Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Colegiado do Curso de Matemática - COLMAT Monografia de Graduação

Sobre os teoremas de ponto fixo

de Tarski e Banach

Paulo Raimundo Stering Malta

Salvador-Bahia Dezembro de 2011

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Sobre os teoremas de ponto fixo

de Tarski e Banach

Paulo Raimundo Stering Malta

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Colegiado do Curso de Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Bacharel em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner.

Salvador-Bahia Dezembro de 2011

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Malta, Paulo Raimundo Stering.

Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach / Paulo Raimundo Stering Malta. – Salvador, 2011.

29 f.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner.

Monografia (gradua¸cão) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Colegiado do Curso de Matemática, 2011.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Lógica matemática. 2. Categorias 3. Espa¸cos métricos gerais I. Brunner, Andreas Bernhard Michael. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. T´ıtulo.

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Sobre os teoremas de ponto fixo

de Tarski e Banach

Paulo Raimundo Stering Malta

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Colegiado do Curso de Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Bacharel em Matemática, aprovada em 09 de dezembro de 2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva UFBA

Prof. Dr. Edson Alberto Coayla Ter´an UFBA

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Agradecimentos

Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais, cuja educa¸c˜ao permitiu atin-gir mais esta etapa em minha vida, aos quais serei eternamente grato.

Quanto a minha forma¸cão gostaria de agradecer imensamente ao Laboratório de Ensino de Matemática e a todos os seus membros, em especial Elinalva Vergasta. Todas as experiências proporcionadas, desde monitor no meu primeiro ano, oficinas e exposi¸cões realizadas foram únicas, cuja rec´ıproca do público permitiu constatar o quanto a matemática é bela e humana.

Aos orientadores gostaria de agradecer a José Fernandes Andrade ao grande con-hecimento proporcionado, desde a orienta¸cão no LEMA até as quatro disciplinas min-istradas, cujos conselhos me acompanharam durante toda a gradua¸cão. A Paulo Varandas serei eternamente grato por ter tido a oportunidade de realizar minha primeira inicia¸cão cient´ıfica, ao qual obtive grande aprendizado e a Andreas Brunner pela orienta¸cão e ded-ica¸cão este ano, cujo resultado se apresenta através desta monografia.

Aos professores, colegas de turma e a todos que tive o prazer de estar ao lado durante estes quatro anos, muito obrigado!

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“Pedimos o mundo, nos deram o in-finito.”

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Resumo

Neste trabalho apresentaremos a teoria dos Espa¸cos Métricos gerais, com esta nova estrutura estaremos aptos a generalizar tanto espa¸cos métricos quanto ordens par-ciais. Para estas teorias temos dois teoremas de ponto fixo: O teorema do ponto fixo de Banach para espa¸cos métricos e o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski para ordens parciais. Em espa¸cos métricos gerais provaremos construtivamente um único teorema que possui como corolário os teoremas do ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, cujas hipóteses generalizam espa¸cos métricos completos e reticulados completos.

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Abstract

In this work we will present the Generalized Metric Space theory, with this new structure we will be able to generalize both metric and partially ordered spaces. For these theories there are two distinct fixed point theorems: Banach’s fixed point theorem for metric spaces and Knaster-Tarski’s fixed point theorem for partially ordered sets. In generalized metric spaces we will prove constructively a single theorem that has both Knaster-Tarski and Banach’s fixed point theorem as corolaries, whose hyphotesis gener-alizes complete metric spaces and complete lattices.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Ordens Parciais . . . 3

1.2 Reticulados e CPOs . . . 4

1.3 Fam´ılias, sequˆencias e redes . . . 6

1.4 Categorias . . . 8

2 Espa¸cos m´etricos gerais 10 2.1 Redes de Cauchy e limites . . . 11

2.2 O mergulho de Yoneda . . . 14

3 Completamento de espa¸cos m´etricos gerais 16 3.1 Completude comum para ordens parciais e espa¸cos m´etricos . . . 17

3.2 Completamento de direcionados . . . 22

4 Teoremas de ponto fixo 24 4.1 O teorema do Ponto Fixo de Pataraia . . . 25

4.2 Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para espa¸cos m´etricos gerais . . . 26

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Introdu¸

c˜

ao

Problemas de ponto fixo surgem com frequência em matemática, um exemplo simples seria a obten¸cão de ra´ızes para uma determinada fun¸cão real, que pode ser con-vertido para um problema deste tipo. Conforme este exemplo, a questão que surge é a existência de ra´ızes, e por coseguinte a existência de pontos fixos. Em geral problemas de ponto surgem nesse sentido, situa¸cões em que problemas de existência possam ser traduzi-das para esse contexto. Assim, hipóteses que permitam obter teoremas de ponto fixo são de grande valia para solu¸cão destes problemas.

Em espa¸cos métricos é bem conhecido o teorema do ponto fixo de Banach, o qual garante que toda contra¸cão em um espa¸co métrico completo possui um único ponto fixo. Suas aplica¸cões são diversas, na literatura é bem conhecido o teorema de Picard para equa¸cões diferenciais ordinárias, o qual sob algumas hipóteses garante a existência e unicidade de solu¸cão para um problema de valor inicial. Em ordens parciais é bem conhecido o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski, que garante a existência de pontos fixos para toda fun¸cão que preserva ordem em um reticulado completo. Uma aplica¸cão bem conhecida é o teorema de Schröder-Bernstein, que garante a existência de uma bije¸cão entre conjuntos A e B caso existam fun¸cões injetivas de A em B e de B em A.

Neste trabalho vamos mostrar que tanto o teorema de Banach quanto Knaster-Tarski são corolários de um único teorema, cujas hipóteses serão tomadas em espa¸cos métricos gerais, teoria esta que permite generalizar espa¸cos métricos e ordens parciais. Desta maneira, este trabalho se organiza do seguinte modo:

Cap´ıtulo 1: Apresentaremos todos os recursos necessários para a compreensão do presente texto, onde trataremos defini¸cões básicas para teoria das ordens e categorias. Também serão apresentadas proposi¸cões que comumente serão utilizados o texto.

Cap´ıtulo 2: Neste cap´ıtulo será introduzida a teoria dos espa¸cos métricos gerais. Apresentaremos no¸cões de convergência neste ambiente e demonstraremos o mergulho de Yoneda, que permitirá obter uma isometria de qualquer espa¸co métrico geral em seu espa¸co de fun¸cões não-expansivas.

Cap´ıtulo 3: Com a linguagem de categorias por funtores será introduzida a no¸cão de completamento de espa¸cos métricos gerais, cujos resultados permitirão obter

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Introdu¸c˜ao 2

equivalências de espa¸cos métricos gerais com espa¸cos métricos e ordens parciais.

Cap´ıtulo 4: Devido a Pataraia, demonstraremos de forma construtiva um bem conhecido teorema para ordens parciais que garante a existência de pontos fixos para fun¸cões que preservam ordem em um CPO. Desta maneira, será demonstrado um teorema de ponto fixo para espa¸cos métricos gerais cujas hipóteses permitirão obter os teoremas de Banach e Knaster-Tarski.

Este trabalho foi desenvolvido através do recente artigo publicado por Pawel Waszkiewicz em [6]. Conforme o desenvolvido, acreditamos que estas idéias permitirão traduzir de uma única maneira problemas de espa¸cos métricos e ordens parciais.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

Para a boa compreensão do presente texto, neste cap´ıtulo introduziremos todo o recurso matemático necessário. Na se¸cão 1.1 e 1.2 serão tratadas defini¸cões e exemplos básicos acerca da Teoria da Ordem, na se¸cão 1.4 serão introduzidas categorias. Para um tratamento mais profundo acerca destes tópicos é sugerida a leitura de [3] e [4].

1.1 Ordens Parciais

Seja P um conjunto. P é dito um conjunto ordenado, ou uma ordem parcial, se existe uma rela¸cão binária ≤ em P que satisfaz:

i) x ≤ x, ∀x ∈ P ; (reflexiva)

ii) Se x ≤ y e y ≤ x, então x = y; (antissimétrica) iii) Se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z. (transitiva)

Denotamos atrav´es do par (P, ≤) afim de tornar claro a ordem utilizada.

Intuitivamente associamos ordens aos n´_{umeros naturais N ou a reta real R. De} fato, estes dois conjuntos são ordens parciais, porém estes estão munidos com uma quarta propriedade mais forte, que permite compararmos qualquer elemento:

iv) ∀x, y ∈ P , ou x ≤ y ou y ≤ x

Caso um conjunto P seja ordem parcial e tamb´em satisfa¸ca iv), dizemos que P ´e totalmente ordenado.

Tomando X um conjunto, podemos definir uma ordem em P(X) = {A; A ⊆ X} pela inclusão ⊆. É fácil ver que esta é uma rela¸cão de ordem, porém nem sempre podemos comparar dois conjuntos, isto é, se X possui mais de dois elementos então P(X) não é totalmente ordenado.

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Preliminares 4

Um subconjunto S ⊆ P ´e dito uma cadeia se com a ordem herdada de P ´e totalmente ordenado.

Em geral, quando lidamos com estruturas nos interessamos por aplica¸cões que preservem esta estrutura. Em nosso caso, para ordens parciais, estaremos interessados em aplica¸cões que preservem a ordem. Desta maneira, sejam (P, ≤) e (Q, ≤0) ordens parciais e f : P → Q uma aplica¸cão:

i) f preserva ordem se dados x ≤ y, tem-se f (x) ≤0 f (y); ii) f é dita um mergulho se preserva ordem e é injetiva; iii) f é dita um isomorfismo se preserva ordem e é bijetiva.

Observe que se tivermos um mergulho f : P → Q, então temos um isomorfismo entre P e sua imagem por f , e neste caso toda sua estrutura é preservada. Por exemplo, se A ⊆ P é uma cadeia, sua imagem também o será.

Dada uma ordem parcial (P, ≤), podemos definir uma ordem dual em P por (P, ≤op_{), onde x ≤}op _{y se, e somente se, y ≤ x. Afim de simplificar a nota¸c˜}_{ao, denotamos}

por Pop _{o conjunto P munido da ordem dual. Esta defini¸c˜}_{ao em nada altera as}

pro-priedades anteriores da ordem em P, exceto pelo fato de estarem “trocadas”. Em geral, o princ´ıpio da dualidade nos permite concluir:

Proposi¸cão 1.1 (Princ´ıpio da Dualidade). Consideremos uma linguagem ≤. Se φ é uma proposi¸cão (ou propriedade) na linguagem de primeira ordem L := {≤}, qual vale na ordem (P, ≤), então φop _{vale em (P, ≤}op_{), onde φ}op_´_{e a proposi¸}_c˜_{ao obtida de φ substituindo}

≤ por ≤op_.

Demonstra¸cão. Indu¸cão na complexidade das L-fórmulas. Para maiores detalhes, veja

[2].

1.2 Reticulados e CPOs

Dentre as ordens parciais, vamos nos interessar por algumas que possuam algu-mas propriedades particulares. Para isto iremos buscar alguns elementos especiais nestes conjuntos. Seja Q ⊆ P ordem parcial:

i) a ∈ Q é dito um elemento maximal se a ≤ x ∈ Q, então a = x; ii) Se a ∈ Q é tal que x ≤ a, ∀x ∈ Q, a é dito o maior elemento de Q.

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Preliminares 5

Observe que o maior elemento, caso exista, é único. De maneira análoga definimos um elemento minimal e o menor elemento, levando em considera¸cão a ordem dual de P . O maior elemento de P , caso exista, é dito top e denotaremos por >. Analogamente, caso exista o menor elemento em P, o chamaremos de bottom, denotado por ⊥.

Dizemos que Q é up-set se Q =↑ Q = {y ∈ P ; (∃x ∈ Q) x ≤ y}. De maneira análoga definimos ↓ Q = {y ∈ P ; (∃x ∈ Q) y ≤ x}, caso Q =↓ Q, Q é dito down-set. Um elemento x ∈ P é dito uma barreira superior de Q se a ≤ x, ∀a ∈ Q, de maneira dual definimos uma barreira inferior. Denotamos o conjunto das barreiras superiores de Q por Qu _{e as barreiras inferiores por Q}l_{, observe que estes sempre s˜}_{ao respectivamente up-set}

e down-set. Caso Qu possua menor elemento, dizemos que Q tem sup ou supremo. De maneira análoga o ´ınfimo de Q, ou inf, será o maior elemento de Ql, caso exista. Empre-garemos a nota¸cão sup Q ouW Q para denotar o supremo e inf Q ou V Q, para denotar o ´ınfimo. Para dois elementos x, y ∈ P , denotaremos sup{x, y} = x ∨ y e inf{x, y} = x ∧ y. Note que em virtude do maior elemento ser único, segue que o supremo e o ´ınfimo são ´

unicos, caso existam.

A luz das defini¸cões anteriores, dado um conjunto ordenado P não-vazio: i) Se x ∨ y e x ∧ y existe, para todo x, y ∈ P . Dizemos que P é um reticulado; ii) Se W Q e V Q existe, para todo Q ⊆ P . Dizemos que P é um reticulado completo.

Observe que se P é um reticulado completo, P possui bottom e top. Assim com a ordem usual Q, R são reticulados, porém não são completos, uma vez que não possuem bottom nem top. Por outro lado, se I ⊆ R é um intervalo fechado, com a ordem herdada de R este é um reticulado completo. Também para X conjunto, P(X) é um reticulado completo, com W{Ai}i∈I = S

i∈I

Ai e V{Ai}i∈I = T i∈I

Ai, em que {Ai}i∈I ´e uma fam´ılia de

subconjuntos quaisquer de X.

A partir da próxima proposi¸cão é poss´ıvel simplificar a defini¸cão de reticulado completo, observando apenas que o mesmo vale apenas se ocorrer para ´ınfimo ou o supremo. A demonstra¸cão é simples, para verificar a existência do ´ınfimo de um conjunto A basta observar que este é igual ao supremo do conjunto de suas barreiras inferiores Al_.

Proposi¸cão 1.2. Uma ordem parcial (P ; ≤) é um reticulado completo se, e somente se, para todo A ⊆ P , existe W A. Em particular, temos que W A = W(↓ A). Um conjunto Q ⊆ P não vazio é direcionado se para todo x, y ∈ Q, ∃ h ∈ Q tal que x ≤ h e y ≤ h. Observe que se Q ⊆ P é direcionado, qualquer subconjunto finito F ⊆f Q possui barreira superior em Q. Assim, todo cadeia Q ⊆ P é direcionado. A luz

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Preliminares 6

i) P possui bottom ⊥;

ii) W D existe, para todo D ⊆ P direcionado.

Denotaremos W D = F D para fazer men¸c˜ao ao sup de um conjunto direcionado. Ao omitirmos i), dizemos que P ´e pre-CPO.

´

E bem sabido da Análise que se uma fun¸cão é cont´ınua, então esta preserva limites. Esta mesma no¸cão podemos traduzir para pre-CPOs, considerando conjuntos direcionados. Assim se P, S são pre-CPOS, uma fun¸cão f : P → S é dita cont´ınua se f (F D) = F f (D), para todo D ⊆ P direcionado. Observe que qualquer fun¸cão cont´ınua preserva ordem, porém a rec´ıproca não é verdadeira, apenas podemos garantir queF f (D) ≤ f (F D).

1.3 Fam´ılias, sequˆ

encias e redes

Seja X um conjunto. Uma fam´ılia (xi)i∈I ´e uma fun¸c˜ao x : I → X, cuja imagem

x(i) ´e denotada por xi, para todo i ∈ I, onde I ´e um conjunto de ´ındices. Para I = N,

(xn)n∈Né dita uma sequência em X. Se (I, ≤) é ordem parcial direcionado, (xi)i∈I é dita

uma rede em X.

Para X espa¸co m´etrico, dizemos que uma rede (xi)i∈I converge para x ∈ X,

denotado por lim xi = x, quando para todo > 0 for sempre poss´ıvel obter N ∈ I de

modo que para todo j ≥ N tenha-se d(xj, x) < . Uma rede (xi)i∈I ´e dita de Cauchy

caso dado > 0 seja poss´ıvel obter N ∈ I de modo que para todo i ≥ j ≥ N tenha-se d(xi, xj) < .

A convergência de uma rede de Cauchy nem sempre é garantida em um espa¸co métrico qualquer, conforme a seguinte proposi¸cão, considerando-se a completude de um espa¸co métrico apenas por sequências de Cauchy, será poss´ıvel obter convergência de redes de Cauchy.

Proposi¸cão 1.3. Seja X espa¸co métrico. X é completo se, e somente se, toda rede de Cauchy converge.

Demonstra¸c˜ao. Seja (xi)i∈I rede de Cauchy. Para cada n= _n+11 tome N (n) de modo

que para todo i ≥ j ≥ N (n) tenha-se d(xi, xj) < n. Desta maneira, defina µ : N → I

recursivamente por:

µ(n) = (

N (0) se n = 0

max{N (n), µ(n − 1)} para n > 0

Temos que (xµ(n))n∈N ´e sequˆencia de Cauchy pois dado > 0, tomando n0 ∈ N de modo

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Preliminares 7

d(xµ(m), xµ(n)) < n0 < . Em virtude da completude de X a sequˆencia (xµ(n))n∈Nconverge,

digamos para x ∈ X. Vamos mostrar que (xi)i∈I converge para x. Ora, dado > 0, tome

m ∈ N de modo que _m+11 < ₂. Como (xµ(n))n∈N converge a x podemos obter n0 ∈ N

de modo que para todo m ≥ n0 tenha-se d(xµ(m), x) < ₂. Assim, para todo i ≥ N (m)

teremos: d(xi, x) ≤ d(xi, xµ(m)) + d(xµ(m)), x < 1 m + 1+ 2 < 2+ 2 =

(18)

Preliminares 8

1.4 Categorias

Em Matemática, quando lidamos com teorias abstratas, é comum associar a esta classe fun¸cões que preservem sua estrutura. Por exemplo, conforme vimos na primeira se¸cão, para Teoria das ordens estas se caracterizam pelas fun¸cões que preservam ordem; em Topologia as fun¸cões cont´ınuas. Na Teoria das Categorias são estudadas classes de estruturas, ditas objetos, munidas dos morfismos que preservem estas estruturas. Em termos precisos dizemos que uma classe C é uma categoria quando satisfaz os seguintes axiomas:

1. Possui uma cole¸c˜ao de C-objetos; 2. Possui uma cole¸c˜ao de C-morfismos;

3. Uma opera¸c˜ao que associa a cada morfismo f um C-objeto a = dom f (dito dom´ınio de f ) e um C-objeto b = cod f (dito contradom´ınio de f );

Nota¸c˜ao: f : a → b

4. Uma opera¸c˜ao que associa a cada par de morfismos (g, f ) com dom g = cod f um morfismo g ◦ f , dito a composi¸c˜ao de f e g, valendo dom (g ◦ f ) = dom f e cod (g ◦ f ) = cod g que satisfaz:

Lei Associativa: Se f, g, h s˜ao morfismos tais que cod f = dom g e cod g = dom h, ent˜ao h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ;

5. Cada C-objeto b possui um C-morfismo 1b : b → b que satisfaz:

Lei da Identidade: Para todo C-morfismo f : a → b e g : b → c vale: 1b ◦ f = f e

g ◦ 1b = g

Atrav´es da tabela abaixo seguem alguns exemplos de categorias: Categoria Objetos Morfismos

Set Conjuntos fun¸c˜oes

Top Espa¸cos Topológicos fun¸cões cont´ınuas Vect Espa¸cos Vetoriais transforma¸cões lineares Grp Grupos homomorfismos de grupos Pos Ordens parciais fun¸cões que preservam ordem

Conforme os morfismos das categorias dadas pela tabela anterior, estes funcionam como uma maneira de preservar as estruturas de dois objetos distintos. De maneira an´aloga podemos definir o mesmo para categorias, atrav´es dos funtores.

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Preliminares 9

i) a cada C-objeto a um D-objeto F (a);

ii) a cada C-morfismo f : a → b um D-morfismo F (f ) : F (a) → F (b) que satisfaz: a) F (1a) = 1F (a), para todo C-objeto a;

b) F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ).

Neste caso F ´e dito um funtor covariante. Podemos substituir b) por: b*) F (g ◦ f ) = F (f ) ◦ F (g).

Caso satisfa¸ca b*), F ´e dito funtor contravariante.

Por exemplo, podemos definir F : Grp → Set, que associa a cada grupo G o conjunto F(G), cujos elementos são os mesmos e a cada homomorfismo f a fun¸cão F (f ), que associa os mesmos elementos. Este funtor é dito funtor esquecimento, cuja lei omite toda a estrutura de grupo inicial do conjunto. Para qualquer categoria cujos objetos sejam conjuntos e cujos morfismos sejam fun¸cões pode-se definir um funtor análogo.

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Cap´ıtulo 2

Espa¸

cos m´

etricos gerais

Conforme o objetivo desta monografia, a partir deste cap´ıtulo vamos buscar hipóteses que satisfa¸cam tanto ordens parciais quanto espa¸cos métricos. A primeira via para isto será a introdu¸cão dos espa¸cos métricos gerais, estrutura esta que sua flexibilidade com respeito a simetria nos permitirá induzir uma ordem parcial.

Um conjunto X ´e dito um espa¸co m´etrico geral ou gms quando munido de uma aplica¸c˜_{ao X(−, −) : X × X → R}+∪ {+∞} que satisfaz:

i) X(x, x) = 0, para todo x ∈ X

ii) X(x, z) ≤ X(x, y) + X(y, z) (Desigualdade triangular ) iii) Se X(x, y) = 0 e X(y, x) = 0, ent˜ao x = y (Simetria fraca)

Neste caso diremos que X(−, −) é uma quase-métrica em X. Caso esta aplica¸cão não satisfa¸ca iii), podemos induzir um espa¸co métrico geral [X] pela rela¸cão de equivalência x ≈ y se, e somente se, X(x, y) = 0 e X(y, x) = 0. Desta maneira, trataremos do caso mais geral. Para simplificar a nota¸c˜_{ao, denotaremos R}+∪ {+∞} = [0, ∞].

Se tivermos uma ordem parcial (P, ≤), podemos induzir uma quase-m´etrica por:

P (x, y) = (

0 se x ≤ y ∞ caso contr´ario

Reciprocamente, se X ´e espa¸co m´etrico geral podemos induzir uma ordem parcial (X, ≤X)

por x ≤X y se, e somente se, X(x, y) = 0. Assim as ordens ≤ e ≤P coincidem.

O próprio conjunto [0, ∞] é espa¸co métrico geral, munido da quase-métrica:

[0, ∞](x, y) = y ˙−x = (

0 se x ≥ y y − x se x < y

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Espa¸cos m´etricos gerais 11

Como usual, temos x + ∞ = ∞ + x = ∞, para todo x ∈ [0, ∞]. Observe que a ordem usual de R n˜ao coincide com a ordem induzida por [0, ∞](−, −), temos x ≤[0,∞] y se, e

somente se, y ≤ x.

Para X, Y espa¸cos métricos gerais, uma fun¸cão f : X → Y é dita não-expansiva se Y (f (x), f (y)) ≤ X(x, y), quaisquer que sejam x, y ∈ X. Observe que f é não-expansiva se, e somente se, f preserva ordem com respeito a ≤X. As fun¸cões não-expansivas são

de fundamental importância para a teoria dos espa¸cos métricos gerais, a partir destas construimos a categoria Gms, cujos Gms-objetos são dados por espa¸cos métricos gerais e cujos Gms-morfismos por fun¸cões não-expansivas.

Conforme observamos para ordens parciais, uma vez que podemos identificar espa¸cos métricos gerais como ordens parciais, dado X espa¸co métrico geral podemos obter uma quase-métrica dual definida por Xop_{(x, y) = X(y, x), quaisquer que sejam x, y ∈ X.}

Dizemos que Xop _´_{e o espa¸co m´}_{etrico geral dual a X.}

2.1 Redes de Cauchy e limites

Como espa¸cos métricos gerais carecem da simetria, a no¸cão de redes de Cauchy e convergência devem ser introduzidas com cautela.

Dizemos que uma rede (xi)i∈I em X ´e Cauchy `a direita se:

∀ > 0, ∃ N ∈ I; ∀i ≥ j ≥ N ⇒ X(xj, xi) <

De modo análogo uma rede (xi) em X é dita Cauchy à esquerda se:

∀ > 0, ∃ N ∈ N; ∀i ≥ j ≥ N ⇒ X(xi, xj) <

Observe que se X é espa¸co métrico a defini¸cão usual é mantida. Vale observar que se X é ordem parcial decorre da defini¸cão que para (xi)i∈I Cauchy à direita, levando em

considera¸cão a quase-métrica induzida, podemos obter N ∈ I de modo que para todo i ≥ j ≥ N tenha-se xj ≤ xi. Assim em um dado momento (xi)i∈I é cadeia, então fará

sentido se perguntar o limite F xi.

A seguinte proposi¸cão nos permitirá verificar o comportamento de rede de Cauchy quando induzidas à [0, ∞].

Proposi¸cão 2.1. Sejam X espa¸co métrico geral e (xi)i∈I Cauchy à direita em X. Então

dado x ∈ X:

1. A rede (X(x, xi))i∈I ´e Cauchy `a direita em [0, ∞].

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Demonstra¸c˜ao. Dado > 0, tome N ∈ I tal que ∀i ≥ j ≥ N tenha-se X(xj, xi) < .

Assim em virtude da desigualdade triangular segue que:

1. [0, ∞](X(x, xj), X(x, xi)) = X(x, xi) − X(x, xj) ≤ X(xj, xi) <

2. [0, ∞](X(xi, x), X(xj, x)) = X(xj, x) − X(xi, x) ≤ X(xj, xi) <

Logo (X(x, xi))i∈I é Cauchy à direita e (X(xi, x))i∈I é Cauchy à esquerda em [0, ∞].

Afim de introduzir limites de redes de Cauchy para espa¸cos m´etricos gerais, o faremos inicialmente em [0, ∞].

Para (ri)i∈I Cauchy `a direita em [0, ∞], definimos o limite `a direita de (ri) por:

lim

→ ri = sup_i∈I infj≥irj

Analogamente, se (ri)i∈I é Cauchy à esquerda em [0, ∞] o seu limite à esquerda é definido

por:

lim

← ri = infi∈Isup_j≥i rj

Conforme a defini¸cão, poderemos a partir da proposi¸cão seguinte estabelecer rela¸cão entre limites à direita e à esquerda em [0, ∞].

Proposi¸cão 2.2. Seja (ri)i∈I Cauchy à direita em [0, ∞]. Então para todo r ∈ [0, ∞]

vale:

i) [0, ∞](r, lim

→ ri) = lim→ [0, ∞](r, ri)

ii) [0, ∞](lim

→ ri, r) = lim← [0, ∞](ri, r)

Se (ri) é Cauchy à esquerda em [0, ∞] então vale:

iii) [0, ∞](r, lim

← ri) = lim← [0, ∞](r, ri)

iv) [0, ∞](lim

← ri, r) = lim→ [0, ∞](ri, r)

Para a demonstra¸cão desta proposi¸cão será feito uso do seguinte lema:

Lema 2.3. Sejam A, B ⊆ R, −A = {−x; x ∈ A} e A + B = {x + y; x ∈ A e y ∈ B}. Valem as seguintes afirmativas:

1. Se A é limitado inferiormente, então sup(−A) = − inf A 2. Se A é limitado superiormente, então inf(−A) = − sup A

3. Se A e B s˜ao limitados, ent˜ao sup(A + B) = sup A + sup B e inf(A + B) = inf A + inf B

(23)

Demonstra¸cão. Os detalhes da demonstra¸cão serão dados para ii). As idéias são análogas para os demais itens. Teremos de analisar dois casos:

1. lim

→ ri = sup_i∈I infj≥irj ≥ r

Neste caso poderemos obter N ∈ I de modo que r ≤ inf

j≥Nrj ≤ sup_i∈I infj≥irj. Logo [0, ∞](rj, r) = 0,

para todo j ≥ N . Assim sup

j≥i

[0, ∞](rj, r) = 0, para todo i ≥ N . Logo lim

← [0, ∞](ri, r) = 0.

Como [0, ∞](lim

→ ri, r) = 0. Segue que [0, ∞](lim→ ri, r) = lim←[0, ∞](ri, r).

2. lim

→ ri = sup_i∈I infj≥irj < r

Observe que inf

j≥irj < r, para todo i ∈ I. Logo ´e limitada superiormente, assim:

[0, ∞](sup

i∈I

inf

j≥irj, r) = r − sup_i∈I infj≥irj|{z}=

2.

r + inf

i∈I[− infj≥irj] =|{z}

1.

r + inf

i∈Isup_j≥i[−rj] =

inf

i∈Isup_j≥i r + infi∈Isup_j≥i[−rj] =|{z}

3.

inf

i∈Isup_j≥i[r − rj] = lim← [0, ∞](ri, r)

Logo [0, ∞](lim

→ ri, r) = lim← [0, ∞](ri, r)

Em virtude das proposi¸cões 2.1 e 2.2 poderemos definir o limite de uma rede em um espa¸co métrico geral X qualquer. Para (xi)i∈I Cauchy à direita em um espa¸co métrico

geral X, dizemos que x ∈ X ´e um limite `a direita da rede (xi) quando vale:

x = lim

→ xi se, e somente se, ∀ y ∈ X, X(x, y) = lim← X(xi, y) (2.A)

Observe que esta defini¸cão coincide com os limites definidos em [0, ∞], em virtude de 2.2 e está bem definido conforme 2.1. Vale ressaltar que este limite, caso exista, está unicamente determinado em virtude da simetria fraca, caso contrário apenas poder´ıamos concluir que os limites possuem distância 0.

Se X é ordem parcial e (xi)i∈I é cadeia, então lim → xn=

G

xn. De fato, seja y tal que xi ≤ y,

para todo i ∈ I, logo X(xi, y) = 0, ∀ i ∈ I. Por outro lado X(lim

→ xi, y) = lim← X(xi, y) = 0.

Assim lim

→ xi ≤ y e portanto lim→ xi =

G xi.

Além disso, esta defini¸cão coincide a usual de espa¸cos métricos. De fato, seja > 0 dado, observe que:

x = lim

→ xi ⇒ 0 = X(lim→ xi, x) = lim← X(xi, x) = infi∈Isup_j≥i X(xi, x) < . Logo poderemos

obter N ∈ I de modo que 0 ≤ sup

j≥N

(24)

2.2 O mergulho de Yoneda

A partir desta se¸cão vamos buscar introduzir a no¸cão de completude para espa¸cos métricos gerais, para isto considere o conjunto bX = {f : Xop_{→ [0, ∞]; f é n˜}_{ao-expansiva}.}

Munindo-o com a quase métrica bX(φ, ψ) = sup_z∈X[0, ∞](φ(z), ψ(z)) temos que bX é um espa¸co métrico geral. Neste caminho, a seguinte proposi¸cão nos permitirá identificar X em bX, o important´ıssimo:

Lema 2.4 (Yoneda Lema). Seja X espa¸co m´etrico geral. Para cada x ∈ X defina X(−, x) : Xop _{→ [0, ∞], y 7→ X(y, x). Esta fun¸c˜}_{ao ´}_{e n˜}_{ao-expansiva e portanto um}

elemento de bX. Além disto, para qualquer elemento φ ∈ bX, tem-se bX(X(−, x), φ) = φ(x). Demonstra¸cão. Primeiramente, X(−, x) é não-expansiva, pois para todo a, b ∈ X, considerando sem perda de generalidade X(a, x) < X(b, x), tem-se:

[0, ∞](X(a, x), X(b, x)) = X(b, x) − X(a, x) ≤ X(b, a) = Xop(a, b) Agora tome φ ∈ bX. Teremos:

φ(x) = [0, ∞](X(x, x), φ(x)) ≤ sup

z∈X

[0, ∞](X(z, x), φ(z)) = bX(X(−, x), φ) Por outro lado, uma vez que φ ´e n˜ao-expansiva tem-se para qualquer y ∈ X:

[0, ∞](φ(x), φ(y)) ≤ Xop(x, y) = X(y, x)

Vamos mostrar que para qualquer y ∈ X tem-se [0, ∞](X(y, x), φ(y)) ≤ φ(x). Para isto considere os seguintes casos:

i) X(y, x) = ∞

Neste caso [0, ∞](X(y, x), φ(y)) = 0 ≤ φ(x). ii) X(y, x) < ∞ e φ(x) = ∞

De imediato [0, ∞](X(y, x), φ(y)) ≤ φ(x). iii) X(y, x) < ∞ e φ(x) < ∞

Como [0, ∞](φ(x), φ(y)) ≤ X(y, x) teremos φ(y) < ∞, assim φ(y) − φ(x) ≤ [0, ∞](φ(x), φ(y)) ≤ X(y, x) e portanto φ(y) − X(y, x) ≤ φ(x). Logo, independente da ordem de φ(y) e X(y, x), segue que [0, ∞](X(y, x), φ(y)) ≤ φ(x).

Portanto em qualquer dos casos vale a desigualdade, uma vez que y ∈ X ´e arbitr´ario segue que:

φ(x) ≥ sup

y∈X

[0, ∞](X(y, x), φ(y)) = bX(X(−, x), φ)

(25)

Corolário 2.5. Seja X espa¸co métrico geral. Para cada x ∈ X, defina o mergulho de Yoneda por y : X ,→ bX, x 7→ yx = X(−, x). Para todo x, x0 ∈ X tem-se que y é uma

isometria, isto ´e, X(x, x0) = bX(yx, yx0).

Demonstra¸c˜ao. A isometria ´e imediata a 2.4. Se yx = yx0, temos 0 = bX(y_x, y_x0)

= X(x, x0) e 0 = bX(yx0, y_x) = X(x0, x). Assim, em virtude da simetria fraca, segue que

x = x0 e portanto y é injetiva. A luz do lema anterior podemos a partir de agora identificar qualquer espa¸co métrico geral X em um maior, bX. Através da seguinte proposi¸cão, com o mesmo objetivo, poderemos identificar as fun¸cões não-expansivas:

Proposi¸cão 2.6. Sejam X, Y espa¸cos métricos gerais e f : X → Y não-expansiva. Defina f∗ : bX → bY por f∗(φ)(y) = infx∈X(φ(x) + Y (y, f (x))). Neste caso, f∗ é não-expansiva.

Demonstra¸c˜ao. Sejam φ, ψ ∈ bX, teremos:

b X(φ, ψ) + f∗(φ)(y) = sup x∈X [0, ∞](φ, ψ) + inf x∈X(φ(x) + Y (y, f (x))) ≥ inf

x∈X(ψ(x) ˙−φ(x)) + infx∈X(φ(x) + Y (y, f (x))) ≥ infx∈X(ψ(x) + Y (y, f (x))) = f ∗

(ψ)(y)

Logo bX(φ, ψ) ≥ f∗(ψ)(y) − f∗(φ)(y). Se f∗(ψ)(y) > f∗(φ)(y) teremos bX(φ, ψ) ≥ [0, ∞](φ(y), ψ(y)), caso contr´ario bX(φ, ψ) ≥ 0 = [0, ∞](φ(y), ψ(y)). Em qualquer caso teremos bX(φ, ψ) ≥ [0, ∞](φ(y), ψ(y)) e assim bX(φ, ψ) ≥ sup_y∈X[0, ∞](φ(y), ψ(y)).

(26)

Cap´ıtulo 3

Completamento de espa¸

cos m´

etricos

gerais

Em posse dos resultados obtidos anteriormente, podemos a partir deste momento considerar completude em espa¸cos m´etricos gerais. Dizemos que um funtor J : Gms → Gms ´e um funtor completamento caso satisfa¸ca as seguintes propriedades:

i) J X ⊆ bX, qualquer que seja X gms; ii) {yx; x ∈ X} ⊆ J X;

iii) Quaisquer que sejam X, Y gms, se f : Y → X é uma fun¸cão não-expansiva, então J (f ) := f∗

|J Y satisfaz f|J Y∗ (J Y ) ⊆ J X, isto ´e, f|J Y∗ : J Y → J X est´a bem definida.

Note que em virtude de i) e ii) obtemos uma regra para os Gms-objetos, a qual esta determina uma margem para o completamento. A al´ınea iii) define uma regra para os Gms-morfismos, que garante que qualquer fun¸cão não-expansiva admite uma extensão que ainda é não-expansiva. Em virtude da proposi¸cão 2.6 segue que J é funtor covariante. Seja X espa¸co métrico geral, dizemos que φ ∈ bX possui supremo S(φ) ∈ X quando para todo x ∈ X satisfa¸ca a seguinte igualdade:

X(S(φ), x) = bX(φ, yx) (3.A)

Caso qualquer elemento φ ∈ J X possua supremo, dizemos que X ´e J -completo.

Conforme a defini¸cão acima é natural considerar S como uma aplica¸cão, o seguinte lema virá em nosso aux´ılio neste sentido:

Lema 3.1. Seja X espa¸co métrico geral J -completo. Então a aplica¸cão S : J X → X está bem definida e é não-expansiva. Além disso vale a seguinte desigualdade:

X(x, S(φ)) ≤ bX(yx, φ), quaisquer que sejam φ ∈ J X, x ∈ X (3.B)

(27)

Completamento de espa¸cos m´etricos gerais 17

Demonstra¸c˜ao. Sejam φ, ψ ∈ J X. Assim teremos: X(S(φ), S(ψ)) = |{z} (3.A) b X(φ, yS(ψ)) ≤ bX(φ, ψ)+ bX(ψ, yS(ψ)) = |{z} (3.A) b X(φ, ψ)+X(S(ψ), S(ψ)) = bX(φ, ψ)

Segue da desigualdade acima e da simetria fraca que S não depende da escolha de φ e ψ, portanto está bem definida e é não-expansiva. Além disso, qualquer que seja x ∈ X teremos: X(x, S(φ)) = |{z} 2.5 b X(yx, yS(φ)) = |{z} (3.A) X(S(yx), S(φ)) ≤ |{z} S não-expansiva b X(yx, φ) Exemplo 3.2. [0, ∞] é J -completo, independente da escolha de J . Para observar isso, dado φ ∈ J [0, ∞] defina S(φ) = infz∈[0,∞](φ(z) + z), teremos:

[0, ∞](S(φ), x) = x− inf

z∈[0,∞](φ(z)+z) = sup_z∈[0,∞](x−z −φ(x)) = sup_z∈[0,∞]([0, ∞](z, x)−φ(z)) =

sup

z∈[0,∞]

[0, ∞](φ(z), yx(z)) = \[0, ∞](φ, yx)

Logo S ´e de fato supremo.

3.1 Completude comum para ordens parciais e espa¸

cos

m´

etricos

Com a no¸cão de completude introduzida anteriormente podemos a partir de uma escolha adequada de J generalizar as no¸cões de completude usuais para espa¸cos métricos, ordens parciais e reticulados. Neste sentido, para X espa¸co métrico geral, defina o funtor completamento A : J X → X por φ ∈ AX se, e somente se, existe (xi)i∈I rede de Cauchy

de modo que φ = infi∈Isupj≥iX(−, xj).

Proposi¸c˜_{ao 3.3. O funtor A : Gms → Gms ´e de fato funtor completamento.}

Demonstra¸c˜ao. Sejam X, Y espa¸cos m´_{etricos gerais. Verifiquemos que A ´e funtor} com-pletamento:

i) ´_{E claro que AX ⊆ b}_{X, pois se φ ∈ AX ent˜ao φ : X}op _{→ [0, ∞] est´}_{a bem definida.}

ii) Para cada x ∈ X, tome a rede constante xi = x, para todo i ∈ I, que claramente ´e

(28)

iii) Seja f : X → Y n˜_{ao-expansiva. Tome φ ∈ AX, ent˜ao existe (x}i)i∈I Cauchy a direita

tal que φ = infi∈Isupj≥iX(−, xj). Vamos mostrar que f∗(φ) = infi∈Isupj≥iY (−, f (xj)).

Ora, para todo xj ∈ (xi),y ∈ Y e x ∈ X teremos:

Y (y, f (x))+X(x, xj) ≥ Y (y, f (x))+Y (f (x), f (xj)) ≥ Y (y, f (xj)) ⇒

inf

i∈Isup_j≥i X(x, xj) + Y (y, f (x)) ≥ infi∈Isup_j≥i Y (y, f (xj))

Como x ´e arbitr´ario segue que f∗(φ)(y) ≥ infi∈Isupj≥iY (y, f (xj)). Para mostrar a

desigualdade oposta tome > infi∈Isupj≥iY (y, f (xj)), para este tome δ1, δ2 > 0

de modo que δ1+δ2 < e δ1 > infi∈Isupj≥iY (y, f (xj)). Como δ1n˜ao ´e uma barreira

inferior para infi∈Isupj≥iY (y, f (xj)), podemos obter N1 ∈ I de modo que:

δ1 > sup j≥N1

Y (y, f (xj)) ≥ Y (y, f (xj)), ∀j ≥ N1

Uma vez que (xi) ´e Cauchy a direita podemos obter N2 ∈ I tal que para todo

j0 ≥ j ≥ N2 tenha-se X(xj, xj0) < δ₂. Assim φ(x_j) ≤ δ₂, qualquer que seja j ≥ N₂.

Como I ´e direcionado, tomando N ≥ N1 e N ≥ N2 segue que para todo j ≥ N :

> δ1+ δ2 > Y (y, f (xj)) + φ(xj) ≥ f∗(φ)(y)

Uma vez que foi tomado arbitr´ario segue que infi∈Isupj≥iY (y, f (xj)) ≥ f∗(φ)(y).

Portanto f∗(φ)(y) = infi∈Isupj≥iY (y, f (xj)).

Desta maneira, conforme as seguintes proposi¸cões, poderemos através do funtor A resgatar a completude de espa¸cos métricos e ordens parciais.

Proposi¸cão 3.4. Seja X espa¸co métrico. X é completo se, e somente se, X ´_{e A-completo.} Além disto, a fun¸c˜_{ao S : AX → X é isometria e vale a seguinte igualdade:}

X(x, S(φ)) = bX(yx, φ), quaisquer que sejam φ ∈ J X, x ∈ X (3.C)

Demonstra¸cão. Como X é espa¸co métrico, podemos fazer uso da simetria quando conveniente. Suponha X completo, tome φ = infi∈Isupj≥iX(−, xj). Fazendo uso da

proposi¸c˜ao 1.3 temos que (xi)i∈I converge, digamos para x. Em virtude da equa¸c˜ao (2.A)

teremos para todo y ∈ X: X(y, x) = X(x, y) =

|{z}

(2.A)

lim

← X(xi, y) = lim← X(y, xi) = infi∈Isup_j≥i X(y, xj)

Logo yx = φ. Desta maneira defina S(φ) = x. Assim para todo z ∈ X:

(29)

Portanto S ´_{e supremo, como φ ∈ AX foi tomado arbitrário segue que X é A-completo.} Além disso, para φ = infi∈Isupj≥iX(−, xj) e ψ = infi∈Isupj≥iX(−, yj) teremos:

b

X(φ, ψ) = sup

a∈X

[0, ∞](φ(a), ψ(a)) = sup

a∈X

[0, ∞](lim

← X(a, xj), lim← X(a, yj)) =

sup

a∈X

[0, ∞](lim

← X(xj, a), lim← X(yj, a)) = sup_a∈X[0, ∞](X(S(φ), a), X(S(ψ), a)) =

b

X(yS(φ))), yS(ψ)) = X(S(φ), S(ψ))

Portanto S : AX → X é isometria e desta maneira conforme a demonstra¸cão do lema 3.1 segue que vale a equa¸cão (3.C).

Reciprocamente, seja (xn)n∈Nsequˆencia de Cauchy. Tome φ = infn∈Nsupk≥nX(−, xn).

Como X ´_{e A-completo existe o supremo S(φ). Assim para todo z ∈ X:} X(S(φ), z) = X(z, S(φ)) = |{z} (3.C) b X(yz, φ) = sup a∈X

[0, ∞](yz(a), lim

← X(a, xn)) =|{z}

2.2(iii)

sup

a∈X

lim

← [0, ∞](yz(a), X(a, xn)) = lim← sup_a∈X[0, ∞](yz(a), yxn(a)) = lim← X(yb z, yxn) =

lim

← X(z, xn) = lim← X(xn, z)

Segue da equa¸c˜ao 2.A que lim

→ xn = S(φ) e portanto X ´e completo.

Proposi¸cão 3.5. Seja X ordem parcial. Então X é CPO se, e somente se, X é A-completo.

Demonstra¸cão. Seja (X, ≤) ordem parcial. Então vejamos que vale ⇐. Para isso, seja D ⊆ X direcionado. Observe que (xd)d∈D, com xd:= d é uma rede de Cauchy. Tomemos

agora φ o ideal associado a esta rede (xd)d∈D, i.e., φ(x) := infd∈Dsupm≥dX(x; xm). Temos

o seguinte

Fato 1: φ(x) = (

0 se x ∈↓ D

∞ caso contrário é fun¸cão caracter´ıstica.

Prova. Seja x ∈↓ D, i.e., existe z ∈ D tal que x ≤ z. Como X(x; z) = 0, temos que supm≥zX(x; m) = 0, temos que infd∈Dsupm≥dX(x; m) = 0.

Se x 6∈↓ D, i.e., para todo z ∈ D tal que x 6≤ z, temos que X(x; z) = ∞, para todo z ∈ D. Consequentemente, X(x; y) = ∞ para todo y ∈↓ D, terminando a prova do Fato 1.

Como (X; ≤) ´_{e A-completo, φ tem supremo, ou seja, existe S(φ) tal que para} todo x ∈ X,

X(S(φ); x) = bX(φ; yx)

Observe que temos as seguintes equivalˆencias

S(φ) ≤ x sse X(S(φ); x) = 0 sse X(φ; yb _x) = 0. Pela defini¸c˜ao de bX(φ; yx) temos para todo z ∈ X que

(30)

b

X(φ; yx) = 0 sse yx(z) = X(z; x) ≤ φ(z). (∗)

Vamos mostrar o seguinte

Fato 2: X(φ; yb x) = 0 sse ↓ D ⊆↓ x.

Prova. Seja z ∈↓ D, i.e., existe y ∈ D tal que z ≤ y. Então, φ(z) = 0. Se z 6≤ x então X(z; x) = ∞. Mas a´ı, temos uma contradi¸cão a (∗). Logo z ∈↓ x.

Reciprocamente, seja z ∈ X. Se z ∈↓ D, ent˜ao z ∈↓ x, e consequentemente, X(z; x) = 0. Caso contr´ario, φ(z) = ∞. Em ambos os casos, temos bX(φ; yx) = 0, terminando a prova

do Fato 2.

O pr´oximo fato ´e

Fato 3: ↓ D ⊆↓ x sse D ⊆↓ x.

Prova. Como D ⊆↓ D, vale ⇒. A volta, segue do fato que ↓ ´e um operador de fecho de Tarski, onde vale em particular, ↓↓ D =↓ D.

Usando os Fatos 1, 2 e 3, obtemos que

S(φ) ≤ x sse D ⊆↓ x. ∀x ∈ X. Assim, S(φ) =F D, e (X; ≤) ´e uma CPO.

Vejamos agora ⇒, ou seja, X(; ≤) ´_{e A-completo. Seja para isso, φ(x) := inf}i∈Isupj≥iX(x; xj)

para alguma rede de Cauchy.

Sabemos que existe i0 ∈ I tal que xn ≤ xm para todo i0 ≤ n ≤ m. (∗∗).

Tomemos Di0 := {xi| i ∈ I & i0 ≤ i}. Assim, sendo Di0 uma cadeia, Di0 ´e direcionado.

Seja agora D :=↓ Di0. Como (X; ≤) ´e CPO, existe F D em X.

Agora observe que φ(x) = (

0 se x ∈↓ Di0

∞ caso contr´ario

Para ver isso, seja x ∈ D. Logo existe k ∈ I tal que x ≤ xk e i0 ≤ k. Por (∗∗), temos

que x ≤ xk ≤ xn para todo n ≥ k. Portanto, X(x; xn) = 0, para todo n ≥ k. Assim,

supn≥kX(x; xn) = 0.Pela defini¸c˜ao de φ, temos que φ(x) = 0, neste caso.

Seja agora x 6∈ D, ou seja, x 6≤ z para todo z ∈ Di0. Temos ent˜ao X(x; z) = ∞,

∀z ∈ Di0 e portanto φ(x) = ∞. Assim temos as seguintes equivalˆencias

F D ≤ x sse X(F D; x) = 0 sse D ⊆↓ x sse Di0 ⊆↓ x sse X(φ; yb x) = 0.

Logo F D é o supremo de φ. Para ordens parciais podemos considerar o funtor c(.)X = bX, observe que é imedi-ato que este funtor é de fato um funtor completamento. Conforme a seguinte proposi¸cão, esta escolha nos permitirá resgatar a completude de reticulados.

Proposi¸cão 3.6. Seja X ordem parcial. X é um reticulado completo se, e somente se, X é c(.)-completo.

(31)

por:

φ(z) = (

0 se z ∈ ↓ A ∞ caso contr´ario

Uma vez que X ´e c(.)-completo, vamos mostrar que W ↓ A = S(φ).

Ora, seja x ∈↓ A, pela defini¸c˜ao de φ e aplicando o Lema de Yoneda teremos 0 = φ(x) = b

X(yx, φ) ≥

|{z}

3.B

X(x, S(φ)). Logo X(x, S(φ)) = 0 e portanto x ≤ S(φ).

Por outro lado, se z ∈ X ´e tal que x ≤ z, qualquer que seja x ∈ ↓ A, teremos: X(S(φ), z) = bX(φ, yz) = sup

a∈X

[0, ∞](φ(a), X(a, z))

Se a ∈ ↓ A, pela escolha de z temos X(a, z) = 0, assim [0, ∞](φ(a), X(a, z)) = 0. Por outro lado, se a /∈ ↓ A teremos que φ(a) = ∞ e portanto [0, ∞](φ(a), X(a, z)) = 0. Desta maneira, qualquer que seja a ∈ X temos [0, ∞](φ(a), X(a, z)) = 0, logo X(S(φ), z) = 0 e assim S(φ) ≤ z.

Portanto concluimos que existe W ↓ A, uma vez que A ⊆ X foi tomado arbitrário segue da proposi¸cão 1.2 que X é reticulado completo.

Reciprocamente, suponha X reticulado completo. Para φ ∈ bX, tome A = φ−1(∞). Observe que A = ↑ A, pois se z ∈ ↑ A podemos obter h ∈ A tal que h ≤ z, como φ é não-expansiva φ(h) ≤ φ(z) e assim φ(z) = ∞. Desta maneira defina S(φ) =W X\ ↑ A, vamos mostrar que S é supremo.

Ora, para cada x ∈ X teremos:

0 = X(S(φ), x) = X(_X\ ↑ A, x) ⇔ X\ ↑ A ⊆ ↓ {x} ⇔ X\ ↓ {x} ⊆ ↑ A

Se a ∈ ↓ {x} temos X(a, x) = 0, caso contr´ario teremos a ∈ ↑ A e assim φ(a) = ∞, logo em qualquer caso teremos [0, ∞](φ(a), X(a, x)) = 0. Por outro lado, se [0, ∞](φ(a), X(a, x)) = 0, ∀ a ∈ X, isto significa que sempre X(a, x) ≤ φ(a), em particular para a /∈↓ {x} valer´a X(a, x) = ∞ e assim φ(a) = ∞. Desta maneira, teremos:

X\ ↓ {x} ⊆ ↑ A ⇔ [0, ∞](φ(a), X(a, x)) = 0, ∀ a ∈ X ⇔ bX(φ, yx) = 0

Logo X(S(φ), x) = 0 ⇔ bX(φ, yx) = 0, qualquer que seja x ∈ X. Como X ´e ordem parcial

X(−, −) s´o assume valores 0 e ∞, desta maneira X(S(φ), x) = ∞ ⇔ bX(φ, yx) 6= 0, mas

neste caso podemos obter a ∈ X de modo que yx(a) − φ(a) 6= 0, novamente levando

em considera¸cão que X é ordem parcial terá que ocorrer yx(a) − φ(a) = ∞ e assim

X(S(φ), x) = ∞ ⇔ bX(φ, yx) = ∞. Assim X(S(φ), x) = bX(φ, yx), qualquer que seja

(32)

3.2 Completamento de direcionados

Conforme a no¸cão de completude introduzida no cap´ıtulo anterior, dado um espa¸co métrico geral X podemos nos questionar a completude de conjuntos direciona-dos com respeito à ordem ≤X herdada da métrica de X. Neste caminho, dizemos que um

funtor completamento J ´e admiss´ıvel se para qualquer que seja X espa¸co m´etrico geral J -completo, tenha-se (X, ≤X) pre-CPO.

Exemplo 3.7. Para X espa¸co m´_{etrico geral, considere o funtor YX = {y}x; x ∈ X}.

Observe que Y ´e funtor completamento pois: f∗(X(−, z)) = inf

x∈X(X(x, z) + Y (−, f (x))) = Y (−, f (z))

Definindo S(yz) = z, qualquer que seja z ∈ X, em virtude do Lema de Yoneda teremos

que X ´_{e Y-completo. Em particular, tomando X = N e considerando a ordem usual,} teremos que N é Y-completo, mas não é pre-CPO. Logo Y não é admiss´ıvel.

O funtor anterior conforme mostrado não é admiss´ıvel. Para nosso aux´ılio, con-forme as seguintes proposi¸c˜_{oes, vamos verificar que tanto A quanto c}(.) são admiss´ıveis. Proposi¸c˜_{ao 3.8. O funtor A é admiss´ıvel.}

Demonstra¸cão. Sejam X espa¸co m´_{etrico geral A-completo e I ⊆ X direcionado com} respeito a ≤X. Defina xi = i, i ∈ I, observe que (xi)i∈I é rede de Cauchy à direita.

Para esta rede tome φ = infi∈Isupj≥iX(−, xj), uma vez que X ´e A-completo existe S(φ).

Vamos mostrar queF I = S(φ).

Seja k ∈ I, temos φ(xk) ≤ supj≥kX(xk, xj) = 0. Logo pelos lemas de Yoneda e

(3.1) temos 0 = φ(xk) = bX(yxk, φ) ≥ X(xk, S(φ)), assim xk ≤X S(φ). Se u ∈ X ´e tal que

xi ≤X u, qualquer que seja i ∈ I, teremos X(xi, u) = 0 e assim:

0 = lim

→ X(xi, u) = lim→ X(yb xi, yu) = lim→ sup_a∈X[0, ∞](yxi(a), yu)(a) = sup_a∈Xlim→[0, ∞](yxi(a), yu(a))

= |{z} (2.2)(iv) sup a∈X [0, ∞](lim ← yxi(a), yu(a)) = bX(φ, yu) = X(S(φ), u) Portanto S(φ) ≤X u.

Proposi¸cão 3.9. Seja X espa¸co métrico geral c(.)-completo, então (X, ≤X) é reticulado

completo. Em particular c(.) ´e admiss´ıvel.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente observe que bX ´e um reticulado completo com respeito a ≤

b

X, para observar isto dado Y ⊆ bX tome W Y (x) = W{φ(a), φ ∈ Y & a ∈ [0, ∞]}, para

(33)

barreiras superiores com respeito a ≤_X_b. Al´em disso ⊥_X_b(a) = ∞, para todo a ∈ [0, ∞], ´e o menor elemento de bX e assim ⊥

b

X ∈ bX. Vamos mostrar agora que (X, ≤X) ´e reticulado

completo.

Seja A ⊆ X, defina y[A] = {ya; a ∈ A}, verifiquemos que S(WXby[A]) ´e supremo

de A. Dado a ∈ A, temos ya ≤Xb

W

b

Xy[A], uma vez que S ´e n˜ao-expansiva teremos

a = S(ya) ≤X S(

W

b

Xy[A]). Por outro lado, se u ∈ X ´e tal que a ≤X u, para todo a ∈ A,

em virtude da isometria de y teremos ya ≤Xb yu e assim

W

b

Xy[A] ≤Xb yu, portanto segue

que S(W

b

Xy[A]) ≤X S(yu) = u. Conforme observado anteriormente temos que ⊥Xb ´e o

menor elemento de bX, como S ´e n˜ao-expansiva segue que S(⊥

b

X) ´e o menor elemento de

(34)

Cap´ıtulo 4

Teoremas de ponto fixo

Dado um conjunto X e uma aplica¸cão f : X → X, podemos nos questionar a existência de pontos x ∈ X tais que f (x) = x, quais são ditos pontos fixos. A existência de tais pontos podem ter diversas consequências, por exemplo, se Ax = 0 é um sistema de equa¸cões, a existência de pontos fixos para A + I garante a solu¸cão deste sistema. Além disso, sob algumas hipóteses acerca da aplica¸cão f e a estrutura de X, pontos fixos podem implicar convergência.

Para espa¸cos m´etricos e ordens parciais s˜ao bem conhecidos os teoremas de ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, conforme enunciado:

Teorema 4.1 (Banach). Seja X espa¸co métrico completo. Se f : X → X é uma con-tra¸cão, isto é, existe 0 < λ < 1 tal que d(f (x), f (y)) ≤ λd(x, y), quaisquer que sejam x, y ∈ X. Então f tem um único ponto fixo.

Teorema 4.2 (Knaster-Tarski). Seja X um reticulado completo. Se f : X → X preserva ordem, ent˜ao f tem menor e maior ponto fixo.

Através do teorema do Ponto Fixo de Banach pode-se demonstrar os conhecidos Teorema de Picard, que garante existência e unicidade de solu¸cões para equa¸cões difer-encias, e o Teorema da Fun¸cão Inversa para aplica¸cões diferenciáveis. Como aplica¸cão do Teorema do Ponto Fixo de Knaster-Tarski tem o conhecido Teorema de Schr¨ oder-Bernstein, que garante a existência de uma bije¸cão entre conjuntos A e B caso exista uma fun¸cão injetiva de A em B e de B em A.

Nas próximas se¸cões, vamos mostrar que ambos são corolários de um único teo-rema, cujas hipóteses são impostas em espa¸cos métricos gerais.

(35)

Teoremas de ponto fixo 25

4.1 O teorema do Ponto Fixo de Pataraia

Conforme é conhecido para ordens parciais, pelo teorema (4.15) em [3], dado X CPO e f : X → X preservando ordem é poss´ıvel obter ponto fixo para f . Como mostrado por Pataraia [6], este teorema possui uma demonstra¸cão construtiva, como segue:

Teorema 4.3. Seja (X, ≤) CPO e suponha que f : X → X preserva ordem. Ent˜ao f tem menor ponto fixo.

Demonstra¸cão. Seja H = {A ⊆ X; f (A) ⊆ A e A é sub-CPO de X}, observe que Y = {x ∈ X; x ≤ f (x)} ∈ H. Tome C =T{A; A ∈ H}, C 6= ∅ pois ⊥ ∈ C, observe que f : C → C está bem definida e além disto x ≤ f (x), para todo x ∈ C, uma vez que C ⊆ Y .

Defina E(C) = {ϕ : C → C; x ≤ ϕ(x) , ∀x ∈ C e ϕ preserva ordem }, temos que E(C) 6= ∅ pois f ∈ E(C), além disto munido com a ordem por coordenadas ≤0 definida por φ ≤0 ψ se, e somente se, φ(a) ≤0 ψ(a), para todo a ∈ C, temos que (E(C), ≤0) é ordem parcial. Vamos mostrar que E(C) é pre-CPO.

Seja {ϕi}i∈I fam´ılia direcionada, defina (F ϕi)(x) = F ϕi(x), para todo x ∈

C. Esta fun¸cão está bem definida pois, uma vez que {ϕi}i∈I é direcionado, temos que

{ϕi(x)}i∈I ´e direcionado e como C ´e CPO segue que F ϕi(x) ∈ C. Resta mostrar que

F ϕi ∈ E(C). Ora, se x, y ∈ C ´e tal que x ≤ y, uma vez que ϕi preserva ordem

temos que ϕi(x) ≤ ϕi(y), para todo i ∈ I, assim F ϕi(x) ≤ F ϕi(y). Al´em disto temos

x ≤ ϕi(x) ≤F ϕi(x) = (F ϕi)(x). AssimF ϕi ∈ E(C).

O grande passo desta demonstra¸cão é observar que E(C) é direcionado. Para verificar isto dados φ, ψ ∈ E(C), tome h = φ ◦ ψ. É claro que h preserva ordem, como x ≤ φ(x) e x ≤ ψ(x), para todo x ∈ C, segue que x ≤ ψ(x) ≤ φ(ψ(x)) = h(x) e assim h ∈ E(C). Além disto, conforme a desigualdade anterior, temos ψ(x) ≤ h(x) e x ≤ ψ(x), para todo x ∈ C, como φ preserva ordem teremos também φ(x) ≤ φ(ψ(x)) = h(x) e portanto φ ≤0 h e ψ ≤0 h, assim E(C) é direcionado. Uma vez que E(C) é pre-CPO, temos então que E(C) tem > =W E(C), o denotemos por m : C → C. Vamos mostrar que m(⊥) é o menor ponto fixo de f .

Ora, como m ´e o maior elemento de E(C), temos que f ◦ m ≤0 m, conforme observado anteriormente sempre vale m ≤0 f ◦ m, assim f ◦ m = m e portanto f (m(⊥)) = m(⊥). Al´em disto seja x ∈ X outro ponto fixo de f , observe que ↓ {x} ∈ H, logo C ⊆ ↓ {x} e como m(⊥) ∈ C, segue que m(⊥) ≤ x. Teorema 4.3 (bis). Seja (X, ≤) pre-CPO e f : X → X. Suponha que f preserva ordem e existe x∗ ∈ X tal que x∗ _{≤ f (x}∗_{). Ent˜}_{ao f tem ponto fixo, qual ´}_{e o menor acima de}

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Demonstra¸cão. Os passos são análogos a demonstra¸cão anterior, exceto pelo fato de usar a hipótese de x∗ ≤ f (x∗_{) ao inv´}_{es das propriedades de ⊥.}

Fazendo uso do Teorema de Pataraia, obteremos o seguinte teorema para espa¸cos métricos gerais, cujas hipóteses permitirão obter os teoremas do ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski para espa¸cos métricos gerais.

Teorema 4.4. Sejam J admiss´ıvel , X espa¸co métrico geral J -completo e f : X → X não-expansiva. Se existe φ ∈ J X tal que f∗(φ) = φ, então f tem ponto fixo, qual é o menor acima de S(φ) com respeito a ≤X.

Demonstra¸c˜ao. Seja φ ∈ J X tal que f∗(φ) = φ, uma vez que X ´e J -completo, existe S(φ). Desta maneira temos que:

X(S(f∗(φ)), f (S(φ))) = bX(f∗(φ), yf (S(φ))) = sup a∈X [yf (S(φ))(a)−f∗(φ(a))] = sup a∈X [yf (S(φ))− inf b∈X(φ(b)+X(a, f (b)))] = sup a∈X [sup b∈X

(X(a, f (S(φ))) − φ(b) − X(a, f (b)))] [Lema 2.3] ≤ sup a∈X sup b∈X [X(f (b), f (S(φ))) − φ(b)] [Desigualdade Triangular] ≤ sup b∈X [X(b, S(φ)) − φ(b)] [f n˜ao-expansiva] = sup b∈X

[X(b, S(φ)) − bX(yb, φ)] [Lema de Yoneda]

≤ sup

b∈X

[X(b, S(φ)) − X(b, S(φ))] = 0 [Lema 3.1] Logo X(S(f∗(φ)), f (S(φ))) = 0 e portanto S(f∗(φ)) ≤X f (S(φ)). Por hip´otese J ´e

admiss´ıvel, assim (X, ≤X) é pre-CPO, uma vez que f é não-expansiva e f∗(φ) = φ temos

que f preserva ordem com respeito a ≤X e S(φ) ≤X f (S(φ)). Aplicando o teorema 4.3

bis segue que f tem ponto fixo, qual ´e o menor acima de S(φ) com respeito a ≤X.

4.2 Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para

espa¸

cos m´

etricos gerais

Conforme as hipóteses do teorema anterior, para a obten¸cão de pontos fixos para uma fun¸cão f é suficiente a existência destes para f∗. Neste caminho a seguinte proposi¸cão virá em aux´ılio:

Proposi¸cão 4.5. Sejam X espa¸co métrico geral e f : X → X não-expansiva. Se para al-gum x0 ∈ X a sequência (fn(x0))n∈Né Cauchy à direita, então φ = infn∈Nsupk≥nX(−, fk(x0))

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Demonstra¸c˜ao. Para mostrar a igualdade f∗(φ) = φ, vamos verificar ambas desigual-dades com respeito a ≤

b X.

Sejam n ∈ N, z ∈ X e > 0 fixados. Uma vez que (fn_(x

0))n∈N ´e Cauchy `a

direita, tome m ∈ N de modo que para todo k ≥ m ≥ n tenha-se X(fm(x0), fk(x0)) < .

Assim sup_k≥mX(fm(x0), fk(x0)) ≤ . Logo teremos:

sup k≥n X(z, fk(x0)) + ≥ sup k≥m X(z, fk(x0)) + ≥ X(z, fm+1(x0)) + sup k≥m X(fm(x0), fk(x0)) ≥ inf

a∈X[X(z, f (a)) + sup_k≥mX(a, f k

(x0))] ≥ inf

a∈X[X(z, f (a)) + infm∈N_k≥msupX(a, f k

(x0))] = f∗(φ)(z)

Uma vez que > 0 foi tomado arbitr´ario teremos f∗(φ)(z) ≤ sup_k≥nX(z, fk_(x

0)). Como

n ∈ N foi tomado arbitr´ario obtemos f∗(φ)(z) ≤ inf_n∈Nsup_k≥nX(z, fk_(x

0)) = φ(z).

Logo f∗(φ)(z) − φ(z) ≤ 0, uma vez que a escolha de z ∈ X foi arbitr´aria segue que sup_z∈X[f∗(φ)(z) − φ(z)] ≤ 0 e assim bX(φ, f∗(φ)) = 0. Portanto φ ≤_X_b f∗(φ).

Para mostrar a desigualdade oposta, sejam y, z ∈ X e n ∈ N fixados. Tome k ≥ n, uma vez que f ´e n˜ao-expansiva teremos:

X(y, f (z)) + X(z, fk(x0)) ≥ X(y, f (z)) + X(f (z), fk+1(x0)) ≥ X(y, fk+1(x0)). Assim:

X(y, f (z))+sup

k≥n

X(z, fk(x0)) ≥ sup k≥n

X(y, fk+1(x0)). Como n foi tomado arbitr´ario vale:

X(y, f (z))+ inf n∈Nsup_k≥nX(z, f k (x0)) ≥ inf n∈Nsup_k≥nX(y, f k+1

(x0)) e assim: X(y, f (z))+φ(z) ≥ φ(y)

Uma vez que z foi tomado arbitr´ario teremos inf

z∈X[X(y, f (z)+φ(z))] ≥ φ(y) e assim

f∗(φ)(y) ≥ φ(y). Como y foi tomado arbitrário segue que f∗(φ) ≤_X_b φ. Em virtude do Teorema 4.4 e fazendo uso da proposi¸cão anterior, estaremos em condi¸cões de demonstrar os teoremas de Banach e Knaster-Tarski, cujas hipóteses tomadas em espa¸cos métricos gerais coincidem com as hipóteses dos teoremas originais, em virtude das proposi¸cões 3.4, 3.6, 3.8 e 3.9.

Teorema 4.6 (Banach). Sejam X espa¸co m´_{etrico geral A-completo e f : X → X} con-tra¸cão, isto é, existe 0 < λ < 1 tal que X(f (x), f (y)) ≤ λ.X(x, y) < ∞, para todo x, y ∈ X. Então f tem um único ponto fixo.

Demonstra¸cão. Seja x0 ∈ X, vamos mostrar que fn(x0) é Cauchy à direita. Ora, para

cada p ∈ N teremos: X(fn(x0), fn+p(x0)) ≤ p−1 X i=0 X(fn+i(x0), fn+i+1(x0)) ≤ p−1 X i=0 λn+iX(x0, f (x0))

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Teoremas de ponto fixo 28 = λnX(x0, f (x0)) p−1 X i=0 λi < λn.X(x0, f (x0)) ∞ X i=0 λi = λ n 1 − λX(x0, f (x0))

Uma vez que 0 < λ < 1 temos que _1−λλn X(x0, f (x0)) → 0, assim dado > 0 podemos

tomar n0 ∈ N de modo que para todo n ≥ n0 tenha-se X(fn(x0), fn+p(x0)) < . Como

p ∈ N foi tomado arbitr´ario segue que X(fn_(x

0), fm(x0)) < , para todo m ≥ n ≥ n0.

Portanto fn_(x

0) ´e Cauchy `a direita.

Desta maneira, pela proposi¸c˜ao 4.5 φ = infn∈N supk≥nX(−, fk(x0)) ´e um ponto

fixo para f∗_{, qual pertence a AX. Pela proposi¸c˜ao 3.8 temos que o funtor A ´e admiss´ıvel,} uma vez que X ´_{e A-completo segue pelo teorema 4.4 que f possui ponto fixo.}

Se a, b ∈ X s˜ao pontos fixos para f , teremos X(a, b) = X(f (a), f (b)) ≤ λX(a, b) e assim (1 − λ)X(a, b) ≤ 0. Como (1 − λ) > 0 segue que X(a, b) = 0. De modo an´alogo X(b, a) = 0 e assim em virtude da simetria fraca a = b.

Portanto f possui um único ponto fixo. Teorema 4.7 (Knaster-Tarski). Seja X espa¸co métrico geral c(.)-completo. Se f : X → X é não-expansiva, então f tem menor e maior ponto fixo.

Demonstra¸cão. Por hipótese temos que X é c(.)-completo, logo pela proposi¸cão 3.9 (X, ≤X) é um reticulado completo, desta maneira teremos que fn(⊥) é Cauchy à direita,

pois como f ´e n˜ao-expansiva vale:

⊥ ≤X f (⊥) ≤X f2(⊥) ≤X ... ≤X fn(⊥) ≤X ...

E assim para qualquer > 0 se n ≥ m ≥ 0 teremos X(fm(⊥), fn(⊥)) = 0 < . Logo pela proposi¸c˜ao [4.5] φ = infn∈Nsupk≥nX(−, fk(⊥)) ´e ponto fixo para f∗, por 3.9 temos que

c

(.) ´e admiss´ıvel e portanto pelo teorema [4.4] segue que f tem menor ponto fixo, digamos x1, qual ´e o menor acima de S(φ).

Por outro lado, conforme a demonstra¸c˜ao do lema 3.8, temos que S(φ) =W

n∈Nf n_(⊥).

Se x2 for outro ponto fixo para f , temos sempre que ⊥ ≤X x2, e assim como f ´e n˜

ao-expansiva teremos fn(⊥) ≤X fn(x2) = x2, para todo n ∈ N, da´ıW_n∈Nfn(⊥) ≤X x2.

Como x1 ´e o menor ponto fixo de f acima de

W

n∈Nf

n_{(⊥), segue que x}

1 ≤X x2. Portanto

x1 ´e o menor ponto fixo de f em X.

Uma vez que f é não-expansiva em X se, e somente se, é não-expansiva em Xop

a mesma constru¸c˜ao levar´a a obter o menor ponto fixo para f em Xop_{, consequentemente}

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Referˆ

encias

[1] Bonsangue, M., van Breugel, F., Rutten, J. (1998) Generalized metric spaces: comple-tion, topology, and power domains via the Yoneda embedding Theoretical Computer Science. 193, p. 1-51.

[2] Dalen, Dirk van Logic and structure. 3rd augm. ed. Berlin: Springer, 1997.

[3] Davey, B. A, Priesley H. A. Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press, 1990.

[4] Goldblatt, R. Topoi, The Categorial Analysis of Logic. Revised edition. Elsevier Sci-ence Publishers B. V., 1984.

[5] Kostanek M., Waszkiewicz, P. (2011) Reconciliation of elementary order and metric fixpoint theorems. Pre-print, dispon´ıvel em: http://tcs.uj.edu.pl/Waszkiewicz

[6] Waszkiewicz, P. (2010) Common patterns for metric and ordered fixed point theorems. In Proceedings of the 7th Workshop on Fixed Points in Computer Science (Luigi Santocanale ed.), pp. 83-87.