Complexidade dos Algoritmos Propostos

A complexidade do algoritmo SIPA-EE é determinada pelas etapas: a) determinação da melhor MS para cada subportadora, linha 3; b) cálculo de q, linha 5; e c) execução do procedimento WF, linha 9.

Para o item a), a complexidade é da ordem de O(KN ), afinal comparam-se K ganhos de canal por subportadora e existem N subportadoras no sistema. Para o item b), a complexidade também é da ordem de O(KN ), dado que o cômputo de q envolve dois somatórios em K e N com um número constante de multiplicações reais em cada com- ponente do somatório, além de uma divisão real e KN cômputos de logaritmos. Para o item c), a complexidade do algoritmo WF é da ordem de O(N log(N )) [125], e ocorre quando uma única MS aloca todas as subportadoras disponíveis. Porém, quando apenas uma MS aloca todas as subportadoras, o algoritmo WF é executado uma única vez, dado que apenas uma MS possui potência alocada não nula. Em geral, o algoritmo WF é executado para apenas algumas poucas MSs com um número significativamente grande de subportadoras, considerando os parâmetros testados, conforme discutido na seção de resultados numéricos. Com tais considerações, afirma-se aqui que a complexidade do item c) é da ordem de O(N log(N )), e a complexidade do algoritmo SIPA-EE é, portanto, da ordem de O(KN + N log(N )).

Para o algoritmo TIPSA-EE, os procedimentos que contribuem para o incremento de complexidade computacional são: a) O algoritmo SIPA-EE, linha 1; b) As execuções do Algoritmo 4.2, linhas 3, 12 e 20, cuja complexidade é da ordem de O(KN ) [34]; e c) As execuções do Algoritmo 4.3, linhas 5 e 22.

Em relação ao Algoritmo 4.3, o procedimento na linha 4 tem complexidade da ordem de O(N log(N )), enquanto que a linha 6 possui complexidade da ordem de O(KN ). Porém, a linha 4 está inserida em um laço foreach que pode ser executado para todas as K MSs, o que pode resultar em uma complexidade de pior caso da ordem de O(KN log(N )).

Apesar da possibilidade, tal cenário de pior caso é bastante improvável, pois quando um grande número de MSs possuem subportadoras alocadas:

i) Um grande número de MSs possuem poucas subportadoras, e apenas algumas pou- cas dessas MSs violam a restrição de potência máxima, ou;

ii) As subportadoras estão bem distribuídas entre as MSs, e a probabilidade de todas elas alocarem mais potência que pmax

k é baixa.

O laço foreach está inserido em um laço while cuja contagem de repetições é difícil de ser estimada em termos de K e N , porém afirma-se aqui que tal número é bastante inferior a K e N . Para corroborar as afirmações sobre o número de execuções dos laços foreach e while associados à linha 4, o número de execuções de ambos os laços será analisado. Com os argumentos e afirmações apresentados, define-se que a complexidade do Algoritmo 4.3, e consequentemente do algoritmo TIPSA-EE, é da ordem de O(KN + N log(N )) para cenários práticos.

Para o algoritmo DKB+LDD-EE, a complexidade é dominada pelo algoritmo TIPSA- EE e pelo Algoritmo 4.2, cuja complexidade é da ordem de O(KN ) [34] e é executado a cada iteração dual. Dado que afirma-se que a complexidade do algoritmo TIPSA-EE é da ordem de O(KN + N log(N )), será investigada também a complexidade do algoritmo DKB+LDD-EE em cenários práticos. Nesses cenários, percebe-se que a complexidade computacional é dominada pela execução do Algoritmo 4.2, isto é, é da ordem de O(KN ).

4.3

Resultados Numéricos

Para avaliar a EE atingida pelo algoritmo ótimo DKB+LDD-EE e pelos algoritmos sub- ótimos SIPA-EE e TIPSA-EE, são analisadas 104 _{realizações de canal, representando}

posições geográficas aleatórias das MSs distribuídas no interior da célula. As MSs foram posicionados de modo aleatório na célula, segundo uma distribuição uniforme da distância entre MS e BS e também uniforme do ângulo em relação à BS3. A amplitude dos coeficien- tes de desvanecimento rápido para todas as MSs é modelada utilizando uma distribuição de Rayleigh com média unitária, gerada por uma distribuição complexa Gaussiana com média nula e variância de q2/π por dimensão4_.

A perda de percurso é baseada no modelo WINNER C2, que é apresentado no Apên- dice D.1. Para modelar a existência ou não de linha de visada (LoS), utiliza-se a probabi- lidade de LoS do modelo WINNER C2 para gerar uma variável aleatória do tipo binomial para cada MS, que define a condição de propagação. A não ser que sejam explicitamente modificados, os demais parâmetros de simulação são apresentados na Tabela 4.1.

3 _{Como não há setorização ou utilização de RSs, o ângulo não influi nos resultados.}

4 _{Mesmo nos casos em que o modelo de perda de percurso prevê a existência de uma linha de visada,}

4.3. Resultados Numéricos 81

Tabela 4.1 – Parâmetros de simulação

Parâmetro Valor

Sistema de comunicação

Número de subportadoras (N ) [256, 512, 1024, 2048] Número de MSs (K) [30, 60, 90, 120] Largura de banda das subportadoras (w) 12 kHz

Raio da macro-célula (R) 750 m

PSD do ruído AWGN (No) −174 dBm/Hz

Proporção de bits de informação (`k,n) 0.8

MS

Potência máxima por MS (pmax_k ) 200 mW Potência de circuitaria (pck) 100 mW

Máxima BER tolerada (berk) 10−3

Ineficiência do amplificador de potência (%k) 4

Perda de percurso

Frequência da portadora (fc) 2 GHz

Altura da antena da BS (hBS) 25 m

Altura da antena da MS (hMS) 1.5 m

DKB e LDD

Erro máximo para convergência (DKB) (εmax

dkb ) 10

−8

Erro máximo para convergência (LDD) (εmax

ldd ) 10 −8 Limite de iterações (DKB) (N_dkbit ) 50 Limite de iterações (LDD) (Nit ldd) 100 Fonte: o autor

Os resultados numéricos foram gerados tendo em vista a análise dos seguintes aspectos da alocação de potência e subportadoras em OFDMA uplink: a) Otimização da variável de atualização φ, para acelerar a convergência; b) Validação do algoritmo DKB+LDD-EE; c) Comparação da EE alcançada pelos algoritmos DKB+LDD-EE, SIPA-EE e TIPSA-EE; e d) Análise da EE em relação a diversos valores de pmax_k .