Modelos

O modelo de localização simples pretende resolver problemas de localização, de forma a determinar o número óptimo de equipamentos ou serviços a instalar, as suas localizações e ainda a afectação dos clientes ou comunidades aos equipamentos instalados de modo a minimizar os custos de afectação e de instalação. A simplicidade da formulação do Problema de Localização Simples (PLS) faz com que seja um modelo facilmente interpretado no que diz respeito à sua formulação bem como aos resultados obtidos. Pelo mesmo motivo, também facilmente se fazem modificações, quer nas restrições quer na função objectivo, de modo a torná-la mais adequada à situação pretendida. A simplicidade do modelo permite também que seja facilmente adaptado ao contexto da optimização multicritério, mantendo as vantagens referidas. Refira-se ainda que existe uma vasta colecção de técnicas exactas e heurísticas, utilizadas separadamente ou em conjunto, para a resolução do problema.

O modelo de localização simples pode então ser formulado em programação linear inteira da seguinte forma: ∑ ∑ ∑ (1) s.a: ∑ (2) (3)

10 Problemas de Localização

{ } (4)

{ } (5)

onde é o conjunto de entidades a servir; é o conjunto de possíveis locais para a instalação dos equipamentos; é o valor relativo à instalação do equipamento no local ; é o valor

relativo à afectação do equipamento instalado em à entidade . As variáveis são definidas como:

, se é instalado o equipamento em , e 0 em caso contrário;

, se a entidade é afectada ao equipamento em , e 0 em caso contrário.

Neste modelo, a função objectivo (1) minimiza os custos de afectação e de instalação. As restrições (2) garantem que todos os clientes são afectados a exactamente um equipamento ou serviço, enquanto as restrições (3) garantem que os clientes só serão afectados a equipamentos instalados.

Apesar de não ser muito usual, é possível encontrar-se na literatura outra formulação com uma função objectivo diferente da apresentada (veja-se por exemplo Cornuejols et al. [32]). Seja o lucro total de servir o cliente a partir do serviço em . Por exemplo, poderá ser

dado pela função ( ) onde é a procura do cliente , é o preço unitário do

serviço fornecido ao cliente , é o custo unitário de produção do serviço em e é o custo

unitário de transporte do serviço em para o cliente . Assim, uma função objectivo alternativa será a seguinte, que corresponde a uma maximização de lucros:

∑ ∑

∑

Não existindo restrições de capacidade para os equipamentos, cada cliente é afectado ao equipamento instalado com menor custo de afectação. Esta situação é facilmente comprovada se fixarmos os valores das variáveis no PLS e verificarmos que a restante solução em termos das variáveis é trivial: um cliente será sempre afectado ao equipamento instalado a que

corresponde o menor valor . Caso os custos de afectação correspondam a distâncias, como é

Capítulo 2 11 integralidade das variáveis , substituindo na formulação, as restrições (5) pelas

seguintes:

( ’)

obtendo-se uma formulação equivalente de programação linear inteira mista.

Uma formulação de programação linear inteira equivalente à (1) - (5) é obtida substituindo as restrições (3) pelo seguinte conjunto de restrições mais compacto:

∑

(3’)

onde é o número de clientes. Note-se que com este conjunto de restrições continuamos a assegurar que os clientes só serão afectados a equipamentos instalados, pois quando , ambos os conjuntos de restrições (3) e (3’) implicam que para todo o , e quando

, novamente os mesmos conjuntos de restrições são satisfeitos para todos os que

satisfaçam as restrições (2).

Note-se também que a equivalência entre estas duas formulações não é válida para a relaxação linear das respectivas formulações. A região admissível considerando as restrições (2), (3) e

(6)

está estritamente contida na região definida por (2), (3’) e (6), sendo mais difícil obter uma solução óptima inteira a partir da relaxação linear do problema com as restrições (3'). É usual chamar-se à formulação (1) - (5) a formulação forte ou com restrições fortes (ou não agregadas) e quando se considerem as restrições (3'), a formulação fraca ou com restrições fracas (ou agregadas).

Se no PLS considerássemos a particularidade de terem de ser instalados exactamente equipamentos, então tal seria possível com a inclusão da seguinte restrição na formulação:

∑

(6)

Neste caso, estaríamos perante o problema designado por Problema de -localização. No Problema de -localização pode ocorrer a instalação de um equipamento sem que existam afectações de clientes ou comunidades a esses equipamentos. Dizemos que um

12 Problemas de Localização

equipamento instalado em ( ) é activo se ∑ , ou é passivo se ∑ .

Portanto, no problema anterior poderão existir equipamentos instalados passivos.

Existe um outro tipo de problema, designado por Problema de -localização activa, em que se exige que todos os equipamentos instalados sejam activos. Esta garantia é dada pelas restrições:

∑

(7)

O facto de estar pré-definida, em muitas situações, a quantidade de equipamentos a instalar, torna o problema de -localização realista.

No conhecido Problema de Localização com Capacidades (PLC), cada entidade cliente ou comunidade tem uma procura associada e em cada potencial local para a instalação de equipamentos, pode ser instalado um equipamento com uma determinada capacidade máxima. De forma a assegurar que as capacidades máximas dos equipamentos não são excedidas, as seguintes restrições substituem as restrições (3) na formulação do PLS:

∑

(8)

onde é a procura do cliente e é a capacidade máxima do equipamento em .

Note-se que com esta formulação, a procura de cada cliente é satisfeita na sua totalidade por um único equipamento e não está garantida a existência de uma solução admissível. Para admitir que cada cliente possa ser parcialmente servido por mais do que um equipamento basta considerar as restrições (5’) em vez das (5). Assim, definindo as variáveis

como a quantidade fornecida ao cliente pelo equipamento em , uma formulação possível para o PLC, conhecida por formulação fraca, é dada por:

∑ ∑ ∑ (1) s.a: ∑ (9) ∑ (10) { } (4)

Capítulo 2 13

( ’)

As restrições (9) garantem que cada cliente é servido na totalidade, tendo em conta a sua procura. As restrições (10) asseguram que a capacidade de cada equipamento não é excedida.

Nesta situação, a condição

∑

∑

é necessária e suficiente para garantir a existência de uma solução admissível para o problema. Um outro tipo de problema de localização, proposto por Correia e Captivo [31] e denominado Problema de Localização com Capacidades por Níveis (PLCN), consiste na possibilidade de admitir a instalação de equipamentos de diferentes tipos com determinadas capacidades. Seja o conjunto dos tipos de equipamento possíveis de instalar no potencial local ( ) e sejam as variáveis binárias definidas como:

se é instalado em um equipamento de tipo e 0 em caso contrário ( ).

Admitindo que cada cliente tem de ser servido na totalidade por um único equipamento, uma formulação para este problema é dada por:

∑ ∑ ∑ ∑ (11) s.a: ∑ (2) ∑ (12) ∑ ∑ ∑ (13) { } , (4) { } (5)

onde é o valor relativo à instalação do equipamento de tipo no local , é a quantidade

mínima que pode ser produzida pelo equipamento de tipo instalado no potencial local e

14 Problemas de Localização

restrições (12) asseguram que em cada potencial local é instalado no máximo um tipo de equipamento. As (13) garantem que caso seja instalado um equipamento no local , independentemente do seu tipo, então a quantidade mínima a ser produzida por esse equipamento e a sua capacidade máxima são respeitadas. Mais uma vez, substituindo as restrições (5) pelas (5’), adaptaríamos o modelo para que os clientes pudessem ser parcialmente servidos por mais do que um equipamento.

Dependendo da criatividade e imaginação dos investigadores, bem como dos problemas que surgem na realidade, muitas têm sido as formulações alternativas propostas na literatura, geralmente baseadas no PLS.