Consideremos U como conjunto universo, e seja A um subconjunto de U. Definimos o comple- mentar do conjunto A, denotado por A , como o conjunto dos elementos que pertencem a U mas n˜ao pertencem a A, ou seja:
A ={x | x ∈ U e x /∈ A} Outras nota¸c˜oes para o complemento de A: ¯A ou Ac.
Exemplo:
Consideremos os conjuntos A ={x ∈ N | x < 12 e x ´e m´ultiplo de 3} e B = {0, 3, 5, 7}. subconjuntos de U ={x ∈ N | x ≤ 10}. Determinar:
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.
II
a) A b) (A∩ B)
c) (B∪ A)
Temos que A ={0, 3, 6, 9}; B = {0, 3, 5, 7} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Logo, a) A ={x ∈ U | x ∈ A} = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
b) (A∩ B) ={x ∈ U | x ∈ (A ∩ B)} = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
c) (B∪ A) ={x ∈ U | x ∈ (B ∪ A)} = {1, 2, 4, 8, 10}.
Observa¸c˜ao:
De modo geral, podemos considerar o complementar de um conjunto A em um conjunto B sempre que A⊂ B, e valem as seguintes propriedades:
1. (A ) = A, para todo A⊂ U (o complementar do complementar de um conjunto A ´e o pr´oprio conjunto A).
2. Se A⊂ B, ent˜ao B ⊂ A (se um conjunto est´a contido em outro, ent˜ao seu complementar cont´em o complementar desse conjunto).
Diferen¸ca de Conjuntos
Outra opera¸c˜ao que pode ser definida entre os conjuntos A e B ´e a diferen¸ca de conjuntos:
A− B = {x | x ∈ A e x /∈ B}
ou seja, A− B ´e o conjunto formado por todos os elementos que est˜ao em A mas n˜ao est˜ao em B. Exemplo: Se A ={f, g, h, i, j}; B = {b, c, f, g, i, l, m} e C = {f, g, h}, determinar: a) B− A = {b, c, l, m} b) A− B = {h, j} c) C− A = ∅
Observe que se B⊂ A, a diferen¸ca A − B ´e igual ao complementar de B em A, ou seja, se
B⊂ A ent˜ao A − B = B . 12 57 Diagramas de Venn-Euler Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.
TEORIA DOS CONJUNTOS Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.
II
Produto Cartesiano
O produto cartesiano ´e uma opera¸c˜ao sobre conjuntos que envolve a no¸c˜ao de um par or- denado, que ´e uma sequˆencia ordenada de dois elementos. Se A e B s˜ao dois conjuntos dados, ent˜ao um par ordenado de elementos de A e de B ´e um objeto denotado por (a, b), onde a∈ A
e b∈ B. Nesse caso, a ´e o primeiro elemento do par, e b ´e o segundo elemento do par. Exemplos de pares ordenados:
• (4, c)
• (endere¸co, cidade) • ((nome, endere¸co), cidade)
Sendo A e B conjuntos, podemos construir o conjunto formado por todos os pares ordenados de elementos de A e de B. Esse conjunto ´e o produto cartesiano (ou produto cruzado) de A e de B, denotado por A× B.
A× B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Logo, o produto cartesiano de dois conjuntos A e B ´e o conjunto de todos os pares ordenados cujas primeiras coordenadas perten¸cam a A e as segundas perten¸cam a B.
Exemplos: Sejam A ={♥, } e B = {1, 2}. a) A× B = {(♥, 1), (♥, 2), (, 1), (, 2)} b) B× A = {(1, ♥), (1, ), (2, ♥), (2, )} c) A× A = A2={(♥, ♥), (♥, ), (, ♥), (, )} 13
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Relação Entre Lógica e Álgebra dos Conjuntos
Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998. d) (A× B) × B = {((♥, 1), 1), ((♥, 1), 2), ((♥, 2), 1), ((♥, 2), 2), (( , 1), 1), (( , 1), 2), (( , 2), 1), (( , 2), 2)}. Exerc´ıcio:
a) Considerando os conjuntos A e B acima, determinar A× B × B = {(x, y, z) | x ∈ A, y ∈
B e z∈ B}.
b) (A× B) × B = (A × B × B)? Explique.
Observa¸c˜oes:
• Notemos que, em geral, a comutatividade n˜ao ´e v´alida, ou seja, em geral, A × B = B × A. • Se B = ∅, temos que A × ∅ = ∅ × A = ∅.
Rela¸c˜ao entre L´ogica e ´Algebra dos Conjuntos
´
Algebra, desde sua origem at´e a sua forma atual, refere-se a c´alculos. Por exemplo, as opera¸c˜oes
aritm´eticas b´asicas sobre o conjunto dos n´umeros reais constituem uma ´algebra. Informalmente, podemos considerar que uma ´algebra ´e constitu´ıda de opera¸c˜oes sobre uma cole¸c˜ao de objetos, e ent˜ao ´algebra de conjuntos corresponderia `as opera¸c˜oes definidas sobre todos os conjuntos.
Ap´os o estudo da ´algebra de conjuntos (opera¸c˜oes de uni˜ao; interse¸c˜ao; complemento; con- junto das partes e produto cartesiano), podemos observar que existe uma rela¸c˜ao direta entre os conectivos l´ogicos introduzidos na unidade anterior e as opera¸c˜oes sobre conjuntos, como segue:
CONECTIVO L ´OGICO OPERAC¸ ˜AO SOBRE CONJUNTOS
nega¸c˜ao ∼ p complemento A
disjun¸c˜ao p∨ q uni˜ao A∪ B
conjun¸c˜ao p∧ q interse¸c˜ao A∩ B
As rela¸c˜oes l´ogicas de implica¸c˜ao e equivalˆencia introduzidas anteriormente tamb´em podem ser associadas com as rela¸c˜oes sobre conjuntos, como segue:
RELAC¸ ˜AO L ´OGICA RELAC¸ ˜AO SOBRE CONJUNTOS
implica¸c˜ao p⇒ q continˆencia A⊆ B
equivalˆencia p⇔ q igualdade A = B
Observando a rela¸c˜ao entre a equivalˆencia e igualdade de conjuntos, podemos concluir que um conjunto A = B se, e somente se, A⊂ B e B ⊂ A.
Da mesma forma, as propriedades introduzidas sobre os conectivos l´ogicos na L´ogica s˜ao v´alidas na Teoria dos Conjuntos, substituindo cada conectivo pela correspondente opera¸c˜ao sobre conjuntos.
TEORIA DOS CONJUNTOS Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.
II
Por exemplo, a propriedade da distributividade da uni˜ao em rela¸c˜ao `a interse¸c˜ao dada por
A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
est´a relacionada com a equivalˆencia l´ogica
p∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
Podemos observar a validade da propriedade utilizando diagramas de Venn:
Exerc´ıcio:
Sejam A e B conjuntos quaisquer. As Leis de De Morgan para Teoria dos Conjuntos s˜ao as seguintes:
a) (A∪ B) = A ∩ B b) (A∩ B) = A ∪ B
Utilize diagramas de Venn para verificar as leis acima.
Princ´ıpio da Inclus˜ao e Exclus˜ao
Dado um conjunto A, indicaremos por n(A) o n´umero de elementos de A. Se A e B s˜ao conjuntos finitos disjuntos, ent˜ao n(A∪ B) = n(A) + n(B).
Notemos que se A e B s˜ao conjuntos quaisquer, ent˜ao:
n(A∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Este ´e o chamado Princ´ıpio da Inclus˜ao-Exclus˜ao para dois conjuntos. O nome vem do fato de que, ao contar o n´umero de elementos na uni˜ao de A e B, precisamos “incluir” (contar) o n´umero de elementos de A e o n´umero de elementos de B, mas precisamos “excluir” (subtrair) os elementos de A∩ B para evitar cont´a-los duas vezes.
Se A, B e C s˜ao conjuntos quaisquer, ent˜ao Princ´ıpio da Inclus˜ao-Exclus˜ao toma a forma:
n(A∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) (∗) A equa¸c˜ao (∗) pode ser generalizada para um n´umero arbitr´ario de conjuntos.
O Princ´ıpio da Inclus˜ao-Exclus˜ao permite resolver problemas de aplica¸c˜oes sobre conjuntos. Exemplos:
1) Para participar de uma gincana cultural, os alunos de um col´egio preencheram uma ficha em que tinham a op¸c˜ao de escolher dentre duas atividades propostas, podendo inclusive escolher ambas. Os resultados foram os seguintes: 486 escolheram a atividade I, 365 escolheram a atividade II e 116 alunos escolheram as duas atividades. Quantos alunos
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Princípio da inclusão e exclusão
Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.
preencheram a ficha para participar da gincana?
Resolu¸c˜ao: Denotando por A o conjunto de alunos que optaram pela atividade I e B como
o conjunto dos que optaram pela atividade II, sabemos que:
n(A) = 486, n(B) = 365, n(A∩ B) = 116.
Logo, como n(A∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), ent˜ao
n(A∪ B) = 486 + 365 − 116 = 735
de modo que 735 alunos preencheram a ficha.
Resolu¸c˜ao pelo diagrama:
- Se 486 alunos escolheram a atividade I e 116 deles escolheram as duas atividades, ent˜ao o n´umero de alunos que escolheu somente a atividade I ´e: 486 - 116 = 370.
- Se 365 alunos escolheram a atividade II e 116 deles escolheram as duas atividades, ent˜ao o n´umero de alunos que escolheu somente a atividade II ´e: 365 - 116 = 249.
- Se 370 optaram somente por I, 249 optaram somente por II e 116 escolheram ambas atividades, ent˜ao o n´umero de alunos que preencheu a ficha foi: 370 + 116 + 249 = 735. (n(A∪ B) = 370 + 116 + 249 = 735.)
2) Uma rede de academia que oferece v´arias op¸c˜oes de atividades f´ısicas fez um levanta- mento para saber o n´umero de pessoas matriculadas em nata¸c˜ao(N), muscula¸c˜ao(M) e gin´astica(G), obtendo os seguintes resultados:
Atividade N M G N e M N e G M e G N e M e G Outras Node alunos 148 256 162 41 25 52 8 152
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TEORIA DOS CONJUNTOS
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Com base nessas informa¸c˜oes, determine: a) O n´umero de pessoas matriculadas.
b) O n´umero de pessoas matriculadas apenas em muscula¸c˜ao. c) O n´umero de pessoas matriculadas em gin´astica ou nata¸c˜ao.
Resolu¸c˜ao pelo diagrama:
Construindo o diagrama para o problema, teremos uma vis˜ao de todos os valores envolvi- dos, e conseguiremos obter as respostas para as diversas perguntas mais facilmente: - Come¸camos sempre colocando o n´umero de elementos da interse¸c˜ao.
- Ao colocar o n´umero de elementos de um conjunto, devemos descontar os da interse¸c˜ao: * n(N∩ M) − n(M ∩ N ∩ G) = 41 − 8 = 33.
* n(N∩ G) − n(M ∩ N ∩ G) = 25 − 8 = 17. * n(M∩ G) − n(M ∩ N ∩ G) = 52 − 8 = 44.
* N´umero de elementos somente de N : 148− 33 − 8 − 17 = 90. * N´umero de elementos somente de M : 256− 33 − 8 − 44 = 171. * N´umero de elementos somente de G : 162− 17 − 8 − 44 = 93.
Logo, observando o diagrama podemos concluir que:
a) Existem 90 + 171 + 93 + 17 + 33 + 44 + 8 + 152 = 608 pessoas matriculadas. b) 171 pessoas est˜ao matriculadas apenas em muscula¸c˜ao.
c) N´umero de pessoas matriculadas em gin´astica ou nata¸c˜ao = n(N∪ G) = 93 + 44 + 8 + 17 + 33 + 90 = 285 (ou n(N∪ G) = 608 − 171 − 152 = 285).
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Princípio da inclusão e exclusão
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Considera¸c˜oes Finais
Nesta unidade, vocˆe teve oportunidade de estudar alguns conceitos b´asicos relativos `a teoria dos
conjuntos. Conjunto ´e uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para construir
estruturas mais complexas. Informalmente, podemos pensar em conjuntos como uma cole¸c˜ao sem repeti¸c˜ao e n˜ao ordenada de objetos denominados elementos ou membros do conjunto. Esses conceitos s˜ao na verdade conceitos primitivos.
Conhecemos os tipos de conjuntos, entre eles os conjuntos vazio, unit´ario e universo. Es- tudamos a rela¸c˜ao de inclus˜ao entre conjuntos, que ocorre sempre que todos os elementos de um conjunto s˜ao tamb´em elementos do outro, estabelecendo o conceito de subconjuntos. Em seguid,a realizamos o estudo da ´algebra de conjuntos, que corresponde `as opera¸c˜oes definidas sobre todos os conjuntos: uni˜ao, interse¸c˜ao, complemento, conjunto das partes e produto carte- siano.
Tamb´em pudemos observar uma rela¸c˜ao direta entre os conectivos l´ogicos introduzidos na unidade anterior e as opera¸c˜oes sobre conjuntos, bem como as rela¸c˜oes l´ogicas associadas com as rela¸c˜oes sobre conjuntos.
Uma das aplica¸c˜oes dessa associa¸c˜ao entre L´ogica e Teoria dos Conjuntos est´a na Pesquisa Booleana na Web. Na internet, a maioria dos sites de busca permite que o internauta fa¸ca com- bina¸c˜oes entre as palavras que quer pesquisar, e o uso das palavras (ou operadores booleanos) AND (ou .), OR (ou +), NOT (ou -) permite expandir e limitar a busca.
Vimos tamb´em que o princ´ıpio da inclus˜ao e exclus˜ao estabelece uma f´ormula para contar o n´umero de elementos que pertencem `a uni˜ao de v´arios conjuntos n˜ao necessariamente disjun- tos, o que permitiu resolver diversos problemas sobre n´umero de elementos da uni˜ao de uma quantidade finita de conjuntos.
Podemos ent˜ao concluir que al´em da defini¸c˜ao rigorosa de infinito e de muitas outras con- tribui¸c˜oes, a teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da Matem´atica.
Atividades de Autoestudo
1) Classifique as senten¸cas abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F): a) ( ){3} ∈ {1, 2, {3}}. b) ( ){2} ∈ {∅, 3, {3}, {2, 3}}. c) ( ){3} ⊂ {1, 2, {3}}. d) ( ){−4, −2, 1} ⊃ ∅. e) ( ){3} ∈ {1, 2, 3}. 19