Controle e filtragem de sistemas lineares incertos
sujeitos a saltos markovianos usando LMIs
Campinas
2015
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Cecília de Freitas Morais
Controle e filtragem de sistemas lineares incertos sujeitos a
saltos markovianos usando LMIs
Tese apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Es-tadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Engenharia Elétrica, na Área de Automa-ção.
Orientador: Prof. Dr. Pedro L. D. Peres
Coorientador: Prof. Dr. Ricardo C. L. F. Oliveira
Este exemplar corresponde à versão final da tese defendida pela aluna Cecília de Freitas Morais e orientada pelo Prof. Dr. Pedro L. D. Peres
Campinas
2015
Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098
Morais, Cecília de Freitas,
1987-M792c MorControle e filtragem de sistemas lineares incertos sujeitos a saltos
markovianos usando LMIs / Cecília de Freitas Morais. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
MorOrientador: Pedro Luis Dias Peres.
MorCoorientador: Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira.
MorTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Mor1. Análise de sistemas. 2. Teoria de controle. 3. Incerteza. 4. Markov, Processos de. I. Peres, Pedro Luis Dias,1960-. II. Oliveira, Ricardo Coração de Leão Fontoura de,1978-. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. IV. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Control and filter design of uncertain Markov jump linear systems via LMIs Palavras-chave em inglês: System analysis Control theory Uncertainty Markov processes
Área de concentração: Automação
Titulação: Doutora em Engenharia Elétrica Banca examinadora:
Pedro Luis Dias Peres [Orientador] Daniel Ferreira Coutinho
Oswaldo Luiz do Valle Costa Ely Carneiro de Paiva
João Bosco Ribeiro do Val Data de defesa: 24-02-2015
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica
Este trabalho aborda os problemas de projeto de controladores e filtros para sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos com matrizes de transição incertas. Consideram-se os domínios de tempo contínuo e discreto, incertezas politópicas nas matrizes dos modelos de cada modo e as normas H2 e H∞ como critérios de
desem-penho. São investigados controladores por realimentação de estados e de saída e fil-tros de ordem completa. Como primeira contribuição, propõe-se uma sistemática mais abrangente para representar as incertezas (politópicas, intervalares ou afins) que afe-tam tanto as matrizes do modelo da planta associada a cada modo de operação em particular quanto a matriz de transição que governa os saltos entre os modos em um único domínio dado pelo produto cartesiano de simplexos, chamado de multi-simplex. Adicionalmente, as condições propostas para controle e filtragem asseguram limitan-tes para as normas H2 e H∞ dos sistemas markovianos incertos associados à planta
controlada ou ao sistema mais o filtro por meio de matrizes de Lyapunov polinomi-almente dependentes dos parâmetros, enquanto as abordagens existentes na literatura restringem-se ao uso de matrizes de Lyapunov independentes de parâmetros, ou seja, uma matriz fixa associada a cada modo de operação. São propostas condições para síntese de controladores e filtros, que aplicam-se aos casos de disponibilidade completa, parcial ou nula dos modos, em termos de desigualdades matriciais lineares associadas a buscas em parâmetros escalares. Experimentos numéricos ilustram as vantagens das condições desenvolvidas, mostrando que o método proposto é mais abrangente, uma vez que pode incluir outras abordagens da literatura como casos particulares, e pode produzir resultados menos conservadores em termos dos limitantes das normas quando comparado a outras técnicas existentes na literatura.
Palavras-chaves: Sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos, Controle, Filtragem,
Normas H2 e H∞, Desigualdades matriciais lineares.
This work addresses the problem of controller and filter design for Markov jump linear systems with uncertain transition matrices. Discrete-time and continuous-time domains, polytopic uncertainties affecting matrices of each operation mode and H2 and
H∞ norms, as performance criteria, are considered. State feedback controllers, static
output feedback controllers and full order filters are investigated. As a first contribu-tion, this work proposes a more general methodology to represent the uncertainties (polytopic, interval, or affine) affecting independently the matrices of the plant mo-del associated to each operation mode and the transition matrix in a single domain created by the Cartesian product of simplexes, called multi-simplex. Additionally, the conditions proposed for control and filtering assure bounds to the H2and H∞norms of
uncertain Markov systems associated to the controlled plant or to the filtering system by means of polynomially parameter dependent Lyapunov matrices, while the existent approaches in the literature are restricted to the use of parameter independent Lya-punov matrices, i.e., a constant one for each operation mode. The control and filter synthesis conditions, considering complete, partial, or null Markov mode availability, are expressed in terms of linear matrix inequalities associated with searches on scalar parameters. Numerical experiments illustrate the advantages of the developed condi-tions, showing that the proposed method is more general, since it can include other approaches as particular cases, and can provide less conservative results in terms of bounds to the norms when compared with other techniques from the literature.
Keywords: Markov jump linear systems, Control, Filtering, H2and H∞norms, Linear
matrix inequalities.
Introdução 1
1 Fundamentos matemáticos 7
1.1 Sistemas markovianos politópicos com matrizes de transição incertas . . . . 7
1.1.1 Representação multi-simplex dos parâmetros incertos . . . 11
1.1.2 Lemas e notações auxiliares . . . 19
1.1.3 Disponibilidade dos modos de operação . . . 23
1.1.4 Informações adicionais para os exemplos numéricos . . . 24
2 Controle por realimentação de estados 25 2.1 Análise de estabilidade e controle por realimentação de estados de MJLS discretos . . . 26
2.1.1 Exemplos de estabilidade e estabilização de MJLS discretos . . . 30
2.2 Controle H∞ por realimentação de estados . . . 38
2.2.1 Realimentação de estados H∞ para MJLS contínuos . . . 38
2.2.1.1 Exemplos de realimentação de estados H∞ para MJLS con-tínuos . . . 45
2.2.2 Realimentação de estados H∞ para MJLS discretos . . . 46
2.2.2.1 Exemplos de realimentação de estados H∞ para MJLS dis-cretos . . . 50
2.3.1 Realimentação de estados H2 para MJLS contínuos . . . 53
2.3.1.1 Exemplos de realimentação de estados H2 para MJLS con-tínuos . . . 55
2.3.2 Realimentação de estados H2 para MJLS discretos . . . 57
2.3.2.1 Exemplos de realimentação de estados H2para MJLS discretos 62 2.4 Conclusões Parciais . . . 64
3 Realimentação estática de saída 67 3.1 Controle H∞ por realimentação de saída para MJLS discretos . . . 68
3.1.1 Exemplos de realimentação estática de saída H∞ para MJLS discretos 73 3.2 Controle H2 por realimentação de saída para MJLS discretos . . . 76
3.2.1 Exemplos de realimentação estática de saída H2 para MJLS discretos 83 3.3 Conclusões Parciais . . . 84
4 Filtragem robusta de ordem completa 87 4.1 Filtragem robusta H∞ . . . 88
4.1.1 Filtragem H∞ para MJLS contínuos . . . 89
4.1.1.1 Exemplos de filtragem H∞ para MJLS contínuos . . . 92
4.1.2 Filtragem H∞ para MJLS discretos . . . 94
4.1.2.1 Exemplos de filtragem H∞ para MJLS discretos . . . 100
4.2 Filtragem robusta H2 . . . 105
4.2.1 Filtragem H2 para MJLS contínuos . . . 105
4.2.1.1 Exemplos de filtragem H2 para MJLS contínuos . . . 107
4.2.2 Filtragem H2 para MJLS discretos . . . 108
4.2.2.1 Exemplos de filtragem H2 para MJLS discretos . . . 112
4.3 Conclusões Parciais . . . 115
Conclusão 117
Gostaria de agradecer a Deus por iluminar meus caminhos. Agradeço à minha família Freitas e Morais, principalmente ao meu pai e à minha mãe, os quais sempre incentivaram meus estudos. Agradeço aos meus primos, tios e às minhas irmãs Vanessa e Nathalia que são minhas melhores amigas e sempre renovam minhas energias nas curtas visitas que faço a Goiânia. Agradeço à família Niro que me acolheu em Campinas, em especial ao meu marido Glauco que sempre esteve ao meu lado me apoiando em todos meus 6 anos de Unicamp. Agradeço aos amigos distantes que, de uma forma ou de outra, participaram da minha jornada acadêmica: Diana, Eline, Jorge e Juan, e também ao amigo goiano, colega de UFG e Unicamp: Luiz Eduardo. Agradeço aos professores e colegas do DSE, aos colegas do antigo DSEE onde desenvolvi meu mestrado e a todos os integrantes do presente (Henrique, Luciano, Renato), do passado (Priscila, Cristiano, Rafael, Ali, Eduardo, Benito, Victor) e também aos novatos do Lab DT, o lugar no qual me senti mais confortável nos últimos anos, obrigada pela amizade de todos e pelo aprendizado profissional e pessoal que adquiri com vocês. Agradeço especialmente aos amigos Márcios mineiros que trabalharam comigo no doutorado. Ao Márcio Jr. Lacerda, meu grande amigo e quase irmão, e ao Márcio Braga que também merece os louros dessa conquista por ser meu colaborador durante esses quatro últimos anos e coautor de todos meus trabalhos. Agradeço principalmente ao meu orientador Prof. Dr. Pedro L. D. Peres e ao meu coorientador Prof. Dr. Ricardo C. L. F. Oliveira pela amizade, pela incrível prestatividade e por todos seus ensinamentos. Finalmente, agradeço ao CNPq, pelo apoio financeiro concedido durante todo o período do doutorado.
(Madre Teresa de Calcutá)
Figura 1 Comportamento do custo garantido H∞ (γ) com respeito ao parâmetro
escalar (ξ) e ao aumento dos graus parciais (gi) da matriz de Lyapunov
(g = τ = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) e g = 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)) para o MJLS contínuo do exemplo numérico de (ZHANG; BOUKAS, 2009b) para dois casos
da matriz de taxas de transição: (a) Caso I e (b) Caso II. . . 47
Figura 2 Comportamento do custo garantido H2 (ρ) obtido pelo Teorema 2.6 com
ξ = 100 e g = (0, 0, 0, 0, 0, 0) (T2.6g=0) e as condições adaptadas do
Te-orema 3 de (SHEN; YANG, 2012b) (T3-SY12) com respeito ao parâmetro
δ ≥ 0 para o Exemplo 2.10. . . . 58
Figura 3 Comportamento do custo garantido H∞ (γ) versus a: uma comparação
entre a abordagem do Teorema 3.2 de (LIU et al., 2008) (T3.2) e o
Corolá-rio 4.1 (C4.1) com um único cluster, g = h = (0, 0), d = 0, λ1 = λ2 = 1. . 93
Figura 4 Comparação entre o comportamento dinâmico do sinal de erro médio e(k) produzido pelos filtros obtidos com o Corolário 4.2 e a condição de (
GON-ÇALVES et al., 2009) (GFG09) para um total de 500 possíveis realizações
da cadeia de Markov. . . 103
Figura 5 Custo garantido H∞ (γ) versus parâmetro escalar (ξ) para o Exemplo 4.4
com b = 1 obtido com o Corolário 4.3 com g = h = d = 0. . . 104 xxi
plo 4.4 com b variando entre [−1.0, −0.8] obtidos com a abordagem apresentada em (GONÇALVES et al., 2011) (curva pontilhada em preto –
GFG:11), o Corolário 4.3 com ξ = 0 (curva tracejada em vermelho – C4.3) e o Corolário 4.3 com busca em ξ (curva em azul – C4.3∗), ambos com
g = h = d = 0. . . 104 Figura 7 Sistema massa-mola do Exemplo 4.5. . . 108 Figura 8 Comparação entre o comportamento dinâmico do sinal de erro médio e(k)
produzido pelos filtros obtidos com o Corolário 4.5 (C 4.5) e a condição
de (GONÇALVES et al., 2011) (GFG11) para um total de 500 possíveis
rea-lizações da cadeia de Markov. . . 115
Tabela 1 Testes de MSS robusta para o MJLS discreto dado no Exemplo 2.3 usando as condições LMIs de (DE SOUZA, 2006), (OLIVEIRA et al., 2009)d=0, (ZHANG;
BOUKAS, 2009d) e do Teorema 2.1 com d = 0. . . . 35
Tabela 2 Testes de estabilização robusta dependente de modos para o MJLS discreto do Exemplo 2.4 considerando b = bmax e usando as condições LMIs de
(DE SOUZA, 2006), (OLIVEIRA et al., 2009) com d = 0, (ZHANG; BOUKAS,
2009d), e o Teorema 2.2 com d = 0. . . . 37
Tabela 3 Testes de estabilização robusta independente de modos para o MJLS dis-creto do Exemplo 2.4 considerando b = bmax e usando as condições LMIs
(adaptadas para fornecer ganhos independentes de modos) de (DE SOUZA,
2006), (OLIVEIRA et al., 2009) com d = 0, (ZHANG; BOUKAS, 2009d) e o
Corolário 2.1 com d = 0. . . . 37
Tabela 4 Custos garantidos H∞para o MJLS discreto com matriz de probabilidades
parcialmente conhecida (Caso I ou Caso II) de (ZHANG; BOUKAS, 2009a,
Ex. 3.1) obtidos por (ZHANG; BOUKAS, 2009a), (GONÇALVES et al., 2012),
e pelo Teorema 2.5 com d = 0. . . . 52
Tabela 5 Custos garantidos H2 (ρ) para o Exemplo 2.9 obtido pelo Teorema 2.6
empregando diferentes valores de ξ e g = (g1, g2). . . 56
Tabela 6 Custos garantidos H2 (ρ) para o Exemplo 2.10 empregando
controla-dores dependentes de modos obtidos pelo Teorema 3 de (SHEN; YANG,
2012b)(T3-SY12) e Teorema 2.6 com ξ = 10 e g = (0, 0, 0, 0, 0, 0). . . . . 57 xxiii
MJLS com matrizes politópicas) e Teorema 2.6 (T2.6) com ξ = 100 e diferentes graus g. . . . 58 Tabela 8 Custos garantidos H2 (ρ) para o sistema do Exemplo 2.11 em malha
fe-chada usando o Teorema 2.7 (T2.7), o Corolário 2.5 (C2.5), ambos com
ξ= 0, o Teorema 4 (T4-OVdVP09) e o Corolário 3 (C3-OVdVP09) de (
OLI-VEIRA et al., 2009), com V (número de variáveis escalares), L (número de
linhas de LMIs) e T (tempo de cômputo das condições em segundos). . 63 Tabela 9 Custos garantidos H2 (ρ) obtidos para o projeto de controladores para o
Exemplo 2.12 usando as condições de (OLIVEIRA et al., 2009) (T4-OVdVP09)
e do Teorema 2.7, com V (número de variáveis escalares), L (número de linhas de LMIs) e T (tempo de cálculo em segundos). . . . 65
Tabela 10 Limitantes para o custo garantido H∞ (γ) para o Exemplo 3.1 usando as
condições LMIs apresentadas em (CHE; WANG, 2010) (T1 e T2) e o método
de dois estágios proposto neste texto que emprega o Teorema 2.3 (T2.3) e o Teorema 3.1 (T3.1). . . 75
Tabela 11 Custos garantidos H∞ (γ) dos filtros dependentes de modo (DM) e
inde-pendentes de modo (IM), próprios (P) e estritamente próprios (EP) para o Exemplo 4.2 projetados com o Teorema 4.2 (T4.2) e o Corolário 4.2 (C4.2), ambos com d = g = h = λ1 = λ2 = 0, e o Teorema 1 (ZB) de (ZHANG;
BOUKAS, 2009c). . . 101
Tabela 12 Custos garantidos H2(ρ) para o sistema aumentado (4.3) com filtros
parci-almente dependentes de modos para o Exemplo 4.5 usando o Corolário 4.4 com h = (0, 0, 0, 0, 0, 0), d = 0, U1 = {1, 2, 3} e U2 = {4}. . . 109
Tabela 13 Custos garantidos H2 (ρ) para o MJLS discreto aumentado (4.3) obtido
com filtros dependentes de modos (DM), independentes de modos (IM), próprios (P) e estritamente próprios (SP) para o Exemplo 4.6 usando o Teorema 1 de (FIORAVANTI et al., 2008), Teorema 1 de (GONÇALVES et al.,
2011), e o Teorema 4.5 (T4.5) e Corolário 4.5 (C4.5) apresentados nesta seção, ambos com d = λ1 = λ2 = 0 and λ3 = λ4 = 1. . . 113
Γ Matriz de taxas de transição
K(g) Produto cartesiano de N-uplas de grau gi
KNs(gs) Conjunto de N-uplas obtidas de todas as possíveis combinações de Ns inteiros não
negativos com soma gs
K Conjunto finito contendo todos modos de operação do sistema Λ Multi-simplex de dimensão N
ΛNi Simplex unitário de dimensão Ni
F Classe de eventos F(·) Função probabilidade
Ii
K Conjunto que contém as colunas com elementos conhecidos ou limitados da linha i da
matriz Γ
Ii
U K Conjunto que contém as colunas com elementos desconhecidos da linha i da matriz Γ
He(M) Indica a soma da matriz M com sua transposta MT
µ Distribuição de probabilidades inicial da cadeia de Markov
N Conjunto dos números naturais Ω Espaço amostral
R Conjunto dos números reais
σc Número de clusters do sistema
⋆ Indica o bloco simétrico da matriz Π Matriz de probabilidades de transição I Matriz identidade de dimensões apropriadas
m Número de simplexos
nc Número de linhas parcialmente conhecidas de Γ ou Π Ni Número de vértices do simplex unitário ΛNi
pij Probabilidade de transição do modo i para o modo j rij Taxa de transição do modo i ao modo j
T Quando usado sobrescrito denota a operação de transposição LMIs Linear Matrix Inequalities (Desigualdades matriciais lineares)
MJLS Markov Jump Linear Systems (Sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos) MSS Mean Square Stability (Estabilidade por média quadrática)
INTRODUÇÃO
Considerar a presença de incertezas associadas aos modelos lineares atendeu a ne-cessidade de se representar com maior fidelidade os sistemas dinâmicos e, por sua vez, a preocupação com o projeto de controladores e filtros para tais sistemas incertos deu ori-gem à teoria de controle robusto (ZHOU et al., 1996). Simultaneamente, o avanço tecnológico
das últimas duas décadas, acompanhado de uma grande evolução dos métodos numéricos de otimização, possibilitou o emprego de desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglês
Linear Matrix Inequalities) (BOYD et al., 1994), fundamentadas pela teoria de estabilidade de
Lyapunov (LYAPUNOV, 1992), para investigar o comportamento de tais sistemas dinâmicos,
lineares ou não lineares, de forma eficiente e sistemática. Desde então, resultados baseados em LMIs foram relatados por pesquisadores nos mais diversos cenários, incluindo sistemas lineares incertos, sistemas variantes no tempo, sistemas com atraso, sistemas não-lineares, sistemas chaveados, sistemas markovianos e outras classes de sistemas híbridos (SCHERER,
1996; APKARIAN et al., 2001; AMATO et al., 2005; MA et al., 2010; GONÇALVES et al., 2011;
COSTA et al., 2005; COSTA et al., 2013; TARBOURIECH et al., 2011).
Um dos principais objetivos da teoria de controle robusto é o desenvolvimento de técnicas que permitam projetar controladores que proporcionem estabilidade e desempenho, geralmente especificado em termos das normas H2 ou H∞, do sistema em malha fechada.
Outro tópico intensamente investigado na literatura de processamento de sinais é o problema de estimação de estados, o qual combinado com um critério de desempenho, que pode ser definido pelas normas H2 ou H∞, caracteriza o problema de filtragem. Nesse contexto, a
for-mulação LMI dos problemas de cômputo de normas e a subsequente extensão para controle e filtragem ótimos tornou-se popular por admitir soluções que podem ser obtidas por meio de algoritmos eficientes de programação convexa. Contudo, diferentemente da síntese de contro-ladores por realimentação de estados para sistemas precisamente conhecidos, é importante
notar que, no caso de sistemas incertos, as condições de estabilidade obtidas por meio de funções de Lyapunov (dependentes ou não de parâmetros) resultam em LMIs robustas, tam-bém chamadas de LMIs dependentes de parâmetros. A rigor, essas condições tornam-se LMIs quando fixam-se valores para os parâmetros que representam as incertezas. Como, em geral, os parâmetros incertos pertencem a um intervalo, LMIs robustas são condições de dimensão infinita, ou seja, teriam que ser testadas para todos os valores possíveis dos parâmetros, o que é numericamente inviável. Uma alternativa tratável computacionalmente é estabelecer condições equivalentes, preferencialmente na forma de LMIs, que possam ser testadas em um número finito de pontos do espaço paramétrico e que garantam a verificação da condição em todo o domínio. Na maioria dos casos, impõem-se restrições sobre as variáveis do problema e apenas condições suficientes são obtidas, embora seja possível em determinados problemas definir sequências de condições LMIs assintoticamente necessárias (veja (OLIVEIRA; PERES,
2007) e suas referências) envolvendo soluções matriciais polinomiais de graus crescentes, de maneira a encontrar uma solução sempre que esta existir. Genericamente, definem-se como relaxações LMIs as condições suficientes na forma de LMIs que garantem a verificação de uma LMI robusta. Um dos tópicos de pesquisa importantes em programação semidefinida é buscar condições menos conservadoras, ou que demandem um esforço computacional menor, para re-solver um determinado problema. No contexto de problemas descritos por LMIs dependentes de parâmetros, buscam-se relaxações LMIs que sejam mais eficientes quando comparadas às condições existentes na literatura. Dentre as formas de reduzir o conservadorismo destacam-se a realização de buscas em parâmetros escalares (SHAKED, 2001; SHIMOMURA et al., 2001;
EBIHARA; HAGIWARA, 2004), o emprego de funções de Lyapunov dependentes de
parâme-tros (GEROMEL et al., 1998; RAMOS; PERES, 2001; TROFINO; SOUZA, 2001; RAMOS; PERES,
2002; OLIVEIRA; PERES, 2007) e a inserção de variáveis de folga (DE OLIVEIRA; SKELTON,
2001) nas condições LMIs.
Condições baseadas em LMIs associadas a matrizes de Lyapunov dependentes de pa-râmetros têm se mostrado eficientes, por exemplo, no projeto de filtros e controladores H2 e
H∞ para sistemas markovianos com matrizes de transição incertas (DE SOUZA, 2006;
OLI-VEIRA et al., 2009; ZHANG; BOUKAS, 2009a; CHE; WANG, 2010; GONÇALVES et al., 2012), pois
a incerteza presente nas mesmas não permite solução por meio da abordagem padrão que usa um conjunto de equações algébricas de Riccati acopladas. Sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos (MJLS, do inglês Markov Jump Linear Systems) são uma categoria de sistemas híbridos na qual múltiplos modos de operação podem ocorrer. Essa classe de sistemas dinâ-micos tem recebido grande atenção na literatura por conseguir representar apropriadamente plantas sujeitas a mudanças abruptas no modo de operação ou estrutura, tais como siste-mas controlados por rede, modelos econômicos ou financeiros, plantas industriais e sistesiste-mas
aeroespaciais. Tais mudanças abruptas podem ocorrer, por exemplo, devido a falhas nos com-ponentes, variações econômicas ou distúrbios ambientais, mudanças no ponto de operação de um modelo linearizado de um sistema não linear, etc.
Os MJLS discretos no tempo são caracterizados por um conjunto de equações a dife-renças dependentes de uma variável aleatória que evolui de acordo com uma cadeia de Markov associada a uma matriz de probabilidades de transição, a qual governa os saltos entre os mo-dos e, consequentemente, o comportamento do sistema (COSTA et al., 2005). No caso contínuo
no tempo, cada modo individual de operação é descrito por equações diferenciais dependentes da variável aleatória. De modo similar, o chaveamento entre os diferentes modos é regido por um processo estocástico representado por uma cadeia de Markov associada, por sua vez, a uma matriz de taxas de transição (COSTA et al., 2013). Ambos modelos podem ser
emprega-dos, por exemplo, no cenário de sistemas controlados por rede (YANG, 2006; ZHANG et al.,
2013) quando as matrizes de transição são usadas para descrever os canais de comunicação sujeitos a erros de transmissão, tais como perdas de pacote. Contudo, em alguns problemas de aplicação prática, o conhecimento exato das probabilidades ou taxas de transição é uma tarefa trabalhosa que pode demandar um alto custo, o que aumenta o interesse por métodos de análise ou síntese capazes de tratar o conhecimento incompleto desses elementos. Sendo assim, muitos pesquisadores assumem que a matriz de transição seja incerta e pertença a um domínio politópico (XIONG et al., 2005; DE SOUZA, 2006; KARAN et al., 2006; OLIVEIRA
et al., 2009), parcialmente conhecida com elementos pertencentes a intervalos conhecidos ou
que possam ser inferidos (DE SOUZA et al., 2006; KARAN et al., 2006; BOUKAS, 2009a;XIONG; LAM, 2009; ZHANG; BOUKAS, 2009d; ZHANG; BOUKAS, 2009b; ZHANG; LAM, 2010; LUAN et
al., 2010; MA et al., 2010; MA et al., 2011; GONÇALVES et al., 2012; ZUO et al., 2012; ZHANG et
al., 2012; SHEN; YANG, 2012c; FIORAVANTI et al., 2013;WEI et al., 2013), ou seja parcialmente
conhecidas com entradas ilimitadas no caso de MJLS contínuos (ZHANG; BOUKAS, 2009b;
SHEN; YANG, 2012b).
Com relação a projeto de filtros ou controladores robustos para MJLS, alguns métodos tratam incertezas politópicas nas matrizes do modelo de espaço de estados para os modos de operação do sistema (DE SOUZA et al., 2006; DE SOUZA, 2006), alguns consideram apenas
incertezas nas matrizes de transição (LIU et al., 2008; BOUKAS, 2009b), enquanto outros
for-necem soluções para os problemas sem considerar qualquer tipo de incerteza (DE FARIAS et
al., 2000; DO VAL et al., 2002).
Este trabalho aborda o problema de projeto de filtros de ordem completa e con-troladores H2 e H∞ para MJLS contínuos e discretos no tempo. O método proposto pode
lidar, simultaneamente, com matrizes de transição incertas bem como com modelos do espaço de estados pertencentes a politopos distintos com diferentes números de vértices para cada
modo de operação. No conhecimento da autora, as condições LMIs existentes na literatura não podem produzir filtros ou controladores robustos para MJLS cuja estabilidade por mé-dia quadrática com limitantes H2 e H∞ seja certificada por meio de matrizes de Lyapunov
dependentes polinomialmente das incertezas que afetam tanto a matriz de transição quanto as matrizes dos modos de operação do sistema. Para construir uma matriz de Lyapunov assegurando a estabilidade robusta do sistema em malha fechada, supõe-se que as matrizes de cada modo de operação pertençam a um politopo distinto e cada linha incerta da matriz de transição seja descrita em termos de parâmetros pertencentes a um simplex unitário. Em seguida, todos os parâmetros incertos são agrupados em um mesmo domínio gerado pelo produto cartesiano de simplexos, chamado de multi-simplex (OLIVEIRA et al., 2008).
Explo-rando essa representação, condições suficientes para síntese H2 e H∞ de filtros de ordem
completa e controladores são propostas em termos de desigualdades matriciais com busca em parâmetros escalares, as quais tornam-se LMIs para valores fixos desses escalares. Tais condições consideram a hipótese de observação nula, parcial ou total dos modos de operação. A abordagem proposta pode produzir resultados menos conservadores, em termos de custos garantidos H2 e H∞, do que outras disponíveis na literatura, ao custo de um aumento no
es-forço computacional associado ao emprego de graus maiores nas matrizes de Lyapunov e nas variáveis de folga, ou realização de uma busca linear nos parâmetros escalares. Experimentos numéricos ilustram os resultados obtidos pela metodologia proposta.
A estrutura da tese e a descrição resumida de cada capítulo é apresentada a seguir.
Capítulo 1: Este capítulo introduz as notações, apresenta as definições e conceitos que são utilizados no decorrer desta tese, os resultados preliminares relacionados às condições LMIs para o cômputo das normas H2 e H∞de sistemas markovianos, descreve a modelagem
multi-simplex do conjunto de incertezas e também apresenta a sistemática para manipular matrizes polinomiais.
Capítulo 2: No segundo capítulo são apresentadas novas condições LMIs suficientes associadas com busca em um parâmetro escalar para a síntese de controladores H2 e H∞ por
reali-mentação de estados para MJLS contínuos e discretos usando matrizes de Lyapunov polinomiais de grau arbitrário. As condições propostas podem tratar o caso de obser-vabilidade parcial dos modos. A eficiência do método e seu menor conservadorismo é destacado por comparações numéricas com outras técnicas da literatura.
Capítulo 3: No terceiro capítulo, condições LMIs para a síntese de controladores estáticos por re-alimentação de saída para MJLS incertos são propostas em dois passos: o primeiro, apresentado no Capítulo 2, gera um ganho de realimentação de estados dependente de parâmetros que será empregado como entrada para o segundo estágio, o qual
for-nece um ganho estático e robusto por realimentação de saída que assegura um custo garantido H2 ou H∞ para o MJLS em malha fechada.
Capítulo 4: Este capítulo apresenta novas condições na forma de LMIs para o projeto de filtros robustos H2 ou H∞ de ordem completa, próprios e estritamente próprios, dependentes
ou independentes de modos para MJLS com incertezas nas matrizes de transição e nos modos. O emprego de matrizes de Lyapunov e variáveis de folga com dependência polinomial nos parâmetros incertos combinado com a busca nos parâmetros escalares permite reduzir o conservadorismo das condições, conforme evidenciado pelas simula-ções e exemplos numéricos.
Conclusões: Finalizam o trabalho apresentando as principais conclusões e perspectivas para pesqui-sas futuras na área, além de listar os artigos produzidos como resultado desta tese.
CAPÍTULO
1
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Neste capítulo são introduzidos os fundamentos necessários para a familiarização do leitor com a descrição de um sistema markoviano e o modelamento multi-simplex para tratar as incertezas que afetam os modos de operação do sistema e as matrizes de transição que governam os saltos entre os modos. Adicionalmente, é apresentado um procedimento siste-mático para manipular matrizes polinomiais homogêneas de graus arbitrários. Também são apresentadas condições LMIs para a análise de estabilidade e cômputo de custos garantidos H2 e H∞ para sistemas markovianos com dependência polinomial nos parâmetros.
1.1 Sistemas markovianos politópicos com matrizes de transição
in-certas
Os conjuntos de números naturais e reais são representados, respectivamente, por N e R. Define-se Rn como espaço Euclidiano de n-ésima dimensão com a notação usual de
norma k·k, e K , {1, . . . , σ} como um conjunto finito contendo todos os modos de operação do sistema. Considere que Ω, F,nF(·)
o
denota o espaço de probabilidades fundamental, no qual o operador (·) representa (t) para o tempo contínuo e (k) no domínio discreto. O processo estocástico {θt; t ≥ 0} representa a cadeia de Markov homogênea contínua no tempo
(respectivamente, {θk; k ≥ 0}, para o caso discreto), assumindo valores no conjunto K, que
descreve o espaço de estados, e estando associado às seguintes probabilidades de transição
Pr (θt+h = j | θt= i) =
rijh+ o(h), com rij ≥ 0, i 6= j
1 + rijh+ o(h), com rij = − σ X
j=1 j6=i
em que h > 0, lim
h→0(o(h)/h) = 0, e rij é a taxa de transição do modo i no instante t ao modo
j no instante t + h. Adicionalmente, a matriz de taxas de transição no processo markoviano
contínuo é dada por Γ = [rij], ∀i, j ∈ K. Neste trabalho, em especial para o caso contínuo
no tempo, assume-se que cada elemento rij possa pertencer ao intervalo limitado [rij, rij],
ou seja, rij ≤ rij ≤ rij ou possa ser completamente desconhecido, isto é, rij =? com limites
indefinidos. Para tratar esses dois casos, considere que as taxas de transição possam ser agrupadas nos seguintes conjuntos (SHEN; YANG, 2012c; SHEN; YANG, 2012b; SHEN; YANG,
2012a) Ii K , n j : rij ≤ rij ≤ rij o e Ii U K , n j : j /∈ Ii K o . (1.1) Note que Ii
K engloba dois casos: rij completamente conhecido e rij limitado, enquanto IU Ki
deixa de ser vazio quando pelo menos algum elemento da diagonal de Γ não possui limitante inferior. Note também que nesse caso, devido à falta de informações específicas a respeito das taxas de transição, as condições de projeto de filtros ou controladores para esses MJLS tendem a ser mais conservadoras.
Para o caso discreto, o processo {θk; k ≥ 0} é descrito por uma cadeia de Markov
homogênea discreta no tempo, a qual assume valores no conjunto finito K associado a uma matriz de probabilidades de transição Π = [pij], com pij ≥ 0, Pσj=1pij = 1, ∀i, j ∈ K, na
qual
pij = Pr (θk+1 = j | θk= i) , ∀k ≥ 0.
A distribuição de probabilidades da cadeia de Markov no instante inicial é dada por
µ= (µ1, . . . , µσ) de forma que Pr (θ0 = i) = µi.
Define-se ℓnw
2 como o espaço de Hilbert formado pelo processo estocástico w = {w(·);
k, t ≥ 0} tal que, para cada t ≥ 0, wt ∈ Rnw é uma variável aleatória Ft-mensurável e
k w k22, ∞
Z
0
Ehkw(t)k2idt < ∞,
para MJLS contínuos, ou, para cada k ≥ 0, wk∈ Rnw é uma variável aleatória Fk-mensurável
e k w k22, ∞ X k=0 Ehkw(k)k2i< ∞,
para MJLS discretos, em que E [·] representa a esperança matemática. Finalmente, considere os seguintes MJLS em tempo contínuo
Gc = ˙x(t) = Aθt(α)x(t) + Eθt(α)w(t) z(t) = Cz θt(α)x(t) + Ez θt(α)w(t) t ≥0, w(t) ∈ ℓnw 2 , E h kx(0)k2i< ∞. (1.2)
e discreto Gd = x(k + 1) = Aθk(α)x(k) + Eθk(α)w(k) z(k) = Cz θk(α)x(k) + Ez θk(α)w(k) k ≥0, w(k) ∈ ℓnw 2 , E h kx(0)k2i< ∞. (1.3)
sendo que x(·) ∈ Rnx representa o estado, w(·) ∈ Rnw é a entrada de ruídos e z(·) ∈ Rnz é
a saída controlada. Para simplificar a notação, sempre que possível, θ(·) será substituído por
i, ∀i ∈ K, de forma que as matrizes do sistema associadas ao i-ésimo modo sejam denotadas
por Mi(α) = Mθ(·)(α) com Mi(α) representando qualquer matriz incerta dos sistemas dados
em (1.2) e (1.3). Todas as matrizes do conjunto {Ai(α) ∈ Rnx×nx, Ei(α) ∈ Rnx×nw, Cz i(α) ∈
Rnz×nx, E
z i(α) ∈ Rnz×nw}, podem ser escritas como uma combinação convexa de Vi vértices
conhecidos Mi(αi) = Vi X v=1 αivMiv, ∀i ∈ K (1.4)
e αi é um parâmetro invariante no tempo pertencente a um simplex unitário, o qual pode ser
descrito genericamente por
Λη , ζ = (ζ1, . . . , ζη) ∈ R η : η X j=1 ζj = 1, ζj ≥ 0, j = 1, . . . , η (1.5)
em que η é a dimensão do simplex (número de parâmetros) e, em particular para a matriz dada em (1.4), tem-se η = Vi.
Adicionalmente, os seguintes conceitos são necessários para desenvolver os resul-tados apresenresul-tados neste trabalho. Primeiramente, define-se estabilidade por média qua-drática (MSS, do inglês Mean Square Stability), um conceito de estabilidade aplicado aos MJLS (DE FARIAS et al., 2000;BOUKAS, 2005; COSTA et al., 2005).
Definição 1.1. O sistema (1.2) é MSS se, para qualquer condição inicial x(0) ∈ Rnx, θ
0 ∈ K,
com w(t) ≡ 0, a seguinte expressão é verificada
lim
t→∞Ekx(t)k 2 = 0
Definição 1.2. O sistema (1.3) é MSS se, para qualquer condição inicial x(0) ∈ Rnx, θ
0 ∈ K,
com w(k) ≡ 0, a seguinte expressão é verificada
lim
k→∞Ekx(k)k 2 = 0
Assim como na maioria das pesquisas em teoria de controle robusto, o objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de técnicas que permitam projetar filtros e controladores que proporcionem, em malha fechada, estabilidade robusta, eventualmente minimizando alguma função objetivo associada a um índice de desempenho geralmente representado por uma
norma. A norma H2 está relacionada com o problema linear quadrático e é normalmente
utilizada para especificar critérios associados à energia, enquanto a norma H∞pode ser
utili-zada para representar critérios de robustez relacionados à rejeição de distúrbios. Os conceitos apresentados a seguir consistem em generalizações do caso determinístico para o cômputo das normas H2 e H∞ para os MJLS Gc, dado em (1.2), e Gd, dado em (1.3), e podem ser
definidos como (DE FARIAS et al., 2000;DO VAL et al., 2002; COSTA; DO VAL, 1996):
Definição 1.3. A norma H2 de um MJLS MSS contínuo Gc é definida como
kGck22 = nw X s=1 σ X i=1
µikzs,i(t)k22, kzs,i(t)k22 , limt→∞E
Z t
0 kzs,i(τ)k
2dτ < ∞
em que zs,i(t) representa a saída {z(t); t ≥ 0} quando:
a) a entrada é dada por w(t) = esδ(t), para t ≥ 0, δ(t) sendo o impulso unitário e es o
vetor nw-dimensional unitário formado por 1 na s-ésima posição e zero nas demais; b) x(0) = 0 e θ0 = i.
Definição 1.4. A norma H∞ de um MJLS MSS contínuo Gc, dada por kGck∞, é o menor
valor de γ > 0 tal que
kz(t)k2
kw(t)k2
< γ seja assegurada para todo w(t) ∈ ℓ2.
Definição 1.5. A norma H2 de um MJLS MSS discreto Gd é definida como
kGdk22 = nw X s=1 σ X i=1 µikzs,i(k)k22,
em que zs,i(k) representa a saída {z(k); k = 0, 1, . . .} quando:
a) a entrada é dada por w = w(k); k = 0, 1, . . ., com w(0) = es e w(k) = 0, k = 1, 2, . . .
sendo que es é o vetor nw-dimensional unitário formado por 1 na s-ésima posição e
zero nas demais; b) x(0) = 0 e θ0 = i.
Definição 1.6. A norma H∞ de um MJLS MSS discreto Gd da entrada w(k) para a saída z(k) é γ = kGdk∞ definida por kGdk2∞, sup 06=w∈ℓ2,θ0∈K kz(k)k2 2 kw(k)k2 2 . (1.6)
As condições LMIs referentes a MJLS propostas nesse trabalho requerem uma re-presentação polinomial das matrizes incertas com dependência polinomial de grau um em ΛNs, s = 1, . . . , m, em que m é o número de simplexos. Para representar genericamente os
parâmetros incertos que afetam tanto a matriz de transição quanto as matrizes do sistema associadas aos modos de operação, um procedimento sistemático e genérico é proposto a seguir.
1.1.1
Representação multi-simplex dos parâmetros incertos
Este trabalho considera um cenário em que as matrizes de transição Γ(α) ou Π(α) são afetadas por algum tipo de incerteza. Diferentemente do caso discreto em que todas as probabilidades pij possuem limitantes máximos conhecidos dados por 0 ≤ pij ≤ pij ≤ pij ≤ 1, no caso contínuo, o tratamento das incertezas relacionadas com a matriz de taxas
de transição Γ(α) é separado em dois casos, i ∈ Ii
K e i ∈ IU Ki . Supondo que i ∈ IU Ki ,
isto é, quando os limitantes inferiores dos elementos diagonais de Γ não são conhecidos, este texto emprega uma estratégia análoga à que foi apresentada em (SHEN; YANG, 2012b) que
envolve majorações e o desenvolvimento de condições em geral mais conservadoras, que, no entanto, conseguem lidar com essa falta de informação a respeito das taxas de transição. Por outro lado, se i ∈ Ii
K no caso contínuo, ou a matriz de probabilidades de transição em
tempo discreto é parcialmente conhecida, é possível utilizar uma metodologia sistemática para representar todas as incertezas (sejam intervalares, politópicas ou afins) em um mesmo domínio. Nesse caso, cada uma das nc linhas incertas de Γ ou Π pode ser descrita por
parâmetros pertences a um simplex unitário ΛLs, s = 1, . . . , nc, impondo, respectivamente,
que todos os elementos de uma linha devem somar zero (Pσ
j=1rij = 0) em tempo contínuo,
ou ter soma unitária (Pσ
j=1pij = 1) em tempo discreto, de forma similar ao que foi feito
em (GONÇALVES et al., 2012). Em seguida, os parâmetros das linhas incertas são combinados
em um único domínio, chamado multi-simplex, cuja definição é apresentada a seguir. Observe novamente que essa técnica é utilizada no caso contínuo para tratar apenas as linhas de Γ cujos elementos diagonais rii =? são considerados limitados na forma rii ≥ ˆri, em que ˆri é
um limitante inferior conhecido para rii (ZHANG; LAM, 2010; WEI et al., 2013).
Para ilustrar a metodologia proposta, considere uma matriz de taxas de transição de um MJLS contínuo com quatro modos de operação descrita por
Γ = −1.3 0.2 0.8 0.3 0.4 −1.2 0.6 0.2 ? 0.5 ? 0.5 0.0 [2.0, 6.0] [0.0, 5.0] [−10.0, −2.0] (1.7)
com um limitante inferior para o elemento r33 dado por ˆr3 = −1.5. A primeira e a segunda
linha de Γ são precisamente conhecidas, correspondendo, cada uma, a um único vértice
r1 =
h
−1.3 0.2 0.8 0.3i e r2 =
h
0.4 −1.2 0.6 0.2i.
Para obter os vértices do politopo que representa a terceira linha, é necessário determinar os limitantes inferiores, r31= 0 e r33= ˆr3 = −1.5, e superiores
r31 = − X ℓ∈{2,3,4} r3ℓ= 0.5 e r33 = − X ℓ∈{1,2,4} r3ℓ= −1.0,
dos elementos desconhecidos. Sendo assim, a terceira linha pode ser escrita como uma com-binação convexa dos vértices
r3(10)= h 0.5 0.5 −1.5 0.5i e r(01) 3 = h 0.0 0.5 −1.0 0.5i gerados por inspeção (o politopo sendo uma linha reta), tal que
r3(α1) = α11r(10)3 + α12r(01)3 , α1 = (α11, α12) ∈ Λ2.
Note que α1 pertence ao simplex unitário Λ2 de dimensão L1 = 2 e pode ser decomposto
em dois parâmetros α11 e α12, em que o primeiro índice não está associado à posição da
linha incerta na matriz de transição e sim a qual simplex unitário esse parâmetro pertence. O segundo índice está relacionado ao vértice do simplex unitário. Adicionalmente, o termo sobrescrito não só está associado ao vértice da representação politópica da linha incerta correspondente, como também explicita o expoente de cada um dos parâmetros incertos, de forma que r3(α1) = α111α012r
(10)
3 + α011α121 r (01) 3 .
A quarta linha pode ser representada pela intersecção entre o paralelepípedo retan-gular formado pelos limitantes de cada taxa de transição incerta individual e o plano asso-ciado ao fato de que a soma de todos os elementos de uma única linha deve ser nula, i.e.,
P
j∈Kr4j = 0. Neste caso, os vértices são dados por
r(10000)4 = [0 6 4 − 10], r (01000) 4 = [0 5 5 − 10], r (00100) 4 = [0 2 5 − 7], r(00010)4 = [0 2 0 − 2], r (00001) 4 = [0 6 0 − 6]
de forma que a representação da quarta linha no simplex unitário é
r4(α2) = α21r(10000)4 + α22r(01000)4 + α23r(00100)4 + α24r(00010)4 + α25r(00001)4 ,
α2 = (α21, α22, α23, α24, α25) ∈ Λ5.
A determinação dos vértices pode ser realizada para um problema de qualquer di-mensão resolvendo-se um sistema de equações que utilizam como informação os limitantes
máximos e mínimos de cada elemento e o fato da soma da linha ser nula para Γ ou unitá-ria para Π. Para isso, emprega-se alguma ferramenta computacional como, por exemplo, o
Multi-Parametric Toolbox (KVASNICA et al., 2004), que consiste em uma plataforma gratuita
para usuários de MATLAB. Nesse caso, com o comando Poly = polytope(Hi, Ki) gera-se um politopo respeitando Hixi ≤ Ki com
Inpci −Inpci 11,npci | {z } Hi ri1 ... rinpci | {z } xi = 1 · · · 0 0 ... 0 0 · · · 1 −1 · · · 0 0 ... 0 0 · · · −1 1 · · · 1 ri1 ... rinpci ≤ ri1 ... rinpci ri1 ... rinpci − P j∈Ii K rij | {z } Ki , (1.8)
em que npci é o número de elementos parcialmente conhecidos da linha i e 11,npci representa
um vetor 1 × npci contendo elementos unitários. Em seguida, os vértices ou pontos extremos
do politopo são recuperados pelo emprego da função extreme(Poly).
Após determinar os vértices de todas as linhas, o segundo passo consiste em agrupar os parâmetros incertos de cada linha em um único domínio, gerado pelo produto cartesiano de nc simplexos unitários Λ = ΛL1 × ΛL2 × · · · × ΛLnc, chamado multi-simplex (OLIVEIRA et
al., 2008), como definido a seguir.
Definição 1.7(Multi-simplex). Um multi-simplex Λ é o produto cartesiano Λ = ΛN1×ΛN2×
· · · × ΛNm de um número finito m de simplexos unitários ΛN1, . . . ,ΛNm. A dimensão de Λ é
definida como o índice N = (N1, . . . , Nm). Por facilidade de notação, RN denota o espaço
RN1+···+Nm. Um dado elemento α ∈ Λ é um vetor pertencente a RN e pode ser decomposto
como (α1, α2, . . . , αm) de acordo com a estrutura de Λ e, consequentemente, cada αs (sendo
Λs⊂ RNs), s = 1, . . . , m, é decomposto na forma (αs1, αs2, . . . , αsNs).
Para exemplificar a definição acima, considere um multi-simplex dado por Λ = Λ3×
Λ2 × Λ3. Nessa situação qualquer elemento genérico α ∈ Λ pode ser escrito como α =
(α1, α2, α3) com α1 = (α11, α12, α13) ∈ Λ3, α2 = (α21, α22) ∈ Λ2 e α3 = (α31, α32, α33) ∈ Λ3.
É importante mencionar que a abordagem proposta também pode tratar matrizes de taxas ou probabilidades de transição pertencentes a um politopo (EL GHAOUI; AIT-RAMI,
1996; COSTA et al., 1997; COSTA et al., 1999; NILIM; El GHAOUI, 2005; DE SOUZA, 2003;
OLI-VEIRA et al., 2009;GONÇALVES et al., 2011); nesse caso todos os parâmetros incertos pertencem
Para o exemplo apresentado em (1.7), o número de simplexos ou linhas parcialmente conhecidas é nc = 2 e o conjunto de incertezas possui dimensão (L1, L2) = (2, 5), em que Lsé
o número de vértices da s-ésima linha incerta, s = 1, . . . , nc, de tal forma que a representação
de Γ no domínio multi-simplex produza a seguinte matriz polinomial
Γ(α) = α11 α21Γ(1010000)+ α22Γ(1001000) + α23Γ(1000100)+ α24Γ(1000010)+ α25Γ(1000001) + α12 α21Γ(0110000)+ α22Γ(0101000)+ α23Γ(0100100)+ α24Γ(0100010)+ α25Γ(0100001) , α= (α1, α2) ∈ Λ = Λ2× Λ5
com Γ(·) gerada pela combinação dos vértices associados às linhas de Γ em (1.7). Por exemplo,
o coeficiente matricial Γ(0100100) é dado pela combinação dos vértices r(01) 3 e r (00100) 4 , ou seja, Γ(0100100) = r1 r2 r3(01) r(00100)4 = −1.3 0.2 0.8 0.3 0.4 −1.2 0.6 0.2 0.0 0.5 −1.0 0.5 0.0 2.0 5.0 −7.0 . (1.9)
Para facilitar a programação das condições LMIs propostas nesta tese, as quais re-querem a representação de Γ(α) no domínio multi-simplex, uma rotina que gera os coefici-entes matriciais Γ(·) foi construída e está disponível para download em http://www.dt.fee.
unicamp.br/~ricfow/programs/Gamma_Multi_Simplex_Cont.m. Adicionalmente, em tempo discreto, a rotina que determina os vértices de Π(α) pode ser encontrada em http://www. dt.fee.unicamp.br/~ricfow/programs/Gamma_Multi_Simplex.m
Por conseguinte, as incertezas afetando as matrizes do sistema e as incertezas inter-valares associadas às linhas parcialmente conhecidas da matriz de taxa ou probabilidades de transição são agrupadas em um mesmo domínio, gerado pelo produto cartesiano de m = nc+σ
simplexos unitários Λ = ΛL1× · · · × ΛLu× ΛV1× · · · × ΛVσ. Para esse novo conjunto, a
dimen-são de Λ é definida como o índice N = (N1, . . . , Nm) = (L1, . . . , Lnc, V1, . . . , Vσ), em que Vi
indica o número de vértices do modelo politópico da planta associado a cada modo de opera-ção individual, i = 1, . . . , σ, e Ll representa o número de vértices de cada linha parcialmente
conhecida, l = 1, . . . , nc, da matriz de transição.
Uma extensão das condições necessárias e suficientes provadas em (COSTA et al., 2013)
para a análise de estabilidade por média quadrádica de MJLS politópicos contínuos com matrizes de taxa de transição incertas (Γ(α) = [rij(α)]) é apresentada a seguir.
simétricas e definidas positivas Pi(α), ∀i ∈ K, tais que a LMI dependente de parâmetros1 AT i (α)Pi(α) + Pi(α)Ai(α) + σ X j=1 rij(α)Pj(α) < 0 (1.10) ou, equivalentemente, Ai(α)Pi(α) + Pi(α)ATi (α) + σ X j=1 rji(α)Pj(α) < 0, (1.11)
seja assegurada para cada i ∈ K e para todo α ∈ Λ.
Para o caso discreto com Π(α) = [pij(α)], uma extensão das condições provadas
em (COSTA; FRAGOSO, 1993; COSTA et al., 2005) para análise de estabilidade por média
quadrática é fornecida no lema seguinte.
Lema 1.2. O sistema (1.3), com w(k) ≡ 0, é MSS se e somente se existirem matrizes
simétricas e definidas positivas Pi(α), ∀i ∈ K, tais que a LMI dependente de parâmetros
AT i (α) σ X j=1 pij(α)Pj(α) Ai(α) − Pi(α) < 0, (1.12) ou, equivalentemente, Ai(α) σ X j=1 pji(α)Pj(α) ATi (α) − Pi(α) < 0, (1.13) seja assegurada para cada i ∈ K e para todo α ∈ Λ.
O lema seguinte mostra uma extensão para computar o custo garantido H2 para MJLS
politópicos contínuos com matriz Γ(α) de taxa de transição incerta (DE FARIAS et al., 2000;
COSTA et al., 2013).
Lema 1.3. O sistema (1.2), com Ez i(α) nula, é MSS e kGck2 < ρ se e somente se existirem
matrizes simétricas e definidas positivas dependentes de parâmetros Pi(α) ∈ Rnx×nx, ∀i ∈ K,
tais que as LMIs dependentes de parâmetros2,3
σ X i=1 µiTraçoEiT(α)Pi(α)Ei(α) < ρ2, (1.14) 1
O símbolo sobrescrito (T ) denota a operação de transposição.
2
O símbolo ⋆ representa um bloco simétrico na LMI.
3
Para matrizes quadradas, Traço(·) representa o traço ou soma dos valores na diagonal principal, que é igual a soma dos autovalores da matriz.
AT i (α)Pi(α) + Pi(α)Ai(α) + σ P j=1rij(α)Pj(α) ⋆ Cz i(α) −I <0, (1.15) sejam asseguradas para cada i ∈ K e para todo α ∈ Λ. Minimizando ρ sob as restrições (1.14)
e (1.15), a norma H2 de pior caso do sistema (1.2) pode ser computada.
O lema para o cômputo do custo H2 para MJLS politópicos discretos com matriz Π(α)
de probabilidades de transição incerta é apresentado em seguida (OLIVEIRA et al., 2009).
Lema 1.4. O sistema (1.3) é robustamente MSS e kGdk2 < ρ se e somente se existirem
matrizes simétricas e definidas positivas dependentes de parâmetros Pi(α) ∈ Rnx×nx, ∀i ∈ K,
tais que as LMIs dependentes de parâmetros L(α) = σ X j=1 µjTraço ET j (α) σ X ℓ=1 pjℓ(α)Pℓ(α) ! Ej(α) + EzTj(α)Ez j(α) ! < ρ2 (1.16) Mi(α) = AT i(α) σ X j=1 pij(α)Pj(α) Ai(α) − Pi(α) + CzTi (α)Cz i(α) < 0 (1.17) ou, equivalentemente, por dualidade,
σ X j=1 TraçoCz j(α)Pj(α)CzjT(α) + µjEz j(α)EzTj(α) < ρ2 (1.18) σ X j=1
pji(α)Aj(α)Pj(α)ATj(α) + µjEj(α)E T
j (α)
− Pi(α) < 0 (1.19)
sejam asseguradas para cada i ∈ K e para todo α ∈ Λ. Minimizando ρ sob as restrições (1.16)
e (1.17), ou (1.18) e (1.19), a norma H2 de pior caso do sistema (1.3) pode ser computada.
Para o cômputo do custo garantido H∞ para o sistema politópico contínuo (1.2)
com matriz de transição incerta na representação multi-simplex é apresentada uma extensão
de (COSTA et al., 2013) no lema seguinte.
Lema 1.5.O sistema (1.2) é MSS e kGck∞ < γ se e somente se existirem matrizes simétricas
e definidas positivas dependentes de parâmetros Pi(α) ∈ Rnx×nx, ∀i ∈ K, tais que as LMIs
dependentes de parâmetros σ P j=1rij(α)Pj(α) + Ai(α) TPi(α) + P i(α)Ai(α) ⋆ ⋆ Ei(α)Pi(α) −I ⋆ Cz i(α) Ez i(α) −γ2I <0 (1.20)
sejam asseguradas para cada i ∈ K e para todo α ∈ Λ. Minimizando γ sob as restrições (1.20),
O resultado apresentado no lema seguinte pode ser visto como uma extensão do Teorema 1 de (SEILER; SENGUPTA, 2003) para o sistema discreto (1.3).
Lema 1.6. O sistema (1.3) é MSS e kGdk∞ < γ se e somente se existirem matrizes
simé-tricas e definidas positivas dependentes de parâmetros Pi(α) ∈ Rnx×nx, ∀i ∈ K, tais que as
desigualdades dependentes de parâmetros
Hi(α) = AT i (α) σ P j=1pij(α)Pj(α)Ai(α) − Pi(α) ⋆ ⋆ ET i (α) σ P j=1pij(α)Pj(α)Ai(α) E T i (α) σ P j=1pij(α)Pj(α)Ei(α) − γ 2I ⋆ Cz i(α) Ez i(α) −I <0 (1.21)
sejam asseguradas para cada i ∈ K e para todo α ∈ Λ. Minimizando γ sob as restrições (1.21),
obtém-se a norma H∞ de pior caso do sistema (1.3).
Os lemas 1.5 e 1.6 podem ser vistos como o bounded real lemma (COSTA et al., 2013;
SEILER; SENGUPTA, 2003) aplicado aos MJLS incertos contínuo e discreto, dados
respectiva-mente por (1.2) e (1.3).
Claramente, os lemas 1.3, 1.4, 1.5 e 1.6 apresentam problemas de dimensão infinita baseados em LMIs dependentes de parâmetros, uma vez que as condições devem ser satis-feitas para todo α ∈ Λ. Contudo, em (BLIMAN, 2004) foi provado que LMIs dependentes
de parâmetros admitem uma solução que é polinomial de certo grau g (em princípio des-conhecido) nos parâmetros, sempre que uma solução existir. Especificamente no caso de parâmetros pertencentes ao multi-simplex Λ, a solução pode ser aproximada por uma so-lução polinomial Λ-homogênea de graus parciais suficientemente grandes gs, s = 1, . . . , m,
sem perda de generalidade (OLIVEIRA et al., 2008). A seguir serão apresentadas a notação e
as definições relacionadas a polinômios Λ-homogêneos no domínio multi-simplex necessárias para desenvolver condições numericamente tratáveis.
Definição 1.8 (Polinômio Λ-homogêneo). Dado um multi-simplex Λ de dimensão N, um
polinômio f (α) definido em RN e assumindo valores em um espaço vetorial de
dimen-são finita é Λ-homogêneo se, para qualquer s0 ∈ {1, . . . , m}, e para qualquer αNs ∈ R
Ns,
s ∈ {1, . . . , N} {s0} dado, a aplicação parcial αNs0 ∈ RNs0 7−→ P (α) for um polinômio
homogêneo.
Para exemplificar o conceito acima, considere o multi-simplex Λ = Λ3 × Λ2 e o
po-linômio homogêneo f(α) = 4α2
11(α321+ α221α22) + α11α12α322+ 5α213α21α222. Nesse caso, cada
Com o intuito de obter um polinômio Λ-homogêneo a partir de um não homogêneo é apresentada a seguinte definição.
Definição 1.9 (Λ-complemento). Dado um multi-simplex Λ de dimensão N e um polinômio
f(α) definido em RN assumindo valores em um espaço vetorial de dimensão finita, o
Λ-complemento de f (α), denotado por compΛ(f(α)), é o (único) polinômio Λ-homogêneo de
grau mínimo igual a f (α) em Λ.
O Λ-complemento de f(α) pode ser obtido do produto de cada termo por somatórios (αs1+ . . . + αsNs)
βs com grau mínimo β
s. Por exemplo, para Λ = Λ3× Λ2, o Λ-complemento
de f(α) = 4α2
11(1 + α221α22) + α12α322 é dado por
compΛ(f(α)) = 4α211(α21+ α22)3+ 4α211α212 α22+ (α11+ α12+ α13)α12α322, (1.22)
o qual representa um polinômio homogêneo de grau g = (2, 3), ou seja, graus parciais g1 = 2
nas componentes α1 ∈ Λ3 e g2 = 3 nas componentes de α2 ∈ Λ3.
Dados graus parciais g = (g1, . . . , gm) ∈ Nm de dependência polinomial dos
parâme-tros incertos, qualquer matriz polinomial homogênea Pi(α) pode ser representada
generica-mente por
Pi(α) = X
k∈K(g)
αkP
ik, (1.23)
sendo que os elementos αksão monômios homogêneos de grau g
sem cada variável αs, ou seja, αk = αk1 1 α k2 2 . . . αkmm e αkss = α ks1 s1 α ks2 s2 . . . α ksNs sNs em que ks = (ks1, . . . , ksNs), com ksq∈ N e q =
1, . . . , Ns, é tal que ks1+. . .+ksNs = gs, sendo Nso número de vértices de cada simplex unitário
e Piko respectivo coeficiente matricial. Os índices k = (k1, k2, . . . , km) são obtidos combinando
todas as N-uplas dos conjuntos KNs(gs), s = 1, . . . , m. Por definição, KNs(gs) é o conjunto
de N-uplas obtidas de todas as possíveis combinações de Ns inteiros não negativos com soma gs, e o conjunto K(g) identifica o produto cartesiano K(g) = KN1(g1) × . . . × KNm(gm). Por
exemplo, um polinômio Λ-homogêneo com dimensões m = 2, g = (2, 1), N = (2, 3) fornece K(g) = K2(2) × K3(1) = {(2, 0), (1, 1), (0, 2)} × {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
= {(2, 0, 1, 0, 0), (2, 0, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0, 0), (0, 2, 0, 1, 0), (0, 2, 0, 0, 1)} correspondendo ao seguinte polinômio matricial
Pi(α) = X
k∈K(g)
αkP
ik = α211α21Pi20100+ α211α22Pi20010+ α211α23Pi20001+ α11α12α21Pi11100+ α11α12α22Pi11010+ α11α12α23Pi11001+
Operações de soma k + k′ e subtração k − k′ (sempre que k′ ≤ k) são definidas componente
a componente. Adicionalmente, com o intuito de homogeneizar todos os termos das condi-ções LMIs propostas nos capítulos seguintes, ou seja, obter uma condição em que todos os monômios tenham o mesmo grau, define-se o coeficiente multiplicativo π(·) dado por
π(k) = (k11!)(k12!) · · · (k1N1!) · · · (km1!) · · · (kmNm!) e π(g) = (g1!)(g2!) · · · (gm!) (1.24)
para qualquer índice k e qualquer vetor m-dimensional, respectivamente.
Seguindo as definições apresentadas anteriormente, a representação multi-simplex de qualquer matriz politópica Mi(α) dos sistemas (1.2) e (1.3) é dada por
Mi(α) = X k∈K(ǫi) αkM ik sendo ǫi = ( nc z }| { 0, . . . , 0, σ z }| {
0, . . . , 1, . . . , 0) um vetor unitário com m elementos, cuja componente
nc + i é igual a 1. Por exemplo, considere um MJLS com dois modos, 1 e 2, que possam
ser descritos, respectivamente, por politopos com V1 = 2 e V2 = 3 vértices e uma matriz
de transição com nc = 1 linha desconhecida (L1 = 2). Para representar qualquer matriz
do modelo da planta associado ao segundo modo de operação do MJLS no domínio multi-simplex, primeiramente define-se
ǫ2 = ( nc=1 z}|{ 0 , σ=2 z}|{ 0, 1), e, em seguida o conjunto K(ǫ2) é determinado
K(ǫ2) = K(0, 0, 1) = KL1=2(0) × KV1=2(0) × KV2=3(1) = {(0, 0)} × {(0, 0)} × {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = {(0, 0, 0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)}. Finalmente, obtém-se M2(α) = V2 X j=1 αnc+ijM2j = α31M21+ α32M22+ α33M23 = X k∈K(ǫ2) αkM2k = α31M20000100 + α32M20000010 + α33M20000001,
em que α = (α1, α2, α3) ∈ Λ = Λ2 × Λ2× Λ3 e cada vértice j de uma matriz de um modelo
politópico da planta associada a um modo de operação i é representado por Mij = Mik, j = 1, . . . , Vi, e k ∈ K(ǫi).
1.1.2
Lemas e notações auxiliares
Para o desenvolvimento das provas é necessário empregar dois lemas, cujas utilidades são separar as matrizes de Lyapunov das outras matrizes do sistema, eliminar variáveis, ou
ainda aumentar a liberdade na busca de soluções factíveis ao acrescentar variáveis extras. O primeiro, também conhecido como Lema da Projeção (GAHINET; APKARIAN, 1994;IWASAKI;
SKELTON, 1994; SKELTON et al., 1998), é reproduzido a seguir.
Lema 1.7 (Lema da Projeção). Dadas uma matriz simétrica Q ∈ Rm×m e duas matrizes U
e V com m colunas, existe uma matriz não estruturada X que satisfaz
UTXV + VTXTU + Q < 0 (1.25) se e somente se as desigualdades de projeção em relação a X são satisfeitas
NUTQNU <0 (1.26)
NT
VQNV <0 (1.27)
sendo que NU e NV são matrizes arbitrárias cujas colunas formam uma base para o espaço
nulo de U e V , respectivamente.
Também é possível usar o Lema de Finsler (DE OLIVEIRA; SKELTON, 2001) para obter
condições equivalentes para síntese de controladores, filtros e cômputo de normas.
Lema 1.8 (Lema de Finsler). Sejam w ∈ Rn
, Q ∈ Rn×n e B ∈ Rm×n com rank(B) < n e
B⊥ uma base para o espaço nulo de B, isto é, BB⊥ = 0. Então as seguintes condições são
equivalentes: i) w′Qw < 0, ∀w 6= 0 : Bw = 0; ii) (B⊥)TQB⊥ <0; iii) ∃ µ ∈ R : Q − µBTB < 0; iv) ∃ X ∈ Rn×m: Q + X B + BT XT <0;
Outro resultado importante para o desenvolvimento de relaxações LMIs é introduzido pela extensão do Teorema de Pólya para polinômios com coeficientes matriciais (HARDY et
al., 1952) que fornece uma metodologia sistemática para testar a positividade de matrizes
po-linomiais homogêneas com parâmetros no simplex unitário (SCHERER, 2003;SCHERER, 2005;
OLIVEIRA; PERES, 2007), cujas propriedades podem ser estendidas para o multi-simplex (
OLI-VEIRA et al., 2008).
Teorema 1.1 (Pólya). Seja f(α) , f(α1, α2, . . . , αN) um polinômio homogêneo escalar que
é positivo ∀α ∈ ΛN, então para um grau d suficientemente grande, o polinômio resultante do
produto
