Classes de Conjuga¸c˜ ao e Centralizadores

5.7 Geometria das Isometrias de H 2

5.7.2 Classes de Conjuga¸c˜ ao e Centralizadores

Nesta se¸cão classificaremos as classes de conjuga¸cão de Isom(H2_{) e descreveremos o}

subgrupo centralizador de uma isometria. Para isto, é importante a invariância do tra¸co por conjuga¸cão, isto é,

tr(t−1f t) = tr(f ), _{∀f, t ∈ Isom(H}2).

Sejam f, g _{∈ Isom(H}2), Φ(f ) = A e Φ(g) = B, ent˜ao Φ([f, g]) = [A, B] = ABA−1B−1 e, por conseguinte,

| tr([f, g]) |=| tr([A, B]) | .

Defini¸c˜ao 5.23. Sejam r, θ∈ R, r > 1. As isometrias n1, nr e nθ de H2, deﬁnidas por

n1(z) = z + 1, nr(z) = rz, nθ(z) =

cos(θ)z_{− sen(θ)}

sen(θ)z + cos(θ), (5.2) s˜ao denominadas isometrias normalizadas de H2_.

Observa¸c˜ao. .

1. n1, nr e nθ representam classes de conjuga¸c˜ao distintas.

2. Na defini¸cão, é suficiente considerarmos r > 1 porque nr e n1/r são conjugadas.

Seja h(z) = 1/z, ent˜ao

h_{◦ n}r◦ h−1(z) = n1/r(z).

Proposi¸c˜ao 5.16. Seja f _{∈ Isom(H}2_{). Ent˜}_{ao f ´e conjugada a uma isometria norma-}

lizada.

Demonstra¸cão. Como f possui no máximo 2 pontos fixos em bH2_{, a análise reduz-se aos}

1. f ´e hiperb´olico.

Suponha que z1, z2 ∈ S∞ sejam os pontos ﬁxos de f . Considere uma isometria

h _{∈ Isom(H}2) tal que h(z1) = ∞ e h(z2) = 0. Portanto, hf h−1(∞) = ∞ e

hf h−1_{(0) = 0. Desta forma, temos que F ix}

hf h−1 = {0, ∞}; consequentemente,

existe um número real positivo r tal que hf h−1(z) = rz. 2. f é parabólico.

Seja z1 ∈ S∞ o ´unico ponto ﬁxo de f . Considere uma isometria h ∈ Isom(H2)

tal que h(z1) =∞. Analogamente, ∞ ∈ F ixhf h−1 implica na existˆencia de k ∈ R

tal que f (z) = z + k. Ao impormos sobre h as condi¸c˜oes h(1) = 0 e h(f (1)) = 1, obtemos hf h−1(z) = z + 1.

3. f ´e el´ıptico.

Seja z1 ∈ H2 o ponto ﬁxo de f . Considere uma isometria h ∈ Isom(H2) tal que

h(z1) = i e i∈ F ixhf h−1. Uma vez que o grupo de isotropia de z = i ´e G_i = SO₂,

segue que

hf h−1(z) = cos(θ)z− sen(θ) sen(θ)z + cos(θ).

Corol´ario 5.8. Um elemento g _{∈ Isom(H}2_{) tem ordem finita se, e somente se, g ´e}

el´ıptico.

Demonstra¸cão. Analisando cada um dos casos, segue da proposi¸cão anterior que; 1. se g é el´ıptico, então Φ(gn) é conjugado à Rnθ, θ∈ R. Neste caso, a ordem de g é

ﬁnita se, e somente se, θ = 2π_n, n_{∈ N.}

2. se g é parabólico, então Φ(gn) é conjugado à f (z) = z + n6= idH2.

3. se g é hiperbólico, então Φ(gn_{) é conjugado `}_{a f (z) = r}n_zn_{6= id} H2.

Vamos analisar o comutador de uma isometria para determinarmos o centralizador de um elemento.

Exerc´ıcio 5.16. .

1. Utilizando o resultado da proposi¸cão acima, mostre que: (a) tr(f )∈ (2, ∞) ⇒ f é hiperbólica.

(b) tr(f ) = 2 _{⇒ f é parabólica.} (c) tr(f )_{∈ (0, 2) ⇒ f é el´ıptica.}

(d) Determine a forma normalizada das isometrias z−6_z−4, z+3_z−2.

(e) Mostre que se f, g_{∈ Isom(H}2) são parabólicas, então elas são conjugadas. 2. Conclua que as isometrias el´ıpticas correspondem as rota¸cões euclideanas, as pa-

rabólicas as transla¸cões euclideanas paralelas ao eixo-x e a hiperbólicas não possuem análogo euclideano.

Corol´ario 5.9. Sejam f , g ∈ Isom(H2_{) distintas de I,}_{−I, e de tal forma que ambas n˜ao}

sejam simultaneamente el´ıpticas. Então, f é conjugada à g se, e somente se, tr2(f ) = tr2_(g).

Demonstra¸c˜ao. .

1. (_{⇒) Esta dire¸cão da demonstra¸cão é imediata.} 2. (_⇐)

Uma vez que f ´e conjugada a uma das formas normalizadas, tr2_{(f ) ´e igual a um}

dos casos abaixo;

tr2(f ) = 2 + r +1 r, tr 2_{(f ) = 4,} _ou _tr2_{(f ) = 4cos}2_(θ). Analogamente, tr2(g) = 2 + s + 1 s, tr 2_{(g) = 4,} _ou _tr2_{(g) = 4cos}2_(φ).

Se tr2(f ) = tr2(g), a quest˜ao reduz-se a analisarmos um dos casos abaixo; (a) f e g hiperb´olicas_{⇒ r +} 1_r = s + 1_s.

Isto implica em que ou r = s ou r = 1_s. Em ambos os casos, segue da observa¸c˜ao acima que f e g s˜ao conjugados.

(b) f e g s˜ao parab´olica ⇒ tr2_{(f ) = tr}2_{(g) = 4.}

Neste caso, ambas s˜ao conjugados a n1(z) = z + 1.

r = 4⇒ r = 1

(d) f parab´olica e g el´ıptica, ent˜ao θ = kπ e f = g =±I.

Observa¸c˜ao. .

1. No corolário acima, o caso el´ıptico não foi inclu´ıdo porque a equa¸cão cos2(φ) = cos2(θ) implica em φ = θ_{± kπ.}

2. Uma isometria hiperbólica f não é conjugada a uma el´ıptica, caso contrário exis- tiriam θ, r∈ R tal que

√ r + √1

r = 2cos(θ); o que ocorre se, e somente se, θ = 0 e r = 1 (f = g = I).

3. A conjuga¸cão preserva a natureza el´ıptica, parabólica ou hiperbólica de uma isometria.

Em decorrência da proposi¸cão 5.16, para toda isometria g que não seja el´ıptica, segue que lim_n→∞gn_(z)_{∈ F ix}

g, vejamos a demosntra¸c˜ao;

Proposi¸c˜ao 5.17. Seja g ∈ Isom(H2_{) e considere o limite lim}

n→∞gn(z) na norma do

sup (convergˆencia uniforme);

1. Suponha que g seja parab´olico e F ixg={α}. Ent˜ao, para todo z ∈ H2limn→∞gn(z) =

α.

2. Suponha que g é hiperbólico e F ixg = {α, β}. Então, para todo z ∈ C − {β}, a

menos de conjuga¸c˜ao pela isometria 1/z, lim_n→∞gn_{(z) = α.}

Demonstra¸c˜ao. .

1. Pela proposi¸c˜ao 5.16, existe h_{∈ Isom(H}2_{) tal que h(α) =}_{∞ e hgh}−1_{(z) = z + 1.}

Segue que hgnh−1(z) = z + n e gn(z) = h−1(h(z) + n). Assim, lim n→∞g n_{(z) = lim} n→∞h −1_{(h(z) + n) = h}−1_{(h(z) + lim} n→∞n) = h −1₍_{∞) = α.}

2. De maneira an´aloga ao item anterior, existe h _{∈ Isom(H}2_{) tal que h(α) =} _∞,

h(β) = 0 e hgh−1(z) = kz, onde k > 1. Assim, hgnh−1(z) = knz e se z∈ C − {0}, lim n→∞g n_(h−1_{(z)) = h}−1_{( lim} n→∞k n_{.z) = h}−1₍_{∞) = α.}

Ao considerarmos w = h−1_(z) _{∈ C − {β}, temos lim}

n→∞gn(w) = α. ´E claro,

lim_n→∞gn(β) = β.

Agora, investigaremos as rela¸cões entre o conjunto dos pontos fixos das isometrias f, g com o comutador [f, g]. Seja F ixf ={x ∈ bH2| f(x) = x} . O objetivo é descrevermos o

centralizador de uma isometria f , por isto vejamos uma simples consequˆencia de [f, g] = I.

Lema 5.3. Sejam f, g∈ Isom(H2_{), ambas distintas da identidade. Se [f, g] = I, ent˜}_ao

f (F ixg) = F ixg e g(F ixf) = F ixf.

Demonstra¸c˜ao. Seja w∈ F ixg, ent˜ao g(f (w)) = f (g(w)) = f (w) ⇒ f(w) ∈ F ixg. Con-

siderando que 1_{≤ #F ix}g ≤ 2, segue que f(F ixg) = F ixg. Analogamente, g(F ixf) =

F ixf.

Portanto, se [f, g] = I, então as isometrias f e g são da mesma natureza el´ıptica, pa- rabólica ou hiperbólica.

Proposi¸c˜ao 5.18. Sejam f, g ∈ Isom(H2_{), ambas distintas da identidade, e z}

0 ∈ bH2.

Então F ixf ∩ F ixg ={z0} ⊂ bH2 se, e somente se, [f, g] é parabólico.

Demonstra¸c˜ao. . 1. (⇒)

De acordo com a classifica¸cão das isometrias e a classe de conjuga¸cão de cada tipo, as únicas situa¸cões poss´ıveis são as seguintes;

(a) z0 ∈ H2, da onde f, g s˜ao el´ıpticas;

este caso é simples, pois se fixam o mesmo ponto então existe t∈ Isom+_(H2₎

tal que Φ(tf t−1) e Φ(tgt−1) pertencem a SO2 e, por isto, comutam. Segue

que [f, g] = I e tr[f, g] = 2. (b) z0 ∈ S∞ e f, g s˜ao parab´olicas;

suponha que o ponto ﬁxo em comum seja _{∞, ent˜ao assumiremos que f(z) =} z + 1 e g(z) = z + k. Portanto, [f, g] = I e tr[f, g] = 2.

Suponha que F ixf = {0, ∞} e F ixf ∩ F ixg = {∞}, ent˜ao f(z) = rz e

g(z) = αz + β. Portanto,

[f, g] = z + αβ(r_{− 1) e tr[f, g] = 2.} (d) z0 ∈ S∞, f é parabólica e g é hiperbólica;

suponhamos que o ponto fixo em comum é_{∞. A menos de uma conjuga¸cão,} temos f (z) = rz e g(z) = z + k. Desta maneira,

tr[f, g] = √ r 0 0 √1 r ! . 1 k 0 1 . 1 √ r 0 0 √r ! . 1 _−k 0 1 = 1 k(r_{− 1)} 0 1 , ou seja, tr[f, g] = 2. 2. (⇐)

(a) Suponha que f ´e el´ıptica; Φ(f ) = cos(θ) _−sen(θ) sen(θ) cos(θ) , Φ(g) = a b c d . Assim, tr[f, g] =2− (a2+ b2+ c2+ d2)cos2(θ) + (a2+ b2+ c2+ d2) e tr[f, g] = 2 se, e se somente se, θ = 0 ou a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2_{= 2. Suponhamos}

que θ6= 2πk, a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2_{− 2 = 0 e tr(Φ(f)) = a + d ≥ 2;} ( ad_{− bc = 1} (a + d)2 ≥ 4 ⇒ a 2_{+ d}2 _{≥ 2 − 2bc;} ⇒ 0 = a2+ b2+ c2+ d2_{− 2 ≥ (b − c)}2, _{⇒ c = b.} ( d≥ 2 − a c = b ⇒ 0 = a 2_{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2_{− 2 ≥ 2(a − 1)}2_{+ 2b}2 _⇒ _{a = d = 1, b = c = 0.}

Portanto, g ´e el´ıptica e F ixf ∩ F ixg={i}.

Agora, analisaremos os casos quando f não é el´ıptica. Podemos assumir Φ(f ) = a b 0 d , Φ(g) = α β γ δ ; da onde, tr[f, g] = 2 + b2γ2+ bγ(a− d)(α − δ) − γβ(a − d)2 (b) se f é parabólica, suponhamos que f (_{∞) = ∞ e a = d = 1. Assim,}

tr[f, g] = 2⇔ γ = 0. Decorre que g(∞) = ∞ (γ é parabólica ou hiperbólica).

(c) se f é hiperbólica, suponhamos que f (0) = 0 e f (∞) = ∞, ou seja, b = 0 e ad = 1, onde a _{6= d. Portanto, βγ = 0 e, por isto, g fixa 0 ou ∞ (g é} hiperbólica ou parabólica).

Corol´ario 5.10. Sejam f, g ∈ Isom(H2_{), ambas distintas da identidade. Se [f, g] = I,}

Demonstra¸c˜ao. .

1. Se f e g são da mesma natureza el´ıptica, parabólica ou hiperbólica, segue da proposi¸cão anterior que F ixf = F ixg.

2. Suponhamos que F ixf 6= F ixg e que existe z0 ∈ (F ixg− F ixf) tal que f (z0)6= z0;

consequentemente, {z0, f (z0), f2(z0)} ⊂ F ixg. Portanto, h´a duas possibilidades

(a) f2(z0) = f (z0) e (b) f2(z0) = z0.

(a) f2(z0) = f (z0) ´e imposs´ıvel, pois f (z0)6= z0 ⇔ f(f(z0))6= f(z0).

(b) f2(z0) = z0; neste caso, temos que f (f (z0))6= f(z0), ou seja, F ixf∩F ixg = ∅.

Segue que #F ixg = 2. Suponhamos que g(z) = rz e f (z) = az+b_cz+d, por

isto, F ixg = {0, ∞}. Uma vez que f(0) = ∞, segue que a = 0. Desta

maneira, a menos de uma conjuga¸c˜ao, podemos assumir que f (z) = k_z e F ix_f = _{−√k,√k_{}. Como g(F ix}_f) = F ix_f e F ix_f _{∩ F ix}g = ∅, segue

que r = −1 e g(z) = −z. Neste caso, chegamos a uma contradi¸c˜ao, pois g /_{∈ Isom(H}2_).

Consequentemente, F ixf = F ixg.

Corol´ario 5.11. Sejam f, g_{∈ Isom(H}2_{). Se f e g possuem um ponto fixo em comum,}

ent˜ao uma das seguintes situa¸c˜oes ocorre;

1. [f, g] = I, F ixf = F ixg e ambas s˜ao da mesma natureza.

2. [f, g] ´e parab´olico e F ixf ∩ F ixg ={z0}.

Os resultados desta se¸cão tem como consequeência a classifica¸cão do centralizador de uma isometria;

Teorema 5.7. Sejam f ∈ Isom+_(H2_{) e Z}

f ={g ∈ Isom+(H2) | [f, g] = I} o centrali-

zador de f . Ent˜ao,

1. Se Zf ≃ SO2 se, e somente se, f ´e el´ıptica.

2. Se Zf ≃ R, então f é ou parabólica ou hiperbólica.

Exerc´ıcio 5.17. Mostre que;

1. Se f é parabólico, então Zf ≃ R.

2. Se f é hiperbólico, então Zg ≃ R.

3. Se [f, g] = I e F ixf 6= F ixg, mostre que f2 = g2 = (f g)2 = I.

Corolário 5.12. Não existe um subgrupo de Isom(H2) que seja isomorfo à Z_{⊕ Z. Em} particular, o toro T2 _n˜_{ao admite uma estrutura geométrica hiperb´}_olica.

Demonstra¸c˜ao. Caso existisse G < isom(H2_{), G} _{≃ Z ⊕ Z, o centralizador de qualquer}

No documento Estruturas Geométricas em Dimensão 2 (páginas 162-169)