3. SISTEMA DE CONTROLO
3.3. Dimensionamento do Compensador
3.3.2. ?? não Constante
3.3.2.2. Compensador do tipo PID
Analisa-se agora o sistema adicionado por um compensador 𝐶(𝑠) do tipo Proporcional Integral Derivativo. Este compensador reúne as acções proporcional, integral e derivativa. Na figura 3.17 apresenta-se o diagrama de blocos para o sistema utilizando este compensador.
Figura 3.17. Diagrama de blocos para o sistema linearizado, utilizando um compensador PID.
b) a)
Figura 3.16. a) Resposta do sistema a uma entrada step para dimensionamento pelo modelo do sistema. b) Resposta do sistema a uma entrada step para dimensionamento pelo SISOTOOL.
1) Dimensionamento através do Modelo do Sistema
Tal como foi referido no subcapítulo 3.3.2.1, o sistema sem a aplicação de um compensador possui um zero real, um pólo real e dois pólos complexo conjugados, figura 3.12.
Dado que, uma compensação exacta dos pólos e zero da carga conduz a um compensador muito dependente da carga e contribui para a perda de informação sobre a dinâmica do sistema, neste projecto opta-se por outra estratégia de dimensionamento, baseada no posicionamento mais adequado de pólos e zeros.
A função de transferência do compensador PID assume a seguinte forma:
𝐶(𝑠) = 𝐾
𝑝(1 +
𝐾
𝑖𝑠
+ 𝑠𝐾
𝑑) =
𝐾
𝑝𝐾
𝑑𝑠
(𝑠
2+
𝑠
𝐾
𝑑+
𝐾
𝑖𝐾
𝑑) (3.23)
Introduz-se um pólo adicional no compensador PID, de modo a limitar o ganho para altas frequências do controlador. Para além disso, esta adição possibilita uma aproximação mais realista ao sistema prático. A função de transferência do PID com um pólo adicional é dada por:𝐶(𝑠) =
𝐾
𝑝𝑠𝑝
1+ 1(1 +
𝐾
𝑖𝑠
+ 𝑠𝐾
𝑑) =
𝐾
𝑝𝐾
𝑑𝑠(𝑠𝑝
1+ 1) (𝑠
2+
𝑠
𝐾
𝑑+
𝐾
𝑖𝐾
𝑑) (3.24)
Em primeiro lugar admite-se que os zeros do compensador são reais negativos. Uma vez que, o compensador PID introduz um pólo na origem, é necessário colocar um dos zeros na vizinhança deste pólo, de modo a que a dinâmica do sistema não seja afectada, isto é, que os pólos e zeros não sejam significativamente perturbados.Em relação ao pólo adicional do compensador PID este deve ser colocado o mais afastado possível do eixo imaginário, para que não perturbe a resposta do sistema, tornando-a mais lenta.
Por último, o segundo zero do compensador PID deve respeitar a expressão (3.26) e assim fechar os ramos do root-locus, figura 3.18, caso contrário o sistema poderia tornar-se instável. Em que 𝜔𝑍2 é a frequência do segundo zero e 𝜔𝑛𝑝 é a frequência do pólos complexos
conjugados da carga.
𝜔
𝑍2≫ 𝜁𝜔
𝑛𝑝(3.25)
Considerando que o segundo zero se encontra duas décadas acima dos pólos complexos conjugados, e tendo em conta todas as considerações anteriores, obtém-se o seguinte compensador.𝐶(𝑠) =(𝑠 + 30)(𝑠 + 5000)
Figura 3.18. a) Root-locus do sistema em cadeia aberta com a adição do compensador PID b) Zoom do root-locus na zona junto ao eixo imaginário.
Comparando as expressões (3.25) e (3.27), é possível obter os ganhos do compensador PID dimensionado:
𝐾
𝑝= 5030
𝐾
𝑖= 29.82
𝐾
𝑑= 1.99𝑒
−4Margem de fase:
40.4º
Verifica-se que o ganho
𝐾
𝑝 obtido é muito elevado, o que pode levar à saturação do controlador, e consequentemente ao funcionamento incorrecto do controlador. Para resolver este problema é introduzido um limitador de anti-embalamento, o qual vai ser explicado mais à frente.Figura 3.19. Diagrama de Bode em cadeia aberta do sistema utilizando um compensador PI, com dimensionamento pelo posicionamento de pólos e zeros
2) Dimensionamento através do SISOTOOL
Usando a ferramenta SISOTOOL do Matlab com um compensador PID obtém-se:
𝐾
𝑝= 0.16
𝐾
𝑖= 39.65
𝐾
𝑑= 2.18𝑒
−4Margem de fase:
61.6º
Figura 3.21. Diagrama de Bode em cadeia aberta do sistema utilizando um compensador PID, com dimensionamento pelo SISOTOOL
Comparação entre as duas situações
Comparando os compensadores dimensionados pelos dois métodos, verifica-se que o ganho proporcional do PID dimensionada pelo posicionamento de pólos e zeros é muito superior ao do PID obtido através do SISOTOOL. Por outro lado, os ganhos integral e derivativo para ambas as situações são aproximadamente da mesma ordem de grandeza. Pode-se concluir que o compensador que permite obter uma melhor resposta é o dimensionado através do SISTOOL, uma vez que este apresenta uma margem de ganho superior (61.6º), enquanto que o PID dimensionado pelo 1º método possui uma margem de ganho inferior a 45º. Para além disso, observando a figura 3.22 verifica-se que a reposta do PID projectado através do SISOTOOL apresenta menos oscilações.
Em suma, como o dimensionamento para a situação em que 𝑉𝑜 não é constante é mais
próximo da situação real, o compensador escolhido é um dos analisados para esse caso. Analisando os compensadores projectados verifica-se que os obtidos pelo dimensionamento através da ferramenta SISOTOOL são mais robustos e apresentam margens de fase superiores.
Comparando os compensadores PI e PID, escolheu-se o PI pelas razões a seguir indicadas:
PI apresenta margens de fase superiores a 45º e superiores ao PID.
A resposta do sistema à entrada escalão unitário para o PI apresenta um sobre- impulso inferior ao do PID, pois o ganho proporcional do PID é muito elevado.
Para a simulação no software MATLAB considerou-se a utilização do compensador PI dimensionado a partir dos modelos do sistema.
Figura 3.22. a) Resposta do sistema a uma entrada step para dimensionamento pelo posicionamento de pólos e zeros.
b) Resposta do sistema a uma entrada step para dimensionamento pelo SISOTOOL.
Os modelos e dimensionamentos apresentados são válidos em regime de pequenas perturbações. Contudo, para grandes perturbações podem originar-se sobrecorrentes, sobretensões ou até mesmo a saturação do conversor. De forma a evitar esta situação, utilizam blocos não lineares, como por exemplo, limitadores de anti-embalamento. Este limitadores permitem a inibição da acção integral durante a saturação ou recalcular o valor da componente integral e manter o compensador dentro dos limites de saturação [2]. Na figura 3.23 encontra-se representada a utilização de um compensador PI com um limitador de anti-embalamento. [21]
Geralmente, considera-se que 𝑘𝑤 (ganho de anti-embalamento) é dado por 𝑘𝑤≈ √𝐾𝑝𝐾𝑖.