a reacção do dissipador sobre a massa. A conjugação da equação diferencial de segunda ordem e da inclusão anterior conduz à inclusão diferencial
¨
x(t)∈ −d(t)¨ −g( fs
mg)Sign( ˙x(t))
onde se colocou em evidência o parâmetro adimensional mgfs que quantifica a importância da força máxima de atrito em relação ao peso da massa móvel (peso total do tabuleiro). Na Fi-gura 55 apresenta-se a história da força no dissipador versus deslocamento com uma força de atrito máxima fs = 7000 kN, obtido com o método-θ com h = 0.01, % = 1000, ε = 10−10 e θ = 0.5. Como se pode observar, o ciclo de histerese apresenta o traçado de uma linha
que-−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015
−8000
−6000
−4000
−2000 0 2000 4000 6000 8000
x (m)
F(KN)
Figura 55: Gráfico da força no dissipador versus deslocamento relativo do dissipador de atrito com uma força máxima de atritofs = 7000kN.
brada composta por segmentos horizontais (correspondentes a deslizamento no dissipador) e por segmentos verticais (correspondentes ao bloqueamento do dissipador e à eventual inversão do sentido de deslizamento relativo das superfícies contactantes). Recorde-se que o ciclo de his-terese de um dissipador por atrito sujeito a um movimento sinusoidal prescrito é um rectângulo perfeito: esta geometria do ciclo de histerese é a que maximiza a dissipação de energia por ciclo para amplitude de deslocamento e força de atrito dadas (recordar o Capítulo 2).
Pretende-se também analisar a força máxima de atrito ideal que corresponda a uma maior atenuação da amplitude de deslocamento. Com esse objectivo construíram-se os gráficos apre-sentados nas Figuras 56 e 57. Nos gráficos indicados apresentam-se três quantidades ondexmax define a média do deslocamento máximo do sistema para todos os sismos aleatórios do mesmo tipo, fs/mg é um parâmetro adimensional que relaciona a força máxima de atrito com o peso do tabuleiro eag r/g é também um parâmetro adimensional que define a aceleração máxima de referência da acção sísmica segundo o EC8 [1] relativamente à aceleração da gravidade.
0 06 0.08 0.1 0.12 xmax
agr/g=1.0/g agr/g=1.3/g
agr/g=1.6/g agr/g=1.9/g
agr/g=2.2/g agr/g=2.5/g
0 0.02 0.04 0.06
fs/mg=0.05 fs/mg=0.06 fs/mg=0.07 fs/mg=0.08 fs/mg=0.09 fs/mg=0.10 fs/mg=0.11 fs/mg=0.12 fs/mg=0.13 fs/mg=0.14 fs/mg=0.15 fs/mg=0.16 fs/mg=0.17 fs/mg=0.18 fs/mg=0.19 fs/mg=0.20
Figura 56: Relação entre o deslocamento máximo médio (xmax), a força de atrito máxima normalizada (fs/mg) e a aceleração máxima de referência da acção sísmica normalizada (ag r/g) para a acção do sismo do Tipo 1.
0.02 0.025 0.03 0.035 xmax
agr/g=1.0/g agr/g=1.3/g
agr/g=1.6/g agr/g=1.9/g
agr/g=2.2/g agr/g=2.5/g
0 0.005 0.01 0.015
fs/mg=0.05 fs/mg=0.06 fs/mg=0.07 fs/mg=0.08 fs/mg=0.09 fs/mg=0.10 fs/mg=0.11 fs/mg=0.12 fs/mg=0.13 fs/mg=0.14 fs/mg=0.15 fs/mg=0.16 fs/mg=0.17 fs/mg=0.18 fs/mg=0.19 fs/mg=0.20
Figura 57: Relação entre o deslocamento máximo médio (xmax), a força de atrito máxima normalizada (fs/mg) e a aceleração máxima de referência da acção sísmica normalizada (ag r/g) para a acção do sismo do Tipo 2.
Os gráficos apresentam um andamento expectável caracterizado por (i) a resposta do sis-tema diminuir com o aumento da força máxima de atrito para uma aceleração máxima de referência constante (ii) a resposta do sistema aumentar com o aumento da aceleração máxima de referência, para uma força máxima de atrito do dissipador constante.
6 Conclusão e desenvolvimentos futuros
Esta dissertação relata os resultados de um conjunto de ensaios numéricos realizados para sistemas mecânicos planos e pórticos, confirmando a aptidão do atrito para desempenhar as funções de dissipação da energia transmitida a estruturas por meio de movimentos da fundação.
A aplicação computacional do método-θ para o atrito verificou-se precisa através de vários testes, demonstrando-se a exactidão dos resultados gerados pelo programa quando compara-dos com casos de estudo desenvolvicompara-dos em artigos científicos. Como esperado a presença de dissipadores de atrito diminuiu substancialmente a resposta das estruturas quando sujeitas à acção de sismos o que demonstra a vantagem da adopção destes sistemas logo desde a fase de projecto. Os ciclos de histerese obtidos são rectangulares como esperado o que indica uma grande capacidade de dissipação destes sistemas.
A análise da força máxima de atrito óptima em cada dissipador demonstrou a necessidade de definir este factor para cada estrutura em particular, uma vez que não se detectaram medi-das gerais a adoptar. O estudo medi-das forças máximas em cada dissipador para o pórtico de três pisos da secção anterior apresentou um conjunto evidente de forças óptimas enquanto que a análise do viaduto da secção anterior apresentou um andamento de resposta que é melhorada com o aumento da força máxima de atrito no dissipador e com a diminuição da aceleração do solo. A resposta do viaduto (entendida como deslocamento relativo ao solo) é melhorada com o aumento da força máxima de atrito pois a rigidez da ligação solo-dissipador é infinita. No estudo do pórtico de três pisos isso não se verifica pois considera-se a rigidez dos elementos de ligação ao solo (pilares e sistema de contraventamento), o que permite obter uma resposta óptima que não é necessariamente melhorada com o aumento da força máxima de atrito.
Os casos analisados nesta dissertação demonstraram a eficácia dos sistemas de dissipação por atrito sendo apropriado desenvolver os seguintes aspectos no futuro.
• Incluir o comportamento física e geometricamente não linear dos pilares da estrutura de modo a obter um comportamento mais real.
• Desenvolver um algoritmo que permita optimizar a localização dos dissipadores e a força máxima de atrito mediante o conhecimento das características da estrutura e de um conjunto de acelerogramas para os quais se pretenda fazer a optimização.
• Criar um programa que faça a análise de sistemas e pórticos tridimensionais equipados com dissipadores de atrito em mais que uma direcção.
• Produzir uma ferramenta de análise de estruturas equipadas com dissipadores de atrito para programas comerciais com o objectivo de disponibilizar a análise destes sistemas para qualquer projectista e assim tornar mais atractiva a sua utilização.
Referências
[1] EN1998-1:2004, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. -Part 1: Ge-neral rules, seismic actions and rules for buildings, CEN, Bruxelles, Belgium, November 2004.
[2] A. Pall, R. T. Pall (2004) Performance-based design PALL friction dampers - An eco-nomical design solution. 13th World Conference on Earthquake Engineering. Vancouver, Canada, August 1-6,2004.
[3] URL da Pall Dynamics: palldynamics.com/ (visitado em Outubro de 2013)
[4] URL da Damptech A/S: http://www.damptech.com/ (visitado em Outubro de 2013) [5] N.C. Nigam, P.C. Jennings (1968) Digital calculation of response spectra from
strong-motion earthquake records. California Institute of Technology. Report. Earthquake Engi-neering Research Laboratory, Passadena, California.
[6] M. Jean (1999) The non-smooth contact dynamics method.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 177, 235-257.
[7] S.S. Rao (2004)Mechanical Vibrations. Pearson, Prentice Hall.
[8] S. Bograd, P. Reuss, A. Schmidt, L. Gaul, M. Mayer (2011) Modeling the dynamics of mechanical joints. Mechanical Systems and Signal Processing,25, 2801-2826.
[9] L.Y. Lu, L.L. Chung, L.Y. Wu, G.L. Lin (2006) Dynamic analysis of structures with friction devices using discrete-time state-space formulation. Computers and Structures, 84, 1049-1071.
[10] URL do Pacific Earthquake Engineering Research Center: http://peer.berkeley.edu/
(visitado em Outubro de 2013)
A Anexos
A.1 Acelerograma do sismo de El Centro
0.2
0.3
0.4
Aceleração/g ‐0.3
‐0.2
‐0.1
00.1 0102030405060
Tempo (s)
Figura 58: Acelerograma do sismo de El Centro no ano de 1940 retirado de [10].