Nossas primeiras questões de pesquisa são: para que objetivos elas se voltam? Há alguma convergência3 entre esses objetivos? Eles são respondidos?
Com o foco em respondê-las seguem os objetivos das pesquisas onde grifamos o que consideramos como unidades significativas para a comparação de seu conteúdo.
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Tomando como referência Houaiss (2009), neste trabalho convergência significa concentrar-se em torno de um ponto, ou agrupar-se.
Santos (2002)
O presente trabalho insere-se na linha de pesquisa Tecnologias da Informação e Educação Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, e tem por objetivo estudar a aquisição de saberes relacionados aos coeficientes da equação y = ax + b, por meio de articulação dos registros gráfico e algébrico da função afim, com a auxílio de um software educativo, por alunos da 2ª série do ensino médio de uma escola particular em São Paulo. (SANTOS, 2002, p. 9) grifo?
Santos (2005)
O objetivo do trabalho é apresentar atividades num ambiente informático para revisão e recuperação de alguns aspectos das funções do 1º grau e do 2º grau. (SANTOS, 2005, p. 31 - 32)
Inafuco (2006)
O objetivo geral de nosso trabalho é de investigar se um recurso tecnológico (software gráfico) traz contribuições ao ensino e à aprendizagem de Equações Algébricas no Ensino Médio. (INAFUCO, 2006, p. 18)
Silva (2006)
Esta dissertação tem por objetivo verificar se um ambiente informático permite ao aluno reconhecer algumas propriedades de curvas, por meio de representações e interpretações gráficas de maneira dinâmica, com o uso de parâmetros, para uma melhor compreensão de suas equações. (SILVA, 2006, p. xx)
Passemos aos trechos grifados, considerados por nós como seu objetivo primeiro: Santos (2002) tem por objetivo estudar a aquisição de saberes; Santos (2005) afirma que o objetivo do trabalho é apresentar atividades; Inafuco (2006) tem por objetivo geral investigar se um recurso tecnológico (software gráfico) traz contribuições ao ensino e à aprendizagem; Silva (2006) tem por objetivo verificar se um ambiente informático permite ao aluno reconhecer algumas propriedades.
Reordenamos as unidades significativas para explicitar algumas divergências que ponderamos existir entre os trechos selecionados. Santos (2002) diz privilegiar a aquisição de saberes, isto é, a aprendizagem por parte do aluno, na vivência de uma engenharia didática, ou conhecimento matemático do alunado. Já Santos (2005) diz realizar apresentação de atividades, sendo assim, focaliza aspecto do ensino. Inafuco (2006) investiga se um software gráfico traz contribuições ao ensino, já Silva (2006) tem por objetivo verificar se um ambiente informático permite ao aluno reconhecer algumas propriedades; embora ambos priorizem a influência do recurso de informática, o primeiro privilegia o ensino e o segundo, o conhecimento algébrico do aluno.
Em resumo, quanto a divergências nos objetivos, temos Santos (2002) divergindo de Santos (2005), o primeiro focalizando a aprendizagem e o outro, aspecto do ensino. Além desses, temos Inafuco (2006) divergindo de Silva (2006), o primeiro focalizando o ensino e o segundo o reconhecimento de propriedades por parte do alunado.
Há, portanto, também convergências, pois todos usaram Tecnologia da Informação e Comunicação, sendo que dois, Santos (2005) e Inafuco (2006) privilegiaram o ensino e outros dois, Santos (2002) e Silva (2006) privilegiaram o conhecimento matemático do alunado e, ainda dois, Inafuco (2006) e Silva (2006), verificaram principalmente a influência da tecnologia no ensino e aprendizagem de matemática.
Quanto aos tópicos de educação algébrica envolvidos nos objetivos das pesquisas, em ordem de apresentação dos fichamentos, segue o tratamento:
Santos (2002) - coeficientes da equação y = ax + b;
Santos (2005) - aspectos das funções do 1º grau e do 2º grau, articulação dos registros gráfico e algébrico;
Inafuco (2006) - Equações Algébricas;
Silva (2006) - propriedades de curvas (em gráficos cartesianos), parâmetros, equações de curvas.
Reorganizamos esses tópicos para explicitar as convergências encontradas. No nosso entender, Santos (2002) e Santos (2005) focalizam funções e gráficos de funções. Pois Santos (2002) diz priorizar função afim, no título da dissertação e Santos (2005) afirma tratar de aspectos das funções polinomiais do 1º grau e do 2º grau.
Entendemos que Santos (2002) tenha se referido a “coeficientes da equação y = ax + b” no objetivo de sua pesquisa, porque propunha atividades nas quais se alteravam coeficientes na expressão “y = ax + b”, produzindo retas diversas representadas no sistema de coordenadas cartesianas. No nosso entender, o autor adota o significado dedutivo-geométrico, segundo a categorização de Ribeiro (2007), por tratar de representações de curvas. Tal significado pode ser fundamentado em Lima (1992):
Seja f :D uma função real de uma variável real, tendo por domínio o subconjunto D. Chama-se gráfico de f o conjunto
) ( f G
G dos pontos (x,y) do plano tais que xD e y f(x): )}. ( , ; ) , {( ) (f x y 2 x D y f x G G =
={(x,f(x)2;xD}.
Frequentemente, diz-se apenas que G é o conjunto definido pela equação y f(x)(p.21)
Esse autor define a função afim como segue:
Uma função afim f : chama-se afim quando, para todo x, tem-se f(x)axb, onde a e b são constantes reais. (LIMA, 1992, p. 24)
Silva (2006) não apenas trata de gráficos, mas das propriedades de curvas (representações de funções polinomiais de 1º e de 2º graus). Dizemos isso porque essas parecem ser as preocupações matemáticas centrais de seu trabalho. Este autor atinge também tópicos como parâmetros e equações, apesar de tratar desses tópicos, de maneira bastante parcial, no nosso entender. A simples leitura do objetivo explicitado por Inafuco (2006) não nos permite vislumbrar que tipo de equação algébrica focaliza. Porém, em verdade, tendo em mente toda a dissertação podemos afirmar que este autor tratou de equações algébricas polinomiais de 1º, de 2º, de 3º graus, evidenciando centrar-se mais no objetivo de verificar os métodos de resolução de tais equações, e, também, verificar se os valores das raízes encontradas por meio do software gráfico empregado na investigação, ajudariam na solução da equação.
Em resumo, quanto aos tópicos matemáticos enfocados todas as dissertações convergiram quanto ao tópico tratado, pois Santos (2002) tratou de representações gráficas e algébricas de função polinomial do 1º grau, Santos (2005), assim como Silva (2006), trataram de representações gráficas e algébricas de funções polinomiais do 1º grau e do 2º grau; Inafuco (2006) tratou de representações gráficas e algébricas de funções polinomiais de 1º, de 2º e de 3º graus.
Seguem trechos das conclusões das dissertações, onde grifamos os trechos em que os autores atendem aos objetivos a que se propuseram.
Santos (2002)
Este trabalho mostrou, enfim, como as familiaridades construídas via ambiente computacional podem conduzir a uma melhora na capacidade de precisar e estimar os coeficientes do registro algébrico de uma função afim. (SANTOS, 2002, p. 97)
Santos (2005)
Ao usar o software, houve uma aceitação e até melhoria nas resoluções, pois os alunos, enquanto não acertavam a atividade proposta, buscavam novas formas de resolvê-las, baseadas nas ajudas disponíveis e nos conhecimentos adquiridos anteriormente em sala de aula ou em outro momento de sua vida escolar (chamado conhecimento disponível). Isso foi percebido no momento em que determinadas duplas discutiam o porque daquele resultado que digitaram não corresponder a uma resposta correta. Creio até que fomos felizes no momento de decidir que as atividades fossem feitas em duplas, pois isto gerou muita discussão e troca de informações não só no momento dos alunos responderem às atividades feitas com o papel e lápis, mas principalmente no momento do uso do software.
Sabemos que esse software não é um instrumento que irá “salvar” os alunos, tirando-lhes todas as dúvidas, mas será mais um instrumento de ajuda, para poder rever assuntos sem o auxílio de um professor. (SANTOS, 2005, p. 104)
Inafuco (2006)
Com essa pesquisa apresentamos as transformações pelas quais passa o objeto Equações Algébricas da forma como foi concebido até ser apresentado como saber a ensinar por meio do livro didático no ensino médio. Para isso estudamos a Organização Matemática do objeto em alguns livros didáticos e identificamos as tarefas, técnicas e tecnologias o que nos permitiu caracterizar a forma como se propõe o ensino das Equações Algébricas. Esse trabalho pode subsidiar discussões acerca da prática docente apoiada por programas computacionais. (INAFUCO, 2006, p. 204)
Silva (2006)
Em DUVAL (2003), encontramos alguns elementos teóricos sobre os registros de representação semiótica, como a conversão entre os registros gráfico e simbólico. Verificamos a importância das representações semióticas no desenvolvimento do estudo de curvas planas, como a importância da apreensão global e qualitativa sobre as representações gráficas de pontos e curvas com relação às suas equações.
Em DOUADY (1986), a noção de mudança de quadros nos proporcionou o desenvolvimento de uma seqüência de atividades no subquadro da geometria: o da geometria analítica, com mudanças entre os quadros numérico, algébrico e de funções. No quadro da geometria analítica, foi possível ao aluno o estudo de algumas propriedades geométricas de pontos e curvas planas.
Em DIAS (1998), verificamos alguns problemas de articulação entre os diferentes sistemas de representação como o simbólico e gráfico em geometria analítica [...]. Observamos que, para o aluno, um mesmo problema pode ser fácil de um ponto de vista e difícil de outro[...].
Em BALACHEFF (1994), obtivemos as noções da transposição informática para a implementação da seqüência de atividades nas quais utilizamos um ambiente informático com softwares gratuitos, como o plotador gráfico, Winplot, e o construtor de GIF`s animados, GIF Animator, usados como ferramentas facilitadoras para as representações gráficas de pontos e curvas no plano. Consideramos não somente as concepções do professor, mas também as representações dos softwares e sua interface na transposição informática como um papel fundamental nesta pesquisa. (SILVA, 2006, p.224 – 225).
Em resumo, no nosso entender, os autores procuraram atender aos objetivos a que se propuseram, fazendo, por vezes, adaptações e exibindo limitações em suas investigações.