Inicialmente, ´e interessante definirmos a nota¸c˜ao a ser utilizada para representar algum fato, fenˆomeno. Existe uma rela¸c˜ao entre a teoria dos conjuntos e a teoria das probabili- dades, assim, ser´a utilizada a nota¸c˜ao e s´ımbolos da teoria dos conjuntos. Os conjuntos s˜ao representados por letras mai´usculas e os seus elementos, s˜ao colocados entre chaves (A={a, e, i, o, u }).
H´a duas maneiras pelas quais se pode descrever os elementos de um conjunto:
1◦) Consiste em relacionar todos os elementos do conjunto, ou um n´umero sufi-
ciente deles.
Exemplo: desejamos representar os h´ıbridos de milho, de ciclo tardio, recomendados para a regi˜ao de Chapec´o, altitude menor que 800m da safra 1988/89.
A={C125, AG28, AG35, SAVE, 342-A, C408, AG401, C317}.
Outro exemplo: principais esp´ecies do genˆero Biomphalaria em Santa Catarina. B={ B.straminea; B.glabrata; B.tenagophila };
2◦) Consiste em formular uma regra que defina a(s) caracter´ıstica(s) comum(ns)
aos membros do conjunto. Exemplos:
A={Todos os gˆeneros de formigas da fam´ılia Formicidae}; B={Todas as esp´ecies do gˆenero Biomphalaria};
C={Todas as plantas que produzem O2};
D={Todas as esp´ecies da fam´ılia das Solanaceas};
E={Esp´ecies do gˆenero Biomphalaria que s˜ao hospedeiras intermedi´arias do Schistossoma
mansoni };
Essa nota¸c˜ao ser´a utlilizada para representar espa¸cos amostrais e eventos.
Inicialmente, dissemos que n˜ao ´e necess´ario verificar diretamente o fenˆomeno para en- tender o seu comportamento, a sua variabilidade, enfim, a sua distribui¸c˜ao de freq¨uˆencias e,
AA Aa
AA AA Aa Aa zigotos
genótipos
Figura 3.2: Resultados do cruzamento de gen´otipos
sim, que ´e poss´ıvel, fazendo-se algumas suposi¸c˜oes adequadas, criar um modelo te´orico que represente muito bem essa distribui¸c˜ao, s˜ao os chamados modelos probabil´ısticos. Vamos ver a constru¸c˜ao de mais um modelo de probabilidade.
Exemplo: Se cruzarmos indiv´ıduos de gen´otipos AA e Aa. Queremos estudar as pro- por¸c˜oes dos resultados desse cruzamento. O gene A de um indiv´ıduo AA encontra o gene A ou o gene a de um indiv´ıduo Aa. As c´elulas fertilizadas tem gen´otipo AA e Aa, conforme figura 3.2. Observamos:
1◦) Que s´o existem essas duas possibilidades, pois Aa e aA n˜ao s˜ao ordenados.
2◦) N˜ao existe raz˜ao nenhuma para admitir que um dos dois resultados ocorra
com maior frequˆencia, sendo assim, teremos o seguinte modelo te´orico de frequˆencias para o experimento,
Cruzamentos AA Aa Total
Freq¨uˆencia te´orica 1/2 1/2 1
O espa¸co dos resultados desse experimento, ou simplesmente, espa¸co amostral, represen- tado pela letra grega Ω (ˆomega), fica:
Ω = {AA, Aa}.
As vezes o espa¸co amostral ´e representado pela letra S. Portanto, espa¸co amostral, ´e o con- junto de todos os resultados poss´ıveis do experimento. Cada um dos elementos, observa¸c˜oes que comp˜oem Ω chama-se de ponto amostral.
Agora, suponha que para o espa¸co amostral, Ω = {AA, Aa}, estamos interessados no evento homozigoto, ent˜ao, temos:
A = {AA}.
Poder´ıamos tamb´em estar interessados no evento heterozigoto, ent˜ao, temos: B = {Aa}.
Portanto, eventos s˜ao subconjuntos do espa¸co amostral, Ω, ou seja, ´e um conjunto de resultados de um experimento. Se um evento coincide com o espa¸co amostral, Ω, ele se
chama evento certo e temos, A = Ω
A = {AA, Aa}
A → evento dos fen´otipos com dominˆancia.
Observa¸c˜ao: o alelo A ´e dominante sobre a, portanto, Aa tem o mesmo fen´otipo que AA. Se um evento n˜ao possui nenhum elemento do espa¸co amostral, temos o evento imposs´ıvel,
A = ∅ (phi). Exemplo: D={homozigoto recessivo}={aa}.
Quando o evento ´e constitu´ıdo de apenas um elemento temos o evento simples. Como exemplos temos os eventos A e B.
Do exemplo acima, podemos fazer uma generaliza¸c˜ao. Todo o fenˆomeno ou experimento no qual est´a envolvido um elemento casual, aleat´orio, ou de incerteza, ter´a seu modelo
de probabilidades.
Um modelo probabil´ıstico fica definido, especificado, constru´ıdo, no momento em que es- tabelecemos o espa¸co amostral (Ω) e as probabilidades dos pontos amostrais; para o exemplo, temos o seguinte modelo probabil´ıstico:
Cruzamentos AA Aa Total
Freq¨uˆencias te´oricas 1/2 1/2 1
Esse espa¸co amostral ´e discreto, pois podemos enumerar todos os resultados do experimento. Essa enumera¸c˜ao pode ser finita ou infinita.
Exemplo de modelo. Cruzamos o gen´otipo Aa (pai) e Aa (m˜ae). Os resultados dos cruzamentos est˜ao indicados na figura 3.3.
Observa¸c˜oes:
1. As quatro recombina¸c˜oes AA, Aa, aA e aa s˜ao igualmente prov´aveis.
2. As duas recombina¸c˜oes Aa e aA n˜ao s˜ao ordenadas, isto ´e, n˜ao ´e poss´ıvel distingui-las biologicamente.
Logo, o espa¸co de resultados ´e:
Pai Pai Mãe Aa Aa A a A a AA Aa aA aa Óvulos espermatozóide zigoto
Figura 3.3: Cruzamento de gen´otipos
Como as recombina¸c˜oes s˜ao igualmente prov´aveis, associamos a cada uma delas a probabil- idade 1/4, logo, o modelo probabil´ıstico para o experimento fica:
Cruzamentos AA Aa aa Total
Freq¨uˆencia te´orica 1 4 1 4 + 1 4 = 1 2 1 4 1
Aqui, novamente, o espa¸co amostral ´e discreto.
Exemplo de modelo: Em tomateiros, vamos fazer o cruzamento entre dois indiv´ıduos homozig´oticos, um sendo recessivo, spsp, e respons´avel pelo h´abito de crescimento determi-
nado e o outro dominante, SpSp, respons´avel pelo h´abito de crescimento indeterminado. Em
F1 obtˆem-se: Spsp. Fazendo-se a autofecunda¸c˜ao desses indiv´ıduos F1(F1×F1), obtˆem-se as
seguintes recombina¸c˜oes:
SpSp; Spsp; spSp e spsp
todas com a mesma freq¨uˆencia te´orica e igual a 1/4. Veja o quadro: F1
F1 Sp sp
Sp SpSp Spsp
sp spSp spsp
Observa¸c˜oes:
1. As quatro recombina¸c˜oes s˜ao igualmente prov´aveis.
2. As duas recombina¸c˜oes, Spsp e spSp, n˜ao s˜ao ordenadas, n˜ao sendo poss´ıvel diferenci´a- las biologicamente.
O modelo probabil´ıstico fica:
Cruzamentos SpSp spSp spsp Total
Observa¸c˜ao: Um espa¸co amostral pode ser definido de diferentes maneiras para um mesmo experimento, dependendo dos objetivos do problema a ser estudado. Por exemplo, suponha que lancemos uma moeda cinco vezes. Se estamos interessados apenas na sequˆencia de caras e coroas obtida, um espa¸co amostral ´e:
Ω1 = {ckkkk, kckkk, kkckk, kkkck, ...}.
Observa¸c˜ao: s˜ao poss´ıveis 25=32 pontos amostrais. Mas se estamos interessados no
n´umero de caras obtidas, ent˜ao, um espa¸co amostral ´e: Ω2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Temos, aqui, outro exemplo de espa¸co amostral discreto.
Exemplo: Considere um experimento que consiste em medir as alturas H de homens adultos. Um espa¸co amostral conveniente ´e:
Ω = {H : H > 0},
isto ´e, o conjunto de todos os n´umeros reais positivos. Se A indica o evento ”a altura de homens adultos ´e superior a 150 cm e inferior a 200 cm”, ent˜ao A={H:150<H<200}. Esses s˜ao exemplos de espa¸cos amostrais cont´ınuos, pois o intervalo cont´em um n´umero infinito de valores.
Outro exemplo: Considere um experimento que consiste em medir as alturas h de plantas de milho. Um espa¸co amostral conveniente ´e Ω={h:h>0}, isto ´e, o conjunto de todos os n´umeros reais positivos.