Comportamento transit´orio

Os sistemas apresentados nas figuras 4.1, 4.2 e 4.3 s˜ao usados para ilustrar o comportamento transit´orio para uma varia¸c˜ao em degrau da carga.

Se o regulador de velocidade estiver bloqueado (la¸co de realimenta¸c˜ao atrav´es de 1

R aberto) a resposta para os trˆes sistemas ´e a mesma e calculada atrav´es da fun¸c˜ao de transferˆencia

∆F (s)

∆PL(s) = −_{M s + D}¹ A resposta ´e exponencial e o valor final ´e

∆f (∞) = − ^∆PL D +_R¹

As respostas para o caso com regulador s˜ao obtidas por simula¸c˜ao num´erica em computador. Os dados para os trˆes sistemas s˜ao apresentados na tabela 4.1.

Os desvios de freq¨uˆencia em cada um dos sistemas para um degrau de aumento de carga de 0.01 pu s˜ao mostrados nas Figuras 4.9, 4.10 e 4.11. As respostas caracter´ısticas de cada sistema s˜ao ilustradas nesta figura. A ´area t´ermica sem reaquecimento tem uma resposta r´apida e bem amortecida. A resposta da ´area t´ermica com reaquecimento ´e mais lenta e menos amortecida. Isto se deve ao consider´avel retardo introduzido pelo reaquecedor. A ´area hidr´aulica apresenta uma resposta lenta mas bem amortecida. A excurs˜ao de freq¨uˆencia ´e maior do que no caso de turbinas t´ermicas. O compensador do regulador de velocidade permite neste caso a obten¸c˜ao de um comportamento transit´orio satisfat´orio do sistema. Nos dois casos anteriores esta compensa¸c˜ao n˜ao ´e necess´aria.

Exemplo 4

O sistema t´ermico sem reaquecimento mostrado na Figura 4.12 ´e usado neste exemplo para ilustrar o c´alculo anal´ıtico do comportamento tanto est´atico como dinˆamico do sistema. Algumas quest˜oes, como a base utilizada e interpreta¸c˜ao f´ısica dos resultados, s˜ao ilustrados por este exemplo. O objetivo ´e o c´alculo da resposta do sistema sem e com controle prim´ario a uma varia¸c˜ao de carga de 20 M W

Os dados do sistema s˜ao:

Capacidade nominal da ´area: Pr = 2000M W Carga nominal: P0

Freq(Hz) Time(sec) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −7.0e−04 −6.2e−04 −5.4e−04 −4.6e−04 −3.8e−04 −3.0e−04 −2.2e−04 −1.4e−04 −6.0e−05 2.0e−05 1.0e−04 +

Figura 4.9: Resposta de uma ´unica ´area t´ermica sem reaquecimento

Freq(Hz) Time(sec) 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 −1.250e−03 −1.000e−03 −7.500e−04 −5.000e−04 −2.500e−04 0.000e+00 2.500e−04 5.000e−04 7.500e−04 1.000e−03 1.250e−03 +

Freq(Hz) Time(sec) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −5.0e−03 −4.4e−03 −3.8e−03 −3.2e−03 −2.6e−03 −2.0e−03 −1.4e−03 −8.0e−04 −2.0e−04 4.0e−04 1.0e−03 +

Figura 4.11: Resposta de uma ´unica ´area hidr´aulica

1 1 + sT1 1 1 + sTc 1 M s + D 1 R - -? - - - - 6 G(s) + -ρ H(s) + -∆P_L

Constante de in´ercia: H = 5.0seg Regula¸c˜ao: R = 4%

A caracter´ıstica da carga ´e linear e tal que para um aumento de 1% na freq¨uˆencia h´a um aumento de 1% na carga.

Deve-se converter todos os dados para uma base comum.

A caracter´ıstica de carga ´e dada usando como bases para freq¨uˆencia e carga a freq¨uˆencia no-minal e a carga nono-minal, respectivamente. Ent˜ao

D = 0.01 × 1000 0.01 × 60 ⁼

1000 60 Usando a capacidade da ´area como base tem-se

D = ^1000/2000

60 ^{= 8.3310}

−3pu M W/Hz

A regula¸c˜ao do sistema ´e de 4%, na base da freq¨uˆencia nominal e da capacidade da ´area, ou seja R = 0.04 pu Hz/pu M W .

Expressando-se a freq¨uˆencia em Hz tem-se ou R = 0.04×60 Hz

pu M W e portanto R = 2.4 Hz/pu M W A perturba¸c˜ao de carga deve tamb´em ser expressa na base de potˆencia comum ∆PL = 20

2000 = 0.01 pu.

Neste exemplo a freq¨uˆencia ´e expressa em Hz. A fun¸c˜ao de transferˆencia do gerador deve ent˜ao ser modificada.

A equa¸c˜ao do gerador ´e dada por 2H

ωB

dω

dt = Dω − Pe (4.2)

com ω em rad/seg e D em ^{pu M W}_rad/seg. Fazendo-se ω = 2πf em (4.2) tem-se 2H 2πfB d(2πf ) dt ^{= Pm}− PL− D2πf (4.3) ou, com f em Hz e D em pu M W/Hz 2H fB df dt ^{= Pm}− PL− Df (4.4)

A fun¸c˜ao de transferˆencia do gerador ´e ent˜ao ∆F (s) ∆Pm(s) − ∆PL(s) ⁼ 1 2H fBs + D ^(4.5) Definindo-se KG ∆ = _D¹ e TG ∆ = ^2H_f

B obt´em-se a fun¸c˜ao de transferˆencia ∆F (s)

∆Pm(s) − ∆PL(s) ⁼ KG

1 + sTG

(4.6) Com os parˆametros do sistema pode-se calcular T_G = 20 seg e K_G = 120 Hz/pu M W .

Regulador bloqueado Com o regulador bloqueado a resposta ao degrau de carga pode ser cal-culado da fun¸c˜ao de transferˆencia

∆F (s) ∆PL(s) ⁼

K_G 1 + sTG

A resposta da freq¨uˆencia ´e dada por

∆f (t) = KG(1 − e⁻TG^t )∆PL

O valor est´atico do desvio de freq¨uˆencia ´e ∆f (∞) = lim

s→∞s −120 1 + 20s

0.01

s = −1, 2 Hz ou seja, a freq¨uˆencia ´e reduzida de 60 Hz para 58.8 Hz.

Caso com regulador Embora uma express˜ao anal´ıtica para a resposta a um degrau de carga possa ser obtida para o modelo completo no caso com regulador, pode-se considerar somente o modo associado `a in´ercia do gerador e amortecimento da carga na determina¸c˜ao da resposta. Esta aproxima¸c˜ao pode ser usada desde que as constantes associadas `a turbina e regulador s˜ao reduzidas e podem ser desprezadas (Tc e T1 s˜ao aproximadamente 1.0 seg) face ao valor da constante TG

(TG = 20 seg neste exemplo).

Tem-se ent˜ao um sistema aproximado de primeira ordem ∆F (s)

∆PL(s) = − ^KGR R + KG+ RTGs Para uma varia¸c˜ao de carga em degrau

∆PL(s) = ^∆PL s a resposta ´e dada por

∆F (s) = −^K_RT^GRPL G " 1 s(s + ^R+KG RTG) #

Fazendo-se expans˜ao em fra¸c˜oes parciais ∆F (s) = −^KGRPL R + KG 1 s − ¹ s + ^R+KG RTp !

e usando-se a anti-transformada tem-se

∆f (t) = −^KpRPL R + Kp(1 − e

R+Kp RTp t

)

Deve-se notar que esta resposta ´e apenas aproximada e que a resposta real do sistema ´e osci-lat´oria.

O desvio est´atico de freq¨uˆencia para ∆PL = 0.01 pu ´e ∆f (∞) = −0.0235Hz, ou seja, a freq¨uˆencia cai de 60 Hz para 59.9765 Hz. Esta redu¸c˜ao ´e consideravelmente menor do que no caso sem regulador. O desvio est´atico diminui com R.

A constante de tempo da malha fechada ´e calculada por Tmf = ^RTG

R+KG e vale Tmf = _2.55¹ seg. Esta constante se reduz com R.

O ganho da malha aberta ´e 1

Interpreta¸c˜ao f´ısica do resultado Para suprir a varia¸c˜ao de 20 M W s˜ao usados • energia cin´etica retirada das massas girantes

• decr´escimo da carga com o decr´escimo de freq¨uˆencia • aumento de gera¸c˜ao pela a¸c˜ao do regulador

O decr´escimo da carga com a freq¨uˆencia pode ser calculada por ∆PL = D∆f (∞)

ou

∆P_L= 8.33 10−3× (−0.0235) × 2000 ≈ 0.4MW O aumento de potˆencia devido a a¸c˜ao do regulador ´e:

∆PG = ∆f (∞) R ou

∆P_G ≈ 19.6MW