CLASSIFICA¸ C˜ AO DE AN´ ALISES DE ELEMENTOS FINITOS

Uma an´alise de elementos finitos obedece a duas classifica¸c˜oes principais: • Est´atica e dinˆamica;

Ambas subdivis˜oes s˜ao de grande importˆancia para uma correta utiliza¸c˜ao do MEF. A classifica¸c˜ao da an´alise requer que se conhe¸ca de antem˜ao os fenˆomenos f´ısicos envolvidos e o comportamento mecˆanico do sistema avaliado.

4.1.2.1 AN´ALISES EST´ATICAS E DINˆAMICAS

Para classificar uma an´alise como est´atica ou dinˆamica, ´e preciso conhecer a natureza dos carregamentos existentes e seus efeitos sobre o sistema. De forma geral, pode-se afirmar que ´e necess´ario realizar uma an´alise dinˆamica quando:

• Os carregamentos variam ao longo do tempo;

• Componentes e elementos da an´alise possuem velocidade e/ou acelera¸c˜ao;

• Estruturas est˜ao sujeitas a excita¸c˜oes do ambiente que possam responder de forma destrutiva (ressonˆancia);

A formula¸c˜ao de simula¸c˜oes dinˆamicas leva em conta a matriz de massa, a matriz de amorteci- mento e o vetor de for¸ca variando no tempo, e ´e representada pela Equa¸c˜ao (4).

Tecendo-se a hip´otese de um caso est´atico, os termos { ˙U } e { ¨U } da equa¸c˜ao supracitada valem zero e considera-se a for¸ca constante ao longo do tempo. Portanto, a equa¸c˜ao que representa o modelo ´e:

[K] · {U } = {F } (14)

Conforme constata-se na Se¸c˜ao 2.3, os carregamentos variam com o tempo para a situa¸c˜ao do presente estudo. No entanto, considera-se uma boa aproxima¸c˜ao utilizar os valores m´aximos verificados ao longo do desenvolvimento do carregamento inputs para a simula¸c˜ao e trat´a-la como est´atica.

4.1.2.2 AN´ALISES LINEARES E N˜AO LINEARES

An´alises num´ericas utilizando o MEF podem ser classificadas como lineares ou n˜ao lineares. Usualmente, an´alises lineares s˜ao representa¸c˜oes simplificadas de modelos f´ısicos reais, enquanto as an´alises n˜ao lineares englobam todos os efeitos envolvidos de maneira mais representativa do fenˆomeno.

Quando utilizadas corretamente, an´alises lineares fornecem resultados v´alidos e consis- tentes. A hip´otese da linearidade est´a na rela¸c˜ao direta entre for¸ca aplicada e deslocamento correspondente. O princ´ıpio da linearidade estrutural ´e a garantia de que sua rigidez se mant´em constante durante o carregamento de forma independente dos deslocamentos (ALVES FILHO, 2012). A Figura 18 mostra essa rela¸c˜ao de proporcionalidade existente em estruturas lineares.

Figura 18 – Comportamento estrutural linear

Fonte: Alves Filho (2012)

O fenˆomeno da linearidade permite fazer extrapola¸c˜oes ´uteis: ao dobrar o carregamento aplicado, por exemplo, os deslocamentos e resultados derivados destes (deforma¸c˜oes e tens˜oes) tamb´em dobram. No entanto, o princ´ıpio de linearidade ´e v´alido quando cumprem-se as condi¸c˜oes de:

• Pequenos deslocamentos;

• Deforma¸c˜oes dentro do limite el´astico do material;

Os fenˆomenos de car´ater n˜ao linear, em contrapartida, n˜ao possuem essa rela¸c˜ao de proporcionalidade entre for¸ca e deslocamento. Segundo Alves Filho (2012), o c´alculo estrutural n˜ao linear ´e considerado quando h´a varia¸c˜ao da rigidez de acordo com os deslocamentos. O autor prop˜oe trˆes tipos diferentes de n˜ao linearidades de um sistema mecˆanico que s˜ao detalhadas a seguir.

1. N˜ao linearidades associadas ao material: Se ocorrem deforma¸c˜oes localizadas ou generalizadas acima do limite de escoamento do material, o m´odulo de elasticidade (inclina¸c˜ao da curva tens˜ao x deforma¸c˜ao) se modifica de acordo com est´agio no qual o carregamento se encontra (ALVES FILHO, 2012). A depender da estrutura, pode ocorrer algumas regi˜oes estarem dentro do limite el´astico enquanto outras j´a tenham sofrido

plastifica¸c˜ao. A Figura 19 mostra a evolu¸c˜ao do m´odulo de elasticidade para a curva de um material d´uctil.

Figura 19 – N˜ao linearidade de material

Fonte: Alves Filho (2012)

Para considerar a varia¸c˜ao do m´odulo de elasticidade na solu¸c˜ao do modelo num´erico, a matriz de rigidez deve ser atualizada ao longo da aplica¸c˜ao do carregamento. Portanto, ´e necess´ario que a an´alise seja incremental, ou seja, realizada em incrementos de tempo discretos.

2. N˜ao linearidades geom´etricas: A existˆencia deste tipo de n˜ao linearidade est´a ligada `

a ocorrˆencia de grandes deslocamentos ou grandes deforma¸c˜oes estruturais durante a aplica¸c˜ao dos carregamentos. Trata-se de um tipo de n˜ao linearidade comum ao se trabalhar com modelos de estruturas esbeltas que s˜ao mais propensas a sofrer grandes deslocamentos. Por ser uma n˜ao linearidade dif´ıcil de antever em alguns casos, usualmente ela ´e levada em considera¸c˜ao em todo modelo n˜ao linear.

3. N˜ao linearidades associadas `a mudan¸ca das condi¸c˜oes de contorno: Trata-se da n˜ao linearidade de contato. Neste tipo de n˜ao linearidade, o que ocorre ´e o encontro de duas partes do modelo que est˜ao inicialmente afastadas, mas tocam-se durante a aplica¸c˜ao da for¸ca. A Figura 20 mostra um exemplo de contato em um sistema de elementos unidimensionais e seu efeito na altera¸c˜ao da matriz de rigidez global do sistema.

Figura 20 – N˜ao linearidade de contato

Fonte: Alves Filho (2012)

Nota-se uma pronunciada diferen¸ca entre o Problema 1 e o Problema 2: naquele, havia a liberdade de deslocamento para n´o C. Uma vez que o n´o C assume a cordenada do n´o D (fecha-se o contato), os deslocamentos em C passam a ser restringidos. Neste Problema 2, portanto, s˜ao eliminadas as linha 3 e coluna 3 da matriz de rigidez da estrutura.

Para o presente trabalho, julga-se pertinente utilizar a n˜ao linearidade de contato para a representa¸c˜ao do conjunto osso-placa-parafuso. A considera¸c˜ao do contato deve-se `a sepra¸c˜ao inicial entre osso e fixador. A press˜ao de contato ser´a obtida nessa interface ap´os a pr´e-carga nos parafusos e sofrer´a altera¸c˜ao ap´os a aplica¸c˜ao da carga axial compressiva prevista na Se¸c˜ao 2.3. O contato tamb´em deve ser inclu´ıdo na interface entre os fragmentos ´osseos na ´area da fratura. Alguns autores, ao avaliar as tens˜oes nos implantes, optam por modelar a interface atrav´es de um contato tie, que em termos pr´aticos promove uma fus˜ao dos n´os das duas superf´ıcies geradas, restringindo todos os graus de liberdade translacionais independendes entre os dois corpos. Segundo Wieding et al. (2012), esse tipo de abordagem resulta em um enrijecimento artificial da fronteira da fratura e pode levar a um resultado incoerente ao se avaliar a estabilidade do conjunto mecˆanico, j´a que n˜ao ocorrer´a nenhum deslocamento relativo entre fragmento e osso.

Dadas as raz˜oes acima, o presente trabalho ser´a desenvolvio com base em uma an´alise n˜ao linear.