Comportamentos de resistência das abelhas ao ácaro Varroa des-

Em distintas partes do mundo, os níveis de infestações das colônias ao ácaro Varroa tem sido diferentes. SegundoMedina and Martin(1999), as abelhas africanas e seus híbridos são mais resistentes ao ácaro do que subespécies de abelhas europeias. Nessa subseção vamos mostrar dois mecanismos de resistência das abelhas ao ácaro que desempenham um papel fundamental na manutenção de um nível baixo de infestação na colônia.

Grooming

Grooming, para animais sociais, é o ato de indivíduos do grupo limpar ou manter a

limpeza do seu próprio corpo ou de um outro indivíduo do mesmo grupo. No caso das abelhas, o grooming é a capacidade de uma operária adulta tirar o ácaro de seu próprio corpo (auto-grooming) ou do corpo de uma outra abelha (allo-grooming).

Comportamento Higiênico

Assim como o Grooming, este também é um mecanismo realizado com o objetivo de manter a limpeza e saúde da colônia. O ŠComportamento HigiênicoŠ, ilustrado na figura 2.3 é o ato de abelhas adultas detectarem e removerem da colônia crias de abelhas que estão mortas, doentes ou foram parasitadas. No caso do

15 2.2. Fundamentos Matemáticos

Varroa destructor, ao remover crias que estavam infestadas pelo ácaro, as abelhas

operárias tentam evitar que o nível de infestação na colônia aumente.

Figura 2.3: A abelha operária detecta um alvéolo que contém o ácaro, retira a cobertura deste alvéolo e a abelha imatura que estava dentro. Esse processo de remoção pode matar a cria da abelha e, em alguns ca- sos, a mãe-ácaro pode escapar. Fonte: http://scientificbeekeeping.com/ choosing-your-troops-breeding-mite-fighting-bees/

2.2

Fundamentos Matemáticos

Nesta seção vamos apresentar os conceitos básicos de matemática que precisamos para entender este trabalho.

2.2.1 Modelo matemático

A Wikipedia 2014 define um modelo científico como Şuma idealização simplificada

de um sistema que possui maior complexidade, mas que ainda assim supostamente reproduz na sua essência o comportamento do sistema complexo que é o alvo de estudo e entendimento.Ť Além disso, o Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa mostra que

um ŞModelo matemático é representação matemática de um fenômeno físico humano

etc., feita para que se possa melhor estudar o original.Ť

Mas para que usamos um modelo matemático? Muitos sistemas são complexos, possuem diversas interações entre indivíduos e, na maioria das vezes, deseja-se fazer

Capítulo 2. Referencial Teórico 16 predições sobre o estado do sistema no futuro e perceber quais decisões podem ser feitas para tentar melhorar a situação real. Um modelo válido, que aproxima de uma caracterização do problema real, com as ferramentas necessárias pode ser de grande utilidade para entender o funcionamento do sistema e responder perguntas sobre ele.

Os modelos matemáticos são usados em diversas áreas, não limitando-se apenas à ciência exata, como por exemplo: biologia, física, direito, economia, entre outras. E existem diferentes modos de se modelar um sistema. Pode-se usar modelagem via equações estocásticas, equações diferenciais ordinárias ou parciais, etc.

Neste trabalho faremos uma modelagem matemática de equações diferenciais para dinâmica de populações.

2.2.2 Dinâmica de Populações

Dinâmica de populações estuda as variações do desenvolvimento de uma população. Onde população é um conjuntos de indivíduos de uma mesma espécie e nessas variações do desenvolvimento podemos incluir taxas de natalidade, taxas de mortalidade, taxa de desenvolvimento no tempo, entre outros aspectos.

Modelagem via equações diferenciais ordinárias

Uma vez que para o estudo da população observa-se suas taxas de variações e como essas taxas são representadas na linguagem matemática como derivadas, podemos, então, escrever as equações relacionando as taxas de variações com funções da população a ser estudada. Com isso, escrevemos as equações diferenciais que representam o sistema e suas soluções possivelmente descrevem os fenômenos analisados.

Um modelo de equações diferenciais é composto por:

1. Variáveis dependentes: são as incógnitas do modelo. Isto é, o modelo foi projetado para estudar este tipo de variável.

17 2.2. Fundamentos Matemáticos 2. Variáveis independentes: são variáveis que afetam o modelo, embora não sejam estudadas de forma explícita. Na maioria dos casos, a variável independente é o tempo.

3. Parâmetros: são constantes que fazem parte do modelo estudado. Por exemplo, alguns dos parâmetros comuns usados para modelar dinâmica de populações são taxas de natalidade da população, mortalidade, etc...

Análise do modelo de equações diferenciais

Uma análise simples para um modelo envolve entender o comportamento do sistema no equilíbrio, isto é, quando não existe mais variação. Para isso, então precisamos fazer alguns passos:

1. Calcular os pontos de equilíbrio do sistema; 2. Obter a matriz Jacobiana do sistema;

3. Determinar a matriz Jacobiana nos pontos de equilíbrio;

4. Calcular os autovalores da matriz Jacobiana com os pontos de equilíbrio; 5. Analisar estes autovalores para determinar estabilidade da cada ponto de

equilíbrio:

• Quando todos os autovalores forem reais negativos, dizemos que o equi- líbrio é estável.

• Quando todos os autovalores forem reais positivos, dizemos que o equi- líbrio é instável.

• Quando todos os autovalores forem reais, mas existirem alguns autova- lores positivos e outros negativos, dizemos que o equilíbrio é um ponto

de sela.

• Quando existirem autovalores complexos, mas a parte real de todos eles for negativa, dizemos que o equilíbrio é espiral estável.

Capítulo 2. Referencial Teórico 18 • Quando existirem autovalores complexos, mas a parte real de todos eles

for positiva, dizemos que o equilíbrio é espiral instável.

• Quando existirem autovalores complexos, mas a parte real de todos eles for nula, dizemos que o equilíbrio é um centro.

2.3

Estado da arte

Pouco antes de começarem a falar sobre a Desordem do Colapso das Colônias (DCC), já falava-se do impacto negativo que surgiu quando o ácaro Varroa destructor se transferiu para colônias de abelhas orientais para ocidentais. Uma vez que o ácaro é um vetor transmissor para doenças virais, ele foi então considerado um dos principais culpados das mortes de milhões de colônias infestadas.

Com isso em mente, em 2004Sumpter and Martin(2004) desenvolveram um modelo matemático de três equações diferenciais com o objetivo de investigar a relação entre a quantidade de ácaros na colônia e a possibilidade de existir uma epidemia dentro da mesma colônia. Este modelo tinha como variáveis dependentes o número de abelhas adultas operárias que não estavam infectadas com o vírus (�), as abelhas adultas operárias que haviam sido infectadas já na fase adulta (�) e o número de abelhas adultas operárias que foram infectadas ainda na fase de pupa (�). Além disso, o modelo possuía uma quantidade � de ácaros com vírus e Û ácaros sem vírus. O modelo também considerava que a transmissão do vírus poderia acontecer tanto na fase adulta quanto nos alvéolos das crias de operárias. O modelo completo é descrito pelas equações2.1.

O parâmetro Ò mostra o tempo que um ácaro fica no alvéolo das crias de abelhas, e (1 − Ò) o tempo que ele permanece nas abelhas adultas. ��, �� e �� são taxas de

mortalidade de abelhas adultas infectadas na fase adulta, abelhas não infectadas e as abelhas infectadas na fase de pupa, respectivamente. ���� é o total de crias de

19 2.3. Estado da arte probabilidade de uma abelha que adquiriu o vírus na fase pupa sobreviver até a fase adulta é representado por ��. Ú é a taxa de movimento do ácaro por dia e, quando um

ácaro que carrega o vírus se move de uma abelha infectada para uma não infectada, ele transmite o vírus para a nova hospedeira na proporção �, o que implica que em (1 − �) casos o ácaro falha na transmissão do vírus.

�� �� = Û�� − γmp cw µw − ((�_�+ Ú)(1 − Ò) + Ð_�Ò)� �� �+ � + �− ��� �� �� = ((��+ Ú)(1 − Ò) + Ð�Ò)� �� �+ � + �− ��� �� �� = ��Û�(1 − � − γmp cw µw) − �_�� (2.1)

Neste modelo, Sumpter and Martin (2004) fizeram simulações considerando a va- riação dos parâmetros para cada estação do ano. Além disso, eles também fizeram duas análises: uma para o vírus de paralisia aguda (Acute bee paralysis virus) e para o vírus que deforma as asas das abelhas (Deformed wing virus) para duas estações do ano - verão e outono. E, para cada tipo de vírus, eles calcularam um valor crítico que caracteriza a epidemia através do ciclo de vida anual da colônia. Como resultado, o modelo deles sugere que as populações do ácaro nas abelhas ocidentais excederam o limiar crítico de epidemia, o que não ocorria nas colônias orientais.

Baseado no trabalho citado anteriormente (Sumpter and Martin,2004),Eberl et al.

(2010) sugere um outro modelo de equações diferenciais ordinárias não linear.Eberl et al.

(2010) critica o fato que emSumpter and Martin (2004) os autores não consideraram que a taxa de nascimento de abelhas está ligada ao tamanho da população de operárias presentes na colônia. E isso quer dizer que no modelo anterior, mesmo se todas as abelhas saudáveis desaparecessem, as crias se desenvolveriam em adultos. Além disso, assumindo que a abelha rainha não pode ser afetada pelo vírus, a taxa de nascimento de novas abelhas durante a primavera, verão e outono seria constante. Entretanto, para

Capítulo 2. Referencial Teórico 20

Eberl et al.(2010), a manutenção das crias é uma tarefa muito importante em colmeias de abelhas, onde várias operárias estão envolvidas. Sendo assim, se a população de abelhas adultas torna-se pequena, larvas e pupas não podem ser criadas e morrem antes mesmo de se desenvolverem em abelhas adultas.

Para resolver o problema, Eberl et al. (2010) introduziram no modelo um termo para manutenção2.3 da cria que depende do tamanho atual da população de abelhas operárias. E esse termo adicionado pode alterar a estabilidade do sistema. O modelo proposto é descrito pelas equações2.2.

�� �� = Ñ1(� − �) � �+ � − Ñ2 � �+ � �� �� = Û�(�)ℎ(�) − Ñ3� � �+ � − �1� �� �� = Ñ3� � �+ � − �2� (2.2)

As variáveis dependentes �, � e � representam os ácaros que carregam o vírus, o número de abelhas que não foram infectadas pelo vírus e o número das infectadas pelo vírus, respectivamente. � é o total de ácaros na colônia, (� − �) são os ácaros que não carregam o vírus. Os autores definiram Ñ1 como sendo a taxa na qual os ácaros que não

carregavam o vírus adquiriram o vírus, Ñ2 como a taxa em que ácaros com vírus passam

o vírus para uma hospedeira que não estava infectada e Ñ3 como a taxa em que abelhas

não infectadas tornam-se infectadas. Û é a taxa de nascimento máxima de abelhas por dia, �1e �2são taxas de morte para abelhas não infectadas e infectadas, respectivamente

- assumindo �2 > �1 visto que abelhas infectadas morrem mais rapidamente.

A função ℎ(�) em 2.2 indica que a taxa de nascimento é afetada pela presença de ácaros que carregam o vírus. Os autores dizem que a presença dessa função é particularmente importante para vírus como o de paralisia aguda (APV), porque eles matam pupas infectadas antes que elas se desenvolvam em abelhas adultas. Então a

21 2.3. Estado da arte função ℎ(�) decresce para quantidades grandes de �. ℎ(0) = 1, ℎ(�) tem derivada negativa e limite igual a zero à medida que � cresce pra infinito positivo. Eberl et al.

(2010) sugerem então uma função exponencial ℎ(�) = �−_��, que é similar à função

usada no modelo de Sumpter and Martin(2004).

O termo de manutenção das crias adicionado �(�) (2.3) expressa que são necessárias uma quantidade grande de abelhas saudáveis para manter as crias. Eberl et al.(2010) diz ŞA inclusão desse termo é a única diferença entre este modelo e o modelo deSumpter and Martin (2004), no qual este estudo foi baseado.Ť Se o número de abelhas saudáveis for menor do que um valor crítico, não existirá nascimento de novas abelhas. Por outro lado, se o número dessas abelhas for maior do que esse valor crítico, a taxa de nascimento de novas abelhas não será alterada. �(�) tem derivada positiva, �(0) = 0 e o limite de

�(�) tende a 1 quando � cresce. � é o tamanho da colônia no qual a taxa de nascimento

é metade da taxa máxima possível e � > 1. Se � = 0, então voltamos para o modelo de Sumpter and Martin(2004).

�(�) = �

�

��_{+ �}� (2.3)

Os autores também analisaram o modelo variando os parâmetros segundo cada estação do ano. A conclusão a que chegaram foi que modelos que não levam em conta que uma colônia precisa de uma força para manter as crias e, consequentemente, sustentar o desenvolvimento da colônia, podem subestimar o número de ácaros que uma colônia é capaz de tolerar. Simulações computacionais mostraram que uma colônia infestada pode se comportar similarmente à uma colônia saudável pode vários anos, mas de repente pode colapsar e desaparecer. E as simulações mostraram que esses colapsos ocorrem na primavera, visto que a população de operárias é muito pequena para manter as crias.

Capítulo 2. Referencial Teórico 22 modelo é descrito por2.4.

�� �� = Ñ1(� − �) � �+ � − Ñ2 � �+ � �� �� = Û�(�)ℎ(�) − Ñ3� � �+ � − �1�− Ò1� � �� �� = Ñ3� � �+ � − �2�− Ò2� � �� �� = ��(1 − � Ð(� + �)) (2.4)

Nos modelos deSumpter and Martin (2004) eEberl et al.(2010) a população total de ácaros � era considerada um parâmetro do modelo. Agora, Ratti et al. (2012) estenderam os modelos anteriores adicionando uma equação de crescimento logístico para M. Essa nova equação mostra que a população do ácaro depende do tamanho da população das abelhas (� + �) e de Ð que representa quantos ácaros uma abelha carrega, na média. Além de Ð, também foram adicionados os parâmetros Ò1 e Ò2 que

representam a taxa na qual os ácaros matam as abelhas. Os parâmetros Ñ1, Ñ2, Ñ3, Û,

�1, �2 e as funções �(�) e ℎ(�) são os mesmos descritos no modelo anterior (Eberl

et al.,2010).

Um outro modelo também baseado em equações diferenciais foi proposto porKhoury et al. (2011). Considerando que as abelhas adultas de uma colônia são divididas em Šabelhas da colméiaŠ (H) e ŠforrageirasŠ (F), o modelo prevê um limiar crítico para mortalidade das abelhas forrageiras sob o qual a colônia pode permanecer num tamanho estável. Se a mortalidade for mais alta do que esse limiar, a colônia pode chegar ao colapso. Além disso, para tentar manter o equilíbrio da colônia, a medida que as abelhas forrageiras morrem, as abelhas de colméia mudam de papel e se tornam forrageiras. Contudo, se a taxa de mortalidade das forrageiras for muito alta, as abelhas de colméia vão forragear mais jovens do que o normal, o que contribui para a morte da colônia. O

23 2.3. Estado da arte modelo proposto está descrito em 2.5.

�� �� = � �+ � �+ � + � − �(Ð − à � �+ �) �� �� = �(Ð − à � �+ �) − �� (2.5)

O modelo descreve, basicamente, três fases da vida das abelhas: nascimento, re- crutamento para forragear e morte. O parâmetro � representa o número de abelhas que nascem diariamente e � é um número experimental que pode se aproximar de um valor mínimo do total de abelhas operárias adultas em uma colônia saudável. Sendo assim, a parte do modelo que representa o nascimento é � �+�

�+� +� que nos diz que se

�+ � , isto é, o total de abelhas operárias adultas for grande, a taxa de nascimento

de abelhas por dia se aproxima do valor constante �. Por outro lado, se esse total de abelhas for muito menor do que �, o número de abelhas que nascem por dia pode ficar comprometido. Isso acontece porque, principalmente, as abelhas forrageiras são responsáveis pela alimentação da colônia, se diminuir o total dessas abelhas, diminuirá a comida presente na colmeia.

A segunda fase da vida das abelhas descrita no modelo é o recrutamento representado por �(Ð − à �

�+�). Ð representa a taxa máxima com a qual Šabelhas de colmeiaŠ se

transforam em forrageiras quando há falta de forrageiras na colônia. E à �

�+� mostra

como a presença de forrageiras na colônia reduz a taxa de recrutamento das outras abelhas. A mortalidade das abelhas é representada pelo parâmetro �.

Esse modelo basicamente foca nos efeitos da variação da taxa de mortalidade das forrageiras na dinâmica populacional da colônia. Os autores mencionam que fatores que alteram a sobrevivência tanto das crias quanto das adultas podem deixar a colônia mais vulnerável ao colapso. E, um desses fatores, é justamente a presença do ácaro

Capítulo 3

Metodologia

Neste capítulo nossa abordagem do problema de modelagem da dinâmica entre as populações das abelhas e dos ácaros e também apresentaremos uma forma para ajustar os parâmetros que não são fornecidos pela literatura.

3.1

A proposição de um modelo

Começamos estudando o problema da Desordem do Colapso das Colônias a partir do modelo apresentado por Ratti et al. (2012). E ao investigar mais a fundo o problema do desaparecimento de colônias, sugiram perguntas como: Por que não há registros de colapsos no hemisfério sul? Ao buscar respostas pra essa pergunta descobrimos que as abelhas possuem comportamentos de resistência ao ácaro e, além disso, a eficiência desses mecanismos de resistência varia para subespécies de abelhas.

Por exemplo, em seu artigo,Vandame et al. (2002) tinham por objetivo discutir o custo-benefício de mecanismos de resistência da abelha ao ácaro. São estes: o grooming realizado por abelhas adultas que inclui detectar e eliminar o ácaro do seu próprio corpo (auto-grooming) ou do corpo de uma outra abelha (allo-grooming); e o comportamento higiênico que ocorre quando abelhas adultas detectam a presença do ácaro ainda nos

Capítulo 3. Metodologia 26 alvéolos com crias e, com o objetivo de evitar que o ácaro se alastre pela colônia, a abelha mata aquelas crias infestadas. O estudo comparou os resultados para as duas subespécies de abelhas - africanizadas e europeias - para examinar se esses dois mecanismos poderiam explicar a baixa compatibilidade entre as abelhas africanizadas e o ácaro Varroa destructor, no México. Os resultados mostraram que o comportamento de grooming aparece de forma muito mais intensa nas abelhas africanizadas do que nas europeias. E em relação ao comportamento higiênico, eles sugeriram que existem dois fatores limitantes para a remoção de crias infestadas. Um deles está relacionado à porcentagem de crias infestadas que as abelhas adultas conseguem detectar com precisão. O segundo fator é a quantidade de remoção que uma colônia pode suportar, uma vez que remover todas as crias infestadas causaria impactos futuros na colônia. Os resultados mostraram que as abelhas africanizadas são mais eficientes para detectar e remover as crias infestadas. Mas, mesmo assim, para aquelas colônias experimentais as AA só conseguiram remover 32.5% do total das infestadas. Por outro lado, as abelhas Europeias

27 3.1. A proposição de um modelo removem, ao realizar o comportamento higiênico, uma quantidade significativa de crias que não estavam infestadas.

Com isso em mente, decidimos investigar a relação ácaro-abelha antes de introduzir- mos os vírus no sistema. Se a quantidade de ácaros na colônia for controlada, espera-se que a colônia fique, então, menos vulnerável a doenças virais. Nosso objetivo principal, neste trabalho, é entender a dinâmica entre abelhas e seus mecanismos de resistência ao ácaro parasita, como mostra a figura 3.1, visto que o grooming e comportamento higiê- nico podem evitar elevados níveis de infestação do ácaro na colônia e, consequentemente, evita-se também doenças associadas ao parasita.

Para isso, propomos um modelo composto por quatro equações diferenciais, onde cada equação representa os possíveis estados da dinâmica: abelhas imaturas 1 _não

infestadas, abelhas imaturas infestadas pelo ácaro, abelhas adultas sem ácaros e abelhas adultas que carregam o ácaro.

As variáveis dependentes � e �� representam as abelhas imaturas que não foram

infestadas e as que foram infestadas pelos ácaros, respectivamente. Dizemos que algumas abelhas imaturas estão infestadas se a mãe ácaro entra no alvéolo onde elas estão, imediatamente antes deste ser operculado e então põe ovos (veja a figura 2.1). Desta forma, os ácaros, que se alimentam da hemolinfa das crias, emergem juntos com estas abelhas. Se até a fase adulta o ácaro não tiver sido removido - ou seja, se na fase imatura não ocorreu o comportamento higiênico como na figura 2.3 - dizemos que a abelha adulta está infestada e representamos esse grupo por ��. As abelhas que não

foram infestadas enquanto imaturas ou que cresceram com o ácaro, mas se livraram dele através do grooming são representadas pela variável �.

O comportamento higiênico, que mede a capacidade de abelhas adultas detectarem e removerem crias infestadas antes que estas se desenvolvam e o ácaro se espalhe, nesse

1

As abelhas além de se organizarem em castas - rainha, operária e zagões - também passam por quatro fases de desenvolvimento: ovo, larva, pupa e fase adulta. No entanto, neste trabalho consideramos apenas o comportamento das abelhas operárias, visto que são a grande maioria da colônia. E além disso, simplificamos as fases da abelha para: imatura (ovo, larva e pupa) e adulta.

Capítulo 3. Metodologia 28 modelo é dado por dois parâmetros � e ��. O parâmetro � está associado à eficiência

da abelha detectar e eliminar as crias que estavam, de fato, infestadas. No entanto, níveis elevados de erros são cometidos por certas espécies de abelhas. Muitas vezes elas eliminam crias que não estavam infestadas. No nosso modelo, representamos este equívoco - ou falta de eficiência - pelo parâmetro ��e o chamamos de Şcomportamento

higiênico equivocadoŤ.

O parâmetro � representa o grooming que acontece, exclusivamente, na fase adulta. Nós consideramos este mecanismo de resistência da abelha ao ácaro como uma taxa de recuperação da abelha. Isto é, uma abelha adulta ao realizar o grooming 2 _{passa de}