Em nossa investigação, por duas vezes, estudamos um grupo de licenciandos em matemática submetidos a uma prática de ensino em Combinatória Elementar. Na primeira, consideramos um grupo imerso em uma situação tradicional de ensino. Na outra, repetimos o processo sob outra condição: os licenciandos foram “professores-em-ação”. Nas duas práticas, os sujeitos da pesquisa foram considerados em um mesmo momento de sua formação: o quarto período da licenciatura em Matemática na UFRPE. O estudo não teve o caráter comparativo, e sim o de indicar caminhos para uma melhor apreensão dos condicionantes que se impõem na construção de uma aprendizagem significativa, por parte dos licenciandos, naquele conteúdo, mais especificamente, na resolução de problemas a ele internos.
Inquietava-nos, como dissemos, a dicotomia saber pedagógico x saber específico. Já há algum tempo, os estudiosos da problemática levantada pelo processo de formação de professores dirigem seus questionamentos para análise dos saberes que incorporam tal formação. Nóvoa (1999, p. 25) afirma que a formação do professor “não se constrói por acumulação (de cursos, de conhecimentos, de técnicas), mas sim por meio de um trabalho de reflexividade crítica sobre as práticas e de (re)construção permanente de uma identidade pessoal”.
A citação acima remete-nos ao teórico tomado como base de nossa pesquisa: George Kelly. Poderíamos tê-la substituído pela metáfora do homem-cientista aplicada ao professor em formação: alguém que estaria a todo instante refazendo suas hipóteses sobre os atos de aprender e de ensinar, tentando prever e controlar toda sorte de eventos sobre estes atos, a ele relacionados.
Por outro lado, a investigação realizada no estudo-piloto confirmou a necessidade da segunda parte da pesquisa e foi importante em si por ter nos apontado uma outra dicotomia: saber formal x saber contextualizado. Todos os resultados formais indicados durante a prática sobre Arranjos, Permutações e Combinações foram insuficientes para que os alunos tivessem um ganho importante na aprendizagem da resolução de problemas combinatórios.
Courant (2000) fala na grave ameaça que esse formalismo matemático traz para a própria vida da Ciência. Podemos entender a idéia reinante por trás do que chamamos saber formal, aquela que tem dirigido as ações de ensino das disciplinas específicas no curso de Licenciatura em Matemática. Tal construção, também importante, não deve ser a causa suprema da formação do professor de Matemática.
O que tem ocorrido com o ensino de combinatória, em nossa opinião, é o deslocamento do estudo das ações de ensino que permitam ao aluno aprender a contar, em seus vários aspectos relacionados às operações fundamentais, para um ambiente formal de ensino, em que são criados conceitos (arranjos, combinações, permutações) os quais escondem os sentidos originais do processo de contar, como aqueles apontados por Loureiro (1997). Encontra-se aí uma das razões para o pouco sucesso mostrado pelos resultados na prática tradicional (Quadro 21).
Acreditamos que é sobre esses “sentidos originais” que devemos conduzir nossa intenção pedagógica para trabalhar a aprendizagem da resolução dos problemas de contagem, já no ensino fundamental. A pesquisa sobre quando e como tais sentidos surgem nas crianças e a confecção de técnicas didáticas para derivar daí processos mais gerais de contagem podem indicar a saída para retirar do ensino de matemática as dificuldades que a combinatória vem causando. Talvez seja esse um direcionamento em que, pedagogia e matemática, podem, conjuntamente, tornarem-se realizadoras de uma ação de ensino, extremamente relevante para os cidadãos em geral, e, em particular, para os futuros professores de Matemática.
Daí, um dos resultados que consideramos mais importantes de nossa pesquisa é o fato dela ter mostrado, principalmente durante a sua segunda parte, que o Princípio Multiplicativo deve ser considerado como uma das bases para fundamentar dentro do ponto de vista pedagógico a classe de problemas de contagem abordada pela Análise Combinatória, ratificando os resultados obtidos por Dornelas (2004) também quando os sujeitos da pesquisa são licenciandos. A análise das estratégias usadas para resolução dos problemas (Quadro 26), dos fragmentos de protocolo dos mapas conceituais dos alunos (Figuras 7, 8 e 9), dos resultados comparativos do pré-teste e pós-teste acentuados pela informação dos protocolos indicados nas Figuras 10, 11 e 12 e do próprio Encontro com o Acontecimento, levam-nos a essa conclusão.
Queremos acreditar que a contribuição dada pelo aluno Y ao formular a noção de desorganização durante o Encontro com o Acontecimento, traz um dado relevante tanto para nossa consideração pedagógica quanto para consideração matemática. Pedagogicamente tal contribuição aponta para um “sentido combinatório da divisão”, da mesma forma do “sentido combinatório da multiplicação” apontado acima. Matematicamente, fica a questão: é possível enunciar um princípio para a divisão que traduza o conceito de desorganização (desordenação) assim como o princípio multiplicativo traduz uma certa idéia de ordenação?
O uso do CEK para conduzir as ações da pesquisa durante a intervenção permitiu-nos implementar uma dinâmica condizente com as condições de reflexividade crítica e de (re)construção permanente supostas na Teoria dos Construtos Pessoais: nossa conferência participativa e a discussão sobre situações didáticas (Anexo 3) trouxeram considerações diversas sobre os atos de ensinar e de aprender, a relação entre esses atos, seus pressupostos epistemológicos, importância de se pensar a aprendizagem de um conhecimento específico incluído numa proposta científica para uma didática sobre ele e a necessidade de uma tomada de posição filosófica sobre essas considerações. Ainda mais, o formato imposto ao longo das etapas do CEK, requisitando tarefas de interação entre os alunos tais como: a formação dos grupos GM e GA, e a revisão construtiva em que um grupo elaborou e corrigiu uma avaliação para o outro grupo permite-nos falar em que o processo de organização da aprendizagem observada foi intrinsecamente colaborativo por parte dos alunos.
Finalizando, a dinâmica citada acima fez com que os alunos incorporassem de tal forma a idéia de agirem como se professores fossem, permitindo os bons resultados indicados no Quadro 29, e atestando afirmativamente o problema que pretendíamos resolver.
REFERÊNCIAS
ANDRADE, S. Ensino-aprendizagem de matemática via resolução, exploração, codificação e descodificação de problemas. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1998.
AUSUBEL, D. P. Psicologia educativa: um ponto de vista. Trad. Roberto Helier Dominguez do original Educational Psychology: A Cognitive View. México: Editorial Trillas, 1978.
BACHX, A. de C.; POPPE, L.M.; TAVARES, R.N. O prelúdio à analise combinatória. São Paulo: Nacional, 1975.
BARBOSA, R.M. Combinatória e Probabilidades. São Paulo:Nobel, 1970
BASTOS, H.F.B.N. Changins teacher´s practice: towards a constructivist methodology of physics teaching. Tese de doutorado. Inglaterra: University of Surrey, Londres 1992.
BERTONI, N.E. A experiência da Licenciatura em Matemática na Universidade de Brasília. In: Anais do I Seminário sobre Licenciaturas: A articulação teoria e prática na formação dos professores. UFF, Rio de Janeiro, 1994.
BICUDO, M.A.V. (Org) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999.
BICUDO, M.A.V. ; GARNICA, A.V. Marafioti, Filosofia da educação matemática. 3ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
BOYER, C. B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomilde. São Paulo: Edgard Blücher, Ed da Universidade de São Paulo, 1974.
BOGDAN, R.C; BIKLEN, S. K. Investigação qualitativa em educação matemática: uma introdução à teoria e aos métodos. Lisboa: Porto Ed. 1994.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais, 1. Bases Legais. Brasília: 1997.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais, 3. ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: 1999.
BROUSSEAU, G. Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des Mathématiques, (1970-1990) Eds. & Transl: Nicolas Balacheff, et al. Math. Educ. Lib., v. 19, Kluwer Academic, 1997.
CASTRUCI, B. Elementos de teoria dos conjuntos. São Paulo: GEEM, 1978.
CHEVALLARD, Y.; BOSCH & M. GASCÓN, J. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2001.
CLONIGER, S.C. Teorias da personalidade. São Paulo: Martins Fontes, 1999.
COSTA, N.C.A. da Introdução aos fundamentos da matemática. 2ª ed. São Paulo, Hucitec, 1977.
CUNHA, M.I.A. O professor universitário na transição de paradigmas. São Paulo: J.M. Editora, 1998.
D’AMBRÓSIO, B.S. Formação de professores de matemática para o século XXI: o grande desafio. In Pro-Prosições. São Paulo v.4, nº 1. p.35-41. , 1993
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 1991.
DANTE, L. R. Matemática, contexto & aplicações. São Paulo: Ática, 2000.
DORNELAS, A.C.B. O princípio multiplicativo como recurso didático para a resolução de problemas de contagem. 2004. 128f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Ciências) – Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2004.
ECHEVERRÍA, M. P. P. A solução de problemas em matemática. In: POZO, J. I. (Org.) et al. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Tradução Beatriz Affonso Neves. Porto Alegre: ArtMed, 1998.
ECHEVERRÍA, M. P. P. e POZO, J. I. Aprender a resolver problemas e resolver problemas para aprender. In: POZO, J. I. (Org.) et al. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Tradução Beatriz Affonso Neves. Porto Alegre: ArtMed, 1998.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues – Campinas, São Paulo: Ed. da Unicamp, 2004.
FARIAS, S. Curso de álgebra. V. 2. Porto Alegre: Globo, 1967
FIORENTINI, D. Rumos da pesquisa brasileira em educação matemática: o caso da produção científica em cursos de pós-graduação. Tese (Doutorado) – Faculdade de Educação – Campinas, 1994.
FREITAS, J. L. M. Situações didáticas. In Educação Matemática – Uma introdução. Série Trilhas, São Paulo: EDUC, 1999.
GAZIRE, E. S. Resolução de problemas: perspectivas em educação Matemática. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 1989.
HALMOS, P.R. Teoria ingênua dos conjuntos. São Paulo: Polígono, 1982.
HAZZAN, S. ; IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: combinatória e probabilidade. São Paulo: Atual, 1993.
KELLY, George A. A theory of personality: The Psychology of Personal Constructs. New York:. The Norton Library, 1963.
LE BLANC, J. F. You Can Teach Problem Solving. Arithmetic teacher., p. 16-20. Nov. 1977
LIBÂNEO, J.C. Didática. São Paulo: Cortez, 1994. 263 p. (Coleção Magistério).
LIMA et al. A Matemática para o ensino médio, vol 2. Rio de Janeiro: SBM, 2004.
LOUREIRO, C. Multiplicação, combinatória e desafios. Educação e Matemática, ano 10, n.44 p 14-20, 1997.
MEYER, P. Probabilidade - aplicações à estatística. 2 ed. São Paulo: LTC, 1983.
MINGUET, P.A. A construção do conhecimento na educação; trad. J.A. Llorens. Porto Alegre: Artmed,1998.
MINAYO, M.C.S. (Org) O desafio do conhecimento: pesquisa qualitativa em saúde. São Paulo: Hucitec, 1998.
MIZUKAMI, M.G.N. Ensino: as abordagens do processo. São Paulo: EPU, 1986.
MOREIRA, M. A. Teorias da aprendizagem. São Paulo. EPU, 1999.
MORGADO, A. C. O.;et al. Análise combinatória e probabilidade: Coleção Professor de Matemática. São Paulo: SBM, 1991.
NOVAK, J. D. ; GOWIN, D. B. Aprendiendo a aprender. Barcelona, España: Martinez Roca, 1988.
NÓVOA, A. (Org) Profissão professor. Porto: Porto Editora, 1999.
ONUCHIC, L.R. Ensino-aprendizagem da matemática através da resolução de problemas. In BICUDO, M.A.V. Pesquisa em educação matemática: Concepções e perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999. p. 199-218.
PERNAMBUCO. Secretária de Educação e Cultura. Rumo à universidade.(Módulo 3.) São Paulo: AESP, 2005.
RODRIGUEZ, J.A. História de la matemática. Madrid: Akal, 1989.
ROMANELLI, O.O. História da educação no Brasil (1930/1973). 9° ed. Rio de Janeiro: Vozes, 1978.
STÁVALE, J. Exercícios de matemática: Quinto Ano. São Paulo: Nacional, 1939.
TAVARES, C.S. ; BRITO, F.R.M. Contando a história da contagem. Revista do professor de matemática.. p.34-37 nº 57, São Paulo, 2005