Neste cap´ıtulo apresentou-se os principais conceitos sobre sistemas de r´adio definido por software, r´adio cognitivo e sensoriamento espectral.
Inicialmente definiu-se formalmente o conceito de SDR, dispositivos de r´adio que implementam fun¸c˜oes que eram tipicamente realizadas em hardware e que passaram a ser implementadas em software. Logo ap´os estabeleceu-se a rela¸c˜ao dos r´adios definidos por software com o conceito de r´adio cognitivo. Observa-se que o sistema de SDR ´e o n´ucleo de um sistema de r´adio cognitivo. Definiu-se tamb´em o conceito de sensoriamento espectral e as principais t´ecnicas de sensoriamento, como: (i) sensoriamento por energia; (ii) sensoriamento por filtros casados e (iii) sensoriamento por cicloestacionariedades.
O sensoriamento por energia destaca-se por ser bastante simples, por´em esta t´ecnica de sensoriamento n˜ao ´e eficaz em ambientes com baixa SNR (Signal Noise Ratio) ou com presen¸ca de ru´ıdo n˜ao estacion´ario. O sensoriamento por cicloestacionaridade, por sua vez, se apresenta como sendo o mais interessante para detectar sinais em ambientes com baixa
CAP´ITULO 2. R ´ADIO COGNITIVO E SENSORIAMENTO ESPECTRAL 25 SNR, al´em de n˜ao requerer nenhum conhecimento pr´evio dos sinais a serem sensoreados, por´em apresenta uma maior complexidade computacional do que o detector de energia.
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E interessante frisar que ao longo do tempo algumas varia¸c˜oes foram incorporadas ao detector de energia cl´assico e ao sensoriamento por cicloestacionariedades. Essas modifica¸c˜oes visam, principalmente, aumentar a taxa de detec¸c˜ao da arquitetura de sensoriamento em fun¸c˜ao das dificuldades relacionadas ao sensoriamento espectral, conforme detalhado anteriormente. Neste trabalho s˜ao implementados apenas algoritmos cl´assicos de sensoriamento, entretanto outros m´etodos de sensoriamento espectral de sinais codificados com wavelet podem ser facilmente investigados.
O pr´oximo cap´ıtulo deste texto ser´a dedicado a apresenta¸c˜ao da codifica¸c˜ao de canal implementada neste trabalho: a codifica¸c˜ao wavelet.
CAP´ITULO 3
CODIFICA¸C ˜AO COM MATRIZES WAVELET
O primeiro trabalho sobre matrizes wavelets data de 1910, desenvolvido por Alfred Haar (HAAR,1910). Diferentes matrizes utilizadas amplamente no campo da matem´atica, assim como em v´arias t´ecnicas de processamento de sinais podem ser classificadas como matrizes de Haar. Dentre elas, incluem-se as matrizes utilizadas na transformada discreta de Fourier ou na transformada discreta do cosseno, al´em das matrizes de Hadamard e Walsh, a matriz de Rademacher e as matrizes de Chebyshev (CAVALCANTE,2014).
Uma matriz wavelet pode ser vista como uma generaliza¸c˜ao das matrizes ortogonais quadradas em matrizes retangulares. Elas possuem uma forte correspondˆencia com um banco de filtros digitais, em que cada vetor-linha da matriz corresponde a um filtro do banco. O banco de filtros, constru´ıdo a partir dos vetores-linha da matriz wavelet pode ser encarado como uma decomposi¸c˜ao ortogonal do espa¸co vetorial do sinal de entrada. Devido a isto, a energia do sinal de sa´ıda nunca ultrapassa a sua energia original na entrada do banco de filtros (SILVEIRA,2006).
A estrutura das matrizes wavelets garantem caracter´ısticas desej´aveis para filtros digitais. Dentre essas caracter´ısticas, pode-se citar: suporte compacto (filtros FIR); reconstitui¸c˜ao perfeita (sem mascaramento); ortogonalidade; ortogonalidade sobreposta (de forma a preservar a taxa de sinaliza¸c˜ao); suavidade e algoritmos r´apidos.
A utiliza¸c˜ao das matrizes wavelets em t´ecnicas de diversidade em sistemas de comunica- ¸c˜oes m´oveis foi inicialmente proposta por Tzannes (TZANNES; TZANNES,1992). A ideia consiste em explorar a propriedade de ortogonalidade das linhas da matriz wavelet para superar o efeito do desvanecimento de pequena escala. Do mesmo modo da codifica¸c˜ao convolucional, a estrat´egia de diversidade por matrizes wavelet consiste em espalhar a informa¸c˜ao contida em um bit por diversos s´ımbolos ao longo do tempo, aumentando a robustez do sistema a desvanecimentos profundos localizados. O resultado deste processo de codifica¸c˜ao ´e um conjunto de s´ımbolos multin´ıveis e n˜ao equiprov´aveis, denominados de s´ımbolos wavelet.
O n´umero m´aximo de s´ımbolos codificados que podem ser afetados por um bit de entrada, denominado neste trabalho de comprimento de restri¸c˜ao do codificador wavelet,
CAP´ITULO 3. CODIFICA ¸C ˜AO COM MATRIZES WAVELET 27 depende do n´umero de colunas da matriz utilizada no processo de codifica¸c˜ao. Quanto maior o n´umero de colunas da matriz, maior ser´a o comprimento de restri¸c˜ao e por consequˆencia, mais robusto ser´a o sistema aos efeitos degenarativos do canal de comunica¸c˜ao. Contudo, diferentemente da codifica¸c˜ao convolucional, o aumento no comprimento de restri¸c˜ao n˜ao aumenta a complexidade computacional envolvida no processo de decodifica¸c˜ao. De fato, devido `a propriedade de ortogonalidade das linhas da matriz wavelet, o processo de decodifica¸c˜ao ´e simples e pode ser feito utilizando-se um banco de correlatores com coeficientes casados com as linhas da matriz wavelet (SILVEIRA, 2002), diferentemente do que acontece em codificadores convolucionais, que utilizam decodificadores em treli¸ca
(PROAKIS,1989).
Este cap´ıtulo aborda os principais conceitos da codifica¸c˜ao de canal usando matrizes wavelets. Ser˜ao apresentados os processos de codifica¸c˜ao e decodifica¸c˜ao e as principais propriedades dos s´ımbolos gerados pelo codificador wavelets. Uma implementa¸c˜ao dos processos de codifica˜ao e decodifica¸c˜ao wavelet em sistema de r´adio definido por software pode ser encontrada no Anexo C deste texto.
3.1 MATRIZES DE CODIFICA¸C ˜AO WAVELET Considere uma matriz A = (as
k) descrita na Equa¸c˜ao (3.1), a qual possui m ≥ 2 linhas, mg colunas e elementos que pertencem ao conjunto dos n´umeros complexos:
A = a0 0 a01 . . . a0mg−1 a10 a11 . . . a1mg−1 .. . ... . .. ... am−10 am−11 . . . am−1mg−1 , (3.1)
nessas condi¸c˜oes, a matriz A ´e denominada Matriz de Coeficientes Wavelets (MCW) de posto m e gˆenero g se as condi¸c˜oes expressas nas Equa¸c˜oes (3.2) e (3.3) forem satisfeitas
(CAVALCANTE, 2014):
mg−1
X
k=0
CAP´ITULO 3. CODIFICA ¸C ˜AO COM MATRIZES WAVELET 28 mg−1 X k=0 as[k+mr0 0]as[k+mr] = mδs0,sδr0,r, 0 ≤ s0, s ≤ m − 1 0 ≤ r0, r ≤ g − 1, (3.3)
em que [k + mr] ´e o resultado da opera¸c˜ao k + mr m´odulo mg, a ´e o complexo conjugado de a e δx,y ´e a fun¸c˜ao Delta de Kronecker, definido por:
δx,y = 1 caso x = y
0 caso cont´ario
(3.4)
A condi¸c˜ao expressa na Equa¸c˜ao (3.3) indica que as linhas de uma matriz wavelet de posto m e gˆenero g possuem norma √m e s˜ao mutuamente ortogonais entre si, mesmo quando deslocadas por um m´ultiplo de m (TZANNES; TZANNES, 1992). Al´em disso, a Equa¸c˜ao (3.3) denota tamb´em que cada linha da matriz A ´e ortogonal a si pr´opria quando deslocada por um m´ultiplo de m (SILVEIRA et al., 2001). A Equa¸c˜ao (3.2), por sua vez, indica que a soma dos elementos da primeira linha da matriz wavelet ´e igual ao posto da matriz, ao passo que a soma dos elementos de cada uma das demais linhas ´e igual a zero
(CAVALCANTE, 2014).
3.1.1 Matrizes Wavelets Inteiras e Planas
No processo de codifica¸c˜ao wavelet geralmente s˜ao utilizadas matrizes inteiras e planas. Neste caso todos os seus elementos s˜ao restristos a ±1, e, desse modo, as propriedades das Equa¸c˜oes (3.2) e (3.3) resumem-se, respectivamente, `as Equa¸c˜oes (3.5) e (3.6) (TZANNES;
TZANNES, 1992): mg−1 X k=0 ask = m√gδs,0, 0 ≤ s ≤ m − 1, (3.5) mg−1 X k=0 as[k+mr0 0]as[k+mr] = mgδs0,sδr0,r, 0 ≤ s0, s ≤ m − 1 0 ≤ r0, r ≤ g − 1. (3.6)
A matriz wavelet inteira e plana com elementos normalizados em ±1 e dimens˜ao 2 × 2 ´e conhecida como matriz de Haar, sendo expressa por:
M CW2×2= 1 1 1 −1 . (3.7)
CAP´ITULO 3. CODIFICA ¸C ˜AO COM MATRIZES WAVELET 29 Matrizes com dimens˜oes maiores, como a expressa na Equa¸c˜oes (3.8) e (3.9), podem ser obtidas via opera¸c˜oes de extens˜ao e de produto tensorial (RESNIKOFF; WELLS, 2012).
M CW2×8= 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 , (3.8) M CW4×16 = 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 . (3.9) Em t´ecnicas de codifica¸c˜ao wavelet, matrizes com dimens˜oes elevadas s˜ao geralmente utilizadas. Quanto maior a dimens˜ao da matriz de codifica¸c˜ao, maior ser´a a redundˆancia inserida `a informa¸c˜ao, aumentando a robustez do sistema a erros em rajada.