Distribuições Truncadas e Aplicações

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Distribuições Truncadas e Aplicações

Raydonal Ospina

Departamento de Estatística - CCEN/UFPE Gustavo H. Esteves

Departamento de Estatística - CCT/UEPB

58ª RBRAS - 15º SEAGRO

(2)

Sumário

Introdução

Censura e Truncamento

Teoria básica sobre o truncamento

Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada Distribuição Cauchy Truncada

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Sumário

Introdução

Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada Distribuição Cauchy Truncada

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Introdução Censura e Truncamento

Conteúdo

Introdução

Alguns Modelos Contínuos Truncados

Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada Distribuição Cauchy Truncada

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Introdução

Censura e Truncamento

Censura e truncamento são problemas muito comuns em trabalhos aplicados de diversas áreas, tais como Medicina, Epidemiologia ou indústria. Entretanto, eles são coisas diferentes!

I Censura: ocorre quando o tempo de vida de um item é sabido de ocorrer em

algum intervalo. Ela pode ser à direita, esquerda ou dupla (intervalar).

I Truncamento:ocorre quando o plano amostral do estudo inclui apenas os itens que

sobreviveram a algum ponto do tempo (truncamento à esquerda) ou que o evento aconteceu antes de algum tempo especíco (truncamento à direita), ou ambas as situações (truncamento intervalar).

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Alguns Exemplos

A seguir apresentamos alguns exemplos de estudos onde aparecem dados com censura e/ou truncamento.

I Estudo clínico para avaliação do tempo de remissão de leucemia aguda. I Tempo de sobrevida em pacientes que passaram por transplante de rim.

I Taxa de sobrevivência em pacientes com linfoma tipo Hodgkim e não-Hodgkim que

passaram por transplante de medula (autóloga ou alogênica).

I Tempo de reinfecção para pessoas com doenças sexualmente transmissíveis. I Tempo até o primeiro consumo de maconha para crianças em idade escolar.

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Introdução Teoria básica sobre o truncamento

Conteúdo

Introdução

Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada Distribuição Cauchy Truncada

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Teoria básica sobre Truncamento de variáveis aleatórias

Para se construir a versão truncada de uma distribuição de probabilidades consideremos inicialmente o seguinte:

I seja Y uma v.a. contínua assumindo valores na reta real; I _{g(y), y ∈ R, é sua função de densidade de probabilidade,}fdp; I _{G(y), y ∈ R, é sua função de distribuição acumulada,}fda.

Vamos considerar aqui apenas o caso contínuo, mas a extensão para o caso discreto é natural.

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Teoria básica sobre Truncamento de variáveis aleatórias

Para se construir a versão truncada de uma distribuição de probabilidades consideremos inicialmente o seguinte:

I seja Y uma v.a. contínua assumindo valores na reta real; I _{g(y), y ∈ R, é sua função de densidade de probabilidade,}fdp; I _{G(y), y ∈ R, é sua função de distribuição acumulada,}fda.

Vamos considerar aqui apenas o caso contínuo, mas a extensão para o caso discreto é natural.

(10)

Considerando agora uma nova v.a. Xcomo a versão truncadade Y no intervalo [a, b],

com −∞ < a < b < ∞. Temos que as principais propriedades de X são dadas por:

f (x) = g(x) G(b) − G(a), a ≤ x ≤ b; E(X) = Z b a xf (x)dx; VAR(X) = Z b a [x − E(X)]2f (x)dx; F (x) = G{max[min(x, b), a]} − G(a)

G(b) − G(a) ;

onde f(x), E(X), VAR(X) e F (x) representam af.d.p., esperança, variância e a f.d.a da variável X. Naturalmente, para todos os valores dex /∈ [a, b]_{, tem-se que f(x) = 0}_.

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Considerando agora uma nova v.a. Xcomo a versão truncadade Y no intervalo [a, b],

com −∞ < a < b < ∞. Temos que as principais propriedades de X são dadas por:

f (x) = g(x) G(b) − G(a), a ≤ x ≤ b; E(X) = Z b a xf (x)dx; VAR(X) = Z b a [x − E(X)]2f (x)dx; F (x) = G{max[min(x, b), a]} − G(a)

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Alguns comentários importantes

I Uma distribuição truncada pode ser pensada como umadistribuição condicionada

a uma restrição intervalar feita no suporte da distribuição.

I O termodistribuição truncadapode causar uma certa ambiguidade, no sentido de

se pensar na f.d.p da distribuição, g(x), com a remoção das caudas da distribuição fora do intervalo [a, b]. Mas isso não dene uma distribuição de probabilidades, sendo necessárioreescalar a função g(x) neste intervalo.

I Esta apresentação está baseada no truncamento intervalar de distribuições de

pro-babilidades, outruncamento duplo (doubly truncation). Mas pode-se obter as ver-sõessimples à direita, para (−∞, b], ou à esquerda, para [a, ∞).

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Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada

Conteúdo

Introdução

Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada Distribuição Cauchy Truncada

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Alguns Modelos Contínuos Truncados

A partir daqui vamos apresentar as principais propriedades para alguns dos principais modelos probabilísticos contínuos, especicamente:

I Modelo Uniforme contínuo; I Modelo Normal;

I Modelo Exponencial; I Modelo Exponencial Duplo; I Modelo de Cauchy.

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Distribuição Uniforme

Seja X uma v.a. com distribuição uniforme em [α, β], isto é, X ∼ U[α, β].

I Sua f.d.p. é dada por:

g(x) = 1

β − α, α ≤ x ≤ β,

I Consequentemente, sua f.d.a. é dada por:

G(x) =      0, para x < α x−α β−α, para x ∈ [α, β) 1, para x ≥ β .

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Distribuição Uniforme Truncada

Agora consideremosY a versão truncada da Uniforme, restrita ao intervalo [s, t] ⊂ [α, β]. Desta forma, para s, t ∈ [α, β] com s < t, a f.d.p de Y é dada por

fY(y) = g(y) G(t) − G(s)= 1 (t − α) − (s − α) = 1 t − s.

I Logo,Y ∼ U [s, t], isto é, a forma truncada de uma uniforme é uma nova uniforme

restrita ao intervalo de truncamento.

I Desta maneira as demais propriedades, tais como esperança, variância e etc

decor-rem naturalmente dos resultados já conhecidos da uniforme, e não serão discutidos aqui.

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Distribuição Uniforme Truncada

(18)

Distribuição Uniforme Truncada

(19)

Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Normal Truncada

Conteúdo

Introdução

Distribuição Uniforme Truncada

Distribuição Normal Truncada

Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada Distribuição Cauchy Truncada

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Distribuição Normal

Consideremos a distribuição normal com média µ e variância σ2_{. Assim, seja}

X ∼ N (µ, σ2).

I A normal é a distribuição mais usada e conhecida e sua f.d.p é

g(x) =√1 2πσexp −1 2 x − µ σ .

I Por m, sua função de distribuição acumulada é dada por

G(x) = √1 2πσ Z x −∞ exp −1 2 t − µ σ dt.

(21)

Distribuição Normal Truncada

Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porN T (µ, σ2, a, b), então

fY(y) =          1 √ 2πσexp " −1 2 y − µ σ 2# G(b) − G(a) , para a ≤ y ≤ b, 0 caso contrário.

I Este truncamento é conhecido comotruncamento duplo (doubly truncation), e os

pontos a e b são os pontos de truncamento inferior e superior.

I Fazendo a = −∞ ou b = +∞ temos otruncamento simples (simply truncation)

(22)

Distribuição Normal Truncada

I Fazendo a = −∞ ou b = +∞ temos otruncamento simples (simply truncation)

(23)

Distribuição Normal Truncada

(24)

Distribuição Normal Truncada

Continuação

Truncamentos Simples

I Para o caso dotruncamento simples acima, a f.d.p é dada por:

fY(y) = fX(x|x < b) =

g(x) G(b).

I Já para o caso dotruncamento simples abaixo, temos a seguinte f.d.p:

fY(y) = fX(x|x > a) =

g(x) 1 − G(a).

I Outro casos de interesse ocorrem quando temosa = µe b = ∞oua = −∞e b = µ,

(25)

Distribuição Normal Truncada

Continuação

Truncamentos Simples

I Para o caso dotruncamento simples acima, a f.d.p é dada por:

fY(y) = fX(x|x < b) =

g(x) G(b).

I Já para o caso dotruncamento simples abaixo, temos a seguinte f.d.p:

fY(y) = fX(x|x > a) =

g(x) 1 − G(a).

(26)

Distribuição Normal Truncada

Continuação

Voltando agora para o caso do truncamento duplo da Normal, vamos apresentar a f.d.a, esperança e variância para Y ∼ NT (µ, σ2_{, a, b)}

I A função de distribuição acumulada da variável aleatória Y é da forma

FY(y) = Z y a 1 √ 2πσexp " −1 2 t − µ σ 2# dt G(b) − G(a) =G(y) − G(a) G(b) − G(a).

(27)

Distribuição Normal Truncada

Continuação

Esperança Matemática de Y

I A partir da denição, calcula-se aesperança matemáticada variável aleatória Y :

E(Y ) = Z ∞ −∞ yfY(y)dy = Z b a y √ 2πσexp −1 2 y−µ σ 2 G(b) − G(a) dy,

I com a transformação z = (y − µ)/σ, podemos simplicar o resultado

E(Y ) = Z b−µ σ a−µ σ µ+zσ_√ 2π exp h −z2 2 i G(b) − G(a) dz = µ + ϕ a − µ σ − ϕ b − µ σ σ,

(28)

Distribuição Normal Truncada

Continuação

Variância de Y

I Após alguns cálculos, chegamos avariânciade Y , dada por:

VAR(Y ) =  1 + a−µ σ ϕa−µ_σ −b−µ_σ ϕb−µ_σ G(b) − G(a)   σ2 −   ϕa−µ_σ − ϕb−µ_σ G(b) − G(a)   2 σ2.

(29)

Distribuição Normal Truncada

Caso particular para o truncamento simple acima

Truncamento simples acima

I Note que, para o caso de truncamento acima temos o seguinte

E(Y ) = E(X | X < b) = µ − σϕ(β) G(b), VAR(Y ) = VAR(X | X < b) = σ2 " 1 − βϕ(β) G(b)− ϕ(β) G(b) 2# , em que β = (b − µ)/σ.

(30)

Distribuição Normal Truncada

Caso particular para o truncamento simples abaixo

Truncamento simples abaixo

I Agora, para o caso de truncamento abaixo, temos as seguinte propriedades:

E(Y ) = E(X | X > a) = µ + σλ(α), VAR(Y ) = VAR(X | X > a) = σ2_{[1 − δ(α)],}

em que α = (a − µ)/σ, δ(α) = λ(α)[λ(α) − α] e λ(α) = ϕ(α)/[1 − G(a)] é ainversa da razão de Millsou também chamada detaxa de risco.

(31)

Distribuição Normal Truncada

Comentários

Observações importantes

Do que foi exposto nos resultados anteriores é possível vericar facilmente as propriedades enumeradas a seguir.

1. Se os dados são truncados abaixo de um determinado valor, a média da variável truncada é maior que a média da variável original.

2. Se os dados são truncados acima de um determinado valor, a média da variável truncada é menor que a média da variável original.

(32)

Distribuição Normal Truncada

Comentários

Observações importantes

(33)

Distribuição Normal Truncada

Comentários

Observações importantes

(34)

Distribuição Normal Truncada

Comentários

Observações importantes

(35)

Exemplos de Normais Truncadas

(36)

Distribuições Truncadas no R

Artigo de Nadarajah e Kotz (2006)

? Nadarajah e Kotz (2006) apresenta funções em R para o cálculo de f.d.p., f.d.a., função de quantis, geração de amostras aleatórias, além do cálculo da esperança e variância,para qualquer distribuição nativamente implementada no R.

Exemplo: Função para o Cálculo da f.d.p.

dtrunc <- function(x, spec, a = -Inf, b = Inf, ...) { tt <- rep(0, length(x))

g <- get(paste("d", spec, sep = ""), mode = "function") G <- get(paste("p", spec, sep = ""), mode = "function")

tt[x>=a & x<=b] <- g(x[x>=a&x<=b], ...)/(G(b, ...) - G(a, ...)) return(tt)

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Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Exponencial Truncada

Conteúdo

Introdução

Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada

Distribuição Exponencial Truncada

Distribuição Exponencial Dupla Truncada Distribuição Cauchy Truncada

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Distribuição Exponencial

Outra distribuição de bastante utilidade prática dentro da estatística,sobretudo em problemas relacionados com tempos de vida, é a distribuição exponencial.

Consideremos a v.a. X com distribuição X ∼ Exp(λ).

I Sua f.d.p. é dada por

g(x) = 1 λexp −x λ , x ≥ 0,

I e sua f.d.a. está apresentada a seguir

G(x) = 1 − exp −x λ , com E(X) = λ e VAR(X) = λ2_.

(39)

Distribuição Exponencial Truncada

Função de densidade de probabilidade

Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porExpT (λ, a, b), então

f (y) = 1 λexp − y λ h 1 − exp−b λ i −1 − exp −a λ = exp − y λ λhexp −a λ − exp −b λ i .

Logo,a função de densidade de probabilidade de Y ∼ ExpT (λ, a, b)é dada por f (y) = c exp −y λ , a ≤ y ≤ b, com c = 1 λhexp −a_λ − exp−b λ i .

(40)

Distribuição Exponencial Truncada

Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porExpT (λ, a, b), então

f (y) = 1 λexp − y λ h 1 − exp−b λ i −1 − exp −a λ = exp − y λ λhexp −a λ − exp −b λ i .

Logo,a função de densidade de probabilidade de Y ∼ ExpT (λ, a, b)é dada por f (y) = c exp −y λ , a ≤ y ≤ b, com c = 1 λhexp −a_λ − exp−b λ i .

(41)

Distribuição Exponencial Truncada

Primeiros Momentos

Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da denição

I O primeiro momento de Y é dado por

E(Y ) = Zb a yf (y)dy = c Zb a y exp−y λ dy = λ + a exp −a_λ − b exp−_λb exp −_λa − exp−b λ ,

I e o segundo momento ca

E(Y2) = Zb

y2f (y)dy = c Zb

(42)

Distribuição Exponencial Truncada

Variância

enm, usando a propriedade de queVAR(Y ) = E(Y2_{) − [E(Y )]}2_{, podemos chegar} facilmente na expressão para a variância da variável aleatória.

VAR(Y )

VAR(Y ) = λ2− exp−a+b λ [a2_{+ b}2_] h exp −a λ − exp −b λ i2.

(43)

Distribuição Exponencial Truncada

F.d.a

Função de Distribuição Acumulada

Por m, a função de distribuição acumulada de Y é obtida por F (y) = Z y a f (t)dt = c Z y a exp −t λ dt = exp − a λ − exp − y λ exp −a_λ − exp−b λ , E então F (y) =     0, para y < a exp(−a λ)−exp(− y λ)

(44)

Exemplos da Exponencial Truncada

(45)

Distribuições Truncadas no R

Script para gerar a gura anterior

? Abaixo temos o script escrito em R que gerou a gura anterior.

F.d.p. da exponencial truncada com λ = 1

x <- seq(0, 7, by=0.01)

plot(x, dexp(x), type="l", ylim=c(0,2), ylab="Exponencial") points(x, dtrunc(x,"exp", 0, 1), type="l", lty=2)

points(x, dtrunc(x,"exp", 2, Inf), type="l", lty=3) legend(4, 1.9, expression("Exp(1)", "ExpT(1, 0, 1)",

(46)

Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Conteúdo

Introdução

Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

(47)

Distribuição Exponencial Dupla

A distribuiçãoexponencial dupla, denotadaED, também é conhecida como distribuição deLaplace. Seja X ∼ ED(µ, λ).

g(x) = 1 2λexp −|x − µ| λ , −∞ < x < ∞,

G(x) =    1 2exp x−µ λ , para x < µ 1 −1₂exp−x−µ λ , para x ≥ µ.

(48)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Comentários

Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo:

1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ. 3. Enm temos a, b ≥ µ.

4. Aqui vamos nos concentrar apenas noitem 2, sendo quea extensão para os outros dois casos é natural.

(49)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Comentários

1. Temos o caso onde temos a, b < µ.

2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ. 3. Enm temos a, b ≥ µ.

(50)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Comentários

1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b ≥ µ.

3. Enm temos a, b ≥ µ.

(51)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Comentários

(52)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Comentários

(53)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porEDT (µ, λ, a, b), então

f (y) = 1 2λexp −|y−µ| λ 1 −1 2exp −b−µ_λ −1 2exp a−µ λ = exp −|y−µ| λ

λh2 − exp−b−µ_λ − expa−µ_λ i ,

Logo,a função de densidade de probabilidade de Y ∼ EDT (µ, λ, a, b)é dada por f (y) = c exp −|y − µ| λ , a ≤ y ≤ b, com c = 1

(54)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porEDT (µ, λ, a, b), então

f (y) = 1 2λexp −|y−µ| λ 1 −1 2exp −b−µ_λ −1 2exp a−µ λ = exp −|y−µ| λ

λh2 − exp−b−µ_λ − expa−µ_λ i ,

Logo,a função de densidade de probabilidade de Y ∼ EDT (µ, λ, a, b)é dada por f (y) = c exp −|y − µ| λ , a ≤ y ≤ b, com c = h 1 i .

(55)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Primeiros Momentos

E(Y ) =

2µ + expa−µ_λ [λ − a] − exp−b−µ

λ

[λ + b] 2 − expa−µ_λ − exp−b−µ_λ

E(Y2_{) =}2µ 2_+4λ2_−exp_a−µ λ [a2_−2λa+2λ2_]_−exp −b−µ_λ [b2_+2λb+2λ2_]

2−expa−µ_λ −exp−b−µ λ

.

I Avariância de Y pode ser obtida a partir desses dois valores, mas por ser

(56)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Primeiros Momentos

E(Y ) =

λ

2−expa−µ_λ −exp−b−µ_λ .

I Avariância de Y pode ser obtida a partir desses dois valores, mas por ser

(57)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

Primeiros Momentos

E(Y ) =

λ

(58)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

F.d.a

Função de Distribuição Acumulada

I Para o cálculo da função de distribuição acumulada é necessário se trabalhar

sepa-radamente nos intervalos [a, µ) e [µ, b]. Desta forma, considerando o caso em que y < µ.

I Assim, a função de distribuição acumulada de Y é dada por

F (y) =                    0, para y < a

expy−µ_λ −expa−µ_λ

2−exp−b−µ_λ −expa−µ_λ , para a ≤ y < µ 2−exp−y−µ_λ −expa−µ_λ

2−exp−b−µ λ −expa−µ λ , para µ ≤ y < b 1, para y ≥ b .

(59)

Distribuição Exponencial Dupla Truncada

F.d.a

Função de Distribuição Acumulada

I Para o cálculo da função de distribuição acumulada é necessário se trabalhar

sepa-radamente nos intervalos [a, µ) e [µ, b]. Desta forma, considerando o caso em que y < µ.

I Assim, a função de distribuição acumulada de Y é dada por

F (y) =                  0, para y < a

expy−µ_λ −expa−µ_λ

2−exp−b−µ_λ −expa−µ_λ , para a ≤ y < µ 2−exp−y−µ_λ −expa−µ_λ

2−exp−b−µ_λ −expa−µ_λ , para µ ≤ y < b

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Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Cauchy Truncada

Conteúdo

Introdução

Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Normal Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Dupla Truncada

(61)

Distribuição Cauchy

A distribuição de Cauchy também é conhecida pelos nomes de Lorentz,

Cauchy-Lorentz ou Brelt-Wigner, e é bastante conhecida pela sua propriedade de não possuir momentos nitos, o que faz com que popularmente se diga que ela não tem esperança e nem variância. Seja X ∼ Cauchy(µ, γ).

g(x) = 1 πγ 1 +x−µ_γ 2 = 1 π _γ (x − µ)2_{+ γ}2 , −∞ < y < ∞,

(62)

Distribuição Cauchy Truncada

Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada porCauchyT (µ, γ, a, b),

então

f (y) =

γ (y−µ)2+γ2

arctanb−µ_γ − arctana−µ

γ = γ [(y − µ)2_{+ γ}2_]h_arctanb−µ γ − arctana−µ γ i , a ≤ y ≤ b.

(63)

Distribuição Cauchy Truncada

Trabalho Difícil

Encontrar as principais propriedades desta distribuição analiticamente pela f.d.p dada por f(y) não é uma tarefa trivial. Entretanto, um artigo deNadarajah e Kotz (2006b), dentre outras propriedades, apresenta a forma analítica da f.d.a., dada por

F (y) =

arctany−µ_γ − arctana−µ_γ arctan b−µ γ − arctana−µ_γ ,

Como a forma truncada da distribuição de Cauchy é denida sobre umintervalo nito, ela apresenta todos os seusmomentos nitos, o que faz com ela se apresente como melhor opção de modelagem do que a distribuição de Cauchy original.

(64)

Distribuição Cauchy Truncada

Trabalho Difícil

Encontrar as principais propriedades desta distribuição analiticamente pela f.d.p dada por f(y) não é uma tarefa trivial. Entretanto, um artigo deNadarajah e Kotz (2006b), dentre outras propriedades, apresenta a forma analítica da f.d.a., dada por

F (y) =

arctany−µ_γ − arctana−µ_γ arctan b−µ γ − arctana−µ_γ ,

Como a forma truncada da distribuição de Cauchy é denida sobre umintervalo nito, ela apresenta todos os seusmomentos nitos, o que faz com ela se apresente como melhor opção de modelagem do que a distribuição de Cauchy original.

(65)

Distribuição Cauchy Truncada

Função de Distribuição Acumulada

Nadarajah e Kotz (2006b)apresentam uma forma geral para a obtenção da n-ésimo momento de Y , dada por

E(Yn_{) =} µn D n X k=0 1 k + 1( ) γ µ k βk+1 2F1 1,k + 1 2 ; 1 + k + 1 2 ; −β 2 −αk+1 2F1 1,k + 1 2 ; 1 + k + 1 2 ; −α 2 , para n ≥ 1, onde α =a−µ

γ , β = b−µ

γ , D = arctan(β) − arctan(α) e2F1(t, u; v; x)é a

função gaussiana hipergeométrica, dada por

2F1(t, u; v; x) = ∞ X(t)_k(u)_k (v)k xk k!,

(66)

Exemplos da Cauchy Truncada

(67)

Distribuições Truncadas no R

Script para gerar a gura anterior

? Abaixo temos o script escrito em R que gerou a gura anterior.

F.d.p. da Cauchy truncada com λ = 1

x <- seq(0, 7, by=0.01)

plot(x, dexp(x), type="l", ylim=c(0,2), ylab="Exponencial") points(x, dtrunc(x,"exp", 0, 1), type="l", lty=2)

points(x, dtrunc(x,"exp", 2, Inf), type="l", lty=3) legend(4, 1.9, expression("Exp(1)", "ExpT(1, 0, 1)",

Distribuições Truncadas e Aplicações