Lógica Para Computação

(1)

LÓGICA PARA

COMPUTAÇÃO

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

GRADUAÇÃO

(2)

C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância; GODOY, Edvania Gimenes de Oliveira.

Lógica para Computação. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy.

Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 183 p.

“Graduação - EaD”.

1. Lógica 2. Computação . 3. Matemática 4. EaD. I. Título. ISBN 978-85-459-0245-4

CDD - 22 ed. 511.3 CIP - NBR 12899 - AACR/2 Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário

João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828

Reitor

Wilson de Matos Silva

Vice-Reitor

Wilson de Matos Silva Filho

Pró-Reitor de Administração

Wilson de Matos Silva Filho

Pró-Reitor de EAD

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Presidente da Mantenedora

Cláudio Ferdinandi

NEAD - Núcleo de Educação a Distância Direção Operacional de Ensino

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Direção de Planejamento de Ensino

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Direção de Operações

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Direção de Mercado

Hilton Pereira

Direção de Polos Próprios

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Direção de Desenvolvimento

Dayane Almeida

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Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais

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Coordenador de conteúdo

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DesignEducacional

Paulo Victor Souza e Silva

Iconografia

Amanda Peçanha dos Santos Ana Carolina Martins Prado

Projeto Gráfico

Jaime de Marchi Junior José Jhonny Coelho

Arte Capa

André Morais de Freitas

Editoração

Bruna Marconato Daniel Fuverki Hey

Revisão Textual

(3)

Viver e trabalhar em uma sociedade global é um

grande desafio para todos os cidadãos. A busca

por tecnologia, informação, conhecimento de

qualidade, novas habilidades para liderança e

so-lução de problemas com eficiência tornou-se uma

questão de sobrevivência no mundo do trabalho.

Cada um de nós tem uma grande

responsabilida-de: as escolhas que fizermos por nós e pelos

nos-sos farão grande diferença no futuro.

Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar

assume o compromisso de democratizar o

conhe-cimento por meio de alta tecnologia e contribuir

para o futuro dos brasileiros.

No cumprimento de sua missão – “promover a

educação de qualidade nas diferentes áreas do

conhecimento, formando profissionais cidadãos

que contribuam para o desenvolvimento de uma

sociedade justa e solidária” –, o Centro

Universi-tário Cesumar busca a integração do

ensino-pes-quisa-extensão com as demandas institucionais

e sociais; a realização de uma prática acadêmica

que contribua para o desenvolvimento da

consci-ência social e política e, por fim, a democratização

do conhecimento acadêmico com a articulação e

a integração com a sociedade.

Diante disso, o Centro Universitário Cesumar

al-meja ser reconhecido como uma instituição

uni-versitária de referência regional e nacional pela

qualidade e compromisso do corpo docente;

aquisição de competências institucionais para

o desenvolvimento de linhas de pesquisa;

con-solidação da extensão universitária; qualidade

da oferta dos ensinos presencial e a distância;

bem-estar e satisfação da comunidade interna;

qualidade da gestão acadêmica e

administrati-va; compromisso social de inclusão; processos de

cooperação e parceria com o mundo do trabalho,

como também pelo compromisso e

relaciona-mento permanente com os egressos,

incentivan-do a educação continuada.

(4)

(5)

Diretoria Operacional de Ensino

Diretoria de

Planejamento de Ensino

Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está

iniciando um processo de transformação, pois

quan-do investimos em nossa formação, seja ela pessoal

ou profissional, nos transformamos e,

consequente-mente, transformamos também a sociedade na qual

estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando

oportunidades e/ou estabelecendo mudanças

capa-zes de alcançar um nível de desenvolvimento

compa-tível com os desafios que surgem no mundo

contem-porâneo.

O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de

Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo

este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens

se educam juntos, na transformação do mundo”.

Os materiais produzidos oferecem linguagem

dialó-gica e encontram-se integrados à proposta

pedagó-gica, contribuindo no processo educacional,

comple-mentando sua formação profissional, desenvolvendo

competências e habilidades, e aplicando conceitos

teóricos em situação de realidade, de maneira a

inse-ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais

têm como principal objetivo “provocar uma

aproxi-mação entre você e o conteúdo”, desta forma

possi-bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos

conhecimentos necessários para a sua formação

pes-soal e profissional.

Portanto, nossa distância nesse processo de

cres-cimento e construção do conhecres-cimento deve ser

apenas geográfica. Utilize os diversos recursos

peda-gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe

possi-bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente

Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e

en-quetes, assista às aulas ao vivo e participe das

discus-sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de

professores e tutores que se encontra disponível para

sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de

aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com

tranqui-lidade e segurança sua trajetória acadêmica.

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Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

Possui mestrado em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2001). Atualmente é professora assistente da Fundação Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Mandaguari.

A

UT

OR

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SEJA BEM-VINDO(A)!

APRESENTAÇÃO

LÓGICA PARA COMPUTAÇÃO

APRESENTAC¸ ˜AO

L ´

OGICA PARA COMPUTAC

¸ ˜

AO

Prezados acadêmicos, é com satisfa¸cão que apresento a vocês o livro para a disciplina Lógica para Computa¸cão. Esta disciplina está baseada no que chamamos de Matemática Discreta, que é uma parte da Matemática que trata de situa¸cões em que as estruturas matemáticas são baseadas em conjuntos contáveis, finitos ou infinitos. Dessa forma, os conteúdos abordados na Matemática Discreta aplicam-se perfeitamente ao ambiente computacional, visto que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao dom´ınio discreto.

Os objetivos principais da disciplina são desenvolver o racioc´ınio lógico-matemático e oferecer instrumentos para que vocês desenvolvam um vocabulário preciso, com recursos para nota¸cão matemática e abstra¸cões. Assim, será poss´ıvel aplicar os conceitos de Matemática discreta como uma ferramenta para investiga¸cões e aplica¸cões na área de Computa¸cão.

Este livro está dividido em cinco unidades. A primeira trata de no¸cões de Lógica Matemática, que é básica para qualquer estudo em computa¸cão e informática. O principal objetivo dessa unidade será introduzir, resumidamente, os principais conceitos e a terminologia de lógica matemática. Veremos como utilizar a nota¸cão simbólica para as lógicas proposicional e de predicados para simbolizar argumentos, bem como determinar sua validade por meio das re-gras de inferência.

A segunda unidade é dedicada ao estudo da Teoria dos Conjuntos. O conceito de conjunto é fundamental, pois praticamente todos os conceitos desenvolvidos em computa¸cão são baseados em conjuntos ou constru¸cões sobre conjuntos. Com as no¸cões primitivas de conjunto e per-tinência, que são aceitas sem defini¸cão, iniciaremos o estudo de conjuntos definindo elementos, subconjuntos e tipos de conjuntos, bem como suas representa¸cões por descri¸cão, propriedade ou diagrama. Em seguida, estudaremos as opera¸cões sobre conjuntos, que são agrupadas em não revers´ıveis (união e interse¸cão) e revers´ıveis (complemento, conjunto das partes e produto cartesiano). Será estabelecida também a rela¸cão entre álgebra de conjuntos e lógica.

As unidades III e IV são dedicadas ao estudo de rela¸cões e fun¸cões, respectivamente. Rela¸cões são muito usadas em todas as áreas teóricas e práticas da computa¸cão. Além do conceito formal de rela¸cão, diversos conceitos correlatos serão estudados: rela¸cão dual, composi¸cão de rela¸cões e tipos de rela¸cões. Veremos como representar rela¸cões por meio de diagramas, matrizes ou grafos, e para o caso de uma ordem parcial de tarefas relacionadas por pré-requisitos, discu-tiremos sobre a representa¸cão em diagrama PERT.

(8)

Uma fun¸cão é um caso particular de rela¸cão binária e, assim como as rela¸cões, descreve diversas situa¸cões reais. Abordaremos o conceito de fun¸cão, destacando seu dom´ınio, imagem e repre-senta¸cão gráfica, bem como as propriedades de fun¸cões e as defini¸cões de fun¸cões compostas e inversas.

Por fim, na unidade V, faremos uma retomada das unidades anteriores apresentando aplica¸cões na área de Computa¸cão. Sobre lógica proposicional e teoria dos conjuntos, veremos aplica¸cões em linguagens de programa¸cão conhecidas como procedurais (no caso, linguagem Pascal). Sobre lógica de predicados, apresentaremos uma linguagem de programa¸cão conhecida como declar-ativa (Prolog), em que os programas reúnem uma série de dados e regras e as usam para gerar conclusões. O item Rela¸cões será retomado no estudo de caminho cr´ıtico em um diagrama Pert, para determinar o tempo m´ınimo de conclusão de uma sequência de atividades ordenadas em uma tarefa a ser realizada. Também em bancos de dados relacional, que é um banco de dados cujos dados são conjuntos (representados como tabelas) que são relacionados com outros conjuntos (tabelas), veremos a aplica¸cão dos conceitos de conjuntos e rela¸cões. E, finalmente, será destacada a aplica¸cão dos conceitos de rela¸cões e fun¸cões em autômatos finitos.

Gostaria de destacar que não pretendemos realizar estudo detalhado de conceitos espec´ıficos de computa¸cão, mas apenas dar uma no¸cão sobre a forte rela¸cão entre a matemática estudada com outras disciplinas do curso.

Em cada unidade, são propostas atividades sobre o conteúdo estudado. A realiza¸cão dessas atividades é muito importante para a fixa¸cão dos conceitos e verifica¸cão de aprendizagem.

Desejo a todos um bom estudo!

2

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SUMÁRIO

09

UNIDADE I

LÓGICA MATEMÁTICA

15 Introdução

16 Lógica Proposicional

16 Proposições e Valores Lógicos

17 Conectivos Lógicos

25 Tabela-Verdade

26 Tautologias e Contradições

28 Equivalência Lógicas

31 Implicações Lógicas

32 Método Dedutivo

35 Quantificadores e Predicados

38 Negação de Sentenças Quantificadas

39 Considerações Finais

(10)

SUMÁRIO

UNIDADE II

TEORIA DOS CONJUNTOS

47 Introdução

47 Conceitos Primitivos

48 Descricão de Conjuntos

50 Igualdade de Conjuntos

50 Tipos de Conjuntos

51 Subconjuntos

53 Conjunto das Partes

54 Diagramas de Venn-Euler

58 Produto Cartesiano

59 Relação Entre Lógica e Álgebra dos Conjuntos

60 Princípio da Inclusão e Exclusão

64 Considerações Finais

UNIDADE III

RELAÇÕES

73 Introdução

73 Relação Binária

76 Tipos de Relações Binárias

77 Propriedades das Relações

78 Representação das Relações

(11)

SUMÁRIO

11

82 Relação de Ordem

85 Diagrama de Hasse

87 Diagrama PERT

89 Relações Duais

89 Composição de Relações

91 Consideração Finais

UNIDADE IV

FUNÇÕES

101 Introdução

101 Funções

103 Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

105 Igualdade de Funções

105 Gráfico de Funções

108 Função Piso e Função Teto

109 Propriedades de Funções

112 Função Composta

114 Funções Inversas

115 Técnicas para Obtenção da Inversa de uma Função

117 Considerações Finais

(12)

SUMÁRIO

UNIDADE V

APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO

125 Introdução

125 Álgebra dos Conjuntos nas Linguagens de Programação

132 PROLOG

139 Caminho Crítico no Diagrama PERT

144 Autômatos Finitos

150 Relações e Banco de Dados

159 Considerações Finais

165 Conclusão

167 Referências

169 Gabarito

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UNID

ADE

I

Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy

LÓGICA MATEMÁTICA

Objetivos de Aprendizagem

■ Desenvolver o raciocínio lógico matemático.

■ Usar os símbolos formais da lógica proposicional.

■ Encontrar o valor-verdade de expressões em lógica proposicional.

■ Reconhecer tautologias e contradições.

■ Usar a lógica proposicional para provar a validade de um argumento

na língua portuguesa.

■ Identificar/reconhecer símbolos quantificados.

■ Determinar o valor-verdade de uma proposição predicativa em uma

dada interpretação.

■ Representar sentenças da língua portuguesa usando a lógica de

predicativos.

■ Determinar a negação de sentenças quantificadas.

Plano de Estudo

A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:

■ Lógica Proposicional.

■ Conectivos Lógicos

■ Tabelas- Verdade

■ Tautologias e Contradições

■ Equivalências Lógicas

■ Implicações Lógicas

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■ Método Dedutivo

■ Quantificadores e Predicados

■ Negação de Sentenças Quantificadas

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INTRODUÇÃO

Introdu¸c˜

ao

A lógica formal fornece base para o modo de pensar organizado e cuidadoso que caracteri-za qualquer atividade racional. Ela é considerada base de todo racioc´ınio matemático e do racioc´ınio automatizado, tendo aplica¸cões diretas em Ciência da Computa¸cão, em grau variado de complexidade. Considera-se que o estudo da Lógica teve in´ıcio na Grécia Antiga, sendo sistematizado por Aristóteles (384a.C.-322a.C.), com a formula¸cão de leis gerais de encadea-mentos de conceitos e ju´ızos que levariam à descoberta de novas verdades (Lógica Clássica). Entretanto, os argumentos formulados em linguagem natural como em português, por exemplo, são muitas vezes de dif´ıcil avalia¸cão, devido a ambiguidades nas frases e constru¸cões confusas. Os matemáticos da atualidade entenderam então que, para uma matéria ser estudada com o caráter cient´ıfico necessário, era preciso introduzir-se uma linguagem simbólica.

A Lógica Simbólica ou Lógica Matemática utiliza s´ımbolos de origem matemática para for-mular os argumentos. Nessa lógica, as várias rela¸cões entre proposi¸cões são representadas por fórmulas cujos significados estão livres de ambiguidades tão comuns à linguagem corrente, e essas fórmulas podem ser “operadas” segundo um conjunto de regras de transforma¸cão for-mal. Outra vantagem de seu uso refere-se à facilidade de entendimento e brevidade para obter resultados.

O moderno desenvolvimento da Lógica iniciou-se com a obra de George Boole (1815-1864)-“ Álgebra Booleana”- e de Augustus De Morgan (1806-1871), e foi consolidado pelo filósofo e matemático alemão Gottlob Frege (1848-1895) - “Regras de Demonstra¸cão Matemática.” Como a Lógica Simbólica tem sua própria linguagem técnica, é um instrumento poderoso para a análise e a dedu¸cão dos argumentos, especialmente com o uso do computador. Na computa¸cão, ela é utilizada para representar problemas e para obter suas solu¸cões. O algoritmo, que seria o conjunto finito de instru¸cões a serem executadas para obter a solu¸cão de um problema, é constru´ıdo com base na lógica matemática.

Nessa unidade vamos estudar os principais conceitos e a terminologia da lógica matemática, que envolve proposi¸cões, conectivos, tabelas-verdade e tautologias para chegar a conclusões a partir de proposi¸cões dadas, bem como o estudo dos quantificadores e predicados. Os conteúdos estudados serão utilizados em disciplinas futuras e fornecerão ferramentas para investiga¸cões e aplica¸cões precisas em sua área de atua¸cão.

2 15 Introdução Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

(16)

LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

I

L´

ogica Proposicional

Proposi¸c˜oes e Valores L´ogicos

Proposi¸cão é uma senten¸ca declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Dito de outra maneira, proposi¸cão é toda expressão que encerra um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como V (verdadeira) ou F (falsa).

Exemplos:

1. 17 é um número par. 2. O gato é um mam´ıfero.

3. O 136◦_{d´ıgito da expans˜ao decimal de}√_{11 ´e 2.}

4. Est´a chovendo agora.

5. Todo quadrado ´e um retˆangulo. 6. 100 + 100 = 300

Observamos que todas essas senten¸cas são proposi¸cões, pois: (2) e (5) são verdadeiras e (1) é falsa; a veracidade ou falsidade de (4) depende do momento em que a proposi¸cão é feita; e apesar de não sabermos o valor do d´ıgito solicitado na afirma¸cão (3), ele será igual a 2 ou não será 2, ou seja, a senten¸ca será verdadeira ou falsa.

3

(17)

17 Conectivos Lógicos Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

Como exemplos de frases que não são proposi¸cões, podemos citar: 1. Feliz aniversário!!! (Senten¸ca exclamativa)

2. Onde est´a a chave? (Senten¸ca interrogativa) 3. Vire `a esquerda. (Senten¸ca imperativa)

4. x+y = 6. (senten¸ca aberta; pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores de x e y) O valor lógico de uma proposicã¸ o se refere a um dos dois poss´ıveis ju´ızos que atribuiremos a uma proposi¸cão: verdadeiro, denotado por V (ou 1), ou falso, denotado por F (ou 0).

Princ´ıpios B´asicos das Proposi¸c˜oes:

I) Princ´ıpio da não contradi¸cão: Uma proposi¸cão não pode ser verdadeira e falsa simultane-amente.

II) Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Toda proposi¸cão ou é verdadeira ou é falsa; não existe um terceiro valor lógico.

Classifica¸c˜ao das Proposi¸c˜oes:

As proposi¸c˜oes podem ser classificadas em simples e compostas:

Proposi¸cões simples: aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposi¸cões.

Exemplos:

* A impressora est´a ligada. * O novo papa ´e argentino.

Proposi¸cões compostas: aquelas formadas pela combina¸cão de proposi¸cões simples.

Exemplos:

* João é médico e Pedro é dentista. * Se fizer sol, então irei ao clube.

Conectivos L´

ogicos

Proposi¸cões simples podem ser combinadas para for-mar proposi¸cões mais complexas: as proposi¸cões com-postas. As palavras ou s´ımbolos usados para formar novas proposi¸cões a partir de proposi¸cões dadas são chamados de conectivos.

(18)

Os conectivos fundamentais da Lógica Matemática são:

Conectivo S´ımbolo

1) não; não é verdade que _∼ Nega¸cão ou modificador

2) e ∧ Conjun¸c˜ao

3) ou ∨ Disjun¸c˜ao

4) se ... ent˜ao _→ Condicional

5) se, e somente se _↔ Bicondicional

Dadas as proposi¸c˜oes simples p e q, podemos com o uso de conectivos formar novas proposi¸c˜oes a partir de p e q. Assim temos:

1) A nega¸c˜ao de p _{∼ p} n˜ao p

2) A conjun¸cão de p e q p_{∧ q} p e q 3) A disjun¸cão de p e q p_{∨ q} p ou q 4) A condicional de p e q p_{→ q se p, então q} 5) A bicondicional de p e q p↔ q p se, e somente se, q

Exemplo:

Dadas as proposi¸cões p: 2 é um número par e q: 6 é múltiplo de 3, fa¸ca as tradu¸cões para

a linguagem corrente para as seguintes proposi¸c˜oes:

a)_{∼ p} 2 não é um número par. (ou: 2 é um número ´ımpar.)

b)_{∼ p ∨ q} 2 não é par ou 6 é múltiplo de 3.

c)∼ q → p Se 6 não é múltiplo de 3, então 2 é par.

d)_{∼ p ↔ q} 2 é ´ımpar se, e somente se, 6 é múltiplo de 3.

e)_{∼ (p ∧ ∼ q) Não é verdade que 2 é par e 6 não é um múltiplo de 3.}

# SAIBA MAIS #:

Alguns dos conectivos apresentados podem ser denotados por outros s´ımbolos ou express˜oes. Consideremos p, q proposi¸c˜oes:

Conectivo l´ogico S´ımbolo

Nega¸c˜ao _{¬p; p}

Conjun¸c˜ao p.q

Disjun¸c˜ao p + q

5 Os conectivos fundamentais da Lógica Matemática são:

Conectivo S´ımbolo

1) não; não é verdade que _∼ Nega¸cão ou modificador

2) e _∧ Conjun¸c˜ao

3) ou ∨ Disjun¸c˜ao

4) se ... ent˜ao → Condicional

5) se, e somente se _↔ Bicondicional

Dadas as proposi¸c˜oes simples p e q, podemos com o uso de conectivos formar novas proposi¸c˜oes a partir de p e q. Assim temos:

1) A nega¸c˜ao de p _{∼ p} n˜ao p

2) A conjun¸cão de p e q p∧ q p e q 3) A disjun¸cão de p e q p_{∨ q} p ou q 4) A condicional de p e q p_{→ q se p, então q} 5) A bicondicional de p e q p↔ q p se, e somente se, q

Exemplo:

Dadas as proposi¸cões p: 2 é um número par e q: 6 é múltiplo de 3, fa¸ca as tradu¸cões para

a linguagem corrente para as seguintes proposi¸c˜oes:

a)_{∼ p} 2 não é um número par. (ou: 2 é um número ´ımpar.)

b)_{∼ p ∨ q} 2 não é par ou 6 é múltiplo de 3.

c)∼ q → p Se 6 não é múltiplo de 3, então 2 é par.

d)_{∼ p ↔ q} 2 é ´ımpar se, e somente se, 6 é múltiplo de 3.

e)∼ (p ∧ ∼ q) Não é verdade que 2 é par e 6 não é um múltiplo de 3.

# SAIBA MAIS #:

Alguns dos conectivos apresentados podem ser denotados por outros s´ımbolos ou express˜oes. Consideremos p, q proposi¸c˜oes:

Conectivo l´ogico S´ımbolo

Nega¸cão _{¬p; p} Conjun¸cão p.q Disjun¸cão p + q 5 LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

I

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A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programa¸c˜ao) possui os seguintes conectivos l´ogicos:

not Nega¸cão and Conjun¸cão or Disjun¸cão <= Condicional = Bicondicional Fonte: Menezes (2013).

# FIM SAIBA MAIS#

O valor lógico de uma proposi¸cão composta (verdadeiro ou falso) depende do valor lógico das proposi¸cões simples que a compõem e da maneira como elas são combinadas pelos conectivos. Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposi¸cões p e q, vamos definir os valores lógicos das proposi¸cões:∼ p; p ∧ q; p ∨ q; p → q e p ↔ q.

1. Nega¸c˜ao (_∼)

Dada uma proposi¸cão p, a nega¸cão de p será indicada por_{∼ p (Lê-se ”não p”). O valor} verdade da proposi¸cão∼ p será o oposto do valor verdade de p.

Em resumo:

Nega¸cão: se V(p) = V então V(_{∼ p) = F e se V(p) = F então V(∼ p).}

Essas possibilidades para os valores lógicos podem ser colocadas em uma tabela, denomi-nada tabela-verdade. Uma tabela verdade é uma tabela que contém as proposi¸cões nas colunas e as possibilidades de valores-verdade nas linhas. É comum expressar os resultados de uma proposi¸cão composta por meio de tabelas- verdade, que permitem analisar seus valores-verdade.

Tabela-verdade para a nega¸c˜ao de p:

p _{∼ p}

V F

F V

6

A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programa¸c˜ao) possui os seguintes conectivos l´ogicos:

not Nega¸cão and Conjun¸cão or Disjun¸cão <= Condicional = Bicondicional Fonte: Menezes (2013).

# FIM SAIBA MAIS#

O valor lógico de uma proposi¸cão composta (verdadeiro ou falso) depende do valor lógico das proposi¸cões simples que a compõem e da maneira como elas são combinadas pelos conectivos. Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposi¸cões p e q, vamos definir os valores lógicos das proposi¸cões:_{∼ p; p ∧ q; p ∨ q; p → q e p ↔ q.}

1. Nega¸c˜ao (∼)

Dada uma proposi¸cão p, a nega¸cão de p será indicada por_{∼ p (Lê-se ”não p”). O valor} verdade da proposi¸cão_{∼ p será o oposto do valor verdade de p.}

Em resumo:

Nega¸cão: se V(p) = V então V(∼ p) = F e se V(p) = F então V(∼ p).

Essas possibilidades para os valores lógicos podem ser colocadas em uma tabela, denomi-nada tabela-verdade. Uma tabela verdade é uma tabela que contém as proposi¸cões nas colunas e as possibilidades de valores-verdade nas linhas. É comum expressar os resultados de uma proposi¸cão composta por meio de tabelas- verdade, que permitem analisar seus valores-verdade.

Tabela-verdade para a nega¸c˜ao de p:

p ∼ p

V F

F V

6

19

Proposições e Valores Lógicos

Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

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2. Conjun¸c˜ao (_∧)

O operador conjun¸c˜ao “∧” representa intuitivamente o papel an´alogo ao conectivo “e” da

L´ıngua Portuguesa. Por exemplo, se p: “7 < 0” e q: “11 é ´ımpar”, então p∧ q é a proposi¸cão

“7 < 0 e 11 é ´ımpar”. Neste caso, sabemos que (p_{∧ q) é falsa, pois falha a proposi¸cão q.} Dadas duas proposi¸cões p e q, chama-se “conjun¸cão de p e q” a proposi¸cão “p_{∧ q” (lê-se p} e q). A conjun¸cão p_{∧ q será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras e será falsa nos} outros casos.

Em resumo: V(p∧ q) = V somente quando V(p) = V(q) = V.

Tabela-verdade para a conjun¸c˜ao p_{∧ q}

p q p∧ q V V V V F F F V F F F F 3) Disjun¸c˜ao (_∨)

Dadas duas proposi¸cões p e q, chama-se “disjun¸cão de p e q” a proposi¸cão “p∨ q” (lê-se

p ou q). A disjun¸cão p_{∨ q será verdadeira se pelo menos uma das proposi¸cões (p ou q) for} verdadeira e será falsa apenas no caso em que as duas (p e q) forem falsas.

Em resumo: V(p_{∨ q) = F somente quando V(p) = V(q) = F.} Exemplos:

a) Se p: 3 + 4 > 5 e q: 3 + 1 = 2, a composta P(p, q) formada ao usar o conectivo “∨” ´e

P:p_{∨ q, que se lˆe P: 3 + 4 > 5 ou 3 + 1 = 2.}

b) A frase: “O aluno tem celular ou notebook” é uma disjun¸cão de duas proposi¸cões simples: [O aluno tem celular]_{∨ [O aluno tem notebook].}

O concetivo ∨ tamb´em ´e chamado de “ou inclusivo”, pois ele admite as duas frases

ver-dadeiras. A frase do exemplo acima ´e verdadeira se o aluno tiver somente celular, somente notebook, ou celular e notebook.

Em resumo: V(p_{∨ q) = F somente quando V(p) = V(q) = F.}

7 LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

I

(21)

Tabela-verdade para a disjun¸c˜ao p_{∨ q.} p q p_{∨ q} V V V V F V F V V F F F 3.1) Disjun¸c˜ao Exclusiva: (∨)

Chama-se disjun¸cão exclusiva de duas proposi¸cões p e q a proposi¸cão representada por “p_∨ q” ou p_{⊕q, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade (V)} somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Em resumo: V( p_{∨q ) = F quando V(p) = V(q).}

Na disjun¸cão exclusiva, as duas proposi¸cões não podem ocorrer ao mesmo tempo. Exemplos:

a) p: x é par ; q: x é ´ımpar. x pode ser par ou ´ımpar, mas x não pode ser par e ´ımpar ao mesmo tempo. A composta “p ou q” é simbolizada por P(p, q) = (p_∨q).

b) Arnaldo ´e alagoano ou pernambucano.

c) O documento foi enviado por malote ou pelo correio.

Tabela-verdade da disjun¸c˜ao exclusiva p_∨q.

p q p_∨q V V F V F V F V V F F F 4. Condicional (−→)

Sejam p e q proposi¸cões. A proposi¸cão “se p, então q” , que será denotada por p _{→ q,} é chamada de condicional ou implica¸cão. A proposi¸cão p_{→ q assume o valor falso somente}

8

21

(22)

quando p for verdadeira e q for falsa.

Resumindo: V(p→ q) = F somente quando V(p) = V e V(q) = F.

Ilustremos inicialmente uma interpreta¸cão do conectivo_{→ através da senten¸ca:} “Se Ana conseguir o emprego, então fará uma festa.”

Definindo-se:

p: “Ana consegue o emprego” e q: “ Ana faz uma festa”, ent˜ao (p → q) representa a

promessa de Ana.

Vamos analisar quando a promessa ser´a cumprida:

1) Digamos que ela consiga a vaga de emprego (p é V). Pode acontecer que ela fa¸ca a festa (q é V), cumprindo a promessa (p → q é V). Por outro lado, Ana pode não fazer a festa,

descumprindo a promessa (p→ q ´e F).

2) Digamos que Ana não consiga o emprego (p é F). Neste caso, independente de fazer ou não uma festa (q é V ou F), a promessa não será descumprida (p_{→ q é V).}

Observamos que a ´unica possibilidade de p→ q ser falsa é quando p é V e q é F.

Tabela-verdade da condicional p_{→ q.} p q p→ q V V V V F F F V V F F V

Na condicional p _{→ q, a proposi¸cão p é chamada de hipótese, premissa ou antecedente,} enquanto a proposi¸cão q é denominada tese, conclusão ou consequente.

Em Português, o uso do condicional estabelece uma rela¸cão de causa e efeito entre a hipótese e a conclusão. Entretanto, na condicional lógica p_{→ q, não é necessário existir uma rela¸cão} causal entre a hipótese p e a tese q.

Por exemplo, a condicional:

“Se laranjas são azuis então 2 é par”

é destitu´ıda de “sentido” na l´ıngua portuguesa, mas como a hipótese é falsa, temos que a condicional é verdadeira, mesmo não existindo rela¸cão de causa e efeito entre as proposi¸cões envolvidas. 9 LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

I

(23)

Proposi¸c˜oes Associadas a uma Condicional: Consideremos as proposi¸c˜oes:

p: O quadrilátero Q é um quadrado. q: O quadrilátero Q é um retângulo.

e a condicional

p_{→ q : “Se o quadrilátero Q é um quadrado, então é um retângulo.”}

Temos as seguintes proposi¸c˜oes associadas `a condicional p_{→ q :}

• Contrapositiva ∼ q →∼ p : “Se o quadrilátero Q não é um retângulo, então Q não é um

quadrado.”

• Rec´ıproca q → p : “Se o quadrilátero Q é um retângulo, então é um quadrado.”

• Inversa ∼ p →∼ q : “Se o quadrilátero Q não é um quadrado, então Q não é um

retˆangulo.”

5. Bicondicional (↔)

Se p e q são duas proposi¸cões, a proposi¸cão “p, se e somente se q”, que será indicada por

“p_{↔ q” é chamada de bicondicional. A proposi¸cão bicondicional será verdadeira quando p e q}

forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e ser´a falsa nos demais casos. Resumindo: V (p_{↔ q) = V quando V(p) = V(q).} Tabela-verdade da bicondicional p_{↔ q.} p q p_{↔ q} V V V V F F F V F F F V

A bicondicional p_{↔ q tamb´em se lˆe de uma das seguintes maneiras:}

• p é condi¸cão necessária e suficiente para q. • q é condi¸cão necessária e suficiente para p.

10

23

(24)

Exemplo:

“Respiro se, e somente se, estou vivo”.

Percebemos pelo exemplo que respirar é condi¸cão necessária e suficiente para estar vivo, assim como estar vivo é condi¸cão necessária e suficiente para respirar.

Prioridades de Opera¸c˜oes L´ogicas

Em uma opera¸cão que usa dois ou mais operadores lógicos, como p_{∧ r ∨ q → r, a ordem em} que eles aparecem é muito importante. Em geral, usam-se parênteses para indicar a ordem e agrupamento das opera¸cões lógicas. Mas assim como na Álgebra, existe uma conven¸cão sobre a ordem de precedência para os conectivos, que estabelecem uma ordem de aplica¸cão, mesmo na ausência de parênteses. OPERADOR PRIORIDADE ∼ 1 ∧ 2 ∨ 3 → 4 ↔ 5 Exemplo:

Seja a senten¸ca em linguagem natural:

“Você não pode andar de montanha russa se você tiver menos do que 1,20 metros de altura, a menos que você tenha 16 anos de idade.”

Podemos fazer a tradu¸c˜ao dessa senten¸ca em proposi¸c˜oes compostas da seguinte maneira. Consideremos as primitivas:

• q: Você pode andar de montanha russa. • r: Você tem menos do que 1,20 m de altura. • s: Você tem mais de 16 anos de idade.

Então, a senten¸ca em linguagem natural pode ser traduzida em proposi¸cões lógicas como:

r_{∧ ∼ s →∼ q, ou ainda ∼ r ∨ s → q, que devem ser consideradas como [(r ∧ (∼ s)) → (∼ q)],}

ou ainda ((_{∼ r) ∨ s) → q.} 11 LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

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25 Tabela-Verdade Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

Tabelas-Verdade

Dadas várias proposi¸cões simples p, q, r, s, ..., podemos combiná-las para formar novas proposi¸cões compostas. O valor-verdade dessas novas proposi¸cões fica completamente determinado pelos valores das proposi¸cões componentes e pela natureza dos conectivos envolvidos. Uma maneira de determinar o valor lógico de proposi¸cões compostas é pela constru¸cão de tabelas-verdade.

Exemplos:

1) Construir a tabela-verdade da proposi¸c˜ao_{∼ (p ∧ q).}

Observemos que como existem duas proposi¸cões simples envolvidas, p e q, então existem 4 possibilidades de combinar os valores-verdade de p e q: VV; VF; FV e FF. Dessa forma, a tabela-verdade terá 22_{= 4 linhas.}

p q p_{∧ q ∼ (p ∧ q)} V V V F V F F V F V F V F F F V 1 1 2 3

2) Construir a tabela-verdade da proposi¸c˜ao (p_{∨ ∼ q) → q.}

p q _{∼ q p∨ ∼ q (p∨ ∼ q) → q} V V F V V V F V V F F V F F V F F V V F 12

Tabela-Verdade

©shutterstock

(26)

# REFLITA#

N´umero de linhas de uma tabela-verdade

“A tabela-verdade de uma proposi¸c˜ao composta com

n proposi¸c˜oes simples componentes cont´em 2n_linhas”.

Fonte: a autora. #FIM REFLITA#

Um outro modo de se construir a tabela-verdade de uma proposi¸cão composta é dada a seguir, onde colocamos todos os elementos envolvidos na proposi¸cão composta e numeramos as etapas; a solu¸cão será a última etapa:

3) Encontrar a tabela-verdade da proposi¸c˜ao composta S = (p∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r).

p q r (p _{∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r)} V V V V V F V V V V V V V V F V V F F V V V F F V F V V V V F V F F F V V F F V V V V V F F V F F V V F F F V F F V F V F V F F F F V F F V V F F F V F V V F F F F F V F F F F V V V F F F V F 1 1 1 1 3 2 6 1 4 1 5 1 4) Construir a tabela-verdade de (p_{∧ q)∨ ∼ (p → q).} (p _{∧ q) ∨ ∼ (p → q)} V V V V F V V V V F F V V V F F F F V F F F V V F F F F F F V F 1 2 1 5 4 1 3 1

Tautologias e Contradi¸c˜

oes

Uma tautologia é uma proposi¸cão composta que é sempre verdadeira, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposi¸cões simples que a compõem, ou seja, a coluna de resultado de sua

13 # REFLITA#

N´umero de linhas de uma tabela-verdade

“A tabela-verdade de uma proposi¸c˜ao composta com

n proposi¸c˜oes simples componentes cont´em 2n_linhas”.

Fonte: a autora. #FIM REFLITA#

Um outro modo de se construir a tabela-verdade de uma proposi¸cão composta é dada a seguir, onde colocamos todos os elementos envolvidos na proposi¸cão composta e numeramos as etapas; a solu¸cão será a última etapa:

3) Encontrar a tabela-verdade da proposi¸c˜ao composta S = (p_{∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r).}

p q r (p ∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r) V V V V V F V V V V V V V V F V V F F V V V F F V F V V V V F V F F F V V F F V V V V V F F V F F V V F F F V F F V F V F V F F F F V F F V V F F F V F V V F F F F F V F F F F V V V F F F V F 1 1 1 1 3 2 6 1 4 1 5 1 4) Construir a tabela-verdade de (p_{∧ q)∨ ∼ (p → q).} (p _{∧ q) ∨ ∼ (p → q)} V V V V F V V V V F F V V V F F F F V F F F V V F F F F F F V F 1 2 1 5 4 1 3 1

Tautologias e Contradi¸c˜

oes

Uma tautologia é uma proposi¸cão composta que é sempre verdadeira, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposi¸cões simples que a compõem, ou seja, a coluna de resultado de sua

13 LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

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tabela-verdade contém somente valores lógicos verdadeiros (V). Por outro lado, uma proposi¸cão composta que é sempre falsa é chamada de contradi¸cão. Uma proposi¸cão composta que não é uma tautologia nem uma contradi¸cão é denominada contingência.

Exemplos:

1) A proposi¸c˜ao composta p_{∧ q → q ´e uma tautologia.}

p _{∧ q → q} V V V V V V F F V F F F V V V F F F V F 1 2 1 3 1

2) A proposi¸cão composta (p∧ q)∧ ∼ (p ∨ q) é uma contradi¸cão.

(p _{∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q)} V V V F F V V V V F F F V V V F F F V F V F V V F F F F V F F F 1 2 1 5 4 1 3 1

3) A proposi¸cão composta q_{→∼ q é uma contingência.}

q _{→ ∼ q}

V F F

F V V

As tautologias e contradi¸cões têm fundamental importância em métodos de prova, e é através das tautologias que podemos simplificar expressões lógicas.

# REFLITA #

A L´ogica ´e a anatomia do pensamento. (John Locke)

# FIM REFLITA #

14

tabela-verdade contém somente valores lógicos verdadeiros (V). Por outro lado, uma proposi¸cão composta que é sempre falsa é chamada de contradi¸cão. Uma proposi¸cão composta que não é uma tautologia nem uma contradi¸cão é denominada contingência.

Exemplos:

1) A proposi¸c˜ao composta p∧ q → q ´e uma tautologia.

p _{∧ q → q} V V V V V V F F V F F F V V V F F F V F 1 2 1 3 1

2) A proposi¸cão composta (p∧ q)∧ ∼ (p ∨ q) é uma contradi¸cão.

(p _{∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q)} V V V F F V V V V F F F V V V F F F V F V F V V F F F F V F F F 1 2 1 5 4 1 3 1

3) A proposi¸cão composta q_{→∼ q é uma contingência.}

q → ∼ q

V F F

F V V

As tautologias e contradi¸cões têm fundamental importância em métodos de prova, e é através das tautologias que podemos simplificar expressões lógicas.

# REFLITA #

A L´ogica ´e a anatomia do pensamento. (John Locke)

# FIM REFLITA # 14 27 Tautologias e Contradições Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

(28)

Equivalˆ

encias L´

ogicas

Duas proposi¸cões compostas P e Q são chamadas logicamente equivalentes se suas tabelas -verdade são idênticas, ou melhor, se, e somente se, P ↔ Q for tautologia.

Nota¸c˜oes: P_{≡ Q ou P ⇔ Q.}

Podemos verificar que duas proposi¸cões são logicamente equivalentes por meio da constru¸cão de suas tabelas-verdade. Exemplos: 1) Verificar que p_{≡∼ (∼ p).} p ∼ p ∼ (∼ p) p↔∼ (∼ p) V F V V F V F V 1 2 3 4 2) Verificar que p_{→ q ⇔∼ p ∨ q.} p q _{∼ p p → q ∼ p ∨ q p → q ↔∼ p ∨ q} V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V 1 1 2 3 4 5 15

Equivalência Lógicas

©shutterstock LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

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Equivalˆencias L´ogicas Importantes

p, q, r proposi¸c˜oes Nota¸c˜oes V: tautologia

F: contradi¸c˜ao

Propriedade Equivalˆencia L´ogica

p∧ V ≡ p p ∨ F ≡ p Identidades p_{↔ V ≡ p} p_{∨F ≡ p} Domina¸cão p∨ V ≡ V p_{∧ F ≡ F} Leis da idempotência p∨ p ≡ p p∧ p ≡ p Dupla nega¸cão _{∼ (∼ p) ≡ p} p_{∨ q ≡ q ∨ p} Comutativa p_{∧ q ≡ q ∧ p} p_{↔ q ≡ q ↔ p} (p_{∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)} Associativa (p_{∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)} (p_{↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)} Nega¸cão ou Inversa p_{∨ ∼ p ≡ V} p_{∧ ∼ p ≡ F} Leis da implica¸cão (p→ q) ≡ (∼ p ∨ q) ≡∼ (p∧ ∼ q) ∼ (p → q) ≡ (p∧ ∼ q) Leis da equivalência (p_{↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)} ∼ (p ↔ q) ≡ (p ↔∼ q) ≡ (∼ p ↔ q) Distributiva p_{∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)} p_{∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} Leis de De Morgan _{∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q} ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q Absor¸cão p∨ (p ∧ q) ≡ p p_{∧ (p ∨ q) ≡ p} Lei da contrapositiva (p→ q) ≡ (∼ q) → (∼ p)

Lei da redu¸c˜ao ao absurdo p_{→ q ≡ (p∧ ∼ q) → F}

Para estudos desenvolvidos em técnicas digitais, as diversas portas lógicas são expressas em termos de∼ e ∧. É importante então expressar qualquer um dos conectivos usando somente ∼

e∧. 16 29 Equivalência Lógicas Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

(30)

Exerc´ıcio: Prove, usando tabela-verdade, a equivalˆencia dos conectivos estudados com as express˜oes que envolvem somente∼ e ∧:

a) Disjun¸c˜ao: p∨ q ≡∼ (∼ p∧ ∼ q).

b) Condicional: p_{→ q ≡∼ (p∧ ∼ q)}

c) Bicondicional: p_{↔ q ≡∼ (∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ q))} Conectivos L´ogicos e Programa¸c˜ao

De acordo com Gersting (2004, p.9), podemos exemplificar uma aplica¸cão da Lógica Matemática na computa¸cão:

Os conectivos lógicos E (AND), OU (OR) e N ÃO (NOT)(correspondendo, respectivamente, a ∧, ∨ e ∼) estão dispon´ıveis em muitas linguagens de

programa¸cão, assim como em calculadoras gráficas programáveis. Esses conectivos, de acordo com as tabelas-verdade que definimos, agem em combina¸cões de expressões verdadeiras ou falsas para produzir um valor lógico final. Tais valores lógicos fornecem a capacidade de tomada de decisão fundamental ao fluxo de controle em programas de computadores. Assim, em uma ramifica¸cão condicional de um programa, se o valor lógico da expressão condicional for verdadeiro, o programa executará a seguir um trecho de seu código; se o valor for falso, o programa executará um trecho diferente de seu código. Se a expressão condicional for substitu´ıda por outra expressão equivalente mais simples, o valor lógico da expressão, e portanto, o fluxo de controle do programa, não será afetado, mas o novo código será mais fácil de ser entendido e poderá ser executado mais rapidamente.

Exemplo: Vejamos o seguinte comando na linguagem de programa¸c˜ao Pascal: if(( x > y) and not ((x > y) and (z < 1000)))

then Fa¸ca isso (um procedimento) else Fa¸ca aquilo (outro procedimento).

Aqui a express˜ao condicional tem a forma A_{∧ ∼ (A ∧ B), em que A: x > y e B: z < 1000.} Essa express˜ao pode ser simplificada utilizando uma condicional simplificada:

A∧ ∼ (A ∧ B) ≡ A ∧ (∼ A∨ ∼ B) (Leis de De Morgan)

≡ (A∧ ∼ A) ∨ (A∧ ∼ B) (distribuitividade)

≡ F ∨ (A∧ ∼ B) (F denota contradi¸c˜ao)

≡ (A∧ ∼ B) ∨ F (comutatividade) ≡ (A∧ ∼ B) (identidade) 17 LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

I

(31)

31 Implicações Lógicas Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

O comando pode ent˜ao ser reescrito como: if ((x > y) and not (z < 1000)) then Fa¸ca isso (um procedimento) else Fa¸ca aquilo (outro procedimento).

Implica¸c˜

oes L´

ogicas

Sejam p e q duas proposi¸c˜oes. Dizemos que p implica logicamente q se p_{→ q ´e uma tautologia.} Denotaremos que p implica logicamente em q por “p_{⇒ q”.}

As implica¸cões lógicas também podem ser chamadas de “inferências lógicas”. As regras de inferência são, na verdade, formas válidas de racioc´ınio, isto é, são formas que nos permitem concluir o consequente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textu-ais, costumamos utilizar o termo “logo” (ou seus sinônimos: portanto, em consequência, etc.) para caracterizar as Regras de Inferência; a expressão p_{⇒ q pode então ser lida: “p; logo, q”.}

Listamos a seguir algumas regras de inferˆencia importantes, sendo p, q e r proposi¸c˜oes quais-quer:

Regras de Inferˆencia

1. p⇒ p ∨ q Lei de adi¸cão 2. p∧ q ⇒ p Leis de simplifica¸cão p_{∧ q ⇒ q} 3. (p_{→ q) ∧ p ⇒ q} Modus Ponens 4. (p_{→ q)∧ ∼ q ⇒∼ p} Modus Tollens 5. (p_{∨ q)∧ ∼ p ⇒ q} Silogismo disjuntivo 6. (p→ q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r) Silogismo hipotético

7. p→ F ⇒∼ p Demonstra¸c˜ao por absurdo

18

©shutt

erst

(32)

I

Exemplo:

“Se é gato, então mia. É gato, portanto mia.”

Essa frase exemplifica a regra de inferˆencia Modus Ponens (p_{→ q) ∧ p ⇒ q.} Provemos sua veracidade:

p q p→ q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Exerc´ıcio: Verificar cada uma das inferˆencias acima usando tabela-verdade.

M´

etodo Dedutivo

Argumentos

Um argumento é uma sequência de proposi¸cões na qual uma delas deriva das demais. Usualmente, a proposi¸cão derivada é chamada conclusão, e as demais, premissas. Dito de outra maneira, chama-se argumento a afirma¸cão de que de um dado conjunto de proposi¸cões

P1, P2, ...Pn, chamadas premissas, decorre uma proposi¸c˜ao Q, chamada conclus˜ao.

Exemplo:

19

(33)

Exemplo:

“Se é gato, então mia. É gato, portanto mia.”

Essa frase exemplifica a regra de inferˆencia Modus Ponens (p→ q) ∧ p ⇒ q.

Provemos sua veracidade:

p q p→ q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Exerc´ıcio: Verificar cada uma das inferˆencias acima usando tabela-verdade.

M´

etodo Dedutivo

Argumentos

Um argumento é uma sequência de proposi¸cões na qual uma delas deriva das demais. Usualmente, a proposi¸cão derivada é chamada conclusão, e as demais, premissas. Dito de outra maneira, chama-se argumento a afirma¸cão de que de um dado conjunto de proposi¸cões

P1, P2, ...Pn, chamadas premissas, decorre uma proposi¸c˜ao Q, chamada conclus˜ao.

Exemplo:

19

Todo aluno de Engenharia de Software precisa estudar L´ogica. (premissa)

Leonardo ´e aluno de Engenharia de Software. (premissa)

Logo, Leonardo precisa estudar L´ogica. (conclus˜ao)

Um argumento é considerado válido se a conjun¸cão das hipóteses implica na tese. As pre-missas são consideradas provas evidentes da verdade da conclusão.

Exemplos:

1) Se é mam´ıfero, então é vertebrado. A baleia é um mam´ıfero.

Logo, a baleia ´e um vertebrado.

Argumento válido, em que as premissas e a conclusão são verdadeiras.

2) Fernando Collor foi presidente do Brasil.

Se ´e presidente do Brasil, ent˜ao sofre impeachemnt.

Logo, Collor sofreu impeachment no mandato como presidente.

Argumento v´alido, com uma das premissas falsa, mas conclus˜ao verdadeira.

3) Se ´e cobra, tem asas. A sucuri ´e uma cobra. Logo, a sucuri tem asas.

Argumento v´alido com uma das premissas falsa, e conclus˜ao falsa.

Se a conclusão não decorre das premissas, dizemos que o argumento é inválido ou sofisma. Exemplos:

1) Se o número é múltiplo de 4, então é múltiplo de 2. O número é múltiplo de 2. Logo, também é múltiplo de 4.

2) Se é pássaro, é mortal.

Eu sou mortal. Portanto, eu sou um p´assaro.

A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lógico entre as premissas e a conclusão. A Lógica não se ocupa de verificar se as premissas são verdadeiras; o objetivo da Lógica é verificar se o argumento é estruturado de forma tal que, independentemente dos valores lógicos das proposi¸cões simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade da conclusão. 20 33 Método Dedutivo Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

(34)

Para provar que um argumento é válido, devemos verificar que P1∧ P2∧ ... ∧ Pn → Q é

uma tautologia. Isso pode ser feito por meio das tabelas-verdade, mas o processo ficaria de-masiadamente longo se um grande número de proposi¸cões simples estiver envolvido. Podemos então recorrer ao método dedutivo, que consiste em obter a conclusão a partir das premissas e de uma cadeia de equivalências e inferências que atuam sobre as hipóteses, criando novas proposi¸cões até que se obtenha a tese, provando o resultado.

Exemplos: Verificar se os seguintes argumentos são válidos, usando o método dedutivo. a) Se não terminar o trabalho, então durmo mais cedo. Se dormir mais cedo, descansarei. Não descansei. Logo, terminei o trabalho.

Podemos reescrever o argumento acima na forma da l´ogica proposicional da seguinte forma:

∼ p → q (hipótese 1) q_{→ r} (hipótese 2) ∼ r (hipótese 3) p (Tese) Onde: p : Termino o trabalho. q : Durmo mais cedo. r : Descanso.

Devemos provar que (_{∼ p → q) ∧ (q → r)∧ ∼ r ⇒ p}

1. _{∼ p → q (hipótese)} 2. q→ r (hipótese) 3. ∼ r (hipótese) 4. _{∼ q} (2, 3, Modus Tollens) 5. _{∼ (∼ p)} (1, 4, Modus Tollens) 6. p (5, Dupla nega¸cão)

b) [Gersting, 2004, p.26] Se o programa é eficiente, ele executará rapidamente. Ou o pro-grama é eficiente ou ele tem um erro. No entanto, o propro-grama não executa rapidamente. Portanto o programa tem um erro.

E: o programa ´e eficiente.

R: o programa executa rapidamente. B: o programa tem um erro.

(E_{→ R) ∧ (E ∨ B)∧ ∼ R ⇒ B} 21 LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

I

(35)

35 Quantificadores e Predicados Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998. 1. E_{→ R (hipótese)} 2. E_{∨ B} (hipótese) 3. ∼ R (hipótese) 4. ∼ E (1, 3, Modus Tollens) 5. B (2, 4, tautologia E_{∨ B∧ ∼ E ⇒ B )}

c) [Gersting, 2004, p.26] Rússia tinha um poder superior e, a Fran¸ca não era forte ou Napoleão cometeu um erro. Napoleão não cometeu um erro, mas se o exército não tivesse falhado, a Fran¸ca seria forte. Portanto, o exército falhou e a Rússia tinha um poder superior. R: A Rússia tinha um poder superior.

F: A Fran¸ca era forte. N: Napole˜ao cometeu um erro. E: O ex´ercito falhou.

O argumento ´e portanto: [R∧ (∼ F ∨ N)]∧ ∼ N ∧ (∼ E → F ) ⇒ E ∧ R.

1. R_{∧ (∼ F ∨ N) (hipótese)} 2. _{∼ N} (hipótese) 3. _{∼ E → F} (hipótese) 4. R (1, Lei de simplifica¸cão ) 5. ∼ F ∨ N (1, Lei de simplifica¸cão) 6. _{∼ F} (5, 2, silogismo disjuntivo) 7. _{∼ (∼ E)} (3, 6, Modus Tollens) 8. E (7, dupla nega¸cão) 9. E_{∧ R} (8, 4, conjun¸cão)

Quantificadores e Predicados

A Lógica proposicional não é suficiente para simbolizar qualquer tipo de senten¸ca, pois tem uma possibilidade limitada de expressões.

Por exemplo:

• “Para todo x, y, x + y > 3”

• “Existem crian¸cas que não gostam de chocolate.” • “Todo computador do Laboratório 2 está com v´ırus.”

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Não é poss´ıvel simbolizar tais senten¸cas adequadamente usando apenas variáveis proposi-cionais, parênteses e conectivos lógicos, pois elas contêm elementos novos (“para todo”, “para cada”, “para algum”) que são ligados ao conceito de predicados e quantificadores, que definire-mos posteriormente.

Uma senten¸ca aberta é uma expressão que depende de uma ou mais variáveis. O valor verdade dessas senten¸cas só fica determinado quando os valores das variáveis forem identifica-dos. (Logo, senten¸cas abertas não são proposi¸cões).

Uma senten¸ca aberta também pode ser denominada proposi¸cão aberta ou fun¸cão

proposi-cional.

Exemplos:

a) y + 2 ´e maior que 5. b) x ´e um n´umero ´ımpar.

c) O computador x do Laboratório 1 está funcionando adequadamente. d) O quadrado de y é 81.

Observamos que a senten¸ca do exemplo (a) ser´a verdadeira se y for um n´umero maior que 3, mas ser´a falsa se y_{≤ 3.}

Chamamos conjunto universo (U) ou dom´ınio de interpreta¸cão o conjunto de objetos dos quais a variável pode ser escolhida. Para os exemplos acima, o conjunto universo do item (c) são os computadores do Laboratório 1, e o conjunto universo para o item (d) são números

23 ©shutterstock LÓGICA MATEMÁTICA Repr odução pr oibida. A rt. 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

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inteiros.

Numa senten¸ca aberta, a propriedade ou relacionamento entre objetos (ou variáveis) é chamada predicado. Denotaremos um predicado qualquer associado a uma variável x por

P (x).

Por exemplo, na senten¸ca “P (x) = x é número primo”, a propriedade da variável x é “ser primo”. Temos que P(7) é verdadeira e P(18) é falsa, pois 7 é um número primo e 18 não.

Chama-se Conjunto-Verdade (VP) de uma senten¸ca P (x) o conjunto de valores da vari´avel

no Universo para os quais a senten¸ca ´e verdadeira, ou seja,

VP ={a ∈ U | V [P (a)] = V }

Por exemplo, seja U ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a express˜ao “x ´e par” representada por P(x).

Temos ent˜ao VP={0, 2, 4, 6}.

Para predicados que envolvem mais variáveis, a ordem em que as variáveis aparecem é im-portante. Por exemplo, se P(x,y) indica que x é predador de y, não podemos dizer que y é predador de x (ou seja, que vale P(y,x)).

Uma outra maneira de transformar senten¸cas abertas em proposi¸cões é por meio da uti-liza¸cão de quantificadores. Quantificadores são frases do tipo “para todo”, “para cada” ou “para algum”, isto é, frases que dizem “quantos objetos” apresentam determinada propriedade. A área da Lógica que estuda predicados e quantificadores é denominada de cálculo de predicados.

Quantificador Universal: é simbolizado por “_{∀” e lê-se “para todo”, “para qualquer” ou} “para cada”. Uma proposi¸cão do tipo “Para todo x, P (x) ” é simbolicamente representada por

(_{∀x)(P (x)).}

Quantificador Existencial: simbolizado por “∃”, ´e lido como “existe um”; “h´a pelo menos

um”; “para ao menos um”; “para algum”. Uma proposi¸c˜ao do tipo “Existe um x tal que P (x)” pode ser escrita simbolicamente como (_{∃x)(P (x)).}

Exemplos:

Simbolizar as proposi¸c˜oes:

a) Para todo x, existe um y tal que x + y < 0:

(∀x)(∃y)(x + y < 0) 24 37 Quantificadores e Predicados Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

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b) Existe um x e existe um y tal que x.y ´e racional: (onde x.y indica o produto de x por y)

(_{∃x)(∃y)[(x.y) ∈ Q]}

c) Para todo x, se x ´e negativo, ent˜ao existe y positivo tal que x + y = 0:

(∀x)[x < 0 → (∃y)(y > 0 ∧ x + y = 0)]

d) Somente os m´edicos podem solicitar exames.

Indicando por M(x): x ´e m´edico e E(x): x pode solicitar exames, a senten¸ca pode ser reescrita como:

Para todo x, se x pode solicitar exames, então x é médico: (_{∀x)(E(x) → M(x)).} e) Todo dia que é ensolarado não é chuvoso.

Considerando os s´ımbolos predicados D(x): x é um dia; E(x): x é ensolarado e C(x): x é chuvoso, então podemos reescrever a proposi¸cão como:

(_{∀x)[D(x) ∧ E(x) →∼ C(x)]}

Nega¸c˜

ao de Senten¸cas Quantificadas

Consideremos a seguinte senten¸ca: “Todos os insetos têm asas”. Sua nega¸cão será “Não é verdade que todos os insetos têm asas”, ou “Alguns insetos não têm asas”, ou ainda, “Existem insetos que não têm asas”.

A nega¸cão de “Existem crian¸cas obesas” é “Nenhuma crian¸ca é obesa”, ou “Toda crian¸ca não é obesa”, ou “Qualquer crian¸ca não é obesa.”

Resumindo:

∼ [(∀x)(P (x))] ≡ (∃x)(∼ P (x))

e

∼ [(∃x)(P (x))] ≡ (∀x)(∼ P (x))

Exemplo: Considere a senten¸ca “Dados x, y∈ R, se x < y, ent˜ao x2_{< y}2_.”

(39)

39 Considerações Finais Repr odução pr oibida. A rt . 184 do C ódigo P enal e L ei 9.610 de 19 de f ev er eir o de 1998.

a) Com o uso de s´ımbolos predicados e quantificadores apropriados, escrever simbolicamente a senten¸ca:

(∀x)(∀y)(x < y → x2_{< y}2_).

b) Escrever, simbolicamente e em linguagem usual, a nega¸c˜ao da senten¸ca dada.

∼(_{∀x)(∀y)(x < y → x}2_{< y}2₎ ≡ (∃x) ∼(_{∀y)(x < y → x}2_{< y}2₎ ≡ (∃x)(∃y) ∼(x < y→ x2_{< y}2₎ ≡ (∃x)(∃y)x < y_{∧ ∼ (x}2_{< y}2₎ ≡ (∃x)(∃y)x < y∧ (x2 ≥ y2₎_. “Existem x e y, com x < y e (x2_{≥ y}2_)”.

Considera¸c˜

oes Finais

O desenvolvimento de software é uma atividade de crescente importância na sociedade atual, e a necessidade de solu¸cões computadorizadas surgem nas mais diversas áreas do conhecimento humano.

Ao iniciar o curso, o aluno é preparado para resolver pequenos problemas por meio da programa¸cão e da estrutura de dados, para posteriormente tratar de problemas mais complexos, o que exigirá maiores conhecimentos e habilidades. Para isso, o racioc´ınio lógico deve ser desenvolvido, pois facilita a busca por uma solu¸cão que seja coerente, efetiva e eficaz, o que geralmente não é tão simples.

Sendo a Lógica o estudo dos mecanismos do pensamento, é natural que ela ocupe um papel de destaque na Computa¸cão, tendo aplica¸cão em diversas áreas tais como banco de dados; circuitos integrados; inteligência artificial; sistemas computacionais (hardware e software) e sistemas distribu´ıdos. Como a Lógica possui uma linguagem simbólica própria, torna-se poss´ıvel a utiliza¸cão de recursos computacionais no tratamento de enunciados e argumentos, visto que os computadores digitais se mostram bastante adequados à manipula¸cão de s´ımbolos, enquanto apresentam extrema dificuldade no tratamento de linguagem natural. Nesta unidade fizemos estudo dos conectivos lógicos “e”, “ou” e “não”, oferecidos pela maioria das linguagens de programa¸cão, e observamos que os valores-verdade de proposi¸cões compostas dependem dos valores de seus componentes e dos conectivos usados. Também foi exemplificado como as implica¸cões e equivalências lógicas auxiliam na simplifica¸cão de expressões mais complexas, permitindo que um código se torne mais simples de ser entendido e executado em menor tempo. As linguagens de programa¸cão são constitu´ıdas em fun¸cão da lógica de predicados, e a lógica formal é essencial para o curso, da´ı a importância do estudo dos tópicos dessa unidade.

(40)

Atividades de Autoestudo

1) Sabendo que p é uma proposi¸cão verdadeira, determine se as afirma¸cões abaixo são ver-dadeiras (V) ou falsas (F):

a) p∧ q ´e verdadeira, qualquer que seja q;

b) p_{∨ q ´e verdadeira, qualquer que seja q.}

c) p_{∧ q ´e verdadeira s´o se q for verdadeira.}

d) p_{→ q ´e falsa, qualquer que seja q.}

e) p→ q ´e verdadeira, quaisquer que sejam p e q.

f) p_{↔ q ´e verdadeira s´o se q for verdadeira.}

2) Sabendo que os valores lógicos das proposi¸cões p, q, r e s são respectivamente F, V, V e F, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposi¸cões compostas:

a) (p∧ (∼ q → q))∨ ∼ ((r ↔∼ q) → (q∧ ∼ r)).

b) (p∧ q)∨ ∼ s →∼ (q ↔∼ r).

c) (p_{∧ q −→ r) ∨ (∼ p ↔ q∨ ∼ r).}

d)_{∼ (r → (∼ r → s)).}

3) Determine o valor l´ogico (V ou F) de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes, justificando a resposta:

a) (p_{↔ q)∧ ∼ r ; sabendo que V (p) = V e V (r) = V .}

b) p_{∧ q → p ∨ r ; sabendo que V (p) = V e V (r) = F .}

c) (p_{→∼ q) ∧ (∼ p∧ ∼ r) ; sabendo que V (q) = F e V (r) = V .}

4) Um conectivo muito muito importante para projetos de circuitos lógicos é o operador não

-e ou nand, que denotaremos por, definido por p q = ∼ (p ∧ q). De maneira an´aloga,

temos o operador n˜ao-ou ou nor, que denotaremos por, definido por p q = ∼ (p ∨ q). Construa as tabelas-verdade dos operadores e .

5) Dê a nega¸cão das seguintes proposi¸cões:

a) Linux é um software livre e Pascal é uma linguagem de programaçcão. b) Todos os homens são bons motoristas.

c) Se T é um trapézio, então T é um quadrilátero. d) O processador é rápido, mas a impressora é lenta. e) Se o processador é rápido, então a impressora é lenta. f) Existem números pares que não são múltiplos de 2.

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g) ´E suficiente cantar para estar vivo. h) Toda solu¸c˜ao de x2

− 6 = 0 ´e positiva.

i) Alguns inteiros s˜ao pares ou divis´ıveis por 5.

j) Windows é um editor de textos e Pascal é uma planilha eletrônica.

6) Determine o valor-verdade (V) ou (F) de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes, con-siderandoR como conjunto universo:

a) (_{∀x)(∀y)(x + 6 < y + 10).}

b) (∀x)(∃y)(x.y n˜ao ´e par).

c) (_{∃x)(∀y)(x}2_{> y).}

d) (∀x)(∃y)(x2_{> y).}

7) Use l´ogica proposicional para provar a validade dos seguintes argumentos, indicando as proposi¸c˜oes envolvidas:

a) (Gersting, 2004 p.23) “Se seguran¸ca é um problema, então o controle será aumentado. Se seguran¸ca não é um problema, então os negócios na Internet irão aumentar. Portanto, se o controle não for aumentado, os negócios na Internet crescerão.”

b) “Se o produto é bom, ganha o concurso. Se o produto não é bom, o l´ıder do grupo é culpado. Se o produto ganha o concurso, a equipe fica contente. A equipe não está contente. Logo, o l´ıder é culpado.”

Leitura Complementar

O que é Lógica? Aristóteles, na Grécia Antiga, foi um dos pioneiros da chamada lógica

for-mal, apresentando regras para que um racioc´ınio esteja encadeado corretamente, chegando a conclus˜oes verdadeiras a partir de premissas verdadeiras.

No entanto, no século XIX, alguns matemáticos e filósofos - dentre eles George Boole (1815-1864), Augustus De Morgan (1806-1871), Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) - come¸caram a perceber que a lógica formal era insuficiente para alcan¸car o rigor necessário no estudo da matemática, pois essa se apoiava na linguagem natural - aquela que utilizamos no cotidiano, como a l´ıngua portuguesa -, que é bastante imprecisa e tornaria a lógica vulnerável a erros de dedu¸cões. Come¸caram, então, a criar a lógica simbólica, formada por uma linguagem estrita e universal, constitu´ıda por s´ımbolos espec´ıficos.

Entendemos por linguagem um conjunto de s´ımbolos (geralmente visuais ou sonoros) que, dependendo da maneira como s˜ao dispostos em sequˆencia, apresentam signicados distintos.

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