5.4.1 H2
P : O Modelo de Poincar´e
Considere a transforma¸c˜ao P : C → C definida por P(z) = z−iz+i. Nas coordenadas (x, y)∈ R2, temos P(x, y) = x2+ y2− 1 x2+ (y + 1)2,− 2x x2+ (y + 1)2 . (5.1)
A inversa de P ´e φ : C → C, φ(z) = i1+w1−w, que em coordenadas (x, y) ´e a aplica¸c˜ao φ : R2 → R2, φ(x, y) = −(1 2v − u)2+ v2, 1− (u2+ v2) (1− u)2+ v2 . (5.2)
Pelo exerc´ıcio 5.5.5 temos φ(D2) = R2+. Por isto, podemos induzir sobre D2uma m´etrica hiperb´olica da seguinte maneira: sejam (x, y) = φ(u, v), w ∈ T(u,v)D2 e dφ
(u,v).w ∈
T(x,y)R2;
g(u,v)(w, w) = 1
v2 < dφ(u,v).w, dφ(u,v).w > . (5.3)
Substituindo a express˜ao 5.2, da m´etrica hiperb´olica, temos gφ(u,v)(dφ(u,v).w, dφ(u,v).w) =
(1− u)2+ v2 1− (u2+ v2) 2 wt.(dφ)t.dφ.w, onde dφ = 1 [(1− u)2+ v2]2 −4v(1 − u) 2[v2− (1 − u)2] 2[v2− (1 − u)2] 4v(1− u) . Desta maneira, (dφ)tdφ = 4 [(1− u)2+ v2]2 1 0 0 1 , e, finalmente,
gφ(u,v)(dφ(u,v).w, dφ(u,v).w) = 4
[1− (u2+ v2)]2 < w, w > . (5.4)
Defini¸c˜ao 5.8. O plano hiperb´olico de Poincar´e ´e H2P = (D2, g), onde g(u,v)(., .) =
4
Desta forma, o comprimento de uma curva γ : [0, 1]→ H2
P, γ(t) = (x(t), y(t)), ´e dado
por L(γ) = 2. Z 1 0 p x′2+ y′2 1− [x2+ y2]dt. Ao tomarmos o fecho de H2
P obtemos o espa¸co bH2P = H2P ∪ S∞ , onde S∞ ´e a circun-
ferˆencia {z ∈ C; | z |= 1} (linha no horizonte). Exerc´ıcio 5.6. .
1. Calcule os seguintes comprimentos utilizando a m´etrica hiperb´olica de H2P; (a) da reta γ : [0, a]→ D2, onde a < 1, definida por γ(t) = (0, t).
(b) do c´ırculo Sa ={(x, y) ∈ D2 | (x − a)2+ (y− b)2 = R2}, onde a2+ b2 < 1 e
R2< 1− (a2+ b2).
2. Seja d = d(O, z) a distˆancia em H2
P da origem ao ponto z ∈ H2P. Mostre que
| z |= tanh(d2).
3. Descreva as geod´esicas de H2P caracterizando as que s˜ao imagens de geod´esicas verticais em H2 e as que s˜ao imagens de c´ırculos centrados sobre o eixo-x.
4. Mostre que as isometrias do Plano Hiperb´olico de Poincar´e formam o conjunto {[(a + d) + i(b− c)]z + [(a − d) − i(b + c)]
[(a− d) + i(b + c)]z + [(a + d) − i(b − c)] | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1}. 5. Mostre que a isometria f (z) = cos(θ)z−sen(θ)sen(θ)z+cos(θ)em H2corresponde a isometria R2θ(z) =
ei2θ.z em H2P (f ´e uma rota¸c˜ao).
6. Seja γ uma geod´esica de H2 passando por (0, 1). Mostre que P(γ) ´e uma reta passando pela origem de D2. (isto explica porque o grupo de isotropia da origem
´e SO2)
7. Mostre que D2≃ P Sl2(R)/SO2.
O modelo de Poincar´e apresenta a vantagem de ser uma vers˜ao limitada de H2, pois ao tomarmos o fecho de H2P obtemos a bola fechada de raio 1. Isto torna mais simples a visualiza¸c˜ao dos fenˆomenos globais. Por exemplo, todas as geod´esicas de H2
P s˜ao semi-
c´ırculos ortogonais `a S∞, o que nos permite classific´a-las assim: geod´esicas concorrentes s˜ao aquelas que interceptam-se em H2P, geod´esicas paralelas s˜ao as que interceptam-se sobre S∞ e geod´esicas ultra-paralelas s˜ao as geod´esicas que nunca interceptam-se.
Decorre da express˜ao 2.11 que a ´area da regi˜ao Ω⊂ H2 ´e
A(Ω) = Z Z
Ω
4
5.4.2 H2
M: Modelo de Minkowski
A Teoria da Relatividade Restrita motivou a defini¸c˜ao dos espa¸cos de Minkowski (Rn, Q), onde Q : V → R ´e uma forma quadr´atica equivalente `a forma L(x) = x2
1 +
· · · + x2n−1− x2n, x = (x1, . . . , xn−1, xn). Consideramos o R3 munido com a forma bilinear
L : R3× R3 → R,
(
u = (x1, y1, z1)
v = (x2, y2, z2)
⇒ L(u, v) = x1x2+ y1y2− z1z2.
Observamos que L n˜ao ´e um produto interno. A forma quadr´atica associada `a L ´e QL(u) = x21+ y12− z21, e a matriz, de QL, na base canonica, ´e
L = 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 . (5.6) Defini¸c˜ao 5.9. M2 ={(x, y, z) ∈ R3| x2+ y2− z2 =−1} e M2 +={(x, y, z) ∈ M2 | z > 0}.
M2´e um hiperbol´oide de 2 folhas em R3e M2
+´e uma componente conexa de M2. Para
verificarmos que M2 ´e uma superf´ıcie, consideramos a fun¸c˜ao f : R3 → R, f(x, y, z) =
x2+ y2− z2, e observarmos que M2= f−1(−1). Como −1 ´e um valor regular de f, segue
que M2 = f−1(−1) e M2+s˜ao superf´ıcies. Uma parametriza¸c˜ao para M2+, obtida atrav´es de proje¸c˜ao estereogr´afica, ´e dada por ζ : B1→ M2,
ζ(x, y) = ( 2x 1− x2− y2, 2y 1− x2− y2, 1 + x2+ y2 1− x2− y2). (5.7)
A aplica¸c˜ao ζ ´e bijetora e a derivada dζ(x,y) : TB1 → Tζ(x,y)M2+,
dζ(x,y)= 2 1+x2−y2 (1−x2−y2)2 4xy (1−x2−y2)2 4xy (1−x2−y2)2 2 1−x 2+y2 (1−x2−y2)2 ! ,
tem posto igual a 2 para todo (x, y)∈ B1; portanto, pelo teorema da fun¸c˜ao inversa, ζ
´e um difeomorfismo. Desta forma, para cada p ∈ M2
+, podemos induzir sobre o plano
tangente TpM2+, a forma bilinear sim´etrica
gpM2(u, v) = L(dζ(x,y).u, dζ(x,y).v) = ut(dζt.L.dζ).v. (5.8) Como dζt.L.dζ = 4 [1− (x2+ y2)]2 1 0 0 1 , segue que M2+ ´e isom´etrico `a H2P.
Defini¸c˜ao 5.10. (M2+, gM2
) ´e o modelo de Minkowski para o espa¸co hiperb´olico. A utilidade do modelo de Minkowski pode ser vista pelo fato que o estudo de sua geometria pode ser realizada de forma an´aloga ao estudo da geometria sobre a esfera S2 ⊂ E3. Deixaremos a explora¸c˜ao desta similaridade para os exerc´ıcios. Por´em, antes
vejamos o seguinte;
Defini¸c˜ao 5.11. Seja O(2, 1) = {A ∈ M3(R)| At.L.A = L} o grupo das matrizes que
preservam L e SO(2, 1) o subgrupo de O(2, 1) que preserva a orienta¸c˜ao. Decorre das estruturas estudadas o seguinte isomorfismo;
Proposi¸c˜ao 5.5. Isom(H2)iso∼ SO(2, 1).
5.4.3 H2
K: Modelo de Klein
A express˜ao 5.16, para a reflex˜ao sobre um c´ırculo SR(P ) ⊂ R2, extende-se natu-
ralmente para uma reflex˜ao sobre a esfera SR(P ) ⊂ R3 ao acrescentarmos a terceira
componente. Sejam x = (x1, x2, x3) e e3 = (0, 0, 1), desta forma, a reflex˜ao sobre a
esfera S√ 2(e3) ´e
r : R3→ R3, r(x) = e3+ 2 (x− e3)
| x − e3 |2
. (5.9)
Decorre da express˜ao acima que
| r(x) |2= 1 + 4 x3
| x − e3 |2
.
Al´em disto, r(R3−) = B13, onde temos R3− = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x3 < 0} e B13 = {x ∈
R3;| x |< 1}. A aplica¸c˜ao r, quando restrita ao ao plano x
3= 0, ´e exatamente a proje¸c˜ao
estereogr´afica πe definida em 4.13, pois
< x, e3 >= 0 ⇒ r(x) = πe(x) = ( 2x1 1+| x |2, 2x2 1+| x |2, | x |2 −1 | x |2 +1).
Ao considerarmos a decomposi¸c˜ao em hemisf´erios S2 = H+∪ H−, onde H±= S2∩ R3±, temos r(D2) = H−. Para preservarmos a orienta¸c˜ao, consideramos a reflex˜ao r3: R3 →
R3 sobre o plano x
3 = 0 e definimos a aplica¸c˜ao k = r3◦ πe : D2 → H+. Agora, seja
π3 : R3 → R a proje¸c˜ao π(x1, x2, x3) = (x1, x2), da qual decorre que π(H+) = D2; seja
π0 = π|H+.
Defini¸c˜ao 5.12. A aplica¸c˜ao de Klein ´eK : D2 → D2, K = π 0◦ k;
K(x) = 21+x | x |2.
Proposi¸c˜ao 5.6. A aplica¸c˜ao de Klein leva arcos de c´ırculos ortogonais `a S1 e contidos em D2 em segmentos de retas contidos em D2.
Demonstra¸c˜ao. Seja C um c´ırculo com centro em (a, b) e raio R e que seja ortogonal `a S1; por isto, os pontos (x, y)∈ C satisfazem a equa¸c˜ao cartesiana
x2+ y2− 2ax − 2by + 1 = 0 (5.10) A transforma¸c˜ao inversa da aplica¸c˜ao de Klein K−1 : D2 → D2 ´e dada pela express˜ao
K−1(u, v) = 1
[1 +√1− u2− v2](u, v) (5.11)
Devido a equa¸c˜ao 5.10, o conjunto dos pontos L = {(u, v) ∈ D2 | (u, v) ∈ K(C)}
satisfazem a equa¸c˜ao
u2+ v2
[1 +√1− u2− v2]2 −
2au + 2bv
[1 +√1− u2− v2]+ 1 = 0;
a qual, ap´os expandirmos, implica em
au + bv = 1, ∀(u, v) ∈ K(C).
Agora, consideramos a estrutura hiperb´olica H2P sobre o disco D2 no dom´ınio de K : D2 → D2 e induzimos, pelo difeomorfismo K, uma m´etrica hiperb´olica gK sobre o disco D2 na imagem;
Defini¸c˜ao 5.13. O modelo de Klein para o espa¸co hiperb´olico ´e H2
K= (K(H2P), gK) .
O modelo de Klein ´e particularemente ´util para analisar quest˜oes relativas `a conve- xidade ou de incidˆencia, tendo em vista que as geod´esicas de H2P s˜ao transformadas em retas porK; as extremidades s˜ao fixas por K.
Exerc´ıcio 5.7. .
1. Modelo de Minkowski.
Projeto: Explore as similaridades com a geometria esf´erica seguindo os seguinte itens;
(a) Obtenha a parametriza¸c˜ao 5.7 de M2+ projetando M2+ estereograficamente ( 4.3) sobre o plano z = 0 com foco em (0, 0,−1).
(b) Mostre que Isom+(H2)iso≃ SO(2, 1).
(c) Mostre que as geod´esicas de M2
+ s˜ao planares e conclua que elas s˜ao obtidas
tomando a interse¸c˜ao de M2+ com um plano passando pela origem. (dica: observe que (TpM2+)⊥ ´e gerado por n = (x, y, z)).
(d) Considere o par (C3, Q), onde Q(z1, z2, z3) = z12 + z22 + z23. Verifique que
(R3, Q) = E3 e (R× R × (iR), Q) = (R3, L).
(e) Explique a similaridade entre as rela¸c˜oes m´etrica ?? e ?? parametrizando M2+ por
η :(0, 2π)× [0, ∞) → R3, (5.12) η(θ, ψ) = (cos(θ)senh(ψ), sen(θ)senh(ψ), cosh(ψ)), (5.13) e levando em conta que cosh(x) = cos(ix) e senh(x) = sen(ix).
2. Modelo de Klein.
(a) Obtenha a express˜ao 5.11 para a transforma¸c˜ao inversa da aplica¸c˜ao de Klein. (b) Calcule gK.
(c) Determine o comprimento de uma curva em H2K. (d) Determine a ´area de uma regi˜ao Ω⊂ H2
K.
(e) Determine a equa¸c˜ao da reta ligando os pontos na interse¸c˜ao S1∩ C, onde C ´e um c´ırculo ortogonal `a S1.