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(1)1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS - MESTRADO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO. José de Arimatéa Rocha. Investigando a Aprendizagem da Resolução de Problemas Combinatórios em Licenciandos em Matemática. Recife 2006.

(2) 2. José de Arimatéa Rocha. Investigando a Aprendizagem da Resolução de Problemas Combinatórios em Licenciandos em Matemática. Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências (PPGEC), da Universidade Federal Rural de Pernambuco, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências. José de Arimatéa Rocha Orientadora: Prof.ª Heloísa F. B. N. Bastos, PhD. Co-Orientadora: Prof.ª Claúdia H. Dezotti, PhD.. Recife 2006.

(3) 3. Ficha catalográfica Setor de Processos Técnicos da Biblioteca Central – UFRPE R672i. Rocha, José de Arimatéa Investigando a aprendizagem da resolução de problemas combinatórios em licenciandos em matemática / Jose de Arimatéa Rocha – 2006. 140f. : il. Orientadora : Heloisa Flora Brasil Nóbrega Bastos Dissertação (Mestrado em Ensino das Ciências) – Universidade Federal Rural de Pernambuco. Departamento de Educação.. CDD 378 1. Ensino superior 2. Combinatória 3. Construtos pessoais 4. Experiência de Kelly 5. Resolução de problemas I. Bastos, Heloisa Flora Brasil Nóbrega II. Título.

(4) 4. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS - MESTRADO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO José de Arimatéa Rocha. Investigando a Aprendizagem da Resolução de Problemas Combinatórios em Licenciandos em Matemática Dissertação defendida e aprovada pela banca examinadora composta pelos seguintes professores: ____________________________________________ Heloísa Flora Brasil Nóbrega Bastos, PhD. Orientadora _____________________________________________ Paulo Figueiredo Lima, PhD. 1º Examinador UFPE ___________________________________________ Josinalva Estácio Menezes, PhD. 2º Examinadora UFRPE ____________________________________________ Claudia Helena Dezotti, PhD. 3º Examinadora UFRPE Recife, Agosto de 2006.

(5) 5. RESUMO. Neste trabalho, estudamos a aprendizagem da resolução de problemas combinatórios por licenciandos do 4º período do Curso de Matemática da Universidade Federal Rural de Pernambuco. Nossa pesquisa se desenvolveu em duas etapas: na primeira etapa investigamos essa aprendizagem quando os alunos foram submetidos a uma prática tradicional. Na segunda etapa usamos o Ciclo da Experiência de Kelly para organizar ações que conduzissem os alunos ao planejamento do ensino e apresentação de uma aula em Combinatória agindo como se professores fossem. Constatamos que, em geral, os licenciandos têm dificuldades na resolução de problemas combinatórios construindo pouca aprendizagem durante a prática tradicional. Os resultados também mostram que o uso do ciclo kellyano incorporam possibilidades de práticas que induzem ao raciocínio reflexivo por parte dos alunos e a interação entre eles. Mais ainda, ao conduzir os alunos para agirem como se professores fossem, elaborando um plano de ensino e uma aula sobre Combinatória, o CEK proporcionou que eles incorporassem de modo significativo à aprendizagem de resolução de problemas combinatórios..

(6) 6. ABSTRACT. In this work, we study the learning of the resolution of combinatories problems for students of 4th period of the Course of Mathematics of the Universidade Federal Rural de Pernambuco. Our research was developed in two stages: In the first stage we investigate this learning when the pupils were submitted to a traditional education practice. In the second stage we use the Kelly Experience’s Cycle to organize action that the pupils were leading so that they planned education and they presented a lesson on Combinatories, acting as if teachers were. We evidence that in general the students have difficulties in the resolution of combinatories problems constructing little practical learning during the traditional practice. The results also show that the use of the kellyan cycle incorporates possibilities of practical that induce the reflective reasoning on the pupils and their interactive behavior. Yet, when leading the pupils to be acted as if teachers were elaborating a plan of theaching and a lesson on Combinatories, the CEK provided that they incorporated in significant way to the learning of resolution of combinatories problems..

(7) 7. SUMÁRIO. 1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................14 1.1.. Problema.....................................................................................................................17. 1.2.. Hipótese ......................................................................................................................18. 1.3.. Objetivos.....................................................................................................................19. 1.3.1 Objetivo Geral ...........................................................................................................19 1.3.2. Objetivos Específicos ...............................................................................................19 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .........................................................................................21 2.1. A Teoria Combinatória................................................................................................21 2.1.1. Histórico e Relevância da Combinatória para o Ensino ...........................................21 2.1.2. Análise Combinatória Simples .................................................................................25 2.1.3. A Resolução de Problemas Combinatórios ..............................................................28 2.2. A Teoria dos Construtos Pessoais de G. Kelly............................................................32 2.2.1. Considerações Gerais ...............................................................................................32 2.2.2. A Teoria Básica ........................................................................................................34 2.2.3. O Corolário da Experiência ......................................................................................35 3. METODOLOGIA...................................................................................................................38 3.1. O Estudo Piloto: O Primeiro Momento ...........................................................................40 3.2. Intervenção Segundo o Ciclo da Experiência de Kelly: O Segundo Momento...............43 4. ANÁLISE DE RESULTADOS..............................................................................................48 4.1. Análise do Estudo Piloto .................................................................................................48 4.1.1. Pré-teste: considerações e análise preliminar. ..............................................................48 4.1.2. Acompanhando a Prática Tradicional...........................................................................53 4.1.3. O Pós-Teste ..............................................................................................................58.

(8) 8. 4.1.4. Resultados e Discussão.............................................................................................61 4.2. Análise da Intervenção Segundo CEK ............................................................................65 4.2.1. Antecipação (Primeira Parte) ...................................................................................66 4.2.2. Antecipação (Segunda Parte)....................................................................................70 4.2.3. Investimento .............................................................................................................71 4.2.4. Encontro com o Acontecimento ...............................................................................80 4.2.5. Confirmação ou Refutação .......................................................................................86 4.2.6. Revisão Construtiva..................................................................................................88 4.2.7. Resultados e Considerações Finais...........................................................................90 5. CONCLUSÕES ......................................................................................................................95 REFERÊNCIAS .........................................................................................................................98 7. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA......................................................................................103 Anexo 1: Organograma da Licenciatura em Matemática da UFRPE...................................106 Anexo 2: Relação de Problemas Propostos durante o Estudo-Piloto ...................................107 Anexo 3: Texto sobre Situações Didáticas ...........................................................................109 Anexo 4 – Artigo: O Uso do Ciclo da Experiência de Kelly como Implementador de uma Prática de Ensino para Licenciandos em Matemática ..........................................................116 •. Antecipação (Primeira Parte) ..................................................................................120. •. Antecipação (Segunda Parte)...................................................................................121. •. Investimento..............................................................................................................121. •. Encontro com o Acontecimento................................................................................123. •. Confirmação ou Refutação.......................................................................................124. •. Revisão Construtiva..................................................................................................125. Apêndice 1: Pré-Teste e Pós-Teste Aplicados no Projeto Piloto..........................................131 Apêndice 2: Plano de Curso da Disciplina Fundamentos de Matemática............................134.

(9) 9. Apêndice 3: Plano de Observação da Prática Pedagógica durante o Projeto Piloto.............137 Apêndice 4: Pré-Teste e Pós-Teste da Intervenção ..............................................................139.

(10) 10. AGRADECIMENTOS. Aos meus pais Inácio e Josefa (in memorian) influência maior em minha existência e aos meus irmãos Sebastião, Socorro, Carlos e Severino pelas trocas constantes na condução dessa existência. À minha esposa Áurea e aos meus filhos Cristiane, Hugo e Eudes, enriquecedores participativos... Às professoras Heloísa Flora Brasil Nóbrega Bastos e Claudia Helena Dezotti pela competência e dedicação com que me orientaram. Ao professor Paulo Figueiredo Lima e à professora Josinalva Estácio Menezes pelo apoio e sugestões decisivos na elaboração dessa dissertação. Aos nossos amigos e amigas do Departamento de Matemática da UFRPE e em especial aos nossos alunos. Aos professores e professoras do PPGEC e aos amigos e amigas de cujo convívio me apropriei ao longo da realização do mestrado. A todos que, presentes ou não, instigam minha curiosidade e propiciam possibilidades de autotransformação de meu estar no mundo..

(11) 11. LISTA DE QUADROS. Quadro 1- Axiomática “Escondida” em um texto de Matemática .............................................28 Quadro 2 - Direções dos Eixos de Pesquisas..............................................................................29 Quadro 3 - Resumo da Teoria de Kelly......................................................................................34 Quadro 4 - Temas desenvolvidos na pesquisa............................................................................41 Quadro 5 - Cronograma da intervenção segundo CEK ..............................................................44 Quadro 6 - Ementa da disciplina Fundamentos de Matemática 2005.2 .....................................45 Quadro 7 - Resultados obtidos na questão 1 do Pré-Teste. ........................................................49 Quadro 8 - Resultados Percentuais da questão 1 do Pré –Teste.................................................49 Quadro 9 - Resultados da questão 2 do Pré-Teste:....................................................................50 Quadro 10 - Resultados percentuais da questão 2 do Pré-Teste:...............................................51 Quadro 11 - Resultados dos Problemas propostos no Pré-Teste. ...............................................52 Quadro 12 - Notas Simuladas.....................................................................................................53 Quadro 13 - Calendário das Atividades......................................................................................53 Quadro 14 - Ficha de observação de Prática Educativa (1° Encontro) .....................................54 Quadro 15 - Ficha de observação de Prática Educativa (2° Encontro) ......................................55 Quadro 16 - Ficha de observação de Prática Educativa (3° Encontro) ......................................56 Quadro 17 - Ficha de observação de Prática Educativa (4° Encontro) ......................................57 Quadro 18 - Resultados dos índices observados .......................................................................58 Quadro 19 - Resultados do Pós-teste em comparação com o Pré-teste durante o EstudoPiloto...........................................................................................................................................59 Quadro 20 - Concepções dos sujeitos.........................................................................................61 Quadro 21 - Simulação de notas no pré-teste e pós-teste no Estudo-Piloto:..............................63 Quadro 22 - Resultado do pré-teste da intervenção....................................................................67.

(12) 12. Quadro 23 - Estratégias de Resolução de Problemas por aluno segundo a categorização adotada........................................................................................................................................68 Quadro 24 - Percentual de acerto ou erro por questão segundo estratégia adotada. ..................69 Quadro 25 - Aula expositiva ocorrida em 20/09/2005 ..............................................................72 Quadro 26 - Inventário dos resultados obtidos na terceira etapa do investimento ....................79 Quadro 27 - Critérios de Análise para a Seqüência de Ensino apresentada pelos Sujeitos da Pesquisa ......................................................................................................................................81 Quadro 28 - Descrição da aula do Encontro com o Acontecimento ..........................................83 Quadro 29 - Pré-Teste X Pós-Teste da intervenção segundo o CEK .........................................86.

(13) 13. LISTA DE FIGURAS. Figura 1 - Stomachion ................................................................................................................22 Figura 2 - Mapa da Organização interna de uma Teoria Matemática ........................................26 Figura 3 - Esquema da Árvore Combinatória.............................................................................30 Figura 4 - Ciclo da Experiência de Kelly ...................................................................................36 Figura 5 - Esquema do conteúdo trabalhado ..............................................................................42 Figura 6 - Mapa Conceitual Visto no Segundo Encontro do Investimento................................74 Figura 7 - Fragmentos de Protocolo 1 (Mapa Conceitual do Aluno B) .....................................75 Figura 8 - Fragmentos de Protocolo 2 (Mapa Conceitual do Aluno A) .....................................76 Figura 9 - Fragmentos de Protocolo 3 (Mapa Conceitual do Aluno C) .....................................76 Figura 10 - Fragmentos de Protocolo 4 (Resultados de D no problema 4 do pré-teste e do pósteste) ...........................................................................................................................................87 Figura 11 - Fragmentos de Protocolo 5 (Resultados de F no problema 5 do pré-teste e do pósteste) ...........................................................................................................................................87 Figura 12 - Fragmentos de Protocolo 6 (Resultados de A no pré-teste e pós-teste) ..................88.

(14) 14. 1. INTRODUÇÃO. Como docente no Ensino Superior, temos observado que a departamentalização na Universidade tem provocado uma certa falta de interação entre aqueles departamentos responsáveis pela formação do licenciando. Assim é que, por exemplo, na Universidade Federal Rural de Pernambuco, o licenciando em Matemática convive com disciplinas vinculadas ao Departamento de Educação, que lhes propiciam o saber pedagógico, e disciplinas ligadas ao Departamento de Física e Matemática, as quais cuidam do saber matemático, considerado necessário em sua formação. Esta “separação” departamental, em nossa observação, tem desencadeado no futuro professor, a prática de repetir o modo como vivenciou sua aprendizagem matemática nos bancos escolares da Universidade, muitas vezes deixando de lado os aportes sobre as novas teorias de aprendizagem que são trabalhadas no Departamento de Educação. D’Ambrósio (1993) fala numa visão absolutista que predomina no ensino de Matemática. Bertoni, ratificando essa nossa inquietação, considera tal separação como um ponto de estrangulamento “para operacionalização de uma proposta adequada de licenciatura em matemática” (BERTONI, 1994, p.13). Atualmente, a concepção de educação como construção humana, baseada em posturas filosóficas de diversas perspectivas epistemológicas, tem gerado teorias que se propõem a descrever condicionantes para essas construções. Tais teorias determinam vários focos de análise relativos ao processo ensino-aprendizagem os quais abordam questões concernentes ao trio aluno x saber x professor ou aos vários ambientes em que cada um desses elementos (ou de sua reunião) se coloca. Em vista disso, um novo campo do saber humano tem tomado forma a partir da necessidade de determinar ações para o ensino de matemática com base científica: A Educação Matemática. Bicudo, em um texto abrangente sobre a filosofia da Educação Matemática, coloca que “... a Educação Matemática é um todo que se mostra de diferentes modos: na rua, na escola, nas teorias, na cultura, no currículo, na legislação, na política educação, na mídia e na multimídia”(BICUDO, 1999, p.26)..

(15) 15. Com tais considerações, Bicudo institui esse campo de conhecimento que, para D’Ambrósio (1993) já tinha caráter universal a partir de meados do século passado. Ainda, D’Ambrósio, ressalta a dependência que a aprendizagem desta disciplina tem da postura do professor, seu companheirismo com os alunos na busca do conhecimento matemático, “um conhecimento que dia-a-dia se renova e se enriquece pela experiência vivida por todos os indivíduos do planeta” (D’AMBRÓSIO, 1993 p.14). Destaca-se, pois, a importância da formação do professor como objeto de estudo da matemática. D’Ambrósio, no mesmo texto, cita uma pesquisa realizada por professores da UnB1 em que elaboraram-se várias diretrizes para abranger tal objeto. Dentre elas, colocou-se os “estudos de como desenvolver, no futuro professor, conhecimentos substanciais e integrados, dentro da sua área de como ele poderá desenvolver esses conhecimentos e quais nos futuros alunos”. Dentro desta concepção situamos esta pesquisa. Em outra direção, ao longo de nossa prática esta docente, temos observado que muitas vezes produz um salto qualitativo em nosso saber matemático, indicando raciocínios antes não executados, provocando generalizações não notadas ou instigando novas formas de resolver problemas. Por exemplo, em Análise Combinatória o modelo teórico adotado para desenvolver o conteúdo parece ser insuficiente para que o licenciando enfrente com sucesso toda a carga de problemas que o tema propicia. Em nosso caso particular, apesar de termos compreendido o aspecto formal da teoria desde nossa formação, os aspectos de nossa aprendizagem relativos à resolução de problemas combinatórios foram desenvolvidos ao longo de nosso trabalho como professor no ensino médio, e como professor de futuros professores de matemática, não raro ocorrendo de perceber igual “síndrome” em nossos alunos. Para os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), um dos objetivos do Ensino Médio é o de “Desenvolver as capacidades de raciocínio e de resolução de problemas...” (BRASIL, 1999, p.254). Ora, uma das maiores classes de problemas que surge em matemática é a dos chamados problemas combinatórios. Esses, por sua vez, então na base da teoria da probabilidade, uma das mais importantes teorias matemáticas do ponto de vista de sua aplicação. Pode-se afirmar que não há nenhum ramo da ciência moderna a não fazer uso dos. 1. Universidade de Brasília.

(16) 16. cálculos combinatórios e probabilísticos. Este fato evidencia-se pela introdução de seu conteúdo na formação de biólogos, físicos, químicos, matemáticos, economistas, engenheiros, etc. Quanto aos livros didáticos, há uma tendência de se fazer preceder ao estudo de probabilidades, algum conteúdo de Combinatória. Barbosa (1970), em um texto produzido para o Grupo de Estudos do Ensino de Matemática, já associava esses dois conteúdos, propugnando “dar ênfase aos tópicos cujo professorado brasileiro já aprovou, como é o caso das árvores de possibilidades e as regras básicas do cálculo combinatório”(p.5). Recentemente, Lima et al (2004) contemplam o conteúdo de matemática discreta para o ensino médio pondo Análise Combinatória no capítulo 4 para em seguida, no capítulo 5, estudar Probabilidades. Também, livros de cálculo das probabilidades do ensino superior com Meyer (1983) colocam um capítulo de pré-requisitos incluindo conteúdos da combinatória elementar. Por outro lado, o chamado “tratamento da informação” é considerado pelos PCN como um dos requisitos para a cidadania. Tal fato é confirmado quando fazendo referência aos dois aspectos básicos do ensino da Matemática, eles citam: “... um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, quadros, figuras) e o outro consiste em relacionar essas representações com os princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada levando-se o aluno a “falar” e “escrever” sobre matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar os dados...” (BRASIL, 1997, p.19). Claramente, um dos pré-requisitos para o tratamento da informação é o raciocínio combinatório. Os fatos acima atestam a importância do ensino de combinatória. Noutra direção, uma tendência notada é que cada vez mais o conteúdo das noções de Combinatória e Probabilidade tem se deslocado para o 3º e 4º ciclos do ensino fundamental. Esse deslocamento, apesar de embrionário, parece indicar a retomada do ponto central do ensino deste conteúdo, qual seja, aprendizagem da noção de contagem em seus diversos enfoques. O grande número de pesquisas que estão sendo realizadas sobre o processo de ensino-aprendizagem de Combinatória tem-se direcionado quanto aos aspectos da aprendizagem e tendo como.

(17) 17. sujeitos, geralmente, alunos do ensino fundamental ou médio. O levantamento realizado por Fiorentini (1994) comprova esta afirmativa. Daí, nossa preocupação em investigar a situação desta aprendizagem nos licenciandos do curso de Matemática, futuros autores de seu ensino.. 1.1. Problema. Em qualquer relato sobre a concepção do trabalho do matemático, a resolução de problemas é parte essencial. Dois dos documentos mais antigos que registram a atividade matemática da humanidade são, de fato, coletâneas de problemas: O papiro de Moscou, datado de aproximadamente 1850 a.C., contendo 25 problemas, e o Papiro de Rhind com 85 problemas catalogados pelo escriba Ahmes por volta de 1650 a.C. (EVES, 2004). Em seu índice remissivo, o texto de Eves sobre Introdução da História da Matemática, relaciona mais de 50 itens a respeito da palavra problema, alguns trazendo referências a problemas do saber comum, como o “Problema da Coroa” ou o “Problema do Bambu Quebrado”, outros ligados ao saber matemático, como o “Problema de Plateau” ou o “Problema das Quatro Cores”, alguns deles geradores de vasta teoria matemática. Revistas científicas de matemática trazem, entre suas seções, uma dedicada aos problemas e os livros didáticos dessa disciplina coroam cada capítulo com uma lista de problemas, para resolução por parte dos alunos, como modo de confirmação do saber construído por eles. Na Educação Matemática, a resolução de problemas é tida como uma metodologia eficaz para o ensino de matemática (DANTE, 1991). Entretanto, pesquisas consideram ser mais fácil adquirir habilidade para calcular ou compreender um conceito do que para resolver problemas (LE BLANC, 1977). Ademais, tais pesquisas apontam na direção de que o conhecimento formal do conteúdo matemático é insuficiente para guiar o aluno na resolução de problemas, como ratifica Echeverria (1998) ao dizer que “no caso dos problemas não basta conhecer uma determinada técnica ou um determinado algoritmo para usá-los na tarefa”. Diante das considerações acima, pensamos investigar a resolução de problemas combinatórios por parte dos licenciandos em Matemática. Ora, nossa prática pessoal tem mostrado que o modo tradicional do ensino desse conteúdo matemático tem provocado pouco sucesso em sua aprendizagem por parte dos alunos. Daí, por estarmos interessados em realizar tal.

(18) 18. investigação com licenciandos em matemática, pensamos fazê-lo em um ambiente em que os próprios licenciandos fossem autores do ensino daquele conteúdo de um modo ativo e que incorporasse, de alguma forma, a dinâmica pressuposta nesse processo. Isto é, o que tomamos como problema é o de verificarmos se: Pode uma simulação da prática docente por parte de licenciandos de matemática desenvolver nos mesmos a aprendizagem na resolução de problemas combinatórios? Daí, além de organizar essa prática docente, o que implicava determinar procedimentos para a sua realização, nós tínhamos que nos posicionar sobre qual teoria de aprendizagem iríamos situá-la. Escolhemos como tal a Teoria dos Construtos Pessoais de George Kelly. Essa escolha se deveu não só pela nossa afinidade sobre os pressupostos epistemológicos desta teoria, de sua concepção de aprendizagem, como também do fato de que ela nos fornece, um modelo de como dirigir as ações de ensino: O Ciclo da Experiência de Kelly. Claro há uma hipótese geral por traz dessa tomada de posição, que passamos a enunciar.. 1.2.Hipótese. Uma intervenção didática organizada segundo o Ciclo da Experiência de Kelly para que licenciandos em matemática elaborem um plano de ensino e apresentem uma aula sobre Análise Combinatória, agindo como se professores fossem, desenvolve nos mesmos uma aprendizagem significativa na resolução de problemas desse conteúdo..

(19) 19. 1.3.Objetivos. Como objetivo geral temos, pois:. 1.3.1 Objetivo Geral. Investigar a aprendizagem da resolução de problemas em Análise Combinatória por parte de licenciandos em matemática na UFRPE, submetidos a uma intervenção seguindo o Ciclo da Experiência de Kelly, que organize a simulação de uma prática docente nesse conteúdo pelos mesmos. Como objetivos específicos, nos propusemos:. 1.3.2. Objetivos Específicos. Avaliar a aprendizagem da resolução de problemas combinatórios nos licenciandos de matemática quando:. •. Eles são submetidos a uma prática tradicional de ensino;. •. Eles são submetidos a uma prática que seguindo o Ciclo da Experiência de Kelly os. conduzam a refletirem sobre o ensino de Análise Combinatória, a elaborarem um plano de ensino sobre esse conteúdo e a apresentarem uma aula sobre o mesmo, agindo como se professores fossem. Sentimos necessidade de avaliar a aprendizagem da resolução de problemas combinatórios em uma prática tradicional de ensino, para confirmar ou não nossa inquietação inicial sobre o que consideramos como “pouco sucesso” na aplicação de tal espécie de prática para o ensino de combinatória. Nosso plano de trabalho inclui uma fundamentação teórica (Capítulo 2) em que.

(20) 20. levantamos os aspectos teóricos relevantes para a pesquisa quanto ao conteúdo matemático em si (Teoria Combinatória) e ao conteúdo que fundamenta nossa teoria de ensino (Teoria dos Construtos Pessoais de Kelly). No capítulo 3 indicamos a metodologia de abordagem da pesquisa, no capítulo 4, fizemos nossa análise de resultados e por fim, colocamos, no capítulo 5, as conclusões obtidas..

(21) 21. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA. Dois pólos de saber compõem a Fundamentação Teórica de nossa pesquisa: A Análise Combinatória e a Teoria dos Construtos Pessoais de Kelly, os quais passamos a resumir.. 2.1. A Teoria Combinatória. A seguir, após fazermos um certo histórico da Combinatória e defender sua relevância para o ensino, delimitamos o conteúdo dessa disciplina a ser trabalhado na pesquisa e elaboramos algumas considerações sobre a resolução de problemas em Combinatória Simples, indicando nossa visão sobre a temática.. 2.1.1. Histórico e Relevância da Combinatória para o Ensino. De um modo bem elementar, a combinatória é o ramo da matemática responsável pela definição, classificação e resolução de problemas de contagem. Está, pois, incluída em um universo matemático ao qual o indivíduo tem acesso desde o início de sua formação escolar. Tanto é assim que um dos objetivos gerais para o Ensino Fundamental é que o aluno venha a: “...fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;” (BRASIL, 1999, p. 51). Especificamente, as recomendações dos PCN determinam que “...relativamente à combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações problemas que envolvam combinações, arranjos, permutações e, especificamente, o princípio multiplicativo da contagem” (Idem, p. 57)..

(22) 22. Registros históricos dedicam a Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) preocupações combinatórias. É dele a divulgação do stomachion, um aparente jogo de montar formado por um quadrado e quatorze peças a serem encaixadas nele, conforme Figura 1 abaixo: Figura 1: Stomachion. Fonte: (TAVARES & BRITO, 2005, p. 34). Segundo o historiador matemático R. Nietz, da Universidade de Stanford, Califórnia, a idéia de Arquimedes era determinar o número de formas distintas de encaixe das peças (TAVARES & BRITO, 2005). Modernamente, a Teoria Combinatória remonta às idéias dos matemáticos Blaise Pascal (1623 – 1662) e Pierre de Fermat (1601 – 1665) sobre a resolução de problemas relacionados a jogos de azar. O chamado “triângulo de Pascal”, já conhecido na Arábia no século XI, é usado por Pascal para derivar resultados sobre o desenvolvimento do binômio (a + b)n, com n natural, sendo generalizado por Newton em 1676, para n racional (BOYER, 1974). Um passo importante para o desenvolvimento dessa matemática é dado então com a organização da Teoria das Probabilidades por, entre outros, Euler (1710 – 1761), Laplace (1749 – 1827) e Dirichlet (1805 – 1859), elaborador do simples, mas criativo, Princípio das Gavetas. Nascida em grande parte no seio de problemas aplicados, como o famoso problema das quatro cores, a Combinatória tomou corpo de modo a ser uma das mais profícuas teorias matemáticas do mundo moderno, relacionando-se com a Topologia, a Teoria dos Grafos, a Computação, a Criptografia, a Estatística etc, tanto no modo puro como no modo aplicado à construção do saber matemático (DIEUDONNÉ, 1990)..

(23) 23. Apesar de não ser objetivo de nosso trabalho tratar dos aspectos relativos à história desse conteúdo no currículo escolar, consideramos importante uma reflexão sobre tal temática, visando estabelecer ainda mais sua relevância, tendo em vista nosso objetivo. Diante do vasto universo histórico da educação no Brasil, achamos conveniente situar nossas considerações após a chamada Reforma Francisco Campos, realizada após 1930, durante o Governo Provisório de Getúlio Vargas. Em decreto-lei de n° 19890 de 18/04/1931, o então Ministro da Educação e Saúde, Sr. Francisco Campos, propôs a organização do ensino secundário, quebrando a chamada tradição dos cursos preparatórios na estrutura de ensino no Brasil. O ensino secundário então ficou dividido em dois ciclos: o fundamental, com cinco anos, e o complementar, com dois anos. A matemática compõe os sete anos do ensino secundário, à exceção dos candidatos que desejassem concorrer para o ingresso nos cursos de Direito (ROMANELLI, 1978). Uma boa transcrição da Matemática para o ciclo fundamental encontramos em parte da obra do Professor Jacomo Stávale, publicada pela Companhia Editora Nacional durante as décadas de 30, 40 e 50 do século passado. Em seus “Exercícios de Matemática: Quinto ano”, para o ano de 1939, encontramos problemas sobre Permutações, Arranjos e Combinações Simples. Vejamos alguns exemplos: “1.Quantas permutações podemos efetuar com as 10 letras da palavra Pernambuco, de modo que as quatro vogais fiquem sempre na mesma ordem, a saber: e,a,u,o? 2.De quantos modos diferentes 8 navios podem entrar em um porto, um depois do outro? 3.Um Congresso Legislativo é constituído por 12 deputados governistas e 7 oposicionistas. De quantos modos se pode organizar uma comissão com 3 governistas e 2 oposicionistas?” (STÁVALE, 1939, p. 12-14).. Também, a Álgebra Elementar da Coleção FTD (Com imprimatur: São Paulo, 2 de junho de 1938; Mons Ernesto de Paula), inclui em seu Livro V, Capítulo I o seguinte conteúdo: “LIVRO V – BINÔMIO E APLICAÇÕES CAPÍTULO I – Binômio de Newton...............................................284 I – Cálculo do número dos arranjos...................................285 II – Cálculo do número de permutações..............................287 III – Cálculo do número das combinações...........................288 IV – Binômio de Newton.....................................................290 V – Triângulo de Pascal.......................................................295” (PAULA, 1938, p.598)..

(24) 24. Em 1942 foi publicada a Lei Orgânica do Ensino Secundário, por iniciativa do então Ministro Gustavo Capanema, durante a vigência do Estado Novo. Foram criados o ginásio com quatro anos e o colegial (científico ou clássico) com três anos, ficando o assunto de Combinatória sendo lecionado durante o segundo ano do Científico. Livros como o Curso de Álgebra de Farias (1967) atestam a manutenção desse conteúdo, sem alteração em sua formatação. Até mesmo a reforma educacional determinada pela Lei 5692 de 11/08/1971 não investiu em nenhuma modificação, parecendo ser a Combinatória, assunto a ser mantido no mesmo padrão temporal do conteúdo matemático elementar. O chamado movimento pela Matemática Moderna, que teve seu auge no Brasil nos anos 1970-1980, empreendeu uma grande modificação na tentativa de melhorar o ensino de Matemática, fato que implicou em uma certa modificação para o ensino de Combinatória, infelizmente, com muita ênfase na formalização do conteúdo e pouco esforço no direcionamento para efetiva aprendizagem do aluno. Na próxima seção, faremos uma análise desta influência de modo mais particular. A partir de 1982, a Sociedade Brasileira de Matemática direcionou mais efetivamente suas preocupações para o ensino, mantendo a Revista do Professor de Matemática e publicando textos dirigidos a essa categoria. No prefácio do volume dois da coleção “A Matemática do Ensino Médio” vê-se um pouco da linha de ação adotada: “O programa de Matemática da segunda série do Ensino Médio tem dois temas centrais: o estudo de Matemática Discreta e a introdução à Geometria Espacial. É comum e natural que o aluno sinta dificuldades iniciais em ambos os temas. Alguns tópicos da Matemática Discreta – Análise Combinatória, por exemplo – utilizam técnicas bem diferentes daquelas a que o aluno está acostumado. Nesses tópicos, o aluno precisa colocar em jogo seu raciocínio crítico e criativo com muito mais freqüência do que nas séries anteriores. Por outro lado, a Geometria Espacial envolve um esforço de imaginação bastante superior ao da Geometria Plana, principalmente devido às limitações causadas pela representação bi-dimensional das figuras. Para ajudar os alunos a superar estas dificuldades, é fundamental que os professores tenham um bom domínio do material a ser coberto. Não é suficiente que o professor simplesmente saiba resolver os problemas comumente apresentados no livro-texto. Sem uma orientação adequada, corre-se o risco de transmitir para os alunos a idéia de que esses assuntos requerem o uso de um enorme manancial de truques, reforçando a idéia que a Matemática é um assunto difícil e exclusivo de uns poucos. (LIMA et al, 2004, prefácio). Sem dúvida, essa é uma orientação mais adequada para o tratamento matemático da combinatória elementar. Contudo, no nosso modo de entender, o pressuposto filosófico.

(25) 25. adotado está centrado mais no objeto da relação básica do conhecimento sujeito x objeto, ou seja, o conhecimento matemático em si. Outras preocupações devem ser dirigidas, para melhor compreensão desta relação, o que, felizmente, vem sendo feito no Brasil, pelos Centros de Estudos em Educação Matemática, existentes em diversas Universidades, bem como pelo trabalho das diversas Sociedades de Educação Matemática já em funcionamento. A própria existência dos PCN aponta na direção de uma atuação progressiva na utilização das técnicas de contagem, reivindicando sua utilização para níveis mais elementares no ensino.. 2.1.2. Análise Combinatória Simples. Para esta pesquisa, o que estamos chamando de Combinatória Simples reduz-se apenas ao estudo dos chamados agrupamentos simples, em que não ocorrem repetições de elementos. O cenário matemático básico é simples nos moldes do que ocorre em Dante (2000), por exemplo. A partir dos conceitos básicos de agrupamentos (conjuntos, seqüências ou uplas) e dos chamados princípios fundamentais de contagem (Princípio Multiplicativo e Princípio Aditivo) infere-se o cálculo do número de certos tipos de agrupamentos chamados Arranjos, Permutações ou Combinações Simples. A técnica central deriva da noção de fatorial de um número natural. Uma série de problemas é resolvida ou proposta, em geral em contextos não necessariamente advindos da matemática. O procedimento padrão para apresentação de uma Teoria Matemática tem seguido as idéias acima, sendo originado por Euclides em seus “Os Elementos” do século III a.C., sendo chamado de método axiomático. Para o lógico Newton C. A. da Costa: Para se estudar uma teoria pelo método axiomático, procede-se assim: escolhe-se certo número de noções e de proposições primitivas, suficientes para sobre elas edificar a teoria, aceitando-se outras idéias ou outras proposições só mediante, respectivamente, definições e demonstrações; obtém-se, dessa maneira, uma axiomática material da teoria dada; deixam-se de lado os significados intuitivos dos conceitos primitivos, considerando-os como termos caracterizados implicitamente pelas proposições primitivas. Procuram-se, então, as conseqüências do sistema obtido, sem preocupação com a natureza ou com o significado inicial desses termos ou das relações entre eles existentes. (COSTA, 1977, p.31).

(26) 26. O uso de tal método constitui o que pode ser chamada concepção formalista da Matemática, que, segundo Costa “deseja transformar o método axiomático, de técnica que é, na essência da Matemática” (ibid, p.33). Assim, o modo como é apresentada uma Teoria Matemática pode ser resumido na forma representada na Figura 2 abaixo: Figura 2: Mapa da Organização interna de uma Teoria Matemática. Teoria. Conceitos. Primitivos. Enunciados. Definições. Axiomas. Teoremas. Nesse método, a forma básica de enunciado matemático é a implicação “se p ... então q”, tendo como alicerce lógico para seu desenvolvimento, entre outros, o famoso “princípio do terceiro excluído”. O matemático encontra aqui um modo “de economizar pensamento e sistematizar teorias”, (ibid, p.33). Uma tal padronização do conhecimento matemático tem evidente interferência na confecção do livro didático de matemática e na prática corrente da docência nessa disciplina, o que impõe ao aluno um discurso ao qual ele não está acostumado. Vejamos o que ponteiam os autores Bicudo & Garnica (2003) a esse respeito: “Na sala de aula de Matemática, posturas e valores, próprios do campo de pesquisa, insinuam-se, são reproduzidos, fortalecidos e legalizados. Há um deslizamento da prática pedagógica da Matemática, prevalecendo o discurso científico sobre o discurso pedagógico,..” (BICUDO & GARNICA, 2003, p.60)..

(27) 27. Ainda, “Nesse deslizamento de concepções, parece ser natural que a forma de argumentação utilizada para garantir a validade do conhecimento matemático seja, hegemonicamente, a prova rigorosa, a demonstração formal. Ela é o foco de convergência dos olhares quando da gestação, geração, análise e avaliação do conhecimento matemático, quer seja na prática científica, quer seja na prática pedagógica desenvolvida, principalmente nos cursos superiores”. (id. P. 60). Nossa prática de ensino tem mostrado que o enfoque no formalismo matemático é uma das principais razões do fracasso nessa disciplina. Para Morris Kline em artigo de 1970: “...a matemática é uma atividade cujo primado é da atividade criativa, e pede por imaginação, intuição geométrica, experimentação, adivinhação judiciosa, tentativa e erro, uso de analogias das mais variadas, enganos e confusões. Mesmo quando um matemático está convencido de que seu resultado é correto, há muito para ser criado até encontrar a prova disso. Como Gauss afirmou: ‘Tenho meu resultado, mas ainda não sei como obtê-lo’. Todo matemático sabe que trabalho árduo é necessário e o sentido da realização deriva do esforço criativo. Construir a forma dedutiva final é uma tarefa entediante. A lógica não descobre nada, nem o enunciado de um teorema nem sua prova, nem mesmo a construção de formulações axiomáticas de resultados já conhecidos. Há um outro motivo pelo qual a versão lógica é uma distorção. Os conceitos, teoremas e provas emergem do mundo real. A organização lógica é posterior”. (KLINE ,1970 apud BICUDO & GARNICA, 2003, p.61).. Sendo tal organização lógica “posterior”, como pudemos fazer dela a razão de ser do ensino de matemática? De fato, essa tradição do formalismo em matemática parece ser uma teia difícil de evitar. Vejamos o que um clássico da Análise Combinatória do ensino médio opina:. “O estudo da Análise Combinatória sempre constituiu sério obstáculo aos alunos do curso colegial, atual 2° grau. Calcada tradicionalmente em definições e fórmulas, seu ensino habitua os estudantes a um trabalho mecânico que muitas vezes exclui a compreensão do que estão fazendo. A confusão entre arranjos e combinações é comum em classes de principiantes. E, em geral, o professor só consegue desenvolver os agrupamentos simples, pois quando tenta abordar os agrupamentos com repetição, a situação se complica. Os autores conseguiram, neste Prelúdio à Analise Combinatória, ensinar de forma clara e objetiva os fundamentos desta parte da Matemática. Baseando-se no Princípio Multiplicativo, desenvolvem toda a conceituação à luz de um raciocínio unificado, onde as fórmulas, até as mais complicadas aparecem espontaneamente, à medida que o estudante descobre como se formam os grupos de objetos, aprendendo também, concomitantemente, a identificá-los.” (BACHX et al, 1975, apresentação).. Apesar da intenção pedagógica mencionada acima, os autores desse clássico passam imediatamente ao desenvolvimento de sua teoria. Nele o formalismo fica claro..

(28) 28. No quadro 1, resumiremos o desenvolvimento desse texto, pelos autores, do ponto de vista de sua axiomática “escondida” e em sua interseção com o conteúdo matemático tratado em nossa pesquisa. Os números ao lado indicam a primeira página em que cada termo aparece no texto. Quadro 1: Axiomática “Escondida” em um texto de Matemática CONCEITOS PRIMITIVOS. . Acontecimento (1). DEFINIÇÕES. . Fatorial (29). POSTULADOS. . . Ocorrência (1). . Permutação simples (36). . Agrupamento (1). . Combinações simples (54). Número Natural (29). . Combinações complementares (57). . Arranjos simples (234). PM: Princípio Multiplicativo (3). TEOREMAS. . Extensão do PM (8). . Pn = n! (37). n! (55) (n − p)! p!. . C np =. . C np = C nn − p (57). . Anp. (240). Fonte: Bachx et al (1975). Em geral, nessa forma de discurso, a maneira encontrada de torná-lo didático é a interposição de exemplos ao longo do texto ou da aula, seguindo-se lista de problemas (ou exercícios de fixação). Recentemente, Dornelas (2004) propõe o uso do Princípio Multiplicativo como recurso didático para o ensino. Os textos da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) que tratam do tema também apóiam esta direção (Lima et al 2004, Morgado et al 1991). A importância da temática, entretanto, merece mais estudos na direção de atrelá-la aos resultados obtidos pelas teorias de aprendizagem modernas.. 2.1.3. A Resolução de Problemas Combinatórios. A resolução de problemas em Matemática, como já mencionamos, é parte do saber que esta disciplina pressupõe. Muito do conhecimento matemático surge de problemas advindos de sua tessitura interna, sendo alguns desses problemas geradores de Teorias Matemáticas, como atesta, por exemplo, a moderna Teoria dos Grafos (WEST, 2001). Por outro lado, a própria resolução de problema tem sido concebida como uma metodologia para o ensino da.

(29) 29. Matemática, tendência cada vez mais corrente e amplamente recomendada pelos PCN. Nesse sentido, muito se tem produzido no Brasil como comprovam Gazire (1989), Dante (1991), Andrade (1998) e outros. A maior parte dessa pesquisa, contudo tem sido dirigida a conteúdos do ensino fundamental (FIORENTINI, 1994). Entretanto, a necessidade de operacionalizar as recomendações dos PCN, demanda mais pesquisas, principalmente no que diz respeito ao Ensino Médio e à formação de professores aptos para essa tarefa. A temática da resolução de problemas, segundo Andrade (1998) teve suas experiências mais remotas com Dewey, entre 1896 e 1904, recebeu influência fundamental com Polya, em 1945, e criou corpo definitivo a partir das recomendações da Association of Teachers of Mathematics para os anos da década de 1980. Os eixos dessas pesquisas, segundo Schroeder & Lester (1989 apud ONUCHIC, 1999, p.206) apontam nas direções indicadas no Quadro 2: Quadro 2: Direções dos Eixos de Pesquisas A RESOLVER PROBLEMAS. ENSINAR. SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. MATEMÁTICA COM A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. Para Onuchic, entretanto: “A compreensão de matemática, por parte dos alunos envolve a idéia de que entender é essencialmente relacionar. Esta posição baseia-se na observação de que a compreensão aumenta quando o aluno é capaz de relacionar uma determinada idéia matemática a um grande número ou a uma variedade de contextos; o aluno consegue relacionar um dado problema a um grande número de idéias matemáticas implícitas nele; o aluno consegue construir relações entre as várias idéias matemáticas contidas num problema. As indicações de que um estudante entende, interpreta mal ou não entende as idéias matemáticas específicas surgem, com freqüência, quando ele resolve um problema. Acreditamos que, ao invés de fazer da resolução de problemas o foco do ensino da matemática, professores, autores de livros, promotores de currículos e avaliadores de aprendizagem deveriam fazer da compreensão seu ponto central e seu objetivo. Fazendo isso, eles mudariam a visão estreita de que a matemática é apenas uma ferramenta para resolver problemas, para uma visão mais ampla de que a matemática é um caminho de pensar e um organizador de experiências.” (ONUCHIC, 1999, p.208).

(30) 30. Temos aqui uma outra diretriz que pretendemos explorar em nossa pesquisa. Mais do que o formalismo ou a ênfase exagerada na resolução de problemas, essa disciplina deve ter o objetivo de ser “um meio de adquirir novo conhecimento como um processo no qual pode ser aplicado aquilo que previamente havia sido construído” (Idem, p. 208). A escolha do conteúdo de Combinatória Simples como lastro matemático de nossa pesquisa teve por base as observações de que:. •. a resolução de problemas constitui a essência do conteúdo trabalhado;. •. a teoria matemática subjacente é fácil de ser estabelecida;. •. tem resistido às mudanças implementadas no currículo escolar;. •. é um conteúdo dificilmente construído pelos alunos do Ensino Médio.. A idéia básica nesta teoria é a de contar os elementos de uma coleção. Tal idéia faz surgir, em seus rudimentos, o conceito de número natural, através da hoje chamada correspondência biunívoca, também designada função bijetora. A ação de agrupar coleções gerou, ao longo do tempo, a operação de adição de números naturais, bem como a de multiplicação (agrupamento de coleções com mesmo número de elementos). Segundo Loureiro (1997), essa idéia de multiplicação tem um sentido aditivo, o qual serve de fonte para muitos problemas de matemática nas séries iniciais e implicando em duas espécies de dificuldades para os alunos: o domínio de cálculo e a decisão sobre qual operação usar. Tal sentido, porém, não esgota todo o significado da multiplicação no âmbito dos números naturais (LOUREIRO, 1997). Por exemplo, se José tem duas calças e três camisas, quantos conjuntos de roupa ele pode formar? O esquema de uma “árvore combinatória“ permite resolver tal problema: Figura 3: Esquema da Árvore Combinatória. Calças: A e B Camisas: 1, 2 e 3 1 A. 2 3. 1 B. 2 3.

(31) 31. As escolhas são, pois, A1, A2, A3, B1, B2, B3, totalizando 2 × 3 = 6 conjuntos de roupa. Para Loureiro: “Neste momento há duas idéias importantes a reforçar. Uma é a possibilidade de acrescentar quantas componentes quisermos à arvore, e poder fazer-se a contagem sem precisar de a construir. A outra é o crescimento rápido do número de possibilidades obtidas que permite colocar questões interessantes e quase sempre não intuitivas (....) É a perspectiva combinatória que de facto completa todo o poder da multiplicação. O princípio da multiplicação, ou princípio fundamental da contagem, é a base da combinatória. Este princípio afirma que o número total de escolhas que posso fazer numa série de decisões é o produto do número de opções disponíveis para cada decisão, sendo o número de factores o número de decisões a tomar”. (LOUREIRO, 1997, p.16). É essa perspectiva combinatória da multiplicação, que, a nosso ver, a visão formalista da Matemática torna um dos postulados básicos para erigir a Teoria. Em nosso tema de pesquisa, assumimos a insuficiência desse tratamento para a aprendizagem da resolução de problemas combinatórios e, com um olhar nos sujeitos da pesquisa, pensamos na necessidade de atrelar a alguma teoria de aprendizagem consistente. Nesse sentido, é importante destacar que nossa caracterização de problema combinatório segue os passos de Mayer (1983) no sentido de ser composto por dois processos básicos (tradução e solução do problema) assim resumidos por Echeverria: “...o processo de solução de problemas exige, em primeiro lugar, que uma pessoa compreenda o problema e o traduza para uma série de expressões e símbolos matemáticos. A partir daí, deve programar uma série de estratégias que estabeleçam as diferentes submetas que pretende alcançar para chegar à solução final e as técnicas que permitam atingir cada uma das submetas. Finalmente, essa pessoa deve interpretar os resultados obtidos e traduzi-los como uma solução plausível. Nestes dois processos pode-se estabelecer uma correspondência com os três grandes eixos procedimentais estabelecidos nos currículos de Matemática: utilização de diferentes linguagens, utilização de algoritmos e utilização de habilidades. Assim, a tradução do problema incide, justamente, na utilização de uma linguagem matemática que permita interpretar a realidade circundante, enquanto o segundo passo, a solução de problemas, faz referência à utilização estratégica de fatos, técnicas e habilidades dentro de um contexto matemático”. (MAYER, 1983 apud ECHEVERRIA & POZO, 1998 p. 51 - 52). Vê-se que um certo componente semântico aparece nessa concepção de resolução de problemas. Esse fato acrescenta aos problemas combinatórios a preocupação com os significados que seus termos podem ter para o aluno. Levando em consideração que os sujeitos de nossa pesquisa são estudantes de uma Licenciatura em Matemática, tentamos.

(32) 32. eliminar ou diminuir tais dificuldades, usando nos testes nela efetuados problemas combinatórios cujos termos fossem intrínsecos ao contexto da matemática elementar. Para alguém com postura filosófica diretiva sobre o ensino de matemática, o conhecimento formal dessa disciplina é suficiente para seu ensino. Em nossa perspectiva, pensamos o enfoque reflexivo permitido pela ação docente o qual aliando ao saber teórico da disciplina (Análise Combinatória), posicionamos o saber pedagógico necessário para o planejamento e apresentação de uma aula sobre esse conteúdo matemático. Nesse caso, validando esse saber consideraremos como base a Teoria dos Construtos Pessoais de George Kelly a seguir resumida.. 2.2. A Teoria dos Construtos Pessoais de G. Kelly. Em 1963 era lançado o livro “A THEORY OF PERSONALITY: The Psychology of Personal Constructs” escrito por George A. Kelly, norte-americano nascido em 1905, graduado, em Matemática e Física, mestre em Sociologia Educacional e doutor em Psicologia (MOREIRA, 1999). O livro, contendo três capítulos e cento e noventa páginas é na realidade um escorço da obra em dois volumes publicados em 1955 pela W. W. Norton. O resumo a seguir é em parte calcado nessa obra e em parte nas orientações dadas por Moreira (1999), Cloniger (1999) e Bastos (1992). Algumas citações em inglês foram mantidas como modo de permitir alguma percepção das idéias originais de Kelly.. 2.2.1. Considerações Gerais. A organização desse livro parece denunciar a formação matemática de seu autor. No capítulo sobre O ALTERNATIVISMO CONSTRUTIVO (capítulo 1), ele descreve seu corpo teórico. O ponto de partida é o homem e o mundo em que se encontra. Para Kelly, “o universo está realmente existindo e o homem está gradualmente compreendendo-o” (MOREIRA, 1999, p. 123)..

(33) 33. Além disso, segundo Moreira (1999), há por parte dele, a hipótese eminentemente física de que “o universo pode ser medido ao longo de uma dimensão temporal” (p.124). Ele vê o homem como um “homem-cientista“, que busca prever e controlar o fluxo de eventos em seu entorno. Sobre a vida, o próprio Kelly afirma ser ela: “...to our way of thinking, is more than mere change. It involves an interesting relationship between parts of our universe where in one part, the living creature, is able to bring himself around to represent another part his environment. Sometimes it is said that the living thing is sensitive, in contrast to the nonliving thing, or that he is capable of reaction. This is roughly the same distinctive characteristic of life that we envision. But we like our formulation better because it emphasizes the creative capacity of the living thing to represent the environment, not merely to respond to it. Because he can represent his environment, he can place alternative constructions upon it and, indeed, do something about it if doesn’t suit him. To the living creature, then, the universe is real, but it is not inexorable unless he chooses to construe it that way.”2 (KELLY, 1963, p. 8).. A partir daí, ele estabelece a noção de construto, central em sua teoria, resumida claramente na citação seguinte. “They are ways of construing the world. They are what enables man, and lower animals too, to chart a course of behavior, explicitly formulated or implicitly acted out, verbally expressed or utterly inarticulate, consistent with other courses of behavior or inconsistent with them, intellectually reasoned or vegetatively sensed.3” (KELLY, 1963, p. 9).. Os construtos são pautas de trabalho criadas pelo homem para a análise do mundo, são construções semelhantes àquelas criadas pelos cientistas como teorias explicativas em contínuo processo de evolução. Assim, por exemplo, um conceito como o de “ensinar combinatória” é visto por Kelly como multidimensionalmente formados por construtos que permeiam o conjunto de possibilidades que um professor desse conteúdo tem para criar suas pautas de trabalho quanto ao ato de efetivamente executar esse ensino.. 2. " ...para a nossa maneira de pensar, é mais que mera mudança. Envolve uma relação interessante entre partes de nosso universo onde em uma parte, a criatura viva, pode se tornar capaz de representar outra parte, o ambiente a sua volta. Às vezes é dito que a coisa viva é sensível, em contraste com a coisa não viva, ou que ele é capaz de reação. Esta é aproximadamente a mesma característica distintiva de vida que nós imaginamos. Mas nós preferimos nossa formulação porque enfatiza a capacidade criativa da coisa viva para representar o ambiente, não somente responder a ele. Porque ele pode representar o ambiente dele, colocar construções alternativas nisto e, realmente, ser algo sobre isto se não lhe é adequado. Para a criatura viva, então, o universo é real, mas não é inexorável a menos que ele escolha construí-lo desse modo”. (Tradução Livre) 3. Eles são modos de construir o mundo. Eles são o que habilita o homem, e os animais inferiores também, a mapear um curso de comportamento, explicitamente formulado ou implicitamente reagido, verbalmente expressado ou totalmente inarticulado, consistente com outros cursos de comportamento ou incompatível com eles, intelectualmente argumentados ou vegetativamente sentidos. (Tradução Livre).

(34) 34. Em suma, o homem ao estabelecer suas convicções, através de aproximações sucessivas, estabelece também seu grau de liberdade, sua dependência ou não dos eventos. Esses, não subordinam o sistema de construtos adotados, mas, a teoria adotada os interliga de modo temporário, até que seja rejeitado pelo homem.. 2.2.2. A Teoria Básica. Este é o título do segundo capítulo de seu livro. Após enunciar seu postulado fundamental, ele elabora onze corolários dele decorrentes. Para cada enunciado, há, por parte de Kelly, a preocupação em descrever o significado dos termos usados. O quadro 3 traz o resumo desse postulado e seus corolários, sem nenhum critério de ordenação dos mesmos, constituindo-se numa fonte prática, ao nosso ver, de consulta para futuras referências. Ele traz os principais resultados de Kelly, elementos significativos para nossa pesquisa principalmente o chamado corolário da experiência, nosso foco maior no que diz respeito a essa teoria. Quadro 3: Resumo da Teoria de Kelly POSTULADO FUNDAMENTAL: Os processos de uma pessoa são psicologicamente canalizados pelas maneiras nas quais ela antecipa os eventos. Corolário da Construção: Corolário da Individualidade: Uma pessoa antecipa os eventos construindo suas As pessoas diferem umas das outras nas suas réplicas. construções de eventos. Corolário da Organização: Corolário da Escolha: Cada pessoa, caracteristicamente, desenvolve, para A pessoa escolhe para si aquela alternativa, em um sua conveniência na antecipação de eventos, um construto dicotomizado, por meio da qual ela antecipa a sistema de construção incorporando relações ordinais maior possibilidade de extensão e definição de seu entre construtos. sistema de construção. Corolário da Dicotomia: Corolário do Âmbito: O sistema de construção de uma pessoa é composto de Um construto é conveniente apenas para a antecipação um número finito de construtos dicotômicos. de um âmbito limitado de eventos. Corolário da Modulação: Corolário da Comunalidade: A variação no sistema de construção de uma pessoa é Na medida em que uma pessoa em prega uma limitada pela permeabilidade dos construtos dentro construção da experiência que é similar àquela dos âmbitos de experiência em que as variantes se empregada por outra pessoa, seus processos psicológicos são similares ao da outra pessoa. situam. Corolário da Fragmentação: Corolário da Sociabilidade: Uma pessoa pode empregar, sucessivamente, uma Na medida em que uma pessoa constrói os processos de variedade de subsistemas de construção que são construção de outra, ela pode ter um papel em um inferencialmente incompatíveis entre si. processo social envolvendo a outra pessoa. Corolário da Experiência: “O Sistema de Construção de uma pessoa varia quando ela sucessivamente constrói replicas de eventos (Fonte: Adaptação de Moreira, 1999 ).

(35) 35. Quando particularizamos a análise dos corolários de Kelly para seu postulado fundamental, sentimos, ainda mais, o peso da metáfora do homem-cientista em sua teoria. O Corolário da Construção, por exemplo, menciona que as pessoas interpretam a realidade, fazem antecipação, elaboram suas construções mentais dessa realidade, de modo semelhante as abordagens dadas por cientistas em seu processo de investigação. Por sua vez, neste caminhar, cada cientista é único, embora possa compartilhar informações com outros colegas de pesquisa, paralelo para nós evidente com o que propõe o Corolário da Individualidade. Como modo de aplacar os conflitos que ocorrem nessa construção, as pessoas agrupam seus elementos -os construtos - segundo relações de ordenação ou subordinação (Corolário da Organização), formando um número finito de construções dicotômicas (Corolário da Dicotomia), escolhendo nesta dicotomia, aquele construto com o qual ele antecipa o maior número de eventos, segundo o Corolário da Escolha. Por outro lado, cada construto tem um “locus” de atuação (Corolário de Âmbito) a cada momento, o sistema de construtos de uma pessoa varia em função de sua permeabilidade (admissão ou não de elementos novos), podendo ser fragmentado em subsistemas incompatíveis entre si (Corolário da Modulação e da Fragmentação). Os corolários acima apresentados parecem inseridos no contexto da internalidade de cada pessoa. A questão da interação entre pessoas é contemplada nos Corolários da Comunalidade e da Sociabilidade. Em nossa leitura da teoria de Kelly, as considerações sobre aprendizagem humana são melhores referidas quando consideramos o Corolário da Experiência, o qual passamos a destacar.. 2.2.3. O Corolário da Experiência. A teoria de Kelly não é, a princípio, voltada para considerações educativas. Ela é uma teoria da personalidade e como tal tem seu foco dirigido para o indivíduo, sua estruturação como pessoa..