CONCEITOS E CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

Vamos, agora, ao Estado de Minas Gerais. Durante o período colonial brasileiro, muitas minas produziam ouro e pedras preciosas naquela região que já fez parte da chamada Capitania de São Paulo. Para este conjunto de atividades usaremos o mapa de uma região da Capital do Estado de Minas: Belo Horizonte.

O docente pode convidar a turma para realizar uma breve pesquisa sobre o Estado de Minas Gerais, e assim permitir que os alunos conheçam um pouco mais sobre o Estado ou para que digam o que já conhecem (culinária, esportes, economia, política entre outros). Um possível tema para discussão pode ser: a exploração das reservas minerais e suas consequências ao meio ambiente, as tragédias ocorridas recentemente nas cidades de Brumadinho e Mariana podem ser citadas.

A Geometria do Taxista (indicada por GT) se adapta melhor que a Geometria Euclidiana (que chamaremos de GE) ao ambiente urbano, pois leva em consideração que os deslocamentos numa cidade ideal, ou seja, que possui ruas verticais e horizontais equidistantes, são feitos apenas nas retas paralelamente posicionadas aos eixos coordenados de um plano cartesiano, de forma que tais deslocamentos devem sempre ocorrer de modo vertical e/ou horizontal. Isso é similar aos percursos que realizamos cotidianamente. Para a resolução das atividades propostas a seguir, vamos considerar as áreas quadriculadas do mapa proposto como os quarteirões de uma cidade ideal.

Vamos utilizar a ferramenta Criar mapa do Google Maps para elaborar algumas construções e assim realizar as atividades propostas nesse material. Para tanto, os participantes devem acessar o Google e realizar o Login (caso algum aluno ainda não possua uma conta no Google é possível criar uma, o ideal é que os alunos sejam avisados antecipadamente sobre essa necessidade). As atividades que compõem esse segundo bloco de atividades utilizarão um número maior de recursos, por isso é interessante que o docente esteja bem familiarizado com os recursos do Google Maps.

Fonte: Governo do Estado de Minas Gerais.

ATIVIDADE 5 - Após fazer seu login no Google, acesse o Google Maps e siga os seguintes passos: Menu => Seus lugares => Mapas => Criar mapa => Mapa básico => Atlas simples. Agora busque a Praça Geraldo Torres, localizada na cidade de Belo Horizonte (MG).

a) Encontre o cruzamento entre a Rua Itororó e a Rua Cesário Alvim - elas estão localizadas nas proximidades daquela praça. Use a opção Adicionar marcador (abaixo do campo de busca) e marque o cruzamento dessas duas ruas com um marcador (esse ponto será chamado de A).

Comente com a turma sobre o fato de se utilizar em Matemática letras maiúsculas para designar pontos e letras minúsculas para se designar retas, o que nem sempre ocorreu dessa forma, o matemático italiano Lorenzo Mascheroni (1750 - 1800), fazia exatamente o contrário. Nas opções de edição dos marcadores, além de colorir é possível escolher vários símbolos como marcadores, para uma maior formalidade sugerimos a utilização de uma única cor e o ícone ponto como marcador (ele pode ser encontrado nas outras opções para ícones de marcadores). É oportuno mencionar que popularmente chama-se o ponto de interseção entre duas ruas de cruzamento, mas que em Matemática o termo usado para mencionar o ponto de encontro entre duas retas (ou segmentos) é interseção.

b) Encontre o ponto de interseção entre a Rua Progresso e a Rua Tuiuti (esse ponto será chamado de B). Agora utilize a ferramenta Desenhar linha (ao lado da ferramenta Adicionar marcador), depois escolha a opção Adicionar linha ou forma e estabeleça um trajeto que tenha como local de partida o ponto A e como ponto de destino o ponto B (lembre-se que a distância a ser percorrida deve ser sempre a menor possível).

c) Quantos caminhos possíveis existem para se deslocar, com a menor distância possível, do ponto A até o ponto B?

Três.

Se desejar, o docente pode abordar de maneira muito rica esse item para trabalhar com seus alunos o conteúdo de combinação simples. Uma possibilidade é solicitar que os alunos distanciem o ponto B do ponto A, e com isso observar que à medida que os pontos se distanciam o número de possibilidades aumenta.

Acabamos de descobrir um fato interessante, na Geometria do Taxista podem existir vários menores caminhos que ligam um ponto A a um ponto B. Isso ocorre pois o caminho de um ponto ao outro é construído através de uma combinação de deslocamentos que são realizados na vertical e/ou na horizontal, o que permite realizar várias

combinações diferentes. Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é único: um segmento de reta que liga os dois pontos. A distância táxi (dT) e a distância euclidiana (dE) utilizam, métricas diferentes, e por isso encontramos muitas diferenças entre elas mesmo utilizando conceitos iguais.

O professor pode comentar com a turma sobre o fato que a distância táxi atende a propriedades análogas à distância euclidiana:

 dT (A,A) = 0 (A distância de um ponto até ele mesmo é zero);

 dT (A,B) > 0, se A ≠ B (A distância entre dois pontos é positiva se eles não coincidem);  d_T (A,B) = d_T (B,A) (A distância de A até B é a mesma que de B até A);

 d_T (A,C) ≤ d_T (A,B) + d_T (B,C) (A distância de A até C é sempre menor ou igual à distância de A até B mais a de B até C).

O plano cartesiano é um objeto matemático que permite a localização de pontos contidos nele a partir da sua projeção em dois eixos perpendiculares graduados (veja o exemplo ao lado). Podemos usar a representação de um plano cartesiano sobre um mapa de um bairro.

É interessante relembrar a definição de perpendicularidade com a turma.

d) Escolha dois pontos quaisquer que estejam nas proximidades da Praça Geraldo Torres (cada ponto deve estar exatamente na interseção entre duas ruas). Informe a localização dos pontos escolhidos indicando no quadro a seguir o nome das ruas onde eles se encontram.

Localização vertical Localização horizontal

Ponto C Rua Cesário Alvin Rua Itororó

Ponto D Rua Progresso Rua Itororó

É possível ainda utilizar a ferramenta Medir distâncias e áreas para explorar a conversão de unidades de medidas de comprimento (metro, hectômetro e quilômetro) e área (metro quadrado, hectare e quilometro quadrado). Um hectare (ha) equivale a 10.000m², geralmente o Google Maps informa o tamanho de áreas em hectares ou quilômetros quadrados.

e) Utilize a ferramenta Medir distâncias e áreas (abaixo do campo de busca) para encontrar a d_T e a d_E entre os pontos do item anterior.

Distância táxi (dT) 220m Distância euclidiana (dE) 220m

Pretendemos com esta questão mostrar aos alunos que dT ≥ dE, independentemente da escolha dos pontos de partida e de chegada. Nesse momento é oportuno que o docente solicite a alguns participantes que informem quais valores foram encontrados. Logo após, peça que dois ou três alunos informem os pontos escolhidos por eles, marque no mapa em cores diferentes Fonte: Elaborado pelo autor (2020).

os pontos informados pelos participantes e depois discuta com a turma se em alguma das situações apresentadas a dT = dE.

Se nenhum dos participantes tiver escolhido dois pontos que estejam sobre uma mesma reta, proponha inserir um ponto na interseção da Rua Itororó com a Rua Cesário Alvin, e outro ponto na Rua Itororó com a Rua Progresso, esses dois pontos permitem discutir com a turma o fato que resultou em um mesmo valor tanto para a dT como para a dE.

f) O que é possível concluir sobre a relação entre a distância táxi e a distância euclidiana, entre dois pontos distintos (que não possuem nenhuma coordenada em comum)? O que pode ser dito sobre as situações em que uma das coordenadas de um ponto for igual a uma das coordenadas do outro ponto?

A distância táxi é sempre maior que a distância euclidiana. A distância táxi é igual a distância euclidiana.

Sempre que uma das coordenadas de um ponto for igual a uma das coordenadas do outro ponto a dT será igual a dE, mas nos casos em que os dois pontos não estiverem sobre a mesma reta, a dT será maior que a dE. Podemos concluir que dT ≥ dE.

As vezes para explicar a alguém como chegar a um determinado lugar utilizamos o quarteirão como unidade de medida, por exemplo: caminhe mais três quarteirões nessa direção e depois vire à esquerda para chegar ao destino pretendido. Sendo assim, a partir de agora vamos convencionar que a distância entre uma esquina e a outra mais próxima será chamada de quarteirão. Para determinar a distância entre pontos vamos utilizar o quarteirão como unidade de medida, portanto, as respostas que envolvem o valor da distância devem ser informadas usando esta unidade de medida.

ATIVIDADE 6 – Para começar, utilize a ferramenta Adicionar marcador para inserir um ponto (ele deve ter a cor preta) no centro da praça. Em seguida, acrescente marcadores em todos os lugares que estão distantes um quarteirão do centro da praça (escolha uma cor para esses marcadores). Agora use a ferramenta Desenhar linha, depois escolha a opção Adicionar linha ou forma, realize a união de todos os pontos que estão distantes um quarteirão do centro da praça (lembre-se, nenhum segmento deve passar pela praça).

É importante que antes da aula o docente explore bem os recursos que serão utilizados durante esta atividade (existem muitas possibilidades de formatação para os objetos construídos: cor, tamanho e forma). O Professor pode iniciar a marcação dos pontos para indicar aos estudantes como proceder. Pretendemos com essa atividade promover a descoberta por parte dos alunos que uma circunferência na GT é sob uma ótica euclidiana um quadrado. A figura construída deve ser semelhante a imagem ao lado.

a) Marque a(s) alternativa(s) correta(s). Sob uma perspectiva euclidiana a figura construída parece com qual figura geométrica?

Quadrado (X) Círculo ( ) Triângulo ( ) Retângulo (X) Losango (X)

A circunferência táxi construída pelos alunos permite discutir com a turma quais são as semelhanças e diferenças entre o quadrado, o retângulo e o losango. É possível ainda utilizar a construção para demonstrar a congruência dos lados e dos ângulos, tendo em vista que estamos considerando a malha quadriculada do mapa como uma cidade ideal. Alguns questionamentos possíveis sobre a figura construída seriam: todo quadrado é um retângulo? Todo retângulo é um quadrado? Todo Losango é um quadrado? Todo quadrado é um losango? Podemos dizer que o quadrado, o retângulo, o losango e o trapézio são quadriláteros?

Quadrado é o quadrilátero que tem os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos. Retângulo é o quadrilátero que possui os quatro ângulos retos.

Losango é o quadrilátero que possui os quatro lados iguais.

Círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano cujas distâncias a um ponto fixo é menor ou igual a um determinado valor chamado raio (r).

O triângulo é formado por três lados, três vértices e três ângulos. Chamamos de vértices ao ponto de encontro entre os lados.

A seguir, trabalharemos os conceitos de raio e diâmetro para que de forma progressiva os alunos consigam perceber que estamos aplicando definições até então, vistas apenas na GE, agora aplicadas na G_T. É relevante ouvir cuidadosamente as contribuições realizadas pela turma, pois em um primeiro momento pode parecer confuso aos discentes descobrir que a circunferência táxi tem o formato de um quadrado na G_E.

Fonte: Elaborado pelo autor. (2020)

b) Você já deve ter estudado que chamamos de raio (r) o segmento que liga um ponto de uma circunferência ao seu centro. Sabendo disso, construa um segmento que ligue o centro da praça até um dos pontos marcados no item anterior.

c) Podemos afirmar que o segmento construído no item b seria o raio de uma circunferência? Sim (X) Não ( ). Explique.

O segmento que foi construído está em conformidade com a definição de raio que foi mencionada anteriormente, ele começa no centro da praça e termina exatamente a um quarteirão do centro da praça na figura construída anteriormente.

Se achar necessário, mostre aos alunos a imagem de uma circunferência e seu raio.

d) Você também já deve ter aprendido que o diâmetro é o segmento que passa pelo centro e corta a circunferência em duas partes congruentes. Construa um segmento que ligue dois pontos quaisquer que estejam nas bordas da figura construída nesta Atividade 6 e que obrigatoriamente passe pelo centro da praça. Podemos afirmar que o segmento construído seria o diâmetro da figura? Sim (X) Não ( ). Qual o comprimento do segmento construído?

Dois quarteirões.

A imagem de uma circunferência e seu diâmetro também pode ser exposta. O professor pode questionar a turma sobre qual a relação existente entre o raio e o diâmetro, até que os mesmos consigam concluir que o diâmetro é o dobro do raio, tanto na GT quanto na

GE. A figura construída pelos alunos deve ser semelhante a imagem ao lado, o segmento em azul é o diâmetro da figura e em amarelo o raio.

e) Poderíamos afirmar que, de acordo com as definições apresentadas de circunferência, raio e diâmetro, a métrica utilizada pela GT indica que a figura construída nesta Atividade 6 trata-se de uma Circunferência taxi (CT)? Sim (X) Não ( ). Comente sua resposta.

A figura construída atende as definições de circunferência, raio e diâmetro; portanto pode ser chamada de circunferência na Geometria do Taxista.

Nesse momento os alunos devem socializar com a turma as conclusões obtidas e os questionamentos existentes. Maiores detalhes sobre: a noção de distância, a forma da circunferência e o valor de Pi nas duas Geometrias estão disponíveis no link que segue

https://www.youtube.com/watch?v=XtHQfW01ERY.²⁵

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Acesso em: 10 Agosto 2020.

Fonte: Elaborado pelo autor (2020).

f) Utilize o link a seguir para visualizar duas circunferências táxi com raios medindo dois e três quarteirões.

https://drive.google.com/open?id=163Pa33ZXfv6G27wsuga_ftBHJkfUrOla&usp=sharing.²⁶ Chamamos de perímetro a soma do comprimento dos lados de uma figura. Sabendo disso informe quanto mede o perímetro e o diâmetro de cada uma das CT?

Enquanto os alunos estão medindo o perímetro da figura, circule pela sala e observe se a medição está sendo realizada da forma correta. Na figura ao lado temos destacado em cor preta o comprimento de um dos lados da C_T de raio igual a três. Você pode solicitar que alguns alunos compartilhem com a turma como encontraram a resposta (é possível que algum dos participantes tenha encontrado o comprimento de um dos lados da figura e multiplicado por quatro, ou encontrado o comprimento de metade da circunferência e multiplicado por dois) e com isso verificar se a simetria da figura foi explorada pelos participantes.

Perímetro da circunferência táxi de raio igual a dois 16 quarteirões Perímetro da circunferência táxi de raio igual a três 24 quarteirões Diâmetro da circunferência táxi de raio igual a dois 4 quarteirões Diâmetro da circunferência táxi de raio igual a três 6 quarteirões

O número Pi (simbolizado pela letra grega π) representa a razão constante entre o perímetro da circunferência e o diâmetro dela. Na Geometria Euclidiana o valor de π = 3,141592... (um número irracional).

Já foi possível perceber que por utilizar uma métrica diferente a Geometria do Taxista difere da Geometria Euclidiana em algumas situações, por exemplo, a C_T na Geometria de Euclides possui o formato de um quadrado. Vejamos agora o que ocorre com o valor de π.

Utilizaremos π para representar o número irracional (3,141592...) da Geometria Euclidiana. Para representar o valor de Pi na Geometria do Taxista vamos utilizar πT.

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Acesso em: 10 Agosto 2020.

Fonte: Elaborado pelo autor (2020).

Se desejar você pode falar um pouco sobre a história de π, ou reproduzir um vídeo disponível em https://www.youtube.com/watch?v=evfc6bv6_lM.²⁷ Consideramos ser apropriado comentar sobre os números racionais e irracionais.

g) Utilizando a fórmula, πT = encontre o valor de πT na Geometria do Taxista (utilize os dados do item anterior).

Para raio = 3 temos, πT =

Para raio = 2 temos, πT =

Acabamos de chegar a mais uma conclusão interessante: na Geometria Euclidiana π = 3,141592... (um número irracional), e na Geometria do Taxista πT = 4 (um número racional), em ambas Pi continua sendo uma constante Matemática que representa a razão constante entre o perímetro da circunferência e o diâmetro dela.

Os resultados surpreendentes que encontramos ao comparar as duas Geometrias (Euclidiana e do Taxista) ocorrem pelo fato delas utilizarem métricas distintas. A aplicação de uma definição de distância diferente produz figuras com formatos diferentes daqueles que estamos acostumados a observar, podemos citar como exemplo: a circunferência, a elipse, a parábola e o triângulo.

Caso o docente tenha interesse pode conhecer mais sobre a utilização da métrica do taxista nas cônicas no trabalho escrito por Noronha (2006).

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Acesso em: 10 Agosto 2020.

ATIVIDADE 7 – Observe a figura a seguir e responda.

a) Em Geometria do Taxista ou Euclidiana o vértice de uma figura é o ponto de interseção entre dois lados adjacentes, nele é possível observar o ângulo formado pelo encontro de dois lados da figura. Chamaremos de lado o caminho (aquele com a menor distância) percorrido para ir de um vértice até outro da figura. Quantos lados você consegue observar na figura? Três (X) Dez ( ) Quatorze ( )

O professor pode solicitar que os alunos compartilhem com os colegas suas respostas. As alternativas foram elaboradas de modo a facilitar a identificação de diferentes interpretações por parte dos participantes. O número dez como resposta pode indicar que o aluno considerou a quantidade de segmentos de reta como lados da figura. O número quatorze como resposta pode indicar que o aluno está confundindo o perímetro da figura com o número de lados.

b) Já foram apresentadas anteriormente as definições de algumas formas geométricas, com base nessas informações a figura analisada pode ser classificada na Geometria do Taxista como um: Círculo ( ) Quadrado ( ) Triângulo (X)

O docente pode retomar o conceito de triângulo visto anteriormente e junto com a turma verificar a presença de três ângulos, três lados e três vértices.

c) Quanto mede cada um dos lados da figura? Lembre-se de usar a unidade quarteirão. Três, cinco e seis quarteirões.

Vamos utilizar as informações do item anterior para classificar o triângulo táxi quanto ao tamanho de seus lados. Se julgar necessário revise com a turma a classificação dos triângulos.

d) Com relação aos lados da figura analisada, podemos classificar o triângulo táxi como: Equilátero ( ) Isósceles ( ) Escaleno (X)

A Geometria do Taxista permite trabalhar com outras figuras geométricas, se desejar o professor pode construir suas próprias figuras para abordar os conceitos desejados.

ATIVIDADE 8 - Um dos motivos para que a Geometria do Taxista seja considerada uma Geometria não euclidiana é o fato de que ela nega o quinto postulado de Euclides. Esse postulado ficou conhecido como postulado das paralelas: “Por um ponto fora de uma reta m pode-se traçar uma única paralela à reta m.” (BARBOSA, 2012, p. 72).

Se desejar o docente pode aproveitar para revisar com a turma a posição relativa das retas (coincidentes, concorrentes e paralelas) no plano.

Sabemos que para a GE a menor distância entre dois pontos é uma linha reta, na GE a reta é um conceito primitivo. Na GT a reta pode ser entendida como o caminho mais curto (uma combinação de deslocamentos realizados horizontal e verticalmente) entre dois pontos quaisquer de uma cidade ideal.

Também podemos considerar, assim como na GE, que duas retas distintas com apenas um ponto em comum são ditas retas concorrentes, e chamadas de retas paralelas quando não existe ponto em comum entre elas.

A finalidade dessa atividade é que os discentes compreendam o motivo da Geometria do Taxista ser classificada como não euclidiana. Sendo assim, é importante que os participantes compreendam corretamente o que chamamos de reta na G_T.

Para visualizar um exemplo de como a Geometria do Taxista contraria o quinto postulado de Euclides acesse o link a seguir e observe o mapa https://drive.google.com/open?id=1vaj66Bjq92-IT6ATv8rGw3V1Oyczwki-&usp=sharing.²⁸ Perceba que no mapa existe uma reta r (na cor azul) e um ponto A fora dela, existe ainda uma outra reta s (na cor vermelha) que passa pelo ponto A e é paralela a r, a reta t (na cor amarela) também passa pelo ponto A e é paralela a reta r.

Conclusão: o quinto postulado dos Elementos, de Euclides, não se aplica a Geometria do Taxista, pois construímos um contraexemplo que nos permite concluir que, na Geometria do Taxista por uma reta e um ponto fora dela passam mais de uma reta paralela à reta dada.

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Acesso em: 10 Agosto 2020. Fonte: Freepik.

REFERÊNCIAS

BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 11.ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, c2012.

BRASIL. Ministério da Educação e do desporto (MEC). Parâmetros curriculares nacionais: Matemática/ Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: SEF, 1998.

BRASIL, Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006.

BRASIL. Base Nacional Comum Curricular: Ensino Médio. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Básica, 2018.

FERNANDES, Denise Aparecida Perini. LUGARES GEOMÉTRICOS NAS GEOMETRIAS EUCLIDIANA X TÁXI: Conceitos e Possibilidades de Abordagem no Ensino. 2017. 111 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Programa de Mestrado Profissional em Rede Nacional da Universidade do Estado de Mato Grosso, Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade do Estado de Mato Grosso, Sinop, 2017. Disponível em: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=150880681. Acesso em: 15 jan. 2020. FOSSA, John Andrew. Ensaios sobre Educação Matemática. Belém: Eduepa, 2001.

KRAUSE, Eugene F.. Taxicab Geomtry: An adventure in non-euclidean geometry. New Iork: Dover, 1986.

RIBEIRO, Renato Douglas Gomes Lorenzetto. O ensino das geometrias não-euclidianas: Um olhar sobre a perspectiva da divulgação científica. 2012. 101 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Programa de Pós-graduação em Educação, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2012. Disponível em: https://teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-21012013-154441/pt-br.php. Acesso em: 15 jan. 2020.

RODRIGUES, Claudina Izepe. Vou de taxi. Site da coleção Matemática Multimídia da