Esta parte do trabalho teve foco na análise de técnicas para cômputo rápido do sinal de controle em duas estratégiasMPC: uma que emprega um modelo da planta em variáveis de estado (MPCEE) e outra que usa um modelo
de funções de transferência (MPCFT). Algumas especializações são apresen-
tadas para o caso de processos com atraso de transporte e uma nova formu- lação para o problema, chamadaMPC+EEé deduzida. Todos os experimentos numéricos analisam sistemas com atraso e as comparações são realizadas em termos do tempo de CPU necessário para calcular a ação de controle.
Apesar de a abordagem no espaço de estados ser preferida atualmente para análise teórica, os resultados anteriores da literatura não permitiam o uso prático doMPCEEcom pequenos períodos de amostragem se o sistema
possuísse atraso dominante. Mesmo o algoritmo de cômputo rápido para o MPCEEnão era apto a tratar sistemas com períodos de amostragem peque-
nos. A formulaçãoMPC+EEdesenvolvida durante este trabalho de doutorado não só resolve esse problema como também se mostrou mais rápida que mui- tos dos relatos prévios da literatura para diversos sistemas com atraso. Sua implementação não é tão direta quanto a da formulação original doMPCEE,
porém o problema resultante é muito menor e pode ser resolvido de forma muito mais rápida. Adicionalmente, a formulaçãoMPC+EEpermite o emprego de valores diferentes para os horizontes de controle e predição e seu uso pode ser interessante mesmo para sistemas que não têm atraso.
Para sistemas com pequenos valores de atraso discreto, os tempos re- queridos por todos os métodos estudados são equivalentes se os horizontes de predição são pequenos. Conforme o horizonte de predição é ampliado, a abordagemMPCEEpadrão com cômputo rápido começa a apresentar dife-
renças significativas em relação às demais abordagens em relação ao tempo de CPU necessário para a determinação da ação de controle. Os tempos de cômputo doMPCFTe doMPC+EEmostraram-se praticamente imunes a varia-
ções no horizonte de predição (N ou Nx, respectivamente), enquanto o tempo
demandado pelo algoritmo rápido doMPCEE cresce conforme o horizonte
de predição (Th) é aumentado. O horizonte de controle (Nu) tem um papel
importante para definição do tempo de cômputo tanto doMPCFTquanto do MPC+EE, porém processos industriais tipicamente apresentam um bom com- portamento em malha fechada mesmo com pequenos horizontes de controle e, por causa disso, a maioria das aplicações industriais deMPCutiliza peque- nos horizontes de controle. A capacidade de utilizar valores diferentes para os horizontes de predição e controle pode ser explorada para reduzir signifi- cativamente o número de variáveis envolvidas no problema de otimização e mostrou-se neste trabalho que a ação de controle pode ser calculada de forma muito rápida para pequenos horizontes de controle, de modo quase indepen- dente do tamanho do horizonte de predição. Além disso, como já afirmado, o uso de horizontes de controle pequenos geralmente não representa prejuízo para o desempenho do sistema em malha fechada, o que torna oMPCFTe o MPC+
EEescolhas atrativas mesmo para processos que necessitam de períodos
de amostragem bastante reduzidos.
Os dois estudos de caso baseados em aplicações industriais dão su- porte ao fato de que o método de cômputo rápido doMPCEEnão é adequado
para sistemas com atraso dominante, enquanto a formulação proposta neste trabalho (MPC+EE) e a por função de transferência (MPCFT) são. No caso da
temperatura de saída do calorímetro, oMPCEEnão foi capaz de atingir tem-
pos de cômputo inferiores ao período de amostragem da planta (3 s), enquanto as outras duas abordagens foram capazes de atingir tempos computacionais inferiores a 100 ms. No caso da máquina de fabricação de papel, o menor período de amostragem no qual a abordagemMPCEEpode ser empregada é
3 s, valor muito maior que os 70 ms atingidos peloMPCFT e que os 45 ms
atingidos peloMPC+EE.
Para os estudos de caso apresentados neste trabalho, foi observado que o tempo de cômputo tende a crescer quando restrições são violadas se um
solverIPé utilizado. Caso seja empregado um solverAS, o tempo de CPU tende a crescer no primeiro instante de tempo no qual a violação da restrição ocorre, uma vez que o conjunto ativo é alterado. Para os problemas estudados neste trabalho, caso seja empregado um solver de propósito geral, é melhor empregar o métodoASem detrimento doIP. Adicionalmente, foi observado que o tempo de cômputo tende a ser mais repetitivo caso seja empregado um método de cômputo rápido que explora a estrutura do problema.
É importante ficar bastante claro que não se está afirmando que um método é melhor que outro. Cada método tem suas vantagens e desvantagens e um dos objetivos do estudo aqui apresentado é auxiliar o engenheiro de aplicação a escolher entre as alternativas disponíveis para tratar um sistema com atraso dominante. OMPCEEtradicional é mais fácil de ser implemen-
tado que as demais estratégias, porém os tempos de cômputo apresentados pelo método geralmente são bem maiores. Essa é uma das vantagens do MPC+EE, que não é tão complicado de ser implementado quanto uma abor- dagemMPCFTe ao mesmo tempo oferece tempos de cômputo competitivos.
Outro ponto que merece ser levado em consideração na escolha da estratégia é que quando os estados não são medidos, o emprego doMPCFTé mais sim-
ples, pois observadores de estado não são necessários. Uma grande vantagem doGPC, que é a técnicaMPCFTdiscutida nesta seção, para aplicações reais
é que ele impõe ação integral no controlador equivalente, o que permite re- jeição de perturbações do tipo degrau em regime permanente. O mesmo não se aplica à modelagem apresentada para oMPCEE, apesar de ser fácil intro-
duzir integradores no sistema de controle. Todavia, nesse caso a ordem do sistema será aumentada pelo número de saídas. Por outro lado, nos últimos anos a análise de estabilidade e desempenho sofreu muitos avanços empre- gando a abordagem no espaço de estados e esse é o método mais comum de ser encontrado na literatura atualmente.
4 PREDITOR DE SMITH FILTRADO MULTIVARIÁVEL
Com base nas ideias apresentadas em [1] e na abordagem unificada doPSFpara o casoSISOapresentada em [28], várias ideias foram formali- zadas e alguns aspectos foram aprimorados dando origem a uma abordagem DTCunificada para o controle de sistemas multivariáveis n × n com múltiplos atrasos. Neste capítulo apresenta-se esse novo controlador, chamado de pre- ditor de Smith filtrado multivariável (MIMO-PSF), assim como exemplos de simulação e um estudo de caso experimental para verificar suas propriedades. Os resultados foram submetidos sob a forma de artigo à revista Journal of Process Control [44].
OMIMO-PSFé capaz de controlar processos multivariáveis estáveis, integradores e instáveis com múltiplos atrasos. Além disso, o ajuste da es- trutura de predição é simples e pode ser realizado em um único passo em- pregando qualquer técnica de controleMIMO. O ajuste se dá em termos do compromisso existente entre desempenho e robustez. Três estudos de caso são utilizados para demonstrar o ajuste doMIMO-PSF e alguns resultados são comparados com outras abordagens presentes na literatura.
4.1 Estrutura de controle proposta
A estrutura de controleMIMO-PSFproposta é apresentada na figura 18, onde Gn(z) é o modelo rápido nominal, Ln(z) é o atrasoMIMOnominal,
Fr(z) é o filtro do preditorMIMO, S(z) é o preditor estávelMIMO, C(z) é um controlador primário MIMOe F(z) é um filtro de referênciaMIMO. Além disso, r(k) é o vetor das referências, y(k) é o vetor de saídas, ˆy(k) é o vetor de saídas do modelo, ep(k) é o vetor com os erros de predição, yp(k) é o vetor das predições da saída, q(k) é o vetor das perturbações de carga e n(k) é o vetor das perturbações de saída ou dos ruídos de medição.
Para essa estrutura, no caso nominal, as matrizes de transferência são apresentadas nas equações (4.1) (referência), (4.2) (perturbação de carga) e (4.3) (perturbação na saída e ruído de medição).
Hyr(z) = Pn(z)C(z)[I + Gn(z)C(z)]−1F(z) (4.1)
Hyq(z) = {I − Pn(z)C(z)[I + Gn(z)C(z)]−1Fr(z)}Pn(z) (4.2)
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P(z) r(k) F(z) C(z) q(k) n(k) y(k) Gn(z) Fr(z) Ln(z) yp(k) ep(k) ˆy(k)(a) Estrutura para análise
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+
+
+
+
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P(z) r(k) F(z) C(z) q(k) n(k) y(k) e(k) u(k) S(z) Fr(z) yp(k)(b) Estrutura para implementação
Figura 18: Esquema do MIMO-PSF
Como pode ser visto com auxílio dessas equações, oMIMO-PSFtem a pro- priedade principal de qualquer estrutura de predição, que é a possibilidade de se projetar o controlador primário para um modelo rápido (note que não há atrasos comuns em det[I + Gn(z)C(z)]). Como será mostrado na seção 4.3, um ajuste apropriado de Fr(z) também permite que o MIMO-PSFcontrole processosMIMOintegradores ou instáveis com atraso (garante a estabilidade da estrutura de predição), permite que se alcance uma relação adequada entre desempenho e robustez e permite atenuação de ruídos de medição.