Comportamento face ao sismo de El Centro

Na presente secção reproduz-se um exemplo apresentado em [9] que consiste num pórtico de três pisos (Figura 39). Os autores utilizaram um algoritmo de integração numérica diferente do método-θ. O algoritmo usado em [9] considera uma rigidez horizontal finitak_b do sistema de contraventamento onde se insere o dissipador por atrito que se liga à laje do piso superior, pelo que é necessário adicionar um grau de liberdade no método-θ por cada contraventamento por forma a contabilizar correctamente a velocidade relativa entre as duas superfícies contactantes de cada dissipador.

A rigidez horizontal do sistema de contraventamento de cada piso é k_b = 3k₁ = 11203.047 kN/m e a força máxima de atrito em cada dissipador é igual a 10% do peso total da estrutura ou sejafs = 32.707kN. Note-se que a matriz de rigidez, devido ao sistema de contraventamento horizontal, é não simétrica. A matriz de massa

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 10⁻⁵

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻²

f (Hz) X1/F(m/N)

fs= 250 N fs= 100 N fs= 50 N

fs= 5 N fs= 10 N

fs= 25 N

Figura 38: Curvas de ressonância do sistema esquematicamente representado na Figura 36 para uma amplitude F = 100 N da força excitadora sinusoidal, para as forças máximas de atrito f_s = 5,10,25,50,100,250 N. Em abcissas representa-se a frequência de excitação f = _2π^ω e em ordenadas a receptância da primeira coordenada generalizada.

M=

















11.213 0 0 0 0 0

0 11.213 0 0 0 0

0 0 10.914 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0















 (t)

tem três elementos nulos na diagonal principal devido às coordenadas generalizadas X₄, X₅ e X₆ cuja massa é nula. A matriz de rigidez, cujo primeiro bloco principal 3×3 é não simétrico por ter sido obtido experimentalmente [9], é

K=

















9186.159 −5452.178 1172.190 0 0 0

−5451.810 8753.602 −4556.112 0 0 0

1172.96 −4555.417 3673.845 0 0 0

0 0 0 11203.047 0 0

−11203.047 0 0 0 11203.047 0 0 −11203.047 0 0 0 11203.047

















(kN/m),

O

k 2 k

2

c

X₁ X2

X3

d(t)

X Y

k 2 k

2

c

k 2 k

2

c

f_s

kb f_s

kb f_s

kb

X6

X₅

X₄

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Figura 39: Pórtico de três pisos sujeito a uma história de deslocamentos horizontais d(t) pres-crita na fundação. Os sistemas de contraventamento a que os dissipadores estão ligados têm rigidez finitak_b.

a matriz de amortecimento viscoso

C=

















2.325 −0.209 0.093 0 0 0

−0.209 2.364 −1.131 0 0 0 0.093 −1.131 2.124 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

















(Ns/m)

e a matriz

W_t =

















−1 1 0 0 −1 1

0 0 −1

1 0 0

0 1 0

0 0 1















 .

Pretende-se reproduzir os gráficos ilustrados nas Figuras 13 e 14 da referência [9] para o sismo de El Centro (1940) que tem um pico de aceleração do solo de 0.348g, em queg designa

5.2. Numerical results

First of all, let us demonstrate the effectiveness of using friction dampers in a seismic structure. Fig. 13 compares the simulated top-floor displacement and acceleration (Dt= 0.01 s) of the structure before and after the friction dampers were installed. The figure clearly illustrates that the friction dampers effectively and simultaneously sup-pressed the displacement and acceleration responses of the structure. To investigate how the numerical solution obtained in Fig. 13 deviates from the precise one,Fig. 14 compares, respectively, the floor displacements of the first 20 s of the friction-damped structure with Dt= 0.01 s and Dt= 0.0001 s (precise). The figure shows that the time his-tories of all floor displacements forDt= 0.01 s closely fol-low the precise solutions. Furthermore, Fig. 15compares the hysteresis loops for all dampers and demonstrates that withDt= 0.01 s the proposed numerical method accurately captured the transition behavior between the stick and slip states of the dampers. Note that a horizontal line segment

in Fig. 15 represents a slip state of the damper, while an inclined segment denotes a stick state.

In order to investigate how numerical accuracy is influ-enced by the size of the time step,Fig. 16shows the error percentages of the maximum displacements of each floor as a function ofDt. From the diagram it can be observed that the accuracy of the peak displacements of all floors is consistently improved when the time interval of analysis is reduced. When aDt of less than 0.01 s was adopted, the

0 5 10 15 20

-0.5 0 0.5

Disp. (m)

3F Displacement

0 5 10 15 20

-20 0 20

Acc. (m/s2)

Time (s) 3F Acceleration

Friction No Friction

Friction No Friction

Fig. 13. Comparison of top-floor responses of the structure with and without friction dampers.

0 5 10 15 20

-0.05 0 0.05

3F (m)

Displacement

0 5 10 15 20

-0.05 0 0.05

2F (m)

0 5 10 15 20

-0.05 0 0.05

1F (m)

Time (s)

t=0.0001s t=0.01s

Fig. 14. Comparison of displacements of all floors.

-0.03-4 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 -2

0 2 4

x 10⁴ 3F damper

Total elongation (m)

Friction force (N)

Δt=0.01s Δt=0.0001s

-0.03-4 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 -2

0 2 4

x 10⁴ 2F damper

Total elongation (m)

Friction force (N)

Δt=0.01s Δt=0.0001s

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 -4

-2 0 2 4

x 10⁴ 1F damper

Total elongation (m)

Friction force (N)

Δt=0.01s Δt=0.0001s

Fig. 15. Comparison of hysteresis loops of all dampers.

L.-Y. Lu et al. / Computers and Structures 84 (2006) 1049–1071 1061

Figura 40: Comparação das respostas em deslocamentos relativos ao solo e acelerações absolutas ao nível do terceiro piso com e sem dissipadores de atrito (retirado de [9]).

5.2. Numerical results

First of all, let us demonstrate the effectiveness of using friction dampers in a seismic structure. Fig. 13 compares the simulated top-floor displacement and acceleration (Dt= 0.01 s) of the structure before and after the friction dampers were installed. The figure clearly illustrates that the friction dampers effectively and simultaneously sup-pressed the displacement and acceleration responses of the structure. To investigate how the numerical solution obtained in Fig. 13 deviates from the precise one,Fig. 14 compares, respectively, the floor displacements of the first 20 s of the friction-damped structure with Dt= 0.01 s and Dt= 0.0001 s (precise). The figure shows that the time his-tories of all floor displacements forDt= 0.01 s closely fol-low the precise solutions. Furthermore, Fig. 15 compares the hysteresis loops for all dampers and demonstrates that withDt= 0.01 s the proposed numerical method accurately captured the transition behavior between the stick and slip states of the dampers. Note that a horizontal line segment

inFig. 15 represents a slip state of the damper, while an inclined segment denotes a stick state.

In order to investigate how numerical accuracy is influ-enced by the size of the time step,Fig. 16shows the error percentages of the maximum displacements of each floor as a function ofDt. From the diagram it can be observed that the accuracy of the peak displacements of all floors is consistently improved when the time interval of analysis is reduced. When aDtof less than 0.01 s was adopted, the

0 5 10 15 20

-0.5 0 0.5

Disp. (m)

3F Displacement

0 5 10 15 20

-20 0 20

Acc. (m/s2 )

Time (s) 3F Acceleration

Friction No Friction

Friction No Friction

Fig. 13. Comparison of top-floor responses of the structure with and without friction dampers.

0 5 10 15 20

-0.05 0 0.05

3F (m)

Displacement

0 5 10 15 20

-0.05 0 0.05

2F (m)

0 5 10 15 20

-0.05 0 0.05

1F (m)

Time (s)

t=0.0001s t=0.01s

Fig. 14. Comparison of displacements of all floors.

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 -4

-2 0 2 4

x 10⁴ 3F damper

Total elongation (m)

Friction force (N)

Δt=0.01s Δt=0.0001s

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 -4

-2 0 2 4

x 10⁴ 2F damper

Total elongation (m)

Friction force (N)

Δt=0.01s Δt=0.0001s

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 -4

-2 0 2 4

x 10⁴ 1F damper

Total elongation (m)

Friction force (N)

Δt=0.01s Δt=0.0001s

Fig. 15. Comparison of hysteresis loops of all dampers.

L.-Y. Lu et al. / Computers and Structures 84 (2006) 1049–1071 1061

Figura 41: Histórias de deslocamentos relativos ao solo dos três pisos do pórtico da Figura 39 equipado com dissipadores por atrito, sujeito à acção do sismo de El Centro (retirado de [9]).

No topo: 3^o piso; no meio: 2^o piso; em baixo: 1^o piso.

a aceleração da gravidade (ver o Anexo 59). A Figura 40 ilustra bem a vantagem da aplicação de dissipadores por atrito uma vez que o deslocamento relativo ao solo e a aceleração absoluta ao nível do terceiro piso são notoriamente atenuados pela acção dissipadora de energia dos dissipadores por atrito. As Figuras 42, 43 e 44 registam as histórias de deslocamentos relativos ao solo respectivamente do 3^o, 2^o e 1^o pisos, obtidos numericamente com o algoritmo descrito

na Secção 4.2; estes resultados numéricos estão em boa concordância com os obtidos em [9] (ver Figura 41). Nas integrações numéricas que permitiram construir os gráficos das Figuras 42 a 44 usou-se um passo de tempo h= 0.02segundos e um parâmetro %= 0.1. Observa-se que em todos os pisos o instante mais gravoso, em termos de esforços, ocorre muito perto do início do sismo, a cerca de dois segundos do início.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06

t(s)

x(t)(m)

Figura 42: História de deslocamentos relativos ao solo doterceiro piso do pórtico da Figura 39 equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.05 0 0.05

t(s)

x(t)(m)

Figura 43: História de deslocamentos relativos ao solo dosegundo piso do pórtico da Figura 39 equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

Nas Figuras 45 e 46 faz-se a comparação, respectivamente em termos de deslocamentos relativos ao solo e de acelerações absolutas do 3^o piso, entre os casos com e sem dissipadores.

Estes gráficos obtiveram-se para os parâmetros h = 0.02 segundos e % = 0.1 do método-θ.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

t(s)

x(t)(m)

Figura 44: História de deslocamentos relativos ao solo do primeiro piso do pórtico da Figura 39 equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

É evidente o efeito benéfico da existência dos dissipadores. Registe-se também a muito boa concordância entre as Figuras 45 e 46 e os gráficos respectivamente do topo e de baixo da Figura 40.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

t(s)

x(t)(m)

Sem atrito

Com atrito

Figura 45: Comparação entre as histórias de deslocamentos relativos ao solo do terceiro piso do pórtico da Figura 39 para os casos com e sem atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

No documento ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO. Engenharia Civil (páginas 60-65)