Se há uma variação de tensão em um nó do sistema, é possível estimar as variações de tensão em todos os outros nós que estejam próximos do primeiro nó em questão. Logo, é possível construir um conceito de observabilidade estrutural por proximidade, ou seja, a distância elétrica fornece a medida da influência da variação da tensão de uma barra na outra [18].
O controle de tensão nas barras PV tem ação restrita em função dos seus limites e do alcance da sua influência. A partir da avaliação destas restrições e do alcance, cria-se o conceito de controlabilidade estrutural por proximidade, que fornece uma medida do alcance da influência do controle de tensão de uma barra PV em relação as demais do sistema, a partir da do cálculo da distância elétrica da barra PV aos demais nós. As características de controlabilidade e observabilidade são fundamentais para determinar áreas de controle de tensão que formarão um conjunto de áreas e suas barras piloto, para aplicação de um CST em uma região [18].
Para o cálculo da distância elétrica é preciso analisar melhor as relações entre tensão, corrente, potência ativa e potência reativa, do problema de fluxo de potência.
A matriz Jacobiana tradicional está representada na equação (3.15) e a matriz 𝐽𝑎𝑐−1, advinda da inversão da Jacobiana, é representada na Figura 3-3.
Figura 3-3 - Representação da matriz Jacobiana inversa. Fonte [18]
A expressão da jacobiana inversa pode ser simplificada, como em (3.29):
[∆𝜃 ∆𝑉] = 𝐽𝑎𝑐 −1[∆𝑃 ∆𝑄] = [ ℎ 𝑛 𝑗 𝑙] [ ∆𝑃 ∆𝑄] (3.29)
Outra relação entre as variáveis de tensão e corrente pode ser representada pela equação (3.10) e a sua inversa, disposta em (3.30):
𝐸̇ = 𝑍. 𝐼̇ (3.30)
Onde: 𝐼̇ – vetor das injeções de corrente
𝐸̇ – vetor das tensões nodais, cujas componentes são 𝐸𝑘 = 𝑉𝑘𝑒𝑗𝜃𝑘
Z = R + jX – matriz impedância nodal
A matriz 𝐽𝑎𝑐 e a sua inversa, e a matriz Y e sua inversa podem ser relacionadas pelas equações matriciais a seguir [7]:
[∆𝐼] = [𝑌𝑏𝑢𝑠]. [∆𝑉] (3.31)
[∆𝑄] = [𝐿]. [∆𝑉] (3.32)
[∆𝑉] = [𝑍𝑏𝑢𝑠]. [∆𝐼] (3.33)
[∆𝑉] = [𝑙]. [∆𝑄] (3.34)
A matriz [𝑌𝑏𝑢𝑠] é a matriz de admitâncias. A matriz [𝑍𝑏𝑢𝑠] é a matriz de impedâncias. Uma matriz é o inverso da outra e ambas são simétricas e complexas. A matriz [𝐿] faz parte da matriz Jacobiana 𝐽𝑎𝑐. A matriz [𝑙] faz parte da matriz 𝐽𝑎𝑐−1, e é chamada de matriz sensibilidade VQ [7]. Esta matriz é utilizada também em outros estudos dos sistemas de potência, como por exemplo estudos de análise estática de estabilidade de tensão, como pode ser observado em [23]. Tanto as matrizes [𝐿] como a [𝑙] são não-simétricas e compostas de números reais.
As relações entre (3.32) e (3.34) só podem ser observadas considerando o desacoplamento entre os problemas de fluxo de potência reativa e fluxo de potência ativa. Este desacoplamento é valido para sistemas de transmissão, onde as diferenças angulares e as diferenças de tensão entre os barramentos são normalmente pequenos e a resistência da linha, assim como a sua susceptância shunt são muito menores que a impedância série.
Os estudos que comprovam essa possibilidade de desacoplamento são apresentados em [24]. Nos casos onde este desacoplamento dos problemas não pode ser considerado, a matriz de sensibilidade deve ser retirada diretamente da matriz Jacobiana invertida.
As matrizes [𝑌𝑏𝑢𝑠] e a [𝐿] são matrizes esparsas, onde os elementos não nulos correspondem aos circuitos elétricos que interligam as subestações. As matrizes [𝑍𝑏𝑢𝑠] e a [𝑙] são cheias, sem elementos nulos, e seus elementos refletem a propagação das variações de tensão após a injeção de uma corrente elétrica ou de potência reativa em algum nó do sistema de potência [7].
As duas últimas matrizes poderiam ser utilizadas para quantificar a proximidade entre os nós sob o ponto de vista da tensão. O módulo do acoplamento em termos de tensão elétrica entre dois nós de um sistema pode ser refletida e quantificada através da máxima atenuação das variações de tensão entre estes nós. Esta atenuação pode ser facilmente obtida através da matriz [𝑙], sendo apenas necessária a divisão dos elementos de cada coluna pelo seu termo diagonal [7]. A atenuação de tensão será melhor explicado a seguir:
Da Figura 3-3, pode ser destacada a matriz [𝑙], conforme abaixo na Figura 3-4:
Figura 3-4 - Representação da matriz l. Fonte [18].
O elemento ljj representa a sensibilidade da tensão da barra j em relação a uma injeção de potência reativa na própria barra j. O elemento lij representa a sensibilidade da tensão da barra i em relação a uma injeção de potência reativa feita na barra j. Se os elementos lij e ljj forem divididos um pelo outro, nesta ordem, é possível calcular o quanto a variação de tensão na barra j se atenuou ao chegar à barra i, dada uma injeção de potência na barra j. Ou seja, se todos os elementos da coluna referente a barra j em l forem divididos pelo elemento l , será determinada a atenuação de tensão de todas as barras do
A matriz das atenuações entre todos os nós do sistema, cujos termos estão escritos em αij, podem ser obtidos na equação (3.35) [7]:
∆𝑉𝑖 = 𝛼𝑖𝑗. ∆𝑉𝑗, onde 𝛼𝑖𝑗 = [ 𝜕𝑉𝑖 𝜕𝑄𝑗 ] [𝜕𝑉𝑗 𝜕𝑄𝑗 ] =𝑙𝑖𝑗 𝑙𝑗𝑗 ⁄ (3.35)
Um exemplo de aplicação do conceito de distância elétrica pode ser visto em [7] e em [18]. Este exemplo é composto de um circuito puramente resistivo, representado na Figura 3-5, de resistências com valores em R e 2R, onde se pode calcular a atenuação entre os pontos i, j, k e m. Dado uma variação de tensão ΔV em i, será mostrado que dado o cálculo de atenuação de tensão entre os pontos j e k, é necessário o produto das atenuações αji e αkj para se obter a atenuação αki.
Figura 3-5 – Exemplo de circuito resistivo para cálculo da distância elétrica. Fonte [18].
Sendo assim, as atenuações entre os pontos i-j e j-k e k-m na Figura 3-5 são calculadas da seguinte forma:
𝛼𝑗𝑖 = ∆𝑉𝑗 ∆𝑉𝑖 = ∆𝑉 2 ⁄ ∆𝑉 = 1 2 (3.36)
𝛼𝑘𝑗 =∆𝑉𝑘 ∆𝑉𝑗 = ∆𝑉 4 ⁄ ∆𝑉 2 ⁄ = 1 2 (3.37) 𝛼𝑚𝑘= ∆𝑉𝑚 ∆𝑉𝑘 = ∆𝑉 8 ⁄ ∆𝑉 4 ⁄ = 1 2 (3.38)
A partir das equações (3.36) à (3.38) pode-se obter a atenuação entre os nós i-m:
𝛼𝑚𝑖 = ∆𝑉𝑚 ∆𝑉𝑖 = 𝛼𝑚𝑘𝛼𝑘𝑗𝛼𝑗𝑖∆𝑉𝑖 ∆𝑉𝑖 = 𝛼𝑚𝑘𝛼𝑘𝑗𝛼𝑗𝑖 = 1 8 (3.39) 𝛼𝑚𝑘𝛼𝑘𝑗𝛼𝑗𝑖 = ∆𝑉𝑚 ∆𝑉𝑘. ∆𝑉𝑘 ∆𝑉𝑗 . ∆𝑉𝑗 ∆𝑉𝑖 = ∆𝑉𝑚 ∆𝑉𝑖 = ∆𝑉 8 ⁄ ∆𝑉 = 1 8= 𝛼𝑚𝑖 (3.40)
Entretanto, para uma aplicação mais eficiente e simples do conceito da distância entre os nós, os dados podem ser manipulados se uma estrutura matemática puder ser definida de forma a eliminar a necessidade de produtos entre atenuações, como os provados acima. Desta forma, podemos alterar estes produtos por somas das distâncias através do uso da atenuação logarítmica, como abaixo demonstrado [7]:
𝐷𝑚𝑖 = − log 𝛼𝑚𝑖 = − log(𝛼𝑚𝑘𝛼𝑘𝑗𝛼𝑗𝑖) = − log 𝛼𝑚𝑘− log 𝛼𝑘𝑗− log 𝛼𝑗𝑖
= 𝐷𝑚𝑘+ 𝐷𝑘𝑗+ 𝐷𝑗𝑖 (3.41)
Onde: 𝐷𝑚𝑖 = Distância Elétrica entre o nó m e o nó i
Desta forma, as distâncias D da Figura 3-5 representam o conceito de distância elétrica aplicada entre os pontos i, j, k e m. Como as atenuações entre os pontos são iguais, as distâncias entre os pontos também serão iguais. [18]
Com a formulação matemática de distância entre os dois nós em mente após o caso apresentado, pode-se retornar a conceituação de atenuação e distância para grandes
Considerando que as relações descritas em (3.32) e (3.34) são verdadeiras, e que na formação da matriz L as diagonais já são diferentes entre si, em função da conexão de cada barra a diferentes barras, os elementos de lij e lji não serão idênticos [18]. Para que as distâncias sejam sempre simétricas entre os nós, o seguinte artifício matemático é tomado:
𝐷𝑗𝑖 = 𝐷𝑖𝑗 = − log(𝛼𝑖𝑗. 𝛼𝑗𝑖) (3.42)
Onde: 𝐷𝑗𝑖 = Distância Elétrica entre o nó j e o nó i 𝐷𝑖𝑗 = Distância Elétrica entre o nó i e o nó j
Sendo assim, a matriz de distâncias elétricas será positiva e simétrica. Levando em consideração que o sistema não é sobrecompensado, ou seja, as capacitâncias do sistema apenas atenuam as indutâncias e não as sobrepõem, eliminando-as, então a característica de desigualdade triangular de distância entre pontos pode ser provada. Esta prova se encontra no Apêndice 1 do artigo [7]. Sendo assim, pode-se concluir que o conceito apresentado realmente é o conceito de uma distância real.
O uso da matriz Jacobiana tradicional apresenta uma limitação para o conceito da distância elétrica: a não representação das barras PV e Vθ na matriz. O Subsistema 1 do problema de fluxo de potência, como determinado na seção Revisão do Problema de Fluxo de Potência deste trabalho, considera apenas as equações Pk para as barras tipo PQ e PV e as equações Qk para as barras PQ, que são representadas na Jacobiana tradicional.
Uma solução proposta para a representação adequada de todos os barramentos é o uso do conceito de Jacobiana estendida, que também foi explicado na seção referenciada acima. Este conceito serve para representar, por exemplo, os controles estabelecidos no sistema, como barras de controle remoto de tensão, através da incorporação de mais um conjunto de variáveis de controle. A substituição da modelagem original de uma barra PV na equação matricial tradicional do subsistema 1, ou seja, apenas a equação de PPV, pela inclusão de duas novas equações, uma sobre PPV e outra sobre QPV, e a inclusão no grupo das equações de controle representando o controle de tensão da barra PV, é suficiente para manter a modelagem do subsistema 1, mas agora considerando os fatores
de sensibilidade da barra PV à injeção de potência reativa na sua vizinhança. A barra Vθ também pode ser representada na matriz Jacobiana estendida através dos mesmo princípios, porém adicionando a equação referente a PVθ e o controle relativo nas equações de controle. Esta opção de representação se encontra descrito em [18].
Uma outra solução para esta questão foi proposta em [3]. Ela consiste na adição das equações de fluxo de potência das barras PV e Vθ, no Subsistema 1, após a convergência do método iterativo de solução problema de fluxo de potência, representando-as como barras PQ. Isso só é possível pois, com a solução do subsistema 1, com todas os controles e limites estabelecidos do problema, os valores de tensão e ângulo de todas as barras do sistema são estabelecidos, já determinando o ponto de operação do sistema de potência a ser estudado. A inclusão das equações do Subsistema 2, que naturalmente são determinísticos, no Subsistema 1 não altera o resultado obtido pela solução iterativa do subsistema 1, já que todos os dados estão consolidados e não se espera mudança no estado ou nas variáveis do sistema. Este segundo processo para inclusão será utilizado nesta dissertação.
Com os valores de distância elétrica de todas as barras do sistema relacionadas, o objetivo é agrupar os barramentos mais próximos em zonas relativamente homogêneas, para a formação das áreas de controle de tensão e selecionar as barras que mais representam as flutuações de tensão da respectiva área, de acordo com as injeções de potência reativa, ou seja, as barras piloto. Alguns métodos tipológicos podem ser usados com esta finalidade.