é a seguinte:
Exemplo 1.1.11. Sejam (𝐸, 𝐵, 𝜋) um fibrado e 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 uma aplicação contínua.
Definimos o pullback de 𝐸 via 𝑓 como sendo o fibrado (𝑓*(𝐸), 𝐴, 𝜋′), onde
𝑓*(𝐸) = {(𝑎, 𝑒) ∈ 𝐴 × 𝐸; 𝑓 (𝑎) = 𝜋(𝑒)}
e 𝜋′ : 𝑓*(𝐸) → 𝐴 é definida por 𝜋′(𝑎, 𝑒) = 𝑎. Definimos também a aplicação 𝑓𝐸 : 𝑓*(𝐸) →
𝐸 por 𝑓𝐸(𝑎, 𝑒) = 𝑒.
Teorema 1.1.12. Seja 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 um fibrado vetorial de posto 𝑘 e 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 uma
aplicação contínua. Então, 𝜋′ : 𝑓*(𝐸) → 𝐴 admite uma única estrutura de fibrado vetorial
tal que a dupla de mapas (𝑓𝐸, 𝑓 ) é um morfismo de fibrados. Além disso, a restrição de
Demonstração. A fibra 𝜋′−1(𝑎) é {𝑥}×𝜋−1(𝑓 (𝑎)), para todo 𝑎 ∈ 𝐴. Para todo (𝑎, 𝑒1), (𝑎, 𝑒2) ∈
𝜋′−1(𝑎) e 𝑘 ∈ 𝐹 , defina (𝑎, 𝑒1) + 𝑘(𝑎, 𝑒2) = (𝑎, 𝑒1+ 𝑘𝑒2) ∈ 𝜋′−1(𝑎). Como 𝑓𝐸(𝑎, 𝑒) = 𝑒,
a restrição de 𝑓𝐸 a qualquer fibra 𝜋′−1(𝑎) é um isomorfismo linear, o que nos define uma
única estrutura de espaço vetorial em 𝜋′−1(𝑎), para todo 𝑎 ∈ 𝐴.
Enfim, se 𝜓 : 𝑈 × 𝐹𝑘 → 𝜋−1(𝑈 ) é trivialização local de 𝐸, defina 𝜓′ : 𝑓−1(𝑈 ) ×
𝐹𝑘 → 𝜋′−1(𝑓−1(𝑈 )) por
𝜓′(𝑎, 𝑥) = (𝑎, 𝜓(𝑓 (𝑎), 𝑥))
Segue que 𝜓′ é uma trivialização local para 𝑓*(𝐸).
A partir disso, podemos mostrar o seguinte resultado:
Proposição 1.1.13. Sejam (𝐸, 𝐵, 𝜋) e (𝐸′, 𝐵′, 𝜋′) dois fibrados vetoriais. Para um mapa
𝑓 : 𝐵′ → 𝐵, os fibrados 𝐸′ e 𝑓*(𝐸) são isomorfos se, e somente se, existe um morfismo
(𝑢, 𝑓 ) : (𝐸′, 𝐵′, 𝜋′) → (𝐸, 𝐵, 𝜋) tal que 𝑢 é isomorfismo em cada fibra de 𝐸′
Demonstração. Observe que, se (𝑢, 𝑓 ) é morfismo entre os fibrados, então 𝑢 pode ser
escrita como 𝑓𝐸 ∘ 𝑣, onde 𝑣 : 𝐸′ → 𝑓*(𝐸) é dada por 𝑣(𝑦) = (𝜋′(𝑦), 𝑢(𝑦)). Além disso,
𝑣 é um morfismo de fibrados e, pelo que foi visto anteriormente, 𝑣 é um isomorfismo se,
e somente se, 𝑣 é isomorfismo em cada fibra, o que é equivalente a 𝑢 ser isomorfismo em cada fibra.
É fácil verificar que o pullback possui as seguintes propriedades:
a-)𝑓*(𝑔*(𝐸)) = (𝑔 ∘ 𝑓 )*(𝐸)
b-)𝐼𝑑*(𝐸) = 𝐸
c-)𝑓*(𝐸1⊕ 𝐸2) = 𝑓*(𝐸1) ⊕ 𝑓*(𝐸2)
para quaisquer fibrados vetoriais 𝐸, 𝐸1, 𝐸2 e mapas 𝑓,𝑔. O próximo resultado será
neces-sário para calcularmos a classe de Pontryagin de um certo fibrado, como veremos em um capítulo posterior:
Proposição 1.1.14. Seja 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial com 𝑀 variedade paracompacta.
Então,
𝑇 𝐸 ∼= 𝜋*(𝐸 ⊕ 𝑇 𝑀 )
Demonstração. Como 𝑀 é paracompacta, existe uma conexão (no sentido de [2]) 𝐻 tal
que 𝑇 𝐸 = 𝐻 ⊕ 𝑉 , onde 𝑉 = ker 𝑑𝜋. Mostremos que 𝐻 ∼= 𝜋*(𝑇 𝑀 ) e que 𝑉 ∼= 𝜋*(𝐸):
Como 𝑉 = ker 𝑑𝜋, segue que 𝜑 : 𝐻 → 𝑇 𝑀 dada por 𝜑(𝑣) = 𝑑𝜋(𝑣) é
isomor-fismo entre as fibras. Segue que 𝐻 ∼= 𝜋*(𝑇 𝑀 ).
Agora, defina 𝜓 : 𝜋*(𝐸) → 𝑉 por 𝜓(𝑎, 𝑏) = 𝑑
𝑑𝑡|𝑡=0(𝑎 + 𝑏𝑡). Temos que 𝜓 é linear
e injetiva nas fibras. Como as dimensões das fibras são iguais, segue que 𝜓 é isomorfismo entre as fibras de fibrados sobre a mesma base. Logo, 𝜓 é um isomorfismo de fibrados.
Exemplo 1.1.15. Sejam 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 um fibrado vetorial e 𝑈𝑖, 𝑈𝑗 ⊂ 𝐵 dois abertos
trivializantes desse fibrado, no sentido que existem duas trivializações 𝜑𝑖,𝑗 : 𝜋−1(𝑈𝑖,𝑗) →
𝑈𝑖,𝑗 × 𝐹𝑛 e suponha que 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 ̸= ∅.
A composição
𝜑𝑖∘ 𝜑−1𝑗 : (𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗) × 𝐹𝑛→ (𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗) × 𝐹𝑛
é inversível e, pelas propriedades das trivializações, temos que para cada 𝑥 ∈ 𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗, a
restrição 𝜑𝑖∘ 𝜑−1𝑗 (𝑥, .) determina uma transformação linear inversível.
Definimos a função de transição para o fibrado vetorial 𝐸 associada a {𝑈𝑖, 𝜑𝑖}
e {𝑈𝑗, 𝜑𝑗} como sendo a aplicação 𝑔𝑖𝑗 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝑙(𝑛, 𝐹 ) dado por
𝑔𝑖𝑗(𝑥) = 𝜑𝑖∘ 𝜑−1𝑗 (𝑥, .)
É claro que as funções de transição satisfazem 𝑔𝑖𝑖 = 𝐼 e 𝑔𝑖𝑗𝑔𝑗𝑖 = 𝐼. As funções
de transição também satisfazem a chamada condição de cociclo:
𝑔𝑖𝑗𝑔𝑗𝑘𝑔𝑘𝑖 = 𝐼
A importância das funções de transição se devem ao seguinte teorema:
Teorema 1.1.16. Sejam 𝑀 uma variedade suave, {𝑈𝑖; 𝑖 ∈ 𝐼} uma cobertura de 𝑀 por
abertos e
𝑇 = {𝑔𝑖,𝑗 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝐿(𝑛, 𝐹 )}
uma família de funções suaves que satisfazem, para quaisquer 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝐼, as seguintes condições:
𝑔𝑖𝑖= 𝐼
𝑔𝑖𝑗𝑔𝑗𝑘𝑔𝑘𝑖 = 𝐼
Então, existe um único fibrado vetorial 𝐸 → 𝑀 com trivializações {𝑈𝑖, 𝜑𝑖} cujas funções
de transição coincidem com a família 𝑇 .
Demonstração. Para mostrar a existência do fibrado 𝐸, defina
𝐸 = (⨆︁
𝑖∈𝐼
𝑖 × 𝑈𝑖× 𝐹𝑛)/ ∼
por meio da identificação (𝑗, 𝑥, 𝑣) ∼ (𝑖, 𝑥, 𝑔𝑖𝑗(𝑥)𝑣), para todo 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑥 ∈ 𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗, 𝑣 ∈ 𝐹𝑛.
É fácil verificar que ∼ define uma relação de equivalência e podemos dar a 𝐸 a topologia quociente.
Seja 𝑞 : ⨆︀
𝑖∈𝐼𝑖 × 𝑈𝑖 × 𝐹𝑛 → 𝐸 a aplicação quociente e defina a projeção
Se 𝑗 ∈ 𝐼 e 𝑊 ⊂ 𝑈𝑗× 𝐹𝑛 é um subconjunto aberto, então
𝑞−1(𝑞(𝑗 × 𝑊 )) = ⨆︁
𝑖∈𝐼
𝑖 × ℎ𝑖𝑗(𝑊 )
onde ℎ𝑖𝑗 : (𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗) × 𝐹𝑛 → (𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗) × 𝐹𝑛 é dado por ℎ𝑖𝑗(𝑥, 𝑣) = (𝑥, 𝑔𝑖𝑗(𝑥)𝑣). Disso, é
fácil ver que 𝑞 é um mapa contínuo.
A restrição 𝑞𝑖 = 𝑞|𝑖×𝑈𝑖×𝐹𝑛 é injetiva e portanto {(𝑞𝑖(𝑖 × 𝑈𝑖× 𝐹
𝑛), 𝑞−1
𝑖 ); 𝑖 ∈ 𝐼}
fornece um atlas para 𝐸. Além disso, 𝑞𝑖𝑞𝑗−1 é igual a ℎ𝑗𝑖, para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼. Portanto,
este atlas fornece a 𝐸 uma estrutura diferenciável.
É fácil verificar que 𝜋 é uma aplicação suave. Como
𝜋1 = 𝜋 ∘ 𝑞𝑖 : 𝑖 × 𝑈𝑖× 𝐹𝑛 → 𝑈𝑖
podemos, para cada 𝑥 ∈ 𝑈𝑖, munir cada fibra de uma estrutura de espaço vetorial a partir
do difeomorfismo 𝑞𝑖, exigindo que a restrição de 𝑞𝑖 a cada fibra seja um isomorfismo. Essa
estrutura independe do índice 𝑖, uma vez que a transição 𝑞𝑖𝑞𝑗−1 é um isomorfismo, o que
completa a demonstração da existência de 𝐸.
Para a unicidade de 𝐸, seja 𝜋′ : 𝐸′ → 𝑀 outro fibrado vetorial como no
enunciado. Então, pode-se verificar facilmente que o mapa 𝑓 definido por
𝑓 : 𝑣 ∈ 𝐸′ ↦→ [𝑖, 𝜑𝑖(𝑣)] ∈ 𝐸
se 𝑣 ∈ 𝜋′(𝑣), é bem definido e define um isomorfismo de fibrados vetoriais
Exemplo 1.1.17 (Produto Tensorial). Se 𝐸1 → 𝐵 e 𝐸2 → 𝐵 são fibrados vetoriais com
funções de transição 𝑔1
𝑖𝑗 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝑙(𝑛1, 𝐹 ) e 𝑔2𝑖𝑗 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝑙(𝑛2, 𝐹 ), respectivamente
(restringindo abertos, se necessário).
É fácil verificar que o mapa 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔1𝑖𝑗 ⊗ 𝑔𝑖𝑗2 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝑙(𝑛1𝑛2, 𝐹 ) satisfaz as
hipóteses do Teorema 3.
Desse modo, obtemos um fibrado vetorial pelo teorema 3 que chamamos de
Produto tensorial entre 𝐸1 e 𝐸2, que denotamos por 𝐸1⊗ 𝐸2.
Exemplo 1.1.18 (Potência Exterior). Seja 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial de posto 𝑛 com
funções de transição 𝑔𝑖𝑗 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝑙(𝑛, 𝐹 ). As funções Λ𝑘𝑔 𝑖𝑗 : 𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝑙 (︁(︁𝑛 𝑘 )︁
, 𝐹)︁ satisfazem as condições do Teorema
acima e o fibrado obtido por meio deste é chamado de k-ésima potência exterior de 𝐸 e
denotado por Λ𝑘(𝐸), para qualquer 𝑘 ∈ N com 𝑘 ≤ 𝑛.
Observe que, se 𝑛 = 𝑘, então 𝐺𝑙(︁(︁𝑛𝑘)︁, 𝐹 ))︁∼= 𝐹 ∖ {0}. Então, é fácil ver que:
e, por esse motivo, chamamos o fibrado Λ𝑛(𝐸) de Fibrado Determinante.
Agora, estamos interessados em estudar algumas propriedades homotópicas de Fibrados Vetoriais. Tais propriedades nos levarão ao Teorema de classificação de Fibrados Vetoriais. Precisaremos dos dois lemas a seguir:
Lema 1.1.19. Seja (𝐸, 𝐵 × [𝑎, 𝑏], 𝜋) um fibrado vetorial. Então, 𝐸 é trivial se suas
restrições sobre 𝐵 × [𝑎, 𝑐] e 𝐵 × [𝑐, 𝑏] são triviais, para algum 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏).
Demonstração. Sejam 𝐸1 = 𝜋−1(𝐵 × [𝑎, 𝑐]) e 𝐸2 = 𝜋−1(𝐵 × [𝑐, 𝑏]) as restrições de 𝐸 e
sejam também ℎ1 : 𝐸1 → 𝐵 × [𝑎, 𝑐] × 𝐹𝑘 e ℎ2 : 𝐸2 → 𝐵 × [𝑐, 𝑏] × 𝐹𝑘 os isomorfismos com
o fibrado trivial.
Temos que ℎ1 e ℎ2 não coincidem necessariamente em 𝜋−1(𝐵 × {𝑐}), mas, se
substituirmos ℎ2 por 𝑓 ∘ ℎ2, onde 𝑓 : 𝐵 × [𝑐, 𝑏] × 𝐹𝑘 → 𝐵 × [𝑐, 𝑏] × 𝐹𝑘 é o isomorfismo
que, em cada 𝐵 × {𝑥} × 𝐹𝑘 é dado por ℎ
1ℎ−12 : 𝐵 × {𝑐} × 𝐹𝑘 → 𝐵 × {𝑐} × 𝐹𝑘, teremos
que ℎ1 e 𝑓 ∘ ℎ2 coincidirão, o que nos dá uma trivialização global de 𝐸.
Lema 1.1.20. Seja (𝐸, 𝐵 × [0, 1], 𝜋) um fibrado vetorial. Então, existe uma cobertura
aberta {𝑈𝛼} de 𝐵 tal que a restrição de 𝐸 sobre 𝑈𝛼× [0, 1] é trivial, para todo 𝛼.
Demonstração. Para cada 𝑏 ∈ 𝐵, usando a trivialidade local de 𝐸 e a compacidade de
[0, 1], podemos encontrar 𝑈𝑏,1, . . . , 𝑈𝑏,𝑘 abertos e uma partição {𝑡0 = 0, . . . , 𝑡𝑘 = 1} tais
que a restrição de 𝐸 a 𝑈𝑏,𝑖× [𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖] é trivial.
Do lema anterior, segue que 𝐸 é trivial sobre 𝑈𝛼× [0, 1], onde 𝑈𝛼 =⋂︀𝑘𝑖=1𝑈𝑏,𝑖
Agora, podemos provar o seguinte resultado:
Teorema 1.1.21. Seja 𝐵 um espaço paracompacto. Então, as restrições de qualquer
fibrado vetorial 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 × [0, 1] sobre 𝐵 × {0} e 𝐵 × {1} são isomorfas.
Demonstração. Por uma das propriedades anteriores, podemos tomar uma cobertura {𝑈𝛼}
de 𝐵 de modo que 𝐸 é trivial sobre cada 𝑈𝛼 × 𝐼. Se 𝐵 é compacto e Hausdorff, então
existem finitos elementos da cobertura, a dizer, {𝑈𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛} que cobrem 𝐵 e existe
uma partição da unidade {𝜑𝑖} subordinada a essa cobertura. Para cada 𝑖 ≥ 0, defina:
𝜓𝑖 = 𝜑1+ · · · + 𝜑𝑖
de onde tiramos, em particular, que 𝜓0 = 0 e 𝜓𝑛= 1.
Defina então 𝐵𝑖 = {(𝑥, 𝜓𝑖(𝑥)); 𝑥 ∈ 𝐵} e considere a restrição do fibrado 𝜋𝑖 =
𝜋|𝐸𝑖 : 𝐸𝑖 → 𝐵𝑖. Considere também o homeomorfismo (𝑥, 𝜓𝑖(𝑥)) ∈ 𝐵𝑖 ↦→ (𝑥, 𝜓𝑖−1(𝑥)) ∈
ℎ𝑖(𝑥, 𝜓𝑖(𝑥), 𝑣) = (𝑥, 𝜓𝑖−1(𝑥), 𝑣) para pontos em 𝜋−1(𝑈𝑖× 𝐼) = 𝑈𝑖× 𝐼 × R𝑚 e ℎ𝑖 = 𝐼𝑑 para
quaisquer outros pontos. Daí, ℎ = ℎ1∘ ℎ2· · · ∘ ℎ𝑛 nos fornece o isomorfismo desejado.
Para o caso em que 𝐵 é paracompacto, dada uma cobertura {𝑈𝛼} de 𝐵,
po-demos tomar uma cobertura enumerável {𝑉𝑖} e uma partição da unidade 𝜑𝑖 subordinada
a essa cobertura, tal que cada 𝑉𝑖 é a união disjunta de abertos contidos em algum 𝑈𝛼.
Disso, temos que 𝐸 é trivial sobre cada 𝑉𝑖× 𝐼 e defina 𝜓𝑖, 𝐸𝑖 e 𝐵𝑖 como anteriormente.
Podemos construir, como anteriormente, homeomorfismos ℎ𝑖 : 𝐸𝑖 → 𝐸𝑖−1 e obter que
ℎ = ℎ1∘ ℎ2∘ · · · ∘ ℎ𝑛 é o isomorfismo desejado.
Corolário 1.1.22. Sejam 𝐴 um espaço paracompacto, 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 um fibrado vetorial e
𝑓, 𝑔 : 𝐴 → 𝐵 mapas homotópicos. Então, 𝑓*(𝐸) e 𝑔*(𝐸) são fibrados isomorfos.
Demonstração. Seja 𝐹 : 𝐴 × [0, 1] → 𝐵 uma homotopia entre 𝑓 e 𝑔. Então, as restrições
de 𝐹*(𝐸) sobre 𝐴 × {0} e 𝐴 × {1} são, respectivamente, 𝑓*(𝐸) e 𝑔*(𝐸). O resultado segue
do teorema anterior.
Denotando por 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝐵) o conjunto das classes de isomorfismo de fibrados
vetoriais de posto 𝑛 sobre 𝐵, temos que:
Corolário 1.1.23. Uma equivalência homotópica entre espaços 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 induz uma
bijeção 𝑓* : 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝐵) → 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝐴). Em particular, todo fibrado vetorial sobre base contrátil
é trivial.
Demonstração. Se 𝑔 é a inversa homotópica de 𝑓 , então 𝑔*𝑓* = 𝐼𝑑* = 𝐼𝑑 e 𝑓*𝑔* = 𝐼𝑑* = 𝐼𝑑
Encerraremos esta seção com a demonstração do Teorema de Classificação de Fibrados Vetoriais. Para tanto, precisaremos estudar o chamado Fibrado Universal(ou Tautológico):
Exemplo 1.1.24. Seja 𝑛 ≤ 𝑘 e defina a Grasmanniana de n-planos como o conjunto
𝐺𝑛(R𝑘) = {𝑉 ⊂ R𝑘; 𝑉 é subespaço vetorial 𝑛-dimensional de R𝑘}. Para darmos a esse
conjunto uma topologia, definimos a Variedade de Stiefel 𝑉𝑛(R𝑘) = {𝑣 ⊂ R𝑘; 𝑣 é
referen-cial 𝑛-dimensional ortonormal de R𝑘}.
Sabemos que a ação de elementos de 𝑂(𝑘) em um 𝑛-referencial resulta em um
𝑛-referencial. O subgrupo estabilizador de um certo 𝑛-referencial é dado por 𝑂(𝑘 − 𝑛) e
disso, segue que a ação de 𝑂(𝑘) em 𝑉𝑛(R𝑘) é transitiva e que
𝑉𝑛(R𝑘) ∼= 𝑂(𝑘)/𝑂(𝑘 − 𝑛)
𝑉𝑛(R𝑘) → 𝐺𝑛(R𝑘)
que associa a cada referencial 𝑛-dimensional ortonormal o subespaço gerado por esses
vetores e podemos dar a 𝐺𝑛(R𝑘) a topologia quociente com respeito a sobrejeção acima.
É possível também mostrar que
𝐺𝑛(R𝑘) ∼= 𝑂(𝑘)/(𝑂(𝑘 − 𝑛) × 𝑂(𝑛))
de onde segue que 𝐺𝑘(R𝑘) é uma variedade de dimensão 𝑘(𝑘 − 𝑛).
As inclusões R𝑘 ⊂ R𝑘+1 ⊂ . . . induzem inclusões 𝐺
𝑛(R𝑘) ⊂ 𝐺𝑛(R𝑘+1) ⊂ . . . . Defina então 𝐺𝑛(R∞) = ⋃︁ 𝑘 𝐺𝑛(R𝑘)
e dê a esse conjunto a topologia do limite direto. Observe também que 𝐺𝑛(R𝑘) é compacto.
Considere agora os conjuntos 𝐸𝑛(R𝑘) = {(𝑉, 𝑥) ∈ 𝐺𝑛(R𝑘) × R𝑘; 𝑥 ∈ 𝑉 } e note que temos
inclusões 𝐸𝑛(R𝑘) ⊂ 𝐸𝑛(R𝑘+1) ⊂ . . . , onde definimos:
𝐸𝑛(R∞) =
⋃︁
𝑘
𝐸𝑛(R𝑘)
com a topologia do limite direto. Por fim, temos uma projeção 𝜋 : 𝐸𝑛(R𝑘) → 𝐺𝑛(R𝑘)
dada por 𝜋(𝑉, 𝑥) = 𝑉 .
Proposição 1.1.25. Como defido acima, 𝜋 : 𝐸𝑛(R𝑘) → 𝐺𝑛(R𝑘) é fibrado vetorial, tanto
para 𝑘 finito quanto infinito, chamado de fibrado canônico ou tautológico. Denotamos esse fibrado por 𝛾𝑛𝑘.
Demonstração. Suponha que 𝑘 é finito. Para cada 𝑉 ∈ 𝐺𝑛(R𝑘), seja 𝑝𝑉 a projeção
ortogonal em 𝑉 e seja 𝑈𝑉 = {𝑊 ∈ 𝐺𝑛(R𝑘); a dimensão de 𝑝𝑉(𝑊 ) é igual a 𝑛}. Em
particular, 𝑉 ∈ 𝑈𝑉. Mostraremos que 𝑈𝑉 é aberto em 𝐺𝑛(R𝑘) e que o mapa da forma
ℎ : (𝑊, 𝑥) ∈ 𝜋−1(𝑈𝑉) ↦→ (𝑊, 𝑝𝑉(𝑥)) ∈ 𝑈𝑉 × 𝑉
nos fornece uma trivialização local de 𝐸𝑛(R𝑘).
Mostrar que 𝑈𝑉 é aberto é o mesmo que mostrar que sua imagem inversa
pela sobrejeção natural 𝑉𝑛(R𝑘) → 𝐺𝑛(R𝑘) é aberta. Mas, essa imagem inversa consiste
de referenciais ortonormais 𝑣1, . . . , 𝑣𝑛 tais que {𝑝𝑉(𝑣1), . . . , 𝑝𝑉(𝑣𝑛)} forma um conjunto
linearmente independente. Seja 𝐴 a matriz de 𝑝𝑉 com respeito à base canônica de R𝑘
e qualquer base fixada de 𝑉 . Pelas condições sobre 𝑣1, . . . , 𝑣𝑛, segue que a matriz com
segue que o conjunto de referenciais que tornam a matriz, como descrita acima,
não-singular é um conjunto aberto em 𝑉𝑛(R𝑘).
A bijetividade de ℎ e a linearidade nas fibras é clara. Mostraremos que ℎ
e ℎ−1 são contínuas. Dado 𝑊 ∈ 𝑈𝑉, existe uma única transformação linear inversível
𝐿𝑊 ∈ 𝐸𝑛𝑑(R𝑘) cuja restrição a 𝑊 é 𝑝𝑉 e é igual a identidade em 𝑉⊥. Então, a matriz
de 𝐿𝑊 possui uma dependência contínua de 𝑊 . De fato, podemos escrever a matriz
[𝐿𝑊] = 𝐴𝐵−1 tal que:
i-) 𝐵 leva a base canônica de R𝑘 em 𝑣
1, . . . , 𝑣𝑛, 𝑣𝑛+1, . . . , 𝑣𝑘 com {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛}
formando base ortonormal de 𝑊 e {𝑣𝑛+1, . . . , 𝑣𝑘} uma base fixada de 𝑉⊥.
ii-) 𝐴 leva a base canônica de R𝑘 em 𝑝
𝑉(𝑣1), . . . , 𝑝𝑉(𝑣𝑛), 𝑣𝑛+1, . . . , 𝑣𝑘
Como 𝐴 e 𝐵 dependem continuamente de 𝑣1, . . . , 𝑣𝑛, segue que 𝐿𝑊 depende
continuamente de 𝑣1, . . . , 𝑣𝑛. Mas, uma vez que 𝐿𝑊 depende apenas de 𝑊 e não da base
escolhida, segue que 𝐿𝑊 depende continuamente de 𝑊 , uma vez que 𝐺𝑛(R𝑘) possui a
topologia quociente advinda de 𝑉𝑛(R𝑘). Daí, como ℎ(𝑊, 𝑥) = (𝑊, 𝐿𝑊(𝑥)), segue que ℎ é
contínua e, da mesma forma, como ℎ−1(𝑊, 𝑦) = (𝑊, 𝐿−1𝑊(𝑦)), segue que ℎ−1 é contínua e,
portanto, ℎ é trivialização local de 𝐸𝑛(R𝑘).
Se 𝑘 é infinito, tome 𝑈𝑉 como sendo a união de todos os 𝑈𝑉𝑘 para os casos em
que 𝑘 é finito e as trivializações acima justapostas fornecem uma trivialização local com
respeito a esse 𝑈𝑉, onde a continuidade é imediata, uma vez que consideramos a topologia
fraca, o que encerra a demonstração.
Fixemos as notações 𝐺𝑛 = 𝐺𝑛(R∞), 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛(R∞) e o fibrado 𝐸𝑛 → 𝐺𝑛 será
denotado por 𝛾𝑛.
Teorema 1.1.26. Seja 𝐵 um espaço paracompacto. Então, o mapa [𝐵, 𝐺𝑛] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝐵),
[𝑓 ] ↦→ 𝑓*(𝐸𝑛) é uma bijeção.
Demonstração. Seja 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 um fibrado vetorial real. A existência de um mapa
classificador 𝑓 : 𝐵 → 𝐺𝑛 com 𝑓*(𝐸𝑛) ∼= 𝐸 é equivalente a existência de um mapa
𝑔 : 𝐸 → R∞ que é injetivo e linear em cada uma das fibras. De fato, suponha que exista tal 𝑓 . Temos então o seguinte diagrama comutativo
𝐸 "" ∼ =// 𝑓*(𝐸𝑛) ˜ 𝑓 // 𝐸𝑛 𝜋2 // R∞ 𝐵 𝑓 //𝐺𝑛
onde 𝜋2 é a projeção na segunda coordenada. É claro que o mapa 𝜋2∘ ˜𝑓 é injetivo e linear
nas fibras e a partir disso, basta compor com o isomorfismo dado. Por outro lado, se existe
𝑔 : 𝐸 → R∞ injetiva e linear nas fibras, basta definir 𝑓 : 𝐵 → 𝐺𝑛 por 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝜋−1(𝑥)).
O mapa [𝐵, 𝐺𝑛] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝐵) é sobrejetivo: Sejam 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 um fibrado
Como 𝐵 é paracompacto, então existe uma subcobertura enumerável {𝑈𝑖} e uma partição
da unidade {𝜑𝑖} com suporte nessa subcobertura. Seja 𝑔𝑖 : 𝜋−1(𝑈𝑖) → R𝑛 a composição
da trivialização de 𝐸 sobre 𝑈𝑖 composta com a projeção em R𝑛. Mas, a aplicação
𝐹𝑖 : 𝑣 ∈ 𝐸 ↦→ 𝜑𝑖(𝜋(𝑣))𝑔𝑖(𝑣) ∈ R𝑛
possui uma extensão a um mapa 𝐸 → R𝑛, que é nula em pontos não pertencentes a
𝜋−1(𝑈𝑖). Os mapas 𝐹𝑖, como definidos acima, são coordenadas para um mapa 𝑔 : 𝐸 →
(R𝑛)∞
= R∞ que é claramente injetivo e linear nas fibras de 𝐸.
O mapa [𝐵, 𝐺𝑛] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝐵) é injetivo: Se 𝐸 ∼= 𝑓0*(𝐸𝑛) e 𝐸 ∼= 𝑓1*(𝐸𝑛), para
dois mapas 𝑓0, 𝑓1 : 𝐵 → 𝐺𝑛, então os mapas 𝑔0 e 𝑔1, como definidos no começo desta
demonstração, são homotópicos. De fato, temos uma homotopia 𝐿𝑡: R∞→ R∞ dada por
𝐿𝑡(𝑥1, 𝑥2, . . . ) = (1 − 𝑡)(𝑥1, 𝑥2, . . . ) + 𝑡(𝑥1, 0, 𝑥2, 0, . . . )
e para cada 𝑡, 𝐿𝑡 é um mapa linear cujo núcleo é {0}, ou seja, 𝐿𝑡 é um mapa injetivo
para cada 𝑡. Considere então a composição 𝐿𝑡 ∘ 𝑔0 nos fornece uma homotopia entre
𝑔0 e ˜𝑔0, que possui as coordenadas ímpares iguais às coordenadas (reordenadas) de 𝑔0.
Podemos construir uma homotopia análoga entre 𝑔1 e ˜𝑔1, com as coordenadas pares iguais
às coordenadas (reordenadas) de 𝑔1. Daí, 𝑔𝑡= (1−𝑡) ˜𝑔0+𝑡 ˜𝑔1fornece a homotopia desejada.
O mapa 𝑓𝑡(𝑥) = 𝑔𝑡(𝜋−1(𝑥)) fornece uma homotopia entre 𝑓0 e 𝑓1, o que encerra
a demonstração.
Podemos definir os conceitos acima de maneira análoga para fibrados vetoriais complexos. A mesma construção feita acima vale para esses fibrados, de onde obtemos
uma bijeção entre 𝑉 𝑒𝑐C(𝑀 ) e [𝑀, 𝐺𝑛(C∞)]
1.2
Funções de Clutch
Nesta seção estudaremos um modo de construir fibrados vetoriais com base 𝑆𝑘
a partir do "Equador"𝑆𝑘−1.
Inicialmente, escreva 𝑆𝑘= 𝐷+𝑘 ∪ 𝐷𝑘
−, onde 𝐷+𝑘 = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) ∈ 𝐷𝑘; 𝑥𝑘≥ 0} e
𝐷−𝑘 = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) ∈ 𝐷𝑘; 𝑥𝑘≤ 0} e note que 𝐷𝑘+∩𝐷𝑘−= 𝑆𝑘−1. Dado 𝑓 : 𝑆𝑘−1 → 𝐺𝐿𝑛(R),
defina
𝐸𝑓 = 𝐷+𝑘 × R
𝑛⊔
𝑓 𝐷𝑘−× R𝑛
onde a relação de equivalência é dada identificando (𝑥, 𝑣) ∈ 𝑆𝑘−1× R𝑛 com (𝑥, 𝑓 (𝑥)𝑣) ∈
𝑆𝑘−1 × R𝑛. Temos então uma projeção natural 𝜋 : 𝐸
𝑓 → 𝑆𝑘 e, tomando uma definição
equivalente na qual permitimos que 𝐷𝑘
+ e 𝐷−𝑘 se estendam a uma bola aberta de modo
fibrados vetoriais 1.1.16, teremos que 𝐸𝑓 é um fibrado vetorial real. A mesma construção
acima vale para 𝑓 : 𝑆𝑘−1 → 𝐺𝐿
𝑛(C), na qual obtemos um fibrado vetorial complexo.
Chamamos a função 𝑓 de função de clutch.
Proposição 1.2.1. Sejam 𝑓, 𝑔 : 𝑆𝑘−1 → 𝐺𝐿
𝑛(R) dois mapas homotópicos. Então, os
fibrados 𝐸𝑓 e 𝐸𝑔 são isomorfos.
Demonstração. Seja 𝐻 : 𝑆𝑘−1 × [0, 1] → 𝐺𝐿𝑛(R) um homotopia entre 𝑓 e 𝑔. Podemos
fazer uma construção análoga a construção dada acima e obter um fibrado vetorial 𝐸𝐻 →
𝑆𝑘× [0, 1] de modo que a restrição de 𝐸𝐻 a 𝑆𝑘× {0} é 𝐸𝑓 e a restrição de 𝐸𝐻 a 𝑆𝑘× {1}
é 𝐸𝑔. Segue do teorema 1.1.21 que 𝐸𝑓 e 𝐸𝑔 são isomorfos.
O Teorema acima também vale para o caso complexo. Ficam bem definidas
então as aplicação 𝑐 : [𝑆𝑘−1, 𝐺𝐿
𝑛(R)] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛R(𝑆𝑘) e 𝑐′ : [𝑆𝑘−1, 𝐺𝐿𝑛(C)] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛C(𝑆𝑘), que
associam a cada classe de funções de clutch [𝑓 ] a classe de fibrados vetoriais [𝐸𝑓].
Teorema 1.2.2. A aplicação 𝑐′ : [𝑆𝑘−1, 𝐺𝐿
𝑛(C)] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛C(𝑆𝑘) é uma bijeção.
Demonstração. Construiremos uma inversa 𝑡 para 𝑐′. Dado um fibrado vetorial complexo
𝜋 : 𝐸 → 𝑆𝑘, suas restrições a 𝐷
+ e 𝐷− são triviais, pois 𝐷±são contráteis (1.1.23). Tome
trivializações ℎ± : 𝐸±→ 𝐷±× C𝑛.
Então, ℎ+ℎ−1− : 𝑆𝑘−1× C𝑛 → 𝑆𝑘−1× C𝑛 é da forma (𝑥, 𝑣) ↦→ (𝑥, 𝑇 (𝑥)𝑣), onde
𝑇 : 𝑆𝑘−1 → 𝐺𝐿𝑛(C). Defina 𝑡(𝐸) a classe de homotopia de 𝑇 . Mostraremos que 𝑡(𝐸)
está bem definido, ou seja, que todo mapa homotópico a 𝑇 é levado em 𝐸 por 𝑡.
Mas, quaisquer escolhas de mapas ℎ±diferem apenas por mapas 𝐷± → 𝐺𝐿𝑛(C).
De fato, se ℎ+ e 𝑔+ são trivializações de 𝐸+, temos que ℎ+𝑔+−1 : 𝐷+× C𝑛 → 𝐷+ × C𝑛
pode ser escrita como
ℎ+𝑔+−1(𝑥, 𝑣) = (𝑥, 𝑙(𝑥, 𝑣))
para todo (𝑥, 𝑣) ∈ 𝐷+× C𝑛, uma vez que as trivializações recobrem a identidade. Além
disso, restringindo ℎ+𝑔−1+ ao conjunto {𝑥} × C𝑛 ⊂ 𝐷+× C𝑛, obtemos uma transformação
linear inversível 𝑇𝑥(.) = 𝑙(𝑥, .) ∈ 𝐺𝐿𝑛(C), o que nos fornece uma família de transformações
lineares invertíveis 𝑇𝑥. Pela continuidade de ℎ+𝑔−1+ , vemos que 𝑇𝑥depende continuamente
de todo 𝑥 ∈ 𝐷+. Tal fato segue de modo análogo para ℎ−
Como 𝐷± é contrátil, tais mapas são homotópicos a um mapa constante,
com-pondo com a contração de 𝐷±. Além disso, 𝐺𝐿𝑛(C) é conexo por caminhos e, portanto,
segue que 𝑡 está bem definido e é a inversa de 𝑐′. Logo,𝑐′ é uma bijeção.
A análise feita acima não se aplica para fibrados vetoriais reais, uma vez que
𝐺𝐿𝑛(R) não é conexo por caminhos. Entretanto, podemos introduzir o conceito de
espaço vetorial é uma escolha de classe de equivalência de bases, sendo que duas bases são equivalentes se, e somente se, existe uma matriz inversível com determinante positivo.
Definição 1.2.3. Seja 𝜋 : 𝐸 → 𝐵 um fibrado vetorial real. Dizemos que (𝐸, 𝐵, 𝜋) é
orientável se existe uma função que associa a cada fibra uma orientação de modo que, para
cada 𝑏 ∈ 𝐵 existe uma vizinhança 𝑏 ∈ 𝑈 ⊂ 𝐵 e uma trivialização ℎ : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝑈 × R𝑛
levando as orientações das fibras de 𝜋−1(𝑈 ) na orientação padrão de R𝑛.
Denote por 𝑉 𝑒𝑐𝑛
+(𝐵) o conjunto de classes de isomorfismo de fibrados reais
orientáveis com base 𝐵. A construção usando funções de clutch, como feita no início
desta seção, define um mapa 𝑐 : [𝑆𝑘−1, 𝐺𝐿+
𝑛(R)] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛+(𝑆𝑘−1). Como 𝐺𝐿+𝑛 é conexo
por caminhos, a demonstração dada para o caso complexo também se aplica ao seguinte Teorema:
Teorema 1.2.4. A aplicação 𝑐 : [𝑆𝑘−1, 𝐺𝐿+𝑛(R)] → 𝑉 𝑒𝑐𝑛+(𝑆𝑘) é uma bijeção.
Para estudarmos 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝑆𝑘), introduzimos o conjunto 𝑉 𝑒𝑐𝑛
0(𝑆𝑘) dos fibrados
vetoriais sobre 𝑆𝑘 de posto 𝑛 com uma orientação fixada na fibra sobre um ponto fixado
𝑥0 ∈ 𝑆𝑘, de modo que podemos escolher trivializações ℎ± sobre 𝐷±𝑘 de modo a levar
essa orientação na orientação padrão de R𝑛. Desse modo, ℎ
± é única, a menos de uma
homotopia e obtemos uma bijeção
𝑉 𝑒𝑐𝑛
0(𝑆𝑘) ∼= {𝑓 ∈ [𝑆𝑘, 𝐺𝑙𝑛(R)]; 𝑥0 ∈ 𝑆𝑘 ↦→ 𝑓 (𝑥0) ∈ 𝐺𝑙+𝑛(R)}
O mapa 𝑉 𝑒𝑐𝑛0(𝑆𝑘) → 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝑆𝑘) que "esquece"a orientação sobre 𝑥0 é uma
sobrejeção da forma 2 para 1, exceto em fibrados que possuem um automorfismo que
reverte a orientação sobre 𝑥0, nos quais o mapa é bijetivo.
Se 𝑘 ≥ 1, então 𝑆𝑘 é conexa por caminhos e se 𝑓 : 𝑆𝑘 → 𝐺𝑙
𝑛(R) é tal que
𝑓 (𝑥0) ∈ 𝐺𝑙+𝑛(R), então 𝑓 (𝑆𝑘) ⊂ 𝐺𝑙𝑛+(R) e, desse modo, o mapa natural
𝑉 𝑒𝑐𝑛+(𝑆𝑘) → 𝑉 𝑒𝑐𝑛0(𝑆𝑘)
é uma bijeção. Conclui-se desta maneira que todo fibrado 𝐸 ∈ 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝑆𝑘) é orientável e
possui, no máximo, duas orientações. Enfim,
𝑉 𝑒𝑐𝑛+(𝑆𝑘) → 𝑉 𝑒𝑐𝑛(𝑆𝑘)
é uma sobrejeção que é bijetiva no subconjunto de fibrados que possuem um automorfismo que reverte a orientação.
1.3
Fibrados Principais e Associados
Trataremos nesta seção de Fibrados Principais e Associados. A ideia aqui é estudar fibrados nos quais age um grupo de Lie e, a partir deste grupo, estudarmos propriedades do próprio fibrado. Começamos com a seguinte definição:
Definição 1.3.1. Sejam 𝜋 : 𝑃 → 𝑀 um fibrado e 𝐺 um grupo de Lie, onde 𝑃 e 𝑀 são
variedades suaves e 𝜋 é mapa suave. Dizemos que (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) é um fibrado 𝐺-principal se: a-) 𝐺 age livremente pela direita em 𝑃 . Denotaremos esta ação por · : 𝑃 ×𝐺 →
𝑃
b-) 𝜋 induz um isomorfismo entre 𝑀 e 𝑃/𝐺. Além disso, a ação de 𝐺 é
transitiva em cada fibra 𝜋−1(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝑀 .
c-) Para todo 𝑥 ∈ 𝑀 existem um aberto 𝑈 de 𝑀 contendo 𝑥 e um mapa suave
𝜑𝑈 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝐺, tal que 𝜑𝑈∘ 𝑅𝑔 = 𝑅𝑔∘ 𝜑𝑈 para todo 𝑔 ∈ 𝐺, de modo que a aplicação
a seguir é um difeomorfismo:
𝑥 ∈ 𝜋−1(𝑈 ) ↦→ (𝜋(𝑥), 𝜑𝑈(𝑥)) ∈ 𝑈 × 𝐺
Temos alguns exemplos:
Exemplo 1.3.2. Se 𝑀 é uma variedade e 𝐺 é um grupo de Lie, então 𝑃 = 𝑀 × 𝐺 com
a ação (𝑚, 𝑔)ℎ = (𝑚, 𝑔ℎ) é o espaço total de um fibrado principal, o Fibrado Trivial.
Exemplo 1.3.3. Seja 𝑀 uma variedade e
𝐵(𝑀 ) = {(𝑝, 𝑒1, . . . , 𝑒𝑛) ∈ 𝑀 × 𝑇 𝑀 ; 𝑝 ∈ 𝑀 e (𝑒1, . . . , 𝑒𝑛) forma uma base para
𝑇𝑝𝑀 }
Considere a projeção 𝜋 : 𝐵(𝑀 ) → 𝑀 dada por 𝜋(𝑝, 𝑒1, . . . , 𝑒𝑛) = 𝑝. Temos
que 𝐺𝐿(𝑛, R) age em 𝐵(𝑀) à direita da seguinte maneira: se 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝐺𝐿(𝑛, R) e
(𝑝, 𝑒1, . . . , 𝑒𝑛) ∈ 𝐵(𝑀 ) , defina (𝑝, 𝑒1, . . . , 𝑒𝑛)𝐴 = (𝑝, ∑︁ 𝑎𝑖1𝑒1, . . . , ∑︁ 𝑎𝑖𝑛𝑒𝑛)
Agora, se (𝑈, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) é uma carta local ao redor de 𝑝 ∈ 𝑀 , defina, para
todo (𝑞, 𝑓1, . . . , 𝑓𝑛) ∈ 𝜋−1(𝑈 ), o mapa 𝜑𝑈 da seguinte maneira:
𝜑𝑈(𝑞, 𝑓1, . . . , 𝑓𝑛) = [𝑑𝑞𝑥𝑗(𝑓𝑖)] = [𝑔𝑖𝑗] ∈ 𝐺𝐿(𝑛, R)
Então, as funçõs 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖∘𝜋 e 𝑦𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝑗∘𝜑𝑈 definem uma carta local em 𝜋−1(𝑈 ),
onde 𝑥𝑖𝑗 são as coordenadas usuais de 𝐺𝐿(𝑛, R). Então, 𝜋 : 𝐵(𝑀) → 𝑀 é um fibrado
𝐺𝐿(𝑛, R)-principal, chamado de Fibrado de Referenciais de 𝑀 .
Denotaremos o conjunto de Fibrados 𝐺-principais por 𝑃 𝑟𝑖𝑛(𝐺) e o conjunto de
fibrados 𝐺-principais com base 𝑀 por 𝑃 𝑟𝑖𝑛𝑀(𝐺). Definiremos a seguir um refinamento
Definição 1.3.4. Sejam (𝑃, 𝐺, 𝑀 ), (𝑃′, 𝐺, 𝑀′) ∈ 𝑃 𝑟𝑖𝑛(𝐺). Um 𝐺-morfismo entre (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) e (𝑃′, 𝐺, 𝑀′) , ou simplesmente um morfismo entre os fibrados principais (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) e (𝑃′, 𝐺, 𝑀′), é definido como sendo uma dupla de mapas suaves 𝑓 : 𝑃 → 𝑃′ e 𝑢 : 𝑀 → 𝑀′
tal que 𝑓 ∘ 𝑅𝑔 = 𝑅𝑔 ∘ 𝑓 , para todo 𝑔 ∈ 𝐺 e (𝑓, 𝑢) é morfismo de fibrados no sentido
convencional.
Podemos então demonstrar o seguinte teorema:
Teorema 1.3.5. Todo 𝐺-morfismo em 𝑃 𝑟𝑖𝑛𝑀(𝐺) é um isomorfismo.
Demonstração. Primeiramente, considere o caso trivial: Seja 𝑀 uma variedade e 𝐺 um
grupo de Lie e seja 𝑓 : 𝑀 × 𝐺 → 𝑀 × 𝐺 um 𝐺-morfismo. Então, 𝑓 se escreve como
𝑓 (𝑏, 𝑔) = (𝑏, ˜𝑓 (𝑏)𝑔) para alguma ˜𝑓 : 𝑀 → 𝐺, uma vez que 𝑓 é morfismo que recobre a
identidade. Desse modo, sua inversa é da forma (𝑏, 𝑔) ↦→ (𝑏, ˜𝑓 (𝑏)−1𝑔).
O argumento para o caso não-trivial é análogo ao acima, reduzindo à vizinhan-ças trivializantes.
Proposição 1.3.6. Um fibrado principal (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) possui seção global 𝑠 : 𝑀 → 𝑃 se, e
somente se, (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) é fibrado trivial.
Demonstração. Se (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) é fibrado trivial, então uma seção global é dada pela seção
idêntica.
Por outro lado, se (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) possui uma seção global 𝑠 : 𝑀 → 𝑃 , então o mapa 𝑓 : 𝑀 × 𝐺 → 𝑃 dado por 𝑓 (𝑏, 𝑔) = 𝑠(𝑏)𝑔 é um 𝐺-morfismo de fibrados e, portanto, um isomorfismo entre 𝑃 e o fibrado trivial.
Vimos na definição 6 que os mapas 𝜑𝑈nos fornecem um sistema de coordenadas
para o fibrado (𝑃, 𝐺, 𝑀 ). Seja {𝑈𝑖} uma cobertura aberta de 𝑀 e escreva 𝜑𝑖 = 𝜑𝑈𝑖. Para
todo par 𝑖, 𝑗 tal que 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 ̸= ∅, defina 𝑔𝑖𝑗 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺 por 𝑔𝑖𝑗(𝑥) = 𝜑𝑖(𝑝)(𝜑𝑗(𝑝))−1,
para algum 𝑝 ∈ 𝜋−1(𝑥). Observe que a escolha de 𝑝 não interfere no valor de 𝑔𝑖𝑗(𝑥), uma
vez que a ação é transitiva nas fibras. Um cálculo simples nos mostra que a condição de cociclo
𝑔𝑘𝑖(𝑥) = 𝑔𝑘𝑗(𝑥)𝑔𝑗𝑖(𝑥)
para todo 𝑥 ∈ 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 ∩ 𝑈𝑘 é satisfeita. Chamamos as funções 𝑔𝑖𝑗 de funções de transição
do fibrado (𝑃, 𝐺, 𝑀 ).
Teorema 1.3.7. Sejam 𝑀 uma variedade diferenciável, 𝐺 um grupo de Lie, {𝑈𝑖} uma
cobertura aberta de 𝑀 e {𝑔𝑖𝑗} uma família de mapas 𝑔𝑖𝑗 : 𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 → 𝐺 satisfazendo a
condição de cociclo. Então, existe um fibrado principal (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) que possui {𝑔𝑖𝑗} como
Demonstração. Análogo ao feito no Teorema 1.1.16
Assim como para Fibrados Vetoriais, temos que o pullback de um fibrados principal é também um fibrado principal, cujas funções de transição são o pullback das funções de transição do fibrado original. Resumimos esse fato na seguinte propriedade:
Proposição 1.3.8. Seja (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) um fibrado principal e 𝑓 : 𝑁 → 𝑀 um mapa suave
entre variedades 𝑁 e 𝑀 . Então, 𝑓*(𝑁 ) é um fibrado 𝐺-principal com funções de transição ˜
𝑔𝑖𝑗 = 𝑓*𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 ∘ 𝑓 |𝑈𝑖∩𝑈𝑗.
Demonstração. Temos a ação de 𝐺 em 𝑓*(𝑁 ) dada por (𝑛, 𝑝).𝑔 = (𝑛, 𝑝.𝑔) e a partir disso,
é imediato mostrar que 𝑓*(𝑁 ) é um fibrado 𝐺-principal.
As trivializações de 𝑓*(𝑁 ) são obtidas da seguinte maneiras: se 𝜑 : 𝜋−1(𝑈 ) →
𝑈 × 𝐺 é uma trivialização de (𝑃, 𝐺, 𝑀 ), seja 𝑉 = 𝑓−1(𝑈 ) e defina
(𝑥, 𝑝) ∈ 𝜋−1(𝑉 ) ↦→ (𝑥, 𝜋2(𝜑(𝑝))) ∈ 𝑉 × 𝐺
e disso segue também que ˜𝑔𝑖𝑗 = 𝑓*𝑔𝑖𝑗.
Trataremos agora da seguinte situação: Seja 𝐻 um subgrupo fechado de 𝐺. Queremos estudar em quais ocasiões podemos reduzir um 𝐺-fibrado a um 𝐻-fibrado. Isso nos leva ao conceito de redução do grupo de estruturas:
Definição 1.3.9. Seja (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) um fibrado principal. Dizemos que (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) tem grupo
de estruturas redutível ao grupo 𝐻 se existe uma cobertura {𝑈𝑖} de 𝑀 com funções de
transição {𝑔𝑖𝑗} satisfazendo 𝑔𝑖𝑗(𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗) ⊂ 𝐻.
Para o caso de um fibrado vetorial de posto 𝑛 sobre o corpo 𝐹 , observamos que
𝑔𝑖𝑗 possui contradomínio 𝐺𝐿(𝑛, 𝐹 ), onde podemos dar uma definição de redução do grupo
de estruturas análoga à dada acima. A importância da redução do grupo de estruturas ficará clara quando tratarmos de fibrados quaterniônicos de linha. Temos também a seguinte caracterização:
Proposição 1.3.10. Seja (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) um fibrado principal e 𝐻 um subgrupo fechado de
𝐺. Então, (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) possui redução do grupo de estruturas ao grupo 𝐻 se, e somente se, existe um fibrado principal (𝑃′, 𝐻, 𝑀 ) e um morfismo injetivo de fibrados 𝑓 : 𝑃′ → 𝑃 que
recobre 𝐼𝑑 : 𝑀 → 𝑀 .
Consideremos agora a seguinte situação: Sejam (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) um fibrado principal e 𝐹 um espaço topológico no qual existe uma ação de 𝐺 à esquerda. É também uma ação a seguinte aplicação:
(𝑝, 𝑓, 𝑔) ∈ 𝑃 × 𝐹 × 𝐺 ↦→ (𝑝𝑔, 𝑔−1𝑓 ) ∈ 𝐹 × 𝐺
Sejam 𝑅 = (𝑃 × 𝐹 )/𝐺 o quociente obtido por essa ação e 𝜋′ : 𝑅 → 𝑀 definida
via 𝜋′([𝑝, 𝑓 ]) = 𝜋(𝑝). A tripla (𝑅, 𝑀, 𝜋′) é um fibrado, chamado de Fibrado Associado ao
Fibrado Principal (𝑃, 𝐺, 𝑀 ).
Mostremos que (𝑅, 𝑀, 𝜋′) é um Fibrado suave localmente trivial : dado 𝑚 ∈
𝑀 , seja 𝑈 uma vizinhança trivializante de 𝑚 em 𝑀 para (𝑃, 𝐺, 𝑀 ), juntamente ao mapa
𝜑𝑈 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝐺. Defina então 𝜓𝑈 : 𝜋′−1(𝑈 ) → 𝐹 dado por
𝜓𝑈([𝑝, 𝑓 ]) = 𝜑𝑈(𝑝)𝑓
Desse modo, 𝜋′−1(𝑈 ) é homeomorfo a 𝑈 × 𝐹 , de modo que damos a estrutura
diferen-ciável de 𝑅 exigindo que esses homeomorfismos sejam difeomorfismos, o que torna 𝜋′
naturalmente suave. Podemos denotar o fibrado (𝑅, 𝑀, 𝜋′) por (𝑃, 𝐺, 𝑀, 𝐹 ).
Da mesma maneira que fizemos para Fibrados Principais, podemos definir
funções de transição para Fibrados Associados: Para uma cobertura trivializante {𝑈𝑖} de
𝑅 admitindo funções 𝜓𝑖 como acima, defina 𝑔𝑖𝑗 : 𝑈𝑖∩ 𝑈𝑗 → 𝐺 por
𝑔𝑖𝑗(𝑚) = 𝜑𝑖(𝑝)𝜑𝑗(𝑝)−1
que coincidem com as funções de transição para o Fibrado Principal enquanto elementos
do grupo. Disso, temos que (𝑅, 𝑀, 𝜋′) pertence à classe de equivalência de funções de
transição associadas ao Fibrado Principal definido pelas funções de transição 𝑔𝑖𝑗 [23].
Exemplo 1.3.11. Dado (𝑃, 𝐺, 𝑀 ) fibrado principal, se 𝐹 é um espaço vetorial e 𝐺 é
subgrupo de algum grupo linear 𝐺𝐿𝑛, então, (𝑅, 𝑀, 𝜋′) é um fibrado vetorial.
1.4
Classificação de Fibrados Principais
Faremos uma breve exposição sobre a construção de Milnor dos espaços 𝐸𝐺 e
𝐵𝐺e os resultados a seguir valem para o caso em que 𝐺 é um grupo de Lie e para fibrados
a nível 𝐶0 sobre base com o tipo de homotopia de um complexo CW. Maiores detalhes
podem ser obtidos em [14] ou [17].
Seja 𝐺 um grupo de Lie e defina o agrupamento infinito ˜
Um elemento de ˜𝐸𝐺 se escreve como
(𝑥, 𝑡) = ((𝑥0, 𝑡0), (𝑥1, 𝑡1), . . . )
onde 𝑥𝑖 ∈ 𝐺 e 𝑡𝑖 ∈ [0, 1] são tais que 𝑡𝑖 ̸= 0 apenas para um número finito de índices 𝑖 e
∑︀
𝑖𝑡𝑖 = 1.
Em ˜𝐸𝐺 podemos dar a seguinte relação de equivalência: Identificamos (𝑥, 𝑡)
e (𝑥′, 𝑡′) se, e somente se, 𝑥𝑖 = 𝑥′𝑖 e 𝑡𝑖 = 𝑡′𝑖 > 0 . Note que podemos ter (𝑥, 𝑡) = (𝑥
′, 𝑡′),
mas 𝑥𝑖 ̸= 𝑥′𝑖, desde que 𝑡𝑖 = 𝑡′𝑖 = 0. Seja 𝐸𝐺 o quociente de ˜𝐸𝐺 por essa relação de
equivalência.
Existe uma ação 𝛼 de 𝐺 à direita de 𝐸𝐺, definida da seguinte maneira:
𝛼((𝑥, 𝑡), 𝑔) = (𝑥, 𝑡)𝑔 = (𝑥𝑔, 𝑡) = ((𝑥0𝑔, 𝑡0), (𝑥1𝑔, 𝑡1), . . . )
e nosso objetivo é tornar 𝐸𝐺 um 𝐺-espaço. Daremos então a 𝐸𝐺 uma topologia como
descrita a seguir.
Considere as famílias de funções 𝑡𝑖 : 𝐸𝐺 → [0, 1] e 𝑥𝑖 : 𝑡−1𝑖 ((0, 1]) → 𝐺 dadas
por
𝑡𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑖((𝑥0, 𝑡0), (𝑥1, 𝑡1), . . . ) = 𝑡𝑖
𝑥𝑖((𝑥0, 𝑡0), (𝑥1, 𝑡1), . . . ) = 𝑥𝑖
que são claramente bem definidas e satisfazem as seguintes propriedades:
𝑥𝑖(𝛼((𝑥, 𝑡), 𝑔)) = 𝑥𝑖(𝑥, 𝑡)𝑔
𝑡𝑖(𝛼((𝑥, 𝑡), 𝑔)) = 𝑡𝑖(𝑥, 𝑡)
Desse modo, damos a 𝐸𝐺 a menor topologia que torna os mapas 𝑡𝑖 e 𝑥𝑖
contí-nuos, para todo 𝑖 ∈ N, onde 𝑡−1𝑖 ((0, 1]) possui a topologia do subespaço. Das propriedades
acima, é imediato que 𝐸𝐺 é um 𝐺-espaço, ou seja, que 𝛼 é uma ação contínua. Defina
𝐵𝐺 = 𝐸𝐺/𝐺.
Estudando as propriedades homotópicas desse Fibrado, pode-se provar [14] o seguinte teorema:
Teorema 1.4.1. Seja 𝐵 uma variedade paracompacta. Então, a tripla (𝐸𝐺, 𝐺, 𝐵𝐺) como
definida acima é um Fibrado 𝐺-Principal e vale que, para todo fibrado 𝐺-principal 𝜉 sobre 𝐵, existe um mapa 𝑓 : 𝐵 → 𝐵𝐺 tal que 𝜉 e 𝑓*(𝐸𝐺) são isomorfos.
Além disso, se 𝑓0, 𝑓1 : 𝐵 → 𝐵𝐺 são dois mapas satisfazendo 𝜉 ∼= 𝑓0*(𝐸𝐺) ∼= 𝑓1*(𝐸𝐺), então
𝑃 𝑟𝑖𝑛𝐵(𝐺) ∼= [𝐵, 𝐵𝐺]
Encerramos o capítulo com alguns exemplos:
Exemplo 1.4.2. Como 𝐺𝑟(R𝑛) = 𝑂(𝑛)/(𝑂(𝑛−𝑟)×𝑂(𝑟)), então o espaço total do fibrado
de referenciais ortonormais para 𝐸𝑟 → 𝐺𝑟(R𝑛) é igual a 𝑉𝑟(R𝑛) = 𝑂(𝑛)/𝑂(𝑛 − 𝑟). Desse
modo, o fibrado de referenciais ortonormais para o fibrado canônico 𝐸𝑟 → 𝐺𝑟(R∞) é o
limite direto em 𝑛 dos fibrados 𝑂(𝑟)-principais
𝑂(𝑛)/𝑂(𝑛 − 𝑟) → 𝑂(𝑛)/(𝑂(𝑛 − 𝑟) × 𝑂(𝑟))
Por meio da fibração 𝑂(𝑘) → 𝑂(𝑘 + 1) → 𝑆𝑘, é fácil ver que 𝑂(𝑛)/𝑂(𝑛 − 𝑟)
é (𝑛 − 𝑟 − 2)-conexo e, portanto, o limite direto lim→𝑛𝑂(𝑛)/𝑂(𝑛 − 𝑟) é contrátil. Segue
então que o limite da fibração
𝑂(𝑟) → 𝑂(𝑛)/𝑂(𝑛 − 𝑟) → 𝑂(𝑛)/(𝑂(𝑛 − 𝑟) × 𝑂(𝑟))
representa 𝑂(𝑟) → 𝐸𝑂(𝑟) → 𝐵𝑂(𝑟). Logo, 𝐺𝑟(R∞) = 𝐵𝑂(𝑟).
A mesma ideia acima se aplica para a Grassmanniana complexa, observando
que 𝐺𝑟(C𝑛) = 𝑈 (𝑛)/(𝑈 (𝑛 − 𝑟) × 𝑈 (𝑟)), onde obtemos que 𝐺𝑟(C∞) = 𝐵𝑈 (𝑟).
Exemplo 1.4.3. Se 𝐺 é um grupo de Lie conexo e 𝐾 ⊂ 𝐺 é um subgrupo compacto
maximal, pode-se mostrar que a inclusão de 𝐾 em 𝐺 é uma equivalência homotópica e,
portanto, 𝐵𝐺 ∼= 𝐵𝐾. Segue então, do exemplo anterior, que 𝐵𝑂(𝑟) = 𝐵𝐺𝐿(𝑟, R) =
