Este capítulo discutiu o problema de filtragem H2 e H∞ para MJLS contínuos e dis-
cretos no tempo. No caso contínuo, as condições propostas são as primeiras a certificar a MSS com limitantes H2 e H∞ utilizando matrizes de Lyapunov polinomialmente dependentes das
incertezas paramétricas que afetam tanto a matriz de taxas de transição quanto as matrizes do sistema associadas aos modos de operação. Embora o método proposto para o domínio de tempo discreto trate apenas das incertezas presentes na matriz de probabilidades de tran- sição, as condições podem ser facilmente estendidas para contemplar o caso com incertezas
associadas aos modelos da planta para cada modo de operação em particular. Explorando convenientemente a representação multi-simplex dos parâmetros incertos, relaxações LMIs baseadas em polinômios homogêneos de graus arbitrários associadas com buscas nos parâme- tros escalares foram usadas nos projetos dos filtros. Os experimentos numéricos ilustraram as vantagens da técnica proposta em comparação com as outras abordagens disponíveis na literatura, obtendo menores níveis de atenuação H2 e H∞ e reduzindo ainda mais o conserva-
dorismo dos resultados com o aumento dos graus das variáveis de decisão e efetuando buscas nos parâmetros escalares.
CONCLUSÃO
Este trabalho investigou o projeto de controladores e filtros para sistemas marko- vianos afetados por incertezas nos modos de operação e nas matrizes de transição. Como primeira contribuição, no caso de matrizes de taxas ou probabilidades de transição incertas foi proposta uma modelagem mais genérica e mais flexível para representar adequadamente diversos tipos de incertezas paramétricas associadas à informação estocástica dos MJLS, tais como matrizes de transição politópicas, com elementos pertencentes a intervalos conhecidos ou elementos desconhecidos sem nenhuma estrutura particular. Em linhas gerais, a metodo- logia sistemática proposta neste texto consiste em descrever cada linha da matriz afetada por algum tipo de incerteza em termos de parâmetros pertencentes a um simplex unitário, de forma que todo o conjunto de incertezas pertença ao produto cartesiano de simplexos, denominado multi-simplex. Em tempo contínuo, há uma exceção quando o limitante inferior de um elemento da diagonal da matriz não pode ser inferido. Nesse caso, apenas as linhas da matriz de transição com taxas ilimitadas não podem ser descritas em termos de parâmetros pertencentes ao simplex unitário e as condições LMIs de análise de estabilidade ou síntese de controladores requerem um tratamento especial, incluindo majorações e empregando estra- tégias previamente utilizadas na literatura (SHEN; YANG, 2012c; SHEN; YANG, 2012b; SHEN; YANG, 2012a), sendo que as demais incertezas associadas ao MJLS ainda são modeladas por
parâmetros pertencentes ao multi-simplex. Adicionalmente, quando é possível descrever as matrizes de cada modo de operação do sistema como politopos independentes, dados pela combinação convexa de vértices conhecidos, os resultados apresentados são os primeiros capa- zes de considerar matrizes de transição parcialmente conhecidas e tratar simultaneamente as incertezas afins, intervalares ou politópicas presentes na planta, bastando para isso incluir um novo simplex no domínio multi-simplex para cada modo afetado por incertezas. Explorando convenientemente essa representação multi-simplex dos parâmetros incertos, os problemas de
análise de estabilidade e cômputo de normas foram resolvidos por meio de relaxações LMIs convergentes (isto é, uma solução é obtida sempre que o problema for factível) construídas em termos de soluções polinomiais homogêneas.
Como segunda contribuição, novas condições descritas em termos de LMIs foram apresentadas para controle e filtragem de sistemas markovianos sob as hipóteses de completa, parcial ou nenhuma observação da cadeia de Markov. A maioria das condições propostas nesta tese está associada à busca em parâmetros escalares. É importante enfatizar que as condições tornam-se LMIs para valores fixos desses escalares, e que a escolha adequada dos mesmos permite obter resultados menos conservadores do que os obtidos por outros métodos da literatura. O preço a se pagar é um maior esforço computacional decorrente da realização da busca pelo melhor escalar.
Uma das principais vantagens da formulação proposta é o emprego de matrizes de Lyapunov e variáveis de folga polinomialmente dependentes dos parâmetros para certificar a estabilidade por média quadrática em malha fechada com limitantes H2 e H∞. No caso das
condições de controle por realimentação de estados, quando o modelo markoviano não está sujeito a incertezas e um ganho dependente de modos é requerido, as condições tornam-se necessárias e suficientes para determinados valores dos parâmetros escalares. Nos casos de filtragem, controle estático por realimentação de saída e mesmo no controle por realimentação de estados, quando incertezas afetam o sistema ou nem todos os modos de operação são conhecidos, as relaxações LMIs propostas podem prover soluções menos conservadoras em termos dos custos garantidos H2 e H∞quando comparadas a outras abordagens. Os melhores
resultados podem ser obtidos ao custo de um aumento na complexidade numérica decorrente do emprego de maiores graus nas variáveis de decisão, combinado com buscas nos parâmetros escalares. Neste contexto é importante ressaltar que a flexibilidade da metodologia proposta admite que graus parciais diferentes sejam utilizados em cada simplex, produzindo uma melhor relação entre precisão e esforço computacional quando comparada a outros métodos que também utilizam variáveis dependentes de parâmetros. A aplicabilidade, boa eficiência numérica e o baixo conservadorismo das condições propostas foram ilustrados por meio dos experimentos numéricos apresentados em cada capítulo.
Perspectivas futuras
Como trabalhos futuros sugere-se a investigação dos seguintes pontos:
1. Elaborar novas condições na forma de relaxações LMIs para o projeto de controladores dinâmicos com critérios de norma H2 e H∞para MJLS discretos e contínuos no tempo.
Com esse intuito, poderão ser utilizadas duas estratégias:
• A primeira técnica pode ser baseada nos resultados propostos em (DE OLIVEIRA et
al., 2002), que fornecem um controlador dinâmico descrito em termos das matrizes
do sistema (A, Bu, Cy) e das matrizes de folga e suas partições. Dessa forma, seria
possível empregar matrizes de Lyapunov dependentes das incertezas que afetam as probabilidades ou taxas de transição entre os modos e, assim, reduzir o conser- vadorismo no projeto de controladores dinâmicos de ordem completa para MJLS com matrizes de transição incertas. Simultaneamente, a condição LMI poderia ser associada com uma busca em um parâmetro escalar seguindo as linhas de (MORAIS
et al., 2013b), conferindo um maior grau de liberdade para a síntese do controlador.
• A segunda abordagem trabalharia com condições LMIs de síntese de controladores dinâmicos para MJLS usando a estratégia de dois estágios, de maneira similar à descrita em (AGULHARI et al., 2012). Dentre as vantagens dessa segunda metodo-
logia destacam-se a possibilidade de projetar controladores de ordem reduzida e a capacidade de tratar o caso em que, além das matrizes de transição, as matrizes dos modos de operação também possam ser incertas, uma vez que o controla- dor projetado não dependeria das mesmas, sendo descrito apenas em termos das variáveis de otimização do problema.
2. Uma peculiaridade dos sistemas chaveados com chaveamento arbitrário é que os mesmos podem ser tratados como um caso particular dos sistemas sujeitos a saltos markovia- nos, no qual a matriz de probabilidades de transição é totalmente desconhecida (ZHANG;
BOUKAS, 2009c). Sendo assim, uma possível alternativa para projetar controladores e
analisar a estabilidade de sistemas chaveados e outras classes similares por meio de condições LMIs seria aplicar as técnicas desenvolvidas nesta tese, uma vez que várias pesquisas demonstraram a eficiência dessa ferramenta no cenário a ser estudado (DA-
AFOUZ et al., 2002; LIBERZON, 2003; MONTAGNER et al., 2006; GEROMEL; DEAECTO,
2009).
Trabalhos produzidos como resultados desta tese
Capítulo 2
• M. F. Braga, C. F. Morais, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Robust stability and stabilization of discrete-time Markov jump linear systems with partly unknown transition probability matrix. In Proceedings of the 2013 American Control Conference, pages 6800–6805, Washington, DC, USA, June 2013.
• C. F. Morais, M. F. Braga, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H2 control of
discrete-time Markov jump linear systems with uncertain transition probability matrix: improved linear matrix inequality relaxations and multi-simplex modelling. IET Control
Theory & Applications, 7(12):1665–1674, August 2013.
• C. F. Morais, M. F. Braga, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H∞ state feedback
control for MJLS with uncertain probabilities. Automatica, 52(2):317–321, February 2015.
• C. F. Morais, M. F. Braga, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H∞ and H2 con-
trol design for polytopic continuous-time Markov jump linear systems with uncertain transition rates. International Journal of Robust and Nonlinear Control, doi: 10.1002/ rnc.3329
Capítulo 3
• C. F. Morais, M. F. Braga, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Realimentação está- tica de saída H2para sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos discretos no tempo
com matrizes de probabilidade incertas por meio de LMIs com parâmetros escalares. In
Anais do XI Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, pages 1–6, Fortaleza, CE,
Brasil, Outubro 2013.
• C. F. Morais, M. F. Braga, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H∞ static output
feedback control of discrete-time Markov jump linear systems with uncertain transition probability matrix. In Proceedings of the 2014 American Control Conference, pages 489–494, Portland, OR, USA, June 2014.
Capítulo 4
• C. F. Morais, M. F. Braga, M. J. Lacerda, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H∞filter design through multi-simplex modeling for discrete-time Markov jump linear
systems with partly unknown transition probability matrix. In Proceedings of the 19th
IFAC World Congress, pages 5049–5054, Cape Town, South Africa, August 2014.
• C. F. Morais, M. F. Braga, M. J. Lacerda, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Filtragem H∞ para sistemas markovianos com probabilidades incertas por meio de
LMIs com escalares. In Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática, pages 761– 768, Belo Horizonte, MG, Brasil, Setembro 2014.
• C. F. Morais, M. F. Braga, M. J. Lacerda, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H2 filter design through multi-simplex modeling for discrete-time Markov jump linear
systems with partly unknown transition probability matrix. In Proceedings of the 53rd
IEEE Conference on Decision and Control, pages 6585–6590, Los Angeles, CA, USA,
December 2014.
• C. F. Morais, M. F. Braga, M. J. Lacerda, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H2 and H∞ filter design for polytopic continuous-time Markov jump linear systems
with uncertain transition rates. International Journal of Adaptive Control and Signal
Processing, doi: 10.1002/acs.2528
Trabalhos não relacionados diretamente com a tese
• C. F. Morais, M. F. Braga, A. S. Linguanotto, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Controle robusto por realimentação de estados para sistemas lineares discretos no tempo por meio de LMIs com parâmetros escalares. In Anais do XIX Congresso
Brasileiro de Automática, pages 1664–1671, Campina Grande, PB, Brasil, Setembro
2012.
• M. F. Braga, C. F. Morais, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Realimentação de estados robusta H2 e H∞ para sistemas lineares discretos no tempo por meio de LMIs
com parâmetros escalares. In Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, pages 1672–1679, Campina Grande, PB, Brasil, Setembro 2012.
• C. F. Morais, M. F. Braga, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Robust state feedback control for discrete-time linear systems via LMIs with a scalar parameter. In
Proceedings of the 2013 American Control Conference, pages 3876–3881, Washington,
DC, USA, June 2013.
• M. F. Braga, C. F. Morais, E. S. Tognetti, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Discretização e controle por realimentação de estados de sistemas lineares incertos. In
Anais do XI Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, pages 1–6, Fortaleza, CE,
Brasil, Outubro 2013
• M. F. Braga, C. F. Morais, E. S. Tognetti, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. A new procedure for discretization and state feedback control of uncertain linear systems. In Proceedings of the 52nd IEEE Conference on Decision and Control, pages 6397–6402, Florence, Italy, December 2013.
• M. F. Braga, C. F. Morais, L. A. Maccari, E. S. Tognetti, V. F. Montagner, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Robust stability analysis of grid-connected converters based on parameter-dependent Lyapunov functions. IEEE Transactions on Industrial
Electronics, 2014. Submetido.
• M. F. Braga, C. F. Morais, E. S. Tognetti, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Discretization and event triggered digital output feedback control of LPV systems.
Systems & Control Letters, 2014. Submetido.
• M. F. Braga, C. F. Morais, E. S. Tognetti, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. H2 guaranteed cost computation of discretized uncertain continuous-time systems. In
Proceedings of the 2014 American Control Conference, pages 5073–5078, Portland, OR,
USA, June 2014.
• M. F. Braga, C. F. Morais, E. S. Tognetti, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Discretização e controle de sistemas politópicos com atrasos induzidos pela rede. In
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática, pages 1800–1807, Belo Horizonte,
MG, Brasil, 20-24 de Setembro 2014.
• M. F. Braga, C. F. Morais, E. S. Tognetti, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Discretization and networked control of polytopic systems with uncertain sampling rates. International Journal of Control, 87(11):2398–2411, November 2014.
• M. F. Braga, C. F. Morais, E. S. Tognetti, R. C. L. F. Oliveira, and P. L. D. Peres. Discretization and discrete-time output feedback control of linear parameter varying continuous-time systems. In Proceedings of the 53rd IEEE Conference on Decision and
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