2.2 Compensadores de atraso de transporte
2.2.5 Compensadores de atraso multivariáveis
Como em sistemas multivariáveis com múltiplos atrasos cada relação entre as entradas e as saídas pode apresentar um valor diferente de atraso, o projeto de controladores para essa classe de sistemas é bastante complexo [2]. O emprego deDTCnesse caso pode simplificar bastante o projeto de contro- ladores primários. Na sequência são analisadas duas abordagens apresentadas na literatura para o controle de sistemas com atraso de transporte: a primeira para sistemas estáveis e a segunda para processos com modos instáveis.
O primeiro trabalho publicado com uma extensão doPSpara o caso multivariável foi publicado porAlevisakis e Seborg[6] e tratava apenas pro- blemas com todos os atrasos de igual magnitude. EmOgunnaike e Ray[46], oPSfoi estendido para o caso de múltiplos valores de atraso e emJerome e Ray[2] a estrutura foi generalizada para possuir uma ou mais das proprieda- des doPSe o desempenho foi aprimorado através da introdução de atrasos adicionais na estrutura do controlador.
Em [47] o PS multivariável é estendido para sistemas estáveis não quadrados com múltiplos atrasos. Em [48] umPSmultivariável ótimo desa- coplado é analisado, enquantoSánchez-Peña, Bolea e Puig[49] estenderam a análise de robustez e desempenho doPSclássico para o caso de sistemas incertos com múltiplos atrasos. Técnicas de desacoplamento também foram propostas na literatura como forma de utilizar uma abordagemPSmonovariá- vel para cada laço [2,28,49,50,51]. Em todos os casos, a principal desvan- tagem dos métodos é que eles empregam o modelo completo da planta para predizer a saída sem atraso [1]. Assim, eles não podem ser empregados para controlar sistemasMIMOinstáveis com atraso [52]. Em um artigo recente, García e Albertos[7] apresentaram um procedimento de projeto para tratar o caso de plantasMIMOinstáveis com múltiplos atrasos com diferentes valo- res em cada um dos canais. O algoritmo calcula uma predição da saída sem
atraso que permite o uso de um controlador multivariável para estabilizá-la e emprega um laço externo que melhora o desempenho para seguimento de referência e rejeição de perturbação.
Ao longo desta seção serão apresentados e discutidos os principais tra- balhos relacionados aosDTCmultivariáveis: o trabalho deJerome e Ray[2], que consiste na generalização doPSpara o casoMIMO, e o trabalho deGar- cía e Albertos[7], que permite o controle realimentado de processosMIMO instáveis com atraso. Em suas versões originais os trabalhos foram apresenta- dos com formulações de tempo contínuo, porém aqui todo o tratamento será feito para o caso discreto.
Abordagem de Jerome e Ray (1986)
O trabalho de Ogunnaike e Ray[46] foi o primeiro a tratar do pro- blema de sistemas multivariáveis com atrasos diferentes em cada uma das relações entrada-saída. A proposta do trabalho foi uma estrutura de com- pensação de atrasos de transporte para permitir que controladores primários fossem projetados para um modelo sem muitos dos efeitos dos atrasos. To- davia, a estrutura de predição era calculada simplesmente removendo-se os atrasos de P(z) para formar G(z). Essa abordagem foi aprimorada no traba- lho deJerome e Ray [2] e foi chamada pelos autores de compensador ge- neralizado para múltiplos atrasos (GMDC, do inglês generalized multidelay compensator). Neste trabalho, a estrutura é chamada de versãoMIMOdoPS (MIMO-PS).
A ideia básica consiste em separar da matriz de transferência do pro- cesso (equação (2.1)) os atrasos efetivos de cada saída. O atraso efetivo de cada saída i é di, calculado como o atraso mínimo da i-ésima linha, ou
seja, di= minj=1...n(di j). Assim, definindo-se L(z) = diag{z−d1,...,z−dn} como
o atraso multivariável da planta P(z) e G(z) como o modelo sem os atrasos comuns (também chamado de modelo rápido), obtém-se
P(z) = L(z)G(z) → G(z) = L(z)−1P(z).
Note que G(z) ainda pode conter múltiplos atrasos [1,44].
A estrutura do MIMO-PS é apresentada na figura7, onde Gn(z) é o modelo rápido nominal, Ln(z) é o atrasoMIMOnominal, C(z) é um controla- dor primárioMIMOe F(z) é um filtro de referênciaMIMO. Além disso, r(k) é o vetor das referências, y(k) é o vetor de saídas, ˆy(k) é o vetor de saídas do modelo, yp(k) é o vetor das predições da saída, q(k) é o vetor das perturbações de carga e n(k) é o vetor das perturbações de saída ou dos ruídos de medição. Para essa estrutura, no caso nominal, as matrizes de transferência são apresentadas nas equações (2.26) (referência), (2.27) (perturbação de carga)
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P(z) r(k) F(z) C(z) q(k) n(k) y(k) Gn(z) Ln(z) yp(k) ˆy(k)Figura 7: Esquema equivalente do MIMO-PS
e (2.28) (perturbação na saída e ruído de medição).
Hyr(z) = Pn(z)C(z)[I + Gn(z)C(z)]−1F(z) (2.26)
Hyq(z) = {I − Pn(z)C(z)[I + Gn(z)C(z)]−1}Pn(z) (2.27)
Hyn(z) = I − Pn(z)C(z)[I + Gn(z)C(z)]−1 (2.28)
Jerome e Ray[2] definiram o que chamaram de teste de rearranjo (tra- dução livre do original rearrangement test). Um sistema que passa no teste de rearranjo é aquele no qual consegue-se posicionar o menor atraso de trans- porte de cada linha na diagonal principal apenas através de trocas de linhas ou colunas. Caso um sistema passe no teste de rearranjo, então pode-se com- pensar o atraso em todas as malhas e pode-se projetar um controlador capaz de desacoplar os efeitos entre uma malha e outra [2].
Com base nos trabalhos deHolt e Morari[53],Jerome e Ray[2] suge- riram que adicionar atrasos no sistema para que ele passe no teste de rearranjo em muitos casos pode melhorar, ou pelo menos pode não piorar, a resposta em malha fechada. Tal fato foi demonstrado com alguns exemplos de simulação. Assim como ocorre no caso monovariável, a estrutura do MIMO-PS não é capaz de tratar satisfatoriamente os casos integradores e instáveis. No caso de plantas integradoras a estrutura não é capaz de rejeitar perturbações de carga do tipo degrau e no caso de sistemas instáveis ocorre instabilidade interna. Apenas recentemente foi proposta na literatura uma abordagem para sistemas integradores e instáveis, que será detalhada na seção2.2.5.
Abordagem de García e Albertos (2010)
García e Albertos[7] propuseram uma estrutura de controle capaz de tratar sistemas instáveis com atrasos diferentes em cada canal. A estratégia consiste em encontrar uma predição da planta sem atraso e em seguida encon- trar um controlador que estabilize essa predição sem atraso. Caso o modelo rápido definido pelo preditor possa ser estabilizado, garante-se que o sistema completo também será estável [7]. Posteriormente um laço adicional é em- pregado para definir os requisitos de seguimento e regulação.
No casoSISO, uma predição sem atraso Y†(z) da saída Y(z) pode ser obtida empregando a identidade Y†(z) = Ψd(z)U(z) + Y(z), na qual
Ψd(z) = cA−d d
X
i=1
Ai−1bz−i,
A, b e c são a matriz, o vetor e o vetor linha que representam o sistema, d é a
representação discreta do atraso de transporte e Y(z) é a saída do sistema com atraso. Note que a função de transferência que relaciona a saída com a en- trada pode ser escrita como Pn(z) = Gn(z)z−de Gn(z) = c (zI − A)−1b. No caso MIMOa ideia pode ser estendida com o emprego de uma matriz de transfe- rência Ψ(z) com cada elemento sendo calculado de acordo com a equação (2.29). Ψi j(z) = ciAdi j di j X k=1 Ak−1bjz−k (2.29)
Note que neste caso a matriz de transferência pode ser escrita como Gn(z) =
C (zI − A)−1B e que bj representa a coluna j da matriz B e ci representa a
linha i da matriz C.
Com isso pode-se encontrar uma predição sem atraso G†(z) da matriz de transferência. Como Y†(z) = Ψ(z)U(z) + Y(z) e Y(z) = Pn(z)U(z), a relação entre a entrada U(z) e a saída sem atraso Y†(z) pode ser escrita como
G†(z) = Ψ(z) + Pn(z).
Note que o modelo rápido G†(z) contém ganhos diferentes dos apresentados pelo modelo original e que dependendo do caso pode ser bastante complicado projetar um controlador C(z) que estabilize tal modelo. Experimentalmente observou-se que para valores elevados de atraso de transporte o acoplamento torna-se bastante grande, dificultando sobremaneira ou mesmo impossibili- tando o ajuste de um controlador que estabilize o modelo rápido [44].
A estabilização da planta completa pode ser realizada com uma estru- tura similar à doPS. A figura8ilustra a estrutura empregada para estabiliza-
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P(z) r(k) C(z) q(k) n(k) y(k) Ψ(z)Figura 8: Laço para estabilização de plantas instáveis
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P(z) r(k) F(z) C(z) C(z) q(k) n(k) y(k) Pn(z) Ψ(z) Ψ(z) Q(z)Figura 9: Esquema IMC-DTC
ção. Para garantir a estabilidade de malha fechada no caso nominal basta que o controlador primário C(z) estabilize o modelo sem atraso G†(z) [7].
Assim como ocorre com oPSem plantas integradoras, a estrutura por si só não é capaz de rejeitar perturbações de carga do tipo degrau. Dessa forma,García e Albertos[7] propuseram a utilização de um laço de controle por modelo interno (IMC, do inglês internal model control) auxiliar para con- tornar esse comportamento. A estrutura completa de controle é apresentada na figura9. O controlador da malha externa Q(z) é ajustado para satisfazer
Q(1) =nPn(1)C(1)[I + G†(1)C(1)]−1
o−1 ,
garantindo seguimento de referências e rejeição de perturbações do tipo de- grau.
perturbações de carga em plantas integradoras. Para simplificar a notação, essa estrutura será chamada de IMC-MIMO-PS. A estrutura de controle é a mesma da figura 9, porém nesse caso Ψ(z) = Gn(z) − Pn(z), que deve ser implementado sem cancelamento polo-zero em z = 1.