Concentração de tensão sobre as vigas

Dando continuidade aos estudos das diferentes geometrias das vigas, falta ainda determinar o parâmetro que une a rigidez do sistema com o deslocamento especificado. Esse parâmetro é a direção, sentido e a intensidade das forças que estarão agindo sobre um mancal de mola, principalmente nos pivôs elásticos.

Baseado na Figura 3.23, a viga circular efetiva representa uma das extremidades, sendo a configuração com maior rigidez. Também por ser a geometria mais utilizada, é a sobre a qual

13 _{Note que a equação está representada originalmente na forma de flexibilidade.}

12 10 8 6 4 2 0 -2 2 4 6 8 10 e Erro % 0,06 0,12 0,20 bx

existe mais estudos realizados, inclusive sobre as tensões, cujos cálculos foram previamente apresentados.

No outro extremo, está a viga tipo lâmina com ângulo reto que, por possuir uma maior flexão devido à sua baixa rigidez, permitem grandes deslocamentos, no entanto, com problemas de tensão localizada. Sendo assim, o compromisso entre rigidez e deslocamento está em uma geometria intermediária e ambos são unidos pelas tensões que aparecem na viga.

Xu e King (1996), baseados em vigas modeladas com o uso de elementos finitos, determinaram uma série de gráficos (Figura 3.29 à Figura 3.31) que mostram o comportamento da tensão em uma viga padrão em função da carga aplicada e dos seus parâmetros construtivos14. As vigas tipo lâminas modeladas possuem o canto arredondado com um raio Rf e as elípticas possuem o eixo menor (raio menor) caracterizado pela letra ay.

Devido aos parâmetros escolhidos, quando Rf ou ay são iguais à 5mm, a viga é do tipo circular efetiva e quando Rf ou ay são iguais a 0mm, a viga é completamente laminar, possuindo um ângulo de 90o. A configuração geométrica de cada viga modelada é mostrada na Tabela 3.1 e os gráficos obtidos através do uso de EF são apresentados em seguida.

Tabela 3.1 – Configuração geométrica das vigas modeladas

Viga 1 2 3 4 5 6 7 8

ay (mm) 0 0,25 0,5 1 2 3 4 5

Rf (mm) 0 - 0,5 1 2 - 4 5

Nesse estudo, os ensaios foram feitos para uma configuração de viga que possui uma relação de b na ordem de 0,1. Diferentes b irão produzir resultados diferentes, entretanto as conclusões tendem a se manter.

O gráfico da Figura 3.29 mostra a flexão da viga em função de uma força F aplicada e das modificações introduzidas na sua região central. O valor da tensão máxima foi gerado por um software de elementos finitos.

A partir dele, algumas conclusões foram obtidas (Xu; King, 1996)

Ø Com o incremento da flexibilidade, o que leva à uma maior flexão, ocorre também um incremento nas tensões máximas lidas.

14 _{Todas as vigas modeladas possuíam E= 208GPa, t=1mm, a}

x=5mm, b=5mm e um comprimento de 20mm entre um

extremo ao outro.

Para um raio igual a zero, a tensão “teórica” seria infinita. No entanto o software de EF fornece o valor menor, dependente da malha usada. Assim deve-se interpretar com cuidado os valores gerados nessa situação.

Figura 3.29 – Flexão da viga x Tensão máxima (Xu; King, 1996)

Ø Uma vez que o raio de arredondamento ou o eixo menor assumem o valor zero, a maior flexibilidade é atingida. No entanto, é nessa configuração que aparecem os pontos com maior concentração de tensão (veja também Figura 3.31).

Ø O melhor compromisso entre flexibilidade e baixa tensão é obtido pelas vigas tipo elípticas, cujo ponto ótimo aparece quando ay é aproximadamente 5% de R, ou seja, nesse caso,

quando ay=0,5mm.

Ø Vigas circulares verdadeiras possuem uma rigidez muito alta, o que as torna pouco aconselháveis para grandes deslocamentos, pois a tensão máxima sobe muito com o aumento da flexão.

A Figura 3.30 confirma que existe uma substancial queda na máxima tensão lida quando se usa um Rf ou ay de 0,5mm (5% de R ou 2ax), o que é uma informação de projeto útil, uma vez

que se podem diminuir as tensões sobre a viga sem comprometer muito o deslocamento.

Figura 3.30 – Tensão máxima sob diferentes forças de flexão (Xu; King, 1996)

0 0.5 1 2 3 4 5mm 0 2 4 6 8x10 2 _MPa Rf ou ay Tens ão máxi

ma Carga (N) Elíptico Laminar

40 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 x10-2mm x102MPa Rf=5 ay=5 Rf=5 ay=5 Rf=5 ay=5 Rf=0 ay=0 Rf=0 ay=0 Rf=0.5 ay=0.5 ay=0.5

Carga (N) Elíptico Laminar 40 30 10 Tensão má xi ma Rf=0.5 ay=0.5

Adicionalmente, para as vigas elípticas, observa-se que para uma força F constante, a máxima tensão varia pouco a partir de ay=0,5mm, o que significa que se pode aumentar a rigidez

da viga variando ay sem grandes preocupações com as tensões.

A Figura 3.31 apresenta uma melhor visualização de como a tensão concentrada se desloca com a mudança na geometria do pivô.

Figura 3.31 – Deslocamento da tensão máxima em função de ay (Xu; King, 1996)

Determinar a intensidade das forças que ocorrem no pivô é importante para saber se, dada uma condição de operação, ele resistirá. Assim, identificam-se possíveis situações onde ele se deformará plasticamente ou irá apresentar algum outro tipo de comportamento, como por exemplo flambagem15.

Para complicar ainda mais a situação, muitas vezes, essa viga estará sob a ação de um grande número de forças cíclicas, sendo então necessário determinar sua vida útil ou projetá-lo para uma vida infinita. Exemplificando, a Figura 3.32 apresenta um gráfico que ajuda a identificar a melhor geometria com base na tensão limite de fadiga (faixa superior). Para determinar o limite de resistência à fadiga, um pulso de tensão, sem causar tensão de cisalhamento, foi assumido. Então, uma tensão cíclica média sm igual à metade da tensão de

escoamento do material com uma tensão de amplitude sa igual à tensão de escoamento do

material foi aplicada à viga. De acordo com a equação abaixo, a primeira aproximação da tensão limite de fadiga sl é igual a aproximadamente metade da tensão de escoamento.

sa / sl£ 1 e (sa + sm)/s £ 1 Equação 3.21

A faixa abaixo da tensão limite de fadiga inclui um coeficiente de segurança de 1,5, o que caracteriza uma região onde se visa selecionar uma configuração para vida infinita.

15 _{Como exemplo, está o estudo de caso I do capítulo 7 do livro “Flexures”, que utiliza vigas tipo lâminas.}

ay = 0 ay=0,25 ay=0,5

Figura 3.32 – Relação entre tensão limite de fadiga e tensão máxima para diferentes configurações de vigas (Xu; King, 1996)

No caso específico do projeto de um porta-ferramenta, a existência de uma força cíclica tende a ser pequena, estando localizada predominantemente durante a etapa de set-up da ferramenta ou para pequenas correções entre uma usinagem e outra.

Vibrações decorrentes da usinagem também ocorrem, no entanto, são de baixíssima amplitude, não sendo uma fonte de problema especificamente para a diminuição da vida útil do porta-ferramenta.

Partindo da idéia de que o uso de elementos flexíveis são mais comuns no sistema de microposicionamento da ferramenta, quanto melhor for o sistema de macroposicionamento da ferramenta, menor será o deslocamento necessário do sistema de ajustagem fina, o que implica pequenas flexões e, conseqüentemente, baixas tensões, permitindo o uso de configurações mais rígidas, como as vigas circulares.