Completamento de direcionados - Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach

Conforme a no¸cão de completude introduzida no cap´ıtulo anterior, dado um espa¸co métrico geral X podemos nos questionar a completude de conjuntos direcionados com respeito à ordem ≤X herdada da métrica de X. Neste caminho, dizemos que um

funtor completamento J ´e admiss´ıvel se para qualquer que seja X espa¸co m´etrico geral J -completo, tenha-se (X, ≤X) pre-CPO.

Exemplo 3.7. Para X espa¸co m´_{etrico geral, considere o funtor YX = {y}x; x ∈ X}.

Observe que Y ´e funtor completamento pois: f∗(X(−, z)) = inf

x∈X(X(x, z) + Y (−, f (x))) = Y (−, f (z))

Definindo S(yz) = z, qualquer que seja z ∈ X, em virtude do Lema de Yoneda teremos

que X ´_{e Y-completo. Em particular, tomando X = N e considerando a ordem usual,} teremos que N é Y-completo, mas não é pre-CPO. Logo Y não é admiss´ıvel.

O funtor anterior conforme mostrado não é admiss´ıvel. Para nosso aux´ılio, conforme as seguintes proposi¸c˜_{oes, vamos verificar que tanto A quanto c}(.) são admiss´ıveis. Proposi¸c˜_{ao 3.8. O funtor A é admiss´ıvel.}

Demonstra¸cão. Sejam X espa¸co m´_{etrico geral A-completo e I ⊆ X direcionado com} respeito a ≤X. Defina xi = i, i ∈ I, observe que (xi)i∈I é rede de Cauchy à direita.

Para esta rede tome φ = infi∈Isupj≥iX(−, xj), uma vez que X ´e A-completo existe S(φ).

Vamos mostrar queF I = S(φ).

Seja k ∈ I, temos φ(xk) ≤ supj≥kX(xk, xj) = 0. Logo pelos lemas de Yoneda e

(3.1) temos 0 = φ(xk) = bX(yxk, φ) ≥ X(xk, S(φ)), assim xk ≤X S(φ). Se u ∈ X ´e tal que

xi ≤X u, qualquer que seja i ∈ I, teremos X(xi, u) = 0 e assim:

0 = lim

→ X(xi, u) = lim→ X(yb xi, yu) = lim→ sup_a∈X[0, ∞](yxi(a), yu)(a) = sup_a∈Xlim→[0, ∞](yxi(a), yu(a))

= |{z} (2.2)(iv) sup a∈X [0, ∞](lim ← yxi(a), yu(a)) = bX(φ, yu) = X(S(φ), u) Portanto S(φ) ≤X u.

Proposi¸cão 3.9. Seja X espa¸co métrico geral c(.)-completo, então (X, ≤X) é reticulado

completo. Em particular c(.) ´e admiss´ıvel.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente observe que bX ´e um reticulado completo com respeito a ≤

X, para observar isto dado Y ⊆ bX tome W Y (x) = W{φ(a), φ ∈ Y & a ∈ [0, ∞]}, para

Completamento de espa¸cos m´etricos gerais 23

barreiras superiores com respeito a ≤_X_b. Al´em disso ⊥_X_b(a) = ∞, para todo a ∈ [0, ∞], ´e o menor elemento de bX e assim ⊥

X ∈ bX. Vamos mostrar agora que (X, ≤X) ´e reticulado

completo.

Seja A ⊆ X, defina y[A] = {ya; a ∈ A}, verifiquemos que S(WXby[A]) ´e supremo

de A. Dado a ∈ A, temos ya ≤Xb

Xy[A], uma vez que S ´e n˜ao-expansiva teremos

a = S(ya) ≤X S(

Xy[A]). Por outro lado, se u ∈ X ´e tal que a ≤X u, para todo a ∈ A,

em virtude da isometria de y teremos ya ≤Xb yu e assim

Xy[A] ≤Xb yu, portanto segue

que S(W

Xy[A]) ≤X S(yu) = u. Conforme observado anteriormente temos que ⊥Xb ´e o

menor elemento de bX, como S ´e n˜ao-expansiva segue que S(⊥

X) ´e o menor elemento de

Cap´ıtulo 4

Teoremas de ponto fixo

Dado um conjunto X e uma aplica¸cão f : X → X, podemos nos questionar a existência de pontos x ∈ X tais que f (x) = x, quais são ditos pontos fixos. A existência de tais pontos podem ter diversas consequências, por exemplo, se Ax = 0 é um sistema de equa¸cões, a existência de pontos fixos para A + I garante a solu¸cão deste sistema. Além disso, sob algumas hipóteses acerca da aplica¸cão f e a estrutura de X, pontos fixos podem implicar convergência.

Para espa¸cos m´etricos e ordens parciais s˜ao bem conhecidos os teoremas de ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, conforme enunciado:

Teorema 4.1 (Banach). Seja X espa¸co métrico completo. Se f : X → X é uma con- tra¸cão, isto é, existe 0 < λ < 1 tal que d(f (x), f (y)) ≤ λd(x, y), quaisquer que sejam x, y ∈ X. Então f tem um único ponto fixo.

Teorema 4.2 (Knaster-Tarski). Seja X um reticulado completo. Se f : X → X preserva ordem, ent˜ao f tem menor e maior ponto fixo.

Através do teorema do Ponto Fixo de Banach pode-se demonstrar os conhecidos Teorema de Picard, que garante existência e unicidade de solu¸cões para equa¸cões difer- encias, e o Teorema da Fun¸cão Inversa para aplica¸cões diferenciáveis. Como aplica¸cão do Teorema do Ponto Fixo de Knaster-Tarski tem o conhecido Teorema de Schröder- Bernstein, que garante a existência de uma bije¸cão entre conjuntos A e B caso exista uma fun¸cão injetiva de A em B e de B em A.

Nas próximas se¸cões, vamos mostrar que ambos são corolários de um único teorema, cujas hipóteses são impostas em espa¸cos métricos gerais.

Teoremas de ponto fixo 25

4.1 O teorema do Ponto Fixo de Pataraia

Conforme é conhecido para ordens parciais, pelo teorema (4.15) em [3], dado X CPO e f : X → X preservando ordem é poss´ıvel obter ponto fixo para f . Como mostrado por Pataraia [6], este teorema possui uma demonstra¸cão construtiva, como segue:

Teorema 4.3. Seja (X, ≤) CPO e suponha que f : X → X preserva ordem. Ent˜ao f tem menor ponto fixo.

Demonstra¸cão. Seja H = {A ⊆ X; f (A) ⊆ A e A é sub-CPO de X}, observe que Y = {x ∈ X; x ≤ f (x)} ∈ H. Tome C =T{A; A ∈ H}, C 6= ∅ pois ⊥ ∈ C, observe que f : C → C está bem definida e além disto x ≤ f (x), para todo x ∈ C, uma vez que C ⊆ Y .

Defina E(C) = {ϕ : C → C; x ≤ ϕ(x) , ∀x ∈ C e ϕ preserva ordem }, temos que E(C) 6= ∅ pois f ∈ E(C), além disto munido com a ordem por coordenadas ≤0 definida por φ ≤0 ψ se, e somente se, φ(a) ≤0 ψ(a), para todo a ∈ C, temos que (E(C), ≤0) é ordem parcial. Vamos mostrar que E(C) é pre-CPO.

Seja {ϕi}i∈I fam´ılia direcionada, defina (F ϕi)(x) = F ϕi(x), para todo x ∈

C. Esta fun¸cão está bem definida pois, uma vez que {ϕi}i∈I é direcionado, temos que

{ϕi(x)}i∈I ´e direcionado e como C ´e CPO segue que F ϕi(x) ∈ C. Resta mostrar que

F ϕi ∈ E(C). Ora, se x, y ∈ C ´e tal que x ≤ y, uma vez que ϕi preserva ordem

temos que ϕi(x) ≤ ϕi(y), para todo i ∈ I, assim F ϕi(x) ≤ F ϕi(y). Al´em disto temos

x ≤ ϕi(x) ≤F ϕi(x) = (F ϕi)(x). AssimF ϕi ∈ E(C).

O grande passo desta demonstra¸cão é observar que E(C) é direcionado. Para verificar isto dados φ, ψ ∈ E(C), tome h = φ ◦ ψ. É claro que h preserva ordem, como x ≤ φ(x) e x ≤ ψ(x), para todo x ∈ C, segue que x ≤ ψ(x) ≤ φ(ψ(x)) = h(x) e assim h ∈ E(C). Além disto, conforme a desigualdade anterior, temos ψ(x) ≤ h(x) e x ≤ ψ(x), para todo x ∈ C, como φ preserva ordem teremos também φ(x) ≤ φ(ψ(x)) = h(x) e portanto φ ≤0 h e ψ ≤0 h, assim E(C) é direcionado. Uma vez que E(C) é pre-CPO, temos então que E(C) tem > =W E(C), o denotemos por m : C → C. Vamos mostrar que m(⊥) é o menor ponto fixo de f .

Ora, como m ´e o maior elemento de E(C), temos que f ◦ m ≤0 m, conforme observado anteriormente sempre vale m ≤0 f ◦ m, assim f ◦ m = m e portanto f (m(⊥)) = m(⊥). Al´em disto seja x ∈ X outro ponto fixo de f , observe que ↓ {x} ∈ H, logo C ⊆ ↓ {x} e como m(⊥) ∈ C, segue que m(⊥) ≤ x. Teorema 4.3 (bis). Seja (X, ≤) pre-CPO e f : X → X. Suponha que f preserva ordem e existe x∗ ∈ X tal que x∗ _{≤ f (x}∗_{). Ent˜}_{ao f tem ponto fixo, qual ´}_{e o menor acima de}

Teoremas de ponto fixo 26

Demonstra¸cão. Os passos são análogos a demonstra¸cão anterior, exceto pelo fato de usar a hipótese de x∗ ≤ f (x∗_{) ao inv´}_{es das propriedades de ⊥.}

Fazendo uso do Teorema de Pataraia, obteremos o seguinte teorema para espa¸cos métricos gerais, cujas hipóteses permitirão obter os teoremas do ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski para espa¸cos métricos gerais.

Teorema 4.4. Sejam J admiss´ıvel , X espa¸co métrico geral J -completo e f : X → X não-expansiva. Se existe φ ∈ J X tal que f∗(φ) = φ, então f tem ponto fixo, qual é o menor acima de S(φ) com respeito a ≤X.

Demonstra¸c˜ao. Seja φ ∈ J X tal que f∗(φ) = φ, uma vez que X ´e J -completo, existe S(φ). Desta maneira temos que:

X(S(f∗(φ)), f (S(φ))) = bX(f∗(φ), yf (S(φ))) = sup a∈X [yf (S(φ))(a)−f∗(φ(a))] = sup a∈X [yf (S(φ))− inf b∈X(φ(b)+X(a, f (b)))] = sup a∈X [sup b∈X

(X(a, f (S(φ))) − φ(b) − X(a, f (b)))] [Lema 2.3] ≤ sup a∈X sup b∈X [X(f (b), f (S(φ))) − φ(b)] [Desigualdade Triangular] ≤ sup b∈X [X(b, S(φ)) − φ(b)] [f n˜ao-expansiva] = sup b∈X

[X(b, S(φ)) − bX(yb, φ)] [Lema de Yoneda]

≤ sup

b∈X

[X(b, S(φ)) − X(b, S(φ))] = 0 [Lema 3.1] Logo X(S(f∗(φ)), f (S(φ))) = 0 e portanto S(f∗(φ)) ≤X f (S(φ)). Por hip´otese J ´e

admiss´ıvel, assim (X, ≤X) é pre-CPO, uma vez que f é não-expansiva e f∗(φ) = φ temos

que f preserva ordem com respeito a ≤X e S(φ) ≤X f (S(φ)). Aplicando o teorema 4.3

bis segue que f tem ponto fixo, qual ´e o menor acima de S(φ) com respeito a ≤X.

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