Conceitos Fundamentais

Um problema de programação linear multiobjectivo (PLM) consiste na optimização de funções objectivo lineares sujeitas a um conjunto de restrições lineares. Sem perda de generalidade, e de modo a facilitar a notação, consideramos todas as funções objectivo a maximizar. ( ) ( ) ( ) s.a: { } ou ( ) s.a: onde:

: número de funções objectivo; : número de variáveis;

: número de restrições;

Capítulo 3 23 : matriz dos objectivos, dimensão , cujas linhas são os vectores (coeficientes de cada função objectivo );

: matriz dos coeficientes tecnológicos, dimensão ; : vector dos termos independentes;

: região admissível no espaço das variáveis de decisão;

: maximização de todas as funções objectivo em simultâneo.

Nos problemas multiobjectivo, geralmente consideram-se dois espaços distintos: o espaço dos objectivos e o espaço das variáveis de decisão. No espaço dos objectivos, cada vector , tem como imagem um vector critério ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) cujas componentes escalares são os valores de cada função objectivo para esse ponto da região admissível. Assim, o conjunto das imagens dos vectores de representa a região admissível no espaço dos objectivos e representa-se por

( ) { ( ) }.

Dada a importância dos problemas bicritério na tese, vejamos um espaço de decisão possível e o espaço dos objectivos para este caso.

Figura 3.1 Espaço de decisão e espaço dos objectivos.

Tal como já referido na introdução do presente capítulo, Pareto, em 1906, apresentou o conceito de solução eficiente ou não dominada, sendo este fundamental para a programação matemática com objectivos múltiplos. Na comparação de duas soluções considerando

2 f 1 f





24 Multicritério

objectivos múltiplos, apenas a relação de dominância é objectiva e passível de ser usada matematicamente. Dizemos que uma solução domina outra, se a primeira não for pior que a segunda em nenhum critério e se for estritamente melhor em pelo menos um dos critérios. Esta última condição visa salvaguardar que duas soluções se dominem mutuamente por terem valores/desempenhos iguais em todos os critérios. Assim,

Podemos agora falar de soluções não dominadas, que são aquelas para as quais se verifica não existir nenhuma outra solução que as domine.

Em geral, enquanto o conceito de não dominância se refere ao espaço dos objectivos, o conceito de eficiência refere-se ao espaço das variáveis de decisão. Uma dada solução admissível é eficiente se não existir uma outra solução admissível que melhore um dos critérios sem piorar, pelo menos, um dos outros.

Uma solução é não dominada se e só se for imagem de uma solução eficiente. Assim, o vector critério ( ) é uma solução não dominada quando , ou seja o conjunto não dominado pode ser definido por ( ) { ( ) }.

Em termos de problemas com duas funções objectivo, uma solução admissível diz-se eficiente se e só se não existir uma outra que melhore o valor de uma das duas funções objectivo, sem piorar o valor da outra. Facilmente se interpretaria a definição de solução não dominada no caso de um problema bicritério. Graficamente, considerando um exemplo de um

Definição 1. Sejam e dois vectores critério de . Diz-se que domina se e só se

e . Isto é, para todo o e para pelos menos um

.

Definição 2. Seja . Diz-se que é uma solução não dominada se e só se não existe outra solução tal que e . Caso contrário, é uma solução

dominada. Ao conjunto das soluções não dominadas chama-se conjunto não dominado e representa-se por .

Definição 3. Seja uma solução admissível. Diz-se que é uma solução eficiente se e só

se não existe outra solução tal que ( ) ( ) e ( ) ( ). Isto é, ( )

( ) para todo o e ( ) ( ) para pelos menos um . Ao conjunto das

Capítulo 3 25 problema bicritério em que ambas as funções objectivo são de maximização, temos o seguinte espaço dos objectivos:

Figura 3.2 Ilustração de soluções não dominadas, no espaço dos objectivos, para o caso bicritério.

Na figura anterior, as soluções sobre os segmentos BC, CD, DE e EF são não dominadas. Qualquer solução que exista na área sombreada/colorida será uma solução dominada. E os segmentos AB e FG? Para responder a esta questão, defina-se solução fracamente não dominada e solução fracamente eficiente.

Soluções fracamente não dominadas são aquelas para as quais se verifica não existir nenhuma outra solução que a domine fortemente.

Uma solução é fracamente eficiente se e só se for imagem inversa de uma solução fracamente não dominada.

2 f 1 f A B C D E F G

Definição 4. Sejam e dois vectores critério de . Diz-se que domina fortemente se e só se . Isto é, para todo o .

Definição 5. Seja . Diz-se que é uma solução fracamente não dominada se e só se não existe outra solução tal que . Ao conjunto das soluções fracamente não dominadas chama-se conjunto fracamente não dominado e representa-se por .

Definição 6. Seja uma solução admissível. Diz-se que é uma solução fracamente

eficiente se e só se não existe outra solução tal que ( ) ( ). Isto é, ( )

( ) para todo o . Ao conjunto das soluções fracamente eficientes chama-se

26 Multicritério

O conjunto fracamente não dominado pode ser definido por

( ) { ( ) }.

Podemos concluir assim que as soluções sobre os segmentos AB e FG, excepto os pontos B e F, correspondem a soluções fracamente não dominadas.

Um outro conceito que irá ser utilizado numa parte posterior desta tese consiste na noção de quasi-dominância. Com este conceito alarga-se a região de dominância a outras soluções que apresentam uma relação de compromisso entre os critérios desequilibrada. A melhoria num dos critérios, com valor máximo positivo, é descompensada com valor não inferior a em pelo menos um dos outros critérios.

A interpretação geométrica deste conceito pode ser vista no exemplo da Figura 3.3. Sendo A uma solução não dominada, então qualquer solução que exista na área sombreada (incluindo linhas, excepto a tracejado) será uma solução quasi-dominada por A com tolerância .

Figura 3.3 Ilustração do conceito de quasi-dominância para o caso bicritério.

A solução que optimizaria simultaneamente todas as funções objectivo, ou seja, cujas componentes são o óptimo de cada função objectivo na região admissível quando optimizadas separadamente, designa-se por solução ideal (ou ponto utopia). Apesar de poder calcular-se

2 f

1 f A

Definição 7. Sejam e dois vectores critério de . Diz-se que quasi-domina com tolerância se e só se

para todo o ou

Capítulo 3 27 sempre o ponto ideal no espaço dos objectivos, nem sempre existe uma solução que origine tal ponto. Caso seja possível, então o problema é trivial.

Definição 9. Chama-se tabela de óptimos individuais (payoff) à tabela de duas entradas em

que ao elemento na linha ( ) e na coluna ( ), representado por ( ) corresponde o valor da -ésima função objectivo para a solução que optimiza a -ésima função objectivo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Tendo em conta a definição, facilmente se verifica que a diagonal principal corresponde às componentes da solução ideal. Note-se que no caso em que o número de funções objectivo é superior a dois ( ), a tabela de óptimos individuais poderá não ser única dada a possibilidade de existência de óptimos alternativos eficientes para alguma função objectivo. No entanto, a solução ideal continua a ser única.

Definição 10. Chama-se solução anti-ideal ou ponto nadir e representa-se por

( ),

ao vector cujas componentes são os menores valores que cada função objectivo assume na região eficiente, ou seja

( ) .

Definição 8. Chama-se solução ideal (ou ponto utopia) e representa-se por

( ),

ao vector cujas componentes são obtidas pela optimização individual de cada função objectivo na região admissível, ou seja

28 Multicritério

A solução anti-ideal pode ser aproximada a partir da tabela de óptimos individuais, seleccionando em cada coluna, o pior valor que a correspondente função objectivo assume nessa coluna. Este valor tirado da tabela pretende representar o menor valor atingido pela - ésima função objectivo na região eficiente ( ) apesar de muitas vezes não corresponder a tal valor. No entanto, devido à facilidade da sua determinação, é um mínimo conveniente que geralmente serve para os fins a que se destina. O facto de a tabela de óptimos individuais poder não ser única, implica que a solução anti-ideal assim obtida, possa também não o ser. No caso de dois objectivos, a solução anti-ideal obtida através da tabela, coincide sempre com os mínimos de cada objectivo na região eficiente.

Na figura seguinte representa-se o espaço dos objectivos de um problema com dois objectivos de maximização, assinalando as soluções ideal (I) e anti-ideal (N).

Figura 3.4 Ilustração de soluções ideal (I) e anti-ideal (N), no espaço dos objectivos, para o caso bicritério.