Sistemas dinˆamicos tˆem sido estudados como modelos de fenˆomenos que evoluem no tempo, nas mais diversas ´areas da ciˆencia. Constituem uma forma de se conhecer, prever, ou mesmo de se controlar o comportamento de sistemas modelados por equac¸˜oes diferenciais ou equac¸˜oes de diferenc¸as. Particular atenc¸˜ao foi dada nesse cap´ıtulo ao estudo de sistemas n˜ao-lineares, muito comuns na Natureza, mas de dif´ıcil an´alise, devido `a sua intr´ınseca com- plexidade. Outra classe de sistemas dinˆamicos tamb´em muito estudados s˜ao aqueles de alta dimensionalidade, como, por exemplo, os modelos RNAs que s˜ao apresentados nos cap´ıtulos subseq¨uentes.
Basicamente, neste cap´ıtulo, foram revistos os principais conceitos de dinˆamica, sendo que aspectos relevantes sobre estabilidade tamb´em foram apresentados. Para sistemas cont´ınuos, foram discutidos resultados de estabilidade como o M´etodo Direto de Lyapunov, que ser´a ´util na an´alise da estabilidade das RNAs investigadas nessa dissertac¸˜ao.
O pr´oximo cap´ıtulo apresentada uma introduc¸˜ao ao estudo de RNAs, sendo que maior atenc¸˜ao ser´a dada `as redes neurais realimentadas, que s˜ao modeladas como sistemas dinˆamicos n˜ao-lineares.
Cap´ıtulo 3
Redes Neurais Artificiais
O estudo do c´erebro ´e atrativo, sob o ponto de vista da Computac¸˜ao, por propiciar o de- senvolvimento de modelos de processamento de informac¸˜ao biologicamente inspirados, como ´e o caso das Redes Neurais Artificiais (RNAs). As RNAs representam uma tentativa de superar limitac¸˜oes que o computador digital apresenta, buscando, para isso, imitar os princ´ıpios de fun- cionamento do c´erebro. As principais caracter´ıstica do c´erebro, se visto como um dispositivo de computac¸˜ao, s˜ao: alto grau de paralelismo; operac¸˜ao mesmo sob sinais corrompidos por ru´ıdo; robustez e tolerˆancia `a falhas, grac¸as `a redundˆancia e operac¸˜ao descentralizada dos neurˆonios; capacidade de adaptac¸˜ao e auto-organizac¸˜ao, conseguidos com a experiˆencia e/ou aprendizado. De um ponto de vista computacional, o c´erebro ´e um computador anal´ogico1que, ao contr´ario de computadores digitais que processam s´ımbolos, utiliza sinais de origem eletro-qu´ımica para efetuar computac¸˜oes.
Muitas simplificac¸˜oes se fazem necess´arias para que se obtenha um modelo do c´erebro, as quais dependem da finalidade a que se destina tal modelo. Existem, por exemplo, mo- delos de neurˆonio extremamente detalhados, como ´e o caso do modelo de Hodgin e Huxley [Hodgkin & Huxley, 1952], utilizados em pesquisas em Neurociˆencia. Este modelo descreve, por meio de equac¸˜oes diferencias ordin´arias (EDOs), a dinˆamica de gerac¸˜ao de potenciais de ac¸˜ao na membrana do neurˆonio. No entanto, sua utilizac¸˜ao para a investigac¸˜ao do processa- mento de informac¸˜ao no c´erebro se mostra invi´avel, j´a que uma rede formada por tais neurˆonios se torna muita complexa para ser analisada, ou mesmo simulada. No entanto, o estudo de RNAs, sob o ponto de vista da computac¸˜ao, se utiliza de modelos mais simples e, portanto, mais adequados para fins de investigac¸˜ao da capacidade computacional do c´erebro, principal- mente quanto `a resoluc¸˜ao de problemas ou aplicac¸˜oes reais. Na pr´oxima sec¸˜ao, ´e apresentado o princ´ıpio de funcionamento do neurˆonio biol´ogico.
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Um computador anal´ogico faz umaanalogia direta a um meio f´ısico para realizar uma operac¸˜ao matem´atica ou computac¸˜ao. Pode utilizar, por exemplo, n´ıveis cont´ınuos de diferenc¸a de potencial em um circuito, para representar valores sendo computados.
3.1
Princ´ıpio de funcionamento do neurˆonio
De forma geral, o comportamento de um neurˆonio depende do estado em que ele se encon- tra, e do grau de estimulac¸˜ao que recebe. Est´ımulos provenientes de outros neurˆonios, chegam como um sinal eletro-qu´ımico at´e a membrana de uma c´elula nervosa, atrav´es dosdendritos (ver
Figura 3.1). Se estes est´ımulos atingirem um certo limiar (threshold), a c´elula pode disparar um potencial de ac¸˜ao, que s˜ao descargas el´etricas geradas no prolongamento da c´elula denominado axˆonio. Estes axˆonios, que se encaminham at´e a outra extremidade do neurˆonio, se ramifi-
cam para estabelecer comunicac¸˜ao com c´elulas vizinhas. Tais ramificac¸˜oes, que se encontram normalmente muito pr´oximas, n˜ao est˜ao exatamente em contato com as outras c´elulas, e esse espac¸o que as separam ´e denominado desinapse. Nas sinapses, o est´ımulo el´etrico que percorre
o neurˆonio, se transforma em um est´ımulo qu´ımico, por meio da liberac¸˜ao de substˆancias neuro- transmissoras pelo neurˆonio. Estas substˆancias, por sua vez, atuam na estimulac¸˜ao dos dendritos de outras c´elulas nervosas as quais o neurˆonio considerado possui sinapses, propagando, dessa forma, o sinal recebido.
Um modelo de neurˆonio utilizado em RNAs, entretanto, abstrair´a todos esses detalhes intr´ınsecos de como se procede o fenˆomeno biol´ogico, como os detalhes da descarga de po- tenciais de ac¸˜ao, o per´ıodo refrat´ario (per´ıodo em que o neurˆonio n˜ao dispara, ap´os ser esti- mulado), os atrasos na transmiss˜ao de sinais intra-neuronais devido `a condic¸˜oes espec´ıficas do meio, entre outros. Na sec¸˜ao seguinte, ´e apresentado um modelo cl´assico de neurˆonio artificial.
Figura 3.1: Representac¸˜ao de um neurˆonio.