Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo:
1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ. 3. En m temos a, b ≥ µ.
4. Aqui vamos nos concentrar apenas noitem 2, sendo quea extensão para os outros dois casos é natural.
Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Comentários
Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo:
1. Temos o caso onde temos a, b < µ.
2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ. 3. En m temos a, b ≥ µ.
4. Aqui vamos nos concentrar apenas noitem 2, sendo quea extensão para os outros dois casos é natural.
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Comentários
Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo:
1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ.
3. En m temos a, b ≥ µ.
4. Aqui vamos nos concentrar apenas noitem 2, sendo quea extensão para os outros dois casos é natural.
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Comentários
Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo:
1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ. 3. En m temos a, b ≥ µ.
4. Aqui vamos nos concentrar apenas noitem 2, sendo quea extensão para os outros dois casos é natural.
Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Comentários
Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo:
1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ. 3. En m temos a, b ≥ µ.
4. Aqui vamos nos concentrar apenas noitem 2, sendo quea extensão para os outros dois casos é natural.
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Função de densidade de probabilidade
Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porEDT (µ, λ, a, b), então
f (y) = 1 2λexp −|y−µ| λ 1 −1 2exp −b−µλ −1 2exp a−µ λ = exp −|y−µ| λ
λh2 − exp−b−µλ − expa−µλ i ,
Logo,a função de densidade de probabilidade de Y ∼ EDT (µ, λ, a, b)é dada por f (y) = c exp −|y − µ| λ , a ≤ y ≤ b, com c = 1
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Função de densidade de probabilidade
Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porEDT (µ, λ, a, b), então
f (y) = 1 2λexp −|y−µ| λ 1 −1 2exp −b−µλ −1 2exp a−µ λ = exp −|y−µ| λ
λh2 − exp−b−µλ − expa−µλ i ,
Logo,a função de densidade de probabilidade de Y ∼ EDT (µ, λ, a, b)é dada por f (y) = c exp −|y − µ| λ , a ≤ y ≤ b, com c = h 1 i .
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Primeiros Momentos
Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da de nição
I O primeiro momento de Y é dado por
E(Y ) =
2µ + expa−µλ [λ − a] − exp−b−µ
λ
[λ + b] 2 − expa−µλ − exp−b−µλ
I e o segundo momento ca
E(Y2) =2µ 2+4λ2−expa−µ λ [a2−2λa+2λ2]−exp −b−µλ [b2+2λb+2λ2]
2−expa−µλ −exp−b−µ λ
.
I Avariância de Y pode ser obtida a partir desses dois valores, mas por ser algebri-
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Primeiros Momentos
Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da de nição
I O primeiro momento de Y é dado por
E(Y ) =
2µ + expa−µλ [λ − a] − exp−b−µ
λ
[λ + b] 2 − expa−µλ − exp−b−µλ
I e o segundo momento ca
E(Y2) =2µ 2+4λ2−expa−µ λ [a2−2λa+2λ2]−exp −b−µλ [b2+2λb+2λ2]
2−expa−µλ −exp−b−µλ .
I Avariância de Y pode ser obtida a partir desses dois valores, mas por ser algebri-
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Primeiros Momentos
Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da de nição
I O primeiro momento de Y é dado por
E(Y ) =
2µ + expa−µλ [λ − a] − exp−b−µ
λ
[λ + b] 2 − expa−µλ − exp−b−µλ
I e o segundo momento ca
E(Y2) =2µ 2+4λ2−expa−µ λ [a2−2λa+2λ2]−exp −b−µλ [b2+2λb+2λ2]
Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Distribuição Exponencial Dupla Truncada
F.d.a
Função de Distribuição Acumulada
I Para o cálculo da função de distribuição acumulada é necessário se trabalhar sepa-
radamente nos intervalos [a, µ) e [µ, b]. Desta forma, considerando o caso em que y < µ.
I Assim, a função de distribuição acumulada de Y é dada por
F (y) = 0, para y < a
expy−µλ −expa−µλ
2−exp−b−µλ −expa−µλ , para a ≤ y < µ 2−exp−y−µλ −expa−µλ
2−exp−b−µ λ −expa−µ λ , para µ ≤ y < b 1, para y ≥ b .
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Distribuição Exponencial Dupla Truncada
F.d.a
Função de Distribuição Acumulada
I Para o cálculo da função de distribuição acumulada é necessário se trabalhar sepa-
radamente nos intervalos [a, µ) e [µ, b]. Desta forma, considerando o caso em que y < µ.
I Assim, a função de distribuição acumulada de Y é dada por
F (y) = 0, para y < a
expy−µλ −expa−µλ
2−exp−b−µλ −expa−µλ , para a ≤ y < µ 2−exp−y−µλ −expa−µλ
2−exp−b−µλ −expa−µλ , para µ ≤ y < b
Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Cauchy Truncada
Conteúdo
Introdução
Censura e Truncamento
Teoria básica sobre o truncamento
Alguns Modelos Contínuos Truncados
Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada
Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Cauchy Truncada
Distribuição Cauchy
A distribuição de Cauchy também é conhecida pelos nomes de Lorentz,
Cauchy-Lorentz ou Brelt-Wigner, e é bastante conhecida pela sua propriedade de não possuir momentos nitos, o que faz com que popularmente se diga que ela não tem esperança e nem variância. Seja X ∼ Cauchy(µ, γ).
I Sua f.d.p. é dada por
g(x) = 1 πγ 1 +x−µγ 2 = 1 π γ (x − µ)2+ γ2 , −∞ < y < ∞,
I e sua f.d.a. está apresentada a seguir
Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Cauchy Truncada
Distribuição Cauchy Truncada
Função de densidade de probabilidade
Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porCauchyT (µ, γ, a, b),
então
f (y) =
γ (y−µ)2+γ2
arctanb−µγ − arctana−µ
γ = γ [(y − µ)2+ γ2]harctanb−µ γ − arctana−µ γ i , a ≤ y ≤ b.
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Distribuição Cauchy Truncada
Trabalho Difícil
Encontrar as principais propriedades desta distribuição analiticamente pela f.d.p dada por f(y) não é uma tarefa trivial. Entretanto, um artigo deNadarajah e Kotz (2006b), dentre outras propriedades, apresenta a forma analítica da f.d.a., dada por
F (y) =
arctany−µγ − arctana−µγ arctan b−µ γ − arctana−µγ ,
Como a forma truncada da distribuição de Cauchy é de nida sobre umintervalo nito, ela apresenta todos os seusmomentos nitos, o que faz com ela se apresente como melhor opção de modelagem do que a distribuição de Cauchy original.
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Distribuição Cauchy Truncada
Trabalho Difícil
Encontrar as principais propriedades desta distribuição analiticamente pela f.d.p dada por f(y) não é uma tarefa trivial. Entretanto, um artigo deNadarajah e Kotz (2006b), dentre outras propriedades, apresenta a forma analítica da f.d.a., dada por
F (y) =
arctany−µγ − arctana−µγ arctan b−µ γ − arctana−µγ ,
Como a forma truncada da distribuição de Cauchy é de nida sobre umintervalo nito, ela apresenta todos os seusmomentos nitos, o que faz com ela se apresente como melhor opção de modelagem do que a distribuição de Cauchy original.
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Distribuição Cauchy Truncada
Função de Distribuição Acumulada
Nadarajah e Kotz (2006b)apresentam uma forma geral para a obtenção da n-ésimo momento de Y , dada por
E(Yn) = µn D n X k=0 1 k + 1( ) γ µ k βk+1 2F1 1,k + 1 2 ; 1 + k + 1 2 ; −β 2 −αk+1 2F1 1,k + 1 2 ; 1 + k + 1 2 ; −α 2 , para n ≥ 1, onde α =a−µ
γ , β = b−µ
γ , D = arctan(β) − arctan(α) e2F1(t, u; v; x)é a
função gaussiana hipergeométrica, dada por
2F1(t, u; v; x) = ∞ X(t)k(u)k (v)k xk k!,
Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Cauchy Truncada
Exemplos da Cauchy Truncada
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Distribuições Truncadas no R
Script para gerar a gura anterior
? Abaixo temos o script escrito em R que gerou a gura anterior.
F.d.p. da Cauchy truncada com λ = 1
x <- seq(0, 7, by=0.01)
plot(x, dexp(x), type="l", ylim=c(0,2), ylab="Exponencial") points(x, dtrunc(x,"exp", 0, 1), type="l", lty=2)
points(x, dtrunc(x,"exp", 2, Inf), type="l", lty=3) legend(4, 1.9, expression("Exp(1)", "ExpT(1, 0, 1)",