M´edia, Mediana e Moda

Procuramos at´e aqui interpretar um conjunto de dados atrav´es do estudo de distribui¸c˜ao de freq¨uˆencias, diagrama de pontos e do ramo-e-folhas, o que j´a foi um grande avan¸co no sentido de conhecer o comportamento da(s) vari´avel(is) em estudo. Por´em, um conjunto de dados pode reduzir-se a uma ou apenas algumas medidas num´ericas que representam todo o conjunto original dos dados. Estas medidas s˜ao de muito mais f´acil compreens˜ao do que os dados originais, esta ´e uma grande virtude da estat´ıstica, isto ´e, reduzir um conjunto de dados em apenas algumas medidas facilmente compreens´ıveis. Por exemplo, para conhecer o rendimento t´ıpico de h´ıbridos de milho, podemos calcular a m´edia ou a mediana dos resultados da vari´avel. ´E importante chamar a aten¸c˜ao desde j´a, que sempre que for apresentada uma medida de tendˆencia central ´e necess´ario apresentar tamb´em uma medida de variabilidade, dispers˜ao, que ser˜ao tratadas na pr´oxima se¸c˜ao.

O objetivo dessa se¸c˜ao ´e apresentar as principais medidas de tendˆencia central, as quais s˜ao assim chamadas devido ao fato dos dados naturalmente tenderem a se concentrar em

torno desses valores centrais. As trˆes medidas de tendˆencia central mais utilizadas para resumir um conjunto de dados s˜ao:

• A m´edia aritm´etica • A mediana

• A moda

Estas medidas aplicam-se para dados isolados, como tamb´em para dados organizados numa distribui¸c˜ao de freq¨uˆencias em classes, sendo assim, ser´a mostrado o procedimento de c´alculo dessas medidas para os dois casos, quais sejam: 1) dados isolados e 2) agrupados em classes.

A m´edia aritm´etica ´e a id´eia que ocorre a grande maioria das pessoas quando se fala em m´edia; como ela possui certas propriedades importantes, ela ´e a medida de posi¸c˜ao mais utilizada. Contudo, ela pode nos levar a erros de interpreta¸c˜ao, assim, a mediana pode ser a medida mais recomendada em muitas situa¸c˜oes. Ainda nesta se¸c˜ao indicaremos estas situa¸c˜oes.

A m´edia aritm´etica (M e), ´e a soma dos valores num´ericos de uma vari´avel dividida pelo n´umero deles. Por exemplo, considere os pesos ao nascer, em kg, de 10 bezerros da ra¸ca Charoleza:

47 51 45 50 50 52 46 49 53 51 Assim, a m´edia, ser´a:

M e = 47 + 51 + 45 + 50 + 50 + 52 + 46 + 49 + 53 + 51

10 = 49, 4kg.

Genericamente, a M e, quando todos os valores s˜ao diferentes uns dos outros, ´e dada por: M e(X) = x1+ x2+ ... + xn n = 1 n n X i=1 xi (2.4)

onde n ´e o n´umero de dados da amostra e X ´e uma vari´avel em estudo, por exemplo, peso ao nascer. A letra grega P, leia-se sigma (mai´uscula), como pode ser visto na equa¸c˜ao 2.4, representa um somat´orio, isto ´e, uma soma de valores.

Agora, quando temos um conjunto de n valores de uma vari´avel X, dos quais n1 s˜ao

iguais a x1, n2 s˜ao iguais a x2,...., nk s˜ao iguais a xk, ent˜ao, a m´edia aritm´etica de X ´e dada

por: M e(X) = n1x1+ n2x2+ ... + nkxk n1+ n2+ ... + nk = Pk i=1nixi Pk i=1ni = Pk i=1nixi n (2.5)

Charoleza Gir Pesos ao nascer

38 42 46 50 54 58 62

Médias

Figura 2.26: Diagrama de pontos para peso ao nascer das ra¸cas Charoleza e Gir onde k ´e o n´umero de valores diferentes da vari´avel em estudo. Se fi = ni/n representa a

freq¨uˆencia relativa da observa¸c˜ao xi, ent˜ao, M e pode ser escrita da seguinte maneira:

M e(X) =

k

X

i=1

fixi.

Exemplo. Para os dados dos pesos ao nascer de bezerros da ra¸ca Charoleza, com k = 8 valores diferentes, temos:

M e(X) = (1 × 45) + (1 × 46) + (1 × 47) + (1 × 49) + (2 × 50) + (2 × 51) + (1 × 52) + (1 × 53) (1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1)

= (0, 10 × 45) + (0, 10 × 46) + (0, 10 × 47) + (0, 10 × 49) + (0, 20 × 50) + + (0, 20 × 51) + (0, 10 × 52) + (0, 10 × 53)

= 49, 4kg.

Exerc´ıcio. Os valores da vari´avel peso ao nascer de uma amostra de 10 bezerros da ra¸ca Gir foram:

51 40 46 48 54 56 44 43 55 57

Encontre a m´edia aritm´etica da amostra dos pesos ao nascer de bezerros da ra¸ca Gir. O diagrama de pontos para as duas ra¸cas ´e dado na figura 2.26. Percebe-se que os dois conjuntos de dados s˜ao bastante diferentes, entretanto, apresentam a mesma m´edia, ent˜ao, a m´edia aritm´etica, por si s´o, tem muito pouco valor cient´ıfico. ´E preciso alguma medida de variabilidade para acompanhar a m´edia. Isto ser´a visto na pr´oxima se¸c˜ao.

A principal restri¸c˜ao ao uso da m´edia aritm´etica ´e que a mesma ´e muito sens´ıvel a valores excessivamente altos ou baixos (valores discrepantes ou ”outliers”). Ela ´e uma medida bas-

tante adequada quando os dados apresentam pelo menos aproximadamente uma distribui¸c˜ao normal. Quando a distribui¸c˜ao ´e assim´etrica deve-se utilizar preferencialmente a mediana.

No caso em que os dados est˜ao agrupados em classes de ocorrˆencias, a express˜ao da m´edia aritm´etica ´e dada por:

M e = Pk i=1nisi n = k X i=1 fisi

onde ni, fi e si s˜ao a freq¨uˆencia absoluta, freq¨uˆencia relativa e o ponto m´edio da i-´esima

classe, respectivamente, e k ´e o n´umero de classes do histograma.

Exemplo. Para a distribui¸c˜ao de freq¨uˆencias da tabela 2.25, que diz respeito aos rendimentos, em kg/ha, de h´ıbridos de milho, a m´edia aritm´etica tem como resultado, M e(X) = 5105, 031kg. Vamos ao c´alculo.

M e(X) = 0, 0313(4214, 5) + 0, 3750(4697, 5) + 0, 4063(5180, 5) + 0, 0937(5663, 5) + 0, 0937(6146, 5) = 5105, 031 kg

Observa¸c˜ao: em termos computacionais, os programas estat´ısticos calculam a m´edia facil-

mente, sem a necessidade de formar as classes.

Acontece, muitas vezes, que determinados valores de um conjunto de dados s˜ao mais importantes que os demais, ou seja, tem pesos diferentes, merecendo assim um tratamento especial.

Exemplo. Os tub´erculos de batatas sementes s˜ao classificados, para efeito de comercial- iza¸c˜ao, em quatro tipos de tamanhos (diˆametros), a saber:

• Tipo I - maior que 50 mm at´e 60 mm inclusive (50 a 60]; • Tipo II - maior que 40 mm at´e 50 mm inclusive (40 a 50]; • Tipo III - maior que 28 mm at´e 40 mm inclusive (28 a 40]; • Tipo IV - de 23 mm at´e 28 mm inclusive [23 a 28].

As batatas sementes s˜ao comercializadas em caixas de 30 kg. Um agricultor produziu 500 caixas em um hectare (10.000 m2_{), assim distribu´ıdas:}

• 100 caixas do tipo I → pre¸co: 1500 u.m./cx; • 180 caixas do tipo II → pre¸co: 3500 u.m./cx; • 140 caixas do tipo III → pre¸co: 3000 u.m./cx;

• 80 caixas do tipo IV → pre¸co: 1600 u.m./cx.

Qual o pre¸co m´edio, por caixa, obtido pelo agricultor? Podemos usar a express˜ao 2.5 para obter esse valor. Temos que a vari´avel X ´e o pre¸co da caixa de batata semente, portanto, x1 ´e o pre¸co da caixa do tipo I, e assim por diante; ni ´e o n´umero de caixas produzidas por

cada tipo, i = 1, 2, 3, 4. Vamos ao c´alculo. M e(X) = P4 i=1nixi P4 i=1ni = (100 × 1500) + (180 × 3500) + (140 × 3000) + (80 × 1600) 100 + 180 + 140 + 80 = 1328000 500 = 2656, 00 u.m.

Propriedades da M´edia Aritm´etica

A m´edia aritm´etica possui algumas propriedades importantes, dentre as quais vamos discutir duas. Antes de apresent´a-las vamos ver o que significa um desvio ou res´ıduo de um dado em rela¸c˜ao a sua m´edia. Esse desvio ´e calculado como:

di = xi− ¯x.

Assim, existem desvios positivos, negativos e nulos. Para os dados de pesos ao nascer de bezerros da ra¸ca Charoleza, temos:

d1=45-49,4=-4,4 d2=46-49,4=-3,4 d3=47-49,4=-2,4 d4=49-49,4=-0,4 d5=50-49,4=0,6

d6=50-49,4=0,6 d7=51-49,4=1,6 d8=51-49,4=1,6 d9=52-49,4=2,6 d10=53-49,4=3,6

A primeira propriedade ´e que a soma dos desvios calculados em rela¸c˜ao a m´edia aritm´etica do conjunto de dados ´e nula:

n X i=1 (xi− ¯x) = n X i=1 di = 0. No exemplo: -4,4-3,4-2,4-0,4+0,6+0,6+1,6+1,6+2,6+3,6=0.

A segunda propriedade ´e que a soma dos quadrados dos desvios em rela¸c˜ao a m´edia ´e um m´ınimo. Formalmente, temos:

n X i=1 (xi− ¯x)2 = n X i=1 d2_i = m´ınimo.

Veremos a utiliza¸c˜ao dessas propriedades quando tratarmos do estudo de medidas de dispers˜ao.

Uma segunda medida de tendˆencia central ´e a mediana. A mediana divide um conjunto de dados ao meio, onde 50% dos valores se posicionam abaixo da mediana, e 50% dos valores

Pesos ao nascer

38 42 46 50 54 58 62

Posição da Md:5,5

Figura 2.27: Diagrama de pontos para peso ao nascer da ra¸ca Charoleza - c´alculo da mediana se posicionam acima da mediana, portanto, a mediana, ´e uma medida baseada na ordena¸c˜ao dos dados (rank, em inglˆes).

Defini¸c˜ao: a mediana de um conjunto de valores, ´e o valor M d que ocupa a posi¸c˜ao (n + 1)/2, quando os dados est˜ao ordenados crescentemente. Se (n + 1)/2 for fracion´ario, toma-se como mediana, a m´edia dos dois valores de posi¸c˜oes mais pr´oximas a (n + 1)/2.

Exemplo. Vamos calcular a mediana dos pesos ao nascer de bezerros, em kg, da ra¸ca Charoleza. Atrav´es do diagrama de pontos da figura 2.27, podemos observar que a dis- tribui¸c˜ao de freq¨uˆencias apresenta uma assimetria `a esquerda, nesse caso ´e recomend´avel o uso da mediana em preferˆencia `a m´edia. A posi¸c˜ao da mediana ´e dada por: i = (10 + 1)/2 = 5, 5. Na figura 2.27 est´a indicada esta posi¸c˜ao. Como a posi¸c˜ao ´e um n´umero fracion´ario, a mediana ser´a a m´edia aritm´etica entre os valores que ocupam a 5a _{e a 6}a _{posi¸c˜ao, ent˜ao,}

M d = (50 + 50)/2 = 50 kg.

Uma medida estreitamente relacionada com a mediana s˜ao os quartis. Embora n˜ao sejam medidas de tendˆencia central, ser˜ao aqui tratadas devido a semelhan¸ca com o c´alculo da mediana. Os quartis dividem um conjunto de dados em 4 partes iguais, do seguinte modo: aproximadamente 25% dos dados ser˜ao inferiores ao primeiro quartil (Q1), ou seja,

25% dos dados est˜ao localizados em posi¸c˜ao inferior ao primeiro quartil; 50% dos dados ocupam posi¸c˜ao inferior ao segundo quartil (M d), que ´e a mediana, e aproximadamente 75% dos dados ocupam posi¸c˜ao inferior ao terceiro quartil (Q3), portanto, 25% dos valores est˜ao

localizados em posi¸c˜ao superior ao terceiro quartil.

Defini¸c˜ao: dado um conjunto de dados ordenados, podemos obter, de forma aproximada, o primeiro quartil, (Q1), como sendo a mediana dos valores de posi¸c˜oes menores ou iguais

`a posi¸c˜ao da mediana. A mediana dos valores de posi¸c˜oes maiores ou iguais `a posi¸c˜ao da mediana corresponde ao terceiro quartil, (Q3).

Pesos ao nascer

38 42 46 50 54 58 62

Md

Q₃ Q₁

Figura 2.28: Diagrama de pontos para peso ao nascer da ra¸ca Charoleza - 1◦ _{e 3}◦ _quartis

bezerros da ra¸ca Charoleza. A posi¸c˜ao do elemento primeiro quartil ´e: i = (n + 1)/2 =

(5 + 1)/2 = 3, logo Q1 = 47Kg. O valor de n ´e igual a 5 pois temos cinco valores em

posi¸c˜ao menor ou igual `a posi¸c˜ao da mediana. A posi¸c˜ao do elemento terceiro quartil ´e: i = (n + 1)/2 = (5 + 1)/2 = 3, logo Q3 = 51Kg. Na figura 2.28 est˜ao indicados o 1◦ e o 3◦

quartil, juntamente com a mediana.

O c´alculo da mediana e dos quartis para um histograma ser˜ao feitos por meio de argu- mentos geom´etricos, atrav´es da proporcionalidade existente entre ´area e base de retˆangulos. Geometricamente, a mediana ´e o valor da abcissa que determina uma linha vertical que divide o histograma em duas partes de ´areas iguais, ent˜ao, 50% da ´area do histograma est´a abaixo da mediana e 50% da ´area est´a acima da mediana. Da mesma forma, o 1◦ _{quartil ´e o}

valor da abcissa que determina uma linha vertical que divide o histograma em duas partes de ´areas diferentes, ou seja, 25% da ´area est´a abaixo do 1◦ _{quartil e 75% da ´area est´a acima}

do 1◦ _{quartil. O terceiro quartil ´e o valor da abcissa que determina uma linha vertical que}

divide o histograma em duas partes de ´areas diferentes, ou seja, 75% da ´area est´a abaixo do 3◦ _{quartil e 25% da ´area est´a acima do 3}◦ _quartil.

Exemplo. Vamos encontrar os valores da mediana e dos quartis para a vari´avel rendi- mento de gr˜aos, em kg/ha, de h´ıbridos de milho. O histograma ´e dado na figura 2.15. A classe mediana ´e aquela cuja porcentagem acumulada ´e, de pelo menos, 50%, ent˜ao, no exem- plo, a mediana ´e um valor que encontra-se na terceira classe, cujos limites inferior e superior s˜ao: 4939 e 5422, respectivamente. Agora, vamos usar a regra da proporcionalidade, que ´e dada por:

5422 − 4939

40, 6 =

M d − 4939

9, 4 .

No lado esquerdo do sinal de igualdade, temos o limite superior (5422) subtra´ıdo do limite inferior (4939) da classe mediana, dividido pela porcentagem de observa¸c˜oes desta classe

(40,6). No lado direito do sinal de igualdade, temos um outro retˆangulo cuja ´area vale 9,4%, obtida da seguinte forma: somando-se as ´areas das classes anteriores `a classe mediana, temos 3,13+37,50=40,63%, assim, 50,0-40,6=9,4%; a base deste ” novo” retˆangulo ´e M d − 4939, cujo valor M d estamos interessados em determinar.

Obtemos o valor da mediana fazendo-se:

M d = 11, 8276(9, 4) + 4939 = 5050, 828 kg.

O c´alculo dos quartis ´e feito de maneira an´aloga ao c´alculo da mediana. A classe que cont´em o 1◦ _{quartil ´e aquela cuja porcentagem acumulada ´e de pelo menos 25%, no exemplo,}

o 1◦ _{quartil encontra-se na segunda classe, cujos limites inferior e superior s˜ao: 4456 e}

4939, respectivamente; a porcentagem de observa¸c˜oes nesta classe ´e de 37,5%. Pela regra da proporcionalidade encontramos:

4939 − 4456

37, 5 =

Q1− 4456

21, 9 ⇒ Q1 = 4738, 072 kg.

O valor 21,9 ´e obtido fazendo-se 25,0-3,1.

A classe que cont´em o 3◦ _{quartil ´e aquela cuja percentagem acumulada seja de pelo}

menos 75%, no exemplo, ´e a terceira classe, cujo limite inferior, superior e porcentagem de observa¸c˜oes valem: 4939, 5422 e 40,6, respectivamente. Aplicando a regra obtemos:

5422 − 4939

40, 6 =

Q3− 4939

34, 4 ⇒ Q3 = 5348, 241 kg.

Na figura 2.29 apresentamos o histograma da vari´avel rendimento de gr˜aos, em kg/ha, acompanhado dos quartis e mediana.

Finalmente, temos a moda (Mo), definida com o valor que ocorre com maior freq¨uˆencia num conjunto de dados. Pela pr´opria defini¸c˜ao, percebe-se que a moda pode n˜ao existir, pois pode n˜ao existir um valor mais freq¨uˆente que os demais, ou existindo, pode n˜ao ser a ´

unica, assim temos s´eries amodal, unimodal, bimodal, trimodal, etc.

Exemplo. Para os dados de pesos ao nascer de bezerros da ra¸ca charoleza temos duas modas: Mo1 = 50 e Mo2 = 51, portanto, a s´erie ´e bimodal. No caso do histograma, devemos

encontrar a classe modal, isto ´e, a classe que apresenta a mais alta freq¨uˆencia. A moda ´e por defini¸c˜ao o ponto m´edio dessa classe. A utilidade da moda ocorre quando num conjunto de dados, um, dois, ou um grupo de valores, ocorrem com muito maior freq¨uˆencia do que outros.

Rendimento médio (kg/ha) Freqüência absoluta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3,13% 37,5% 40,63% 9,37% 9,37% Q1=4738 Md=5051Q3=5348

Figura 2.29: Representa¸c˜ao geom´etrica da mediana, do primeiro quartil e do terceiro quartil