Dinˆamica ca´otica

Considere, novamente, o mapa log´ıstico (2.6), mas agora com o parˆametroA = 3.9:

x(n + 1) = 3.9x(n)(1 − x(n)). (2.10) Na Figura 2.6, pode-se ver as trajet´orias resultantes de duas ´orbitas com condic¸˜oes iniciais x(0) = 0.10000 e x(0) = 0.10001., respectivamente, sob ac¸˜ao da lei (2.10).

As ´orbitas ilustram um tipo de comportamento irregular, que se assemelha a aleat´orio. No entanto, elas foram geradas por uma lei determin´ıstica, dada pela equac¸˜ao (2.10). Outra carac- ter´ıstica das ´orbitas ´e que elas s˜ao limitadas, isto ´e, n˜ao divergem para infinito. Al´em disso, embora iniciando-se muito pr´oximas uma da outra, as ´orbitas se afastam continuamente ap´os um certo intervalo de tempo. O tipo de comportamento observado no sistema ´e o que se chama decaos na literatura.

O descobrimento do caos

A existˆencia da dinˆamica ca´otica em equac¸˜oes diferenciais, foi pela primeira vez relatada por Henry Poincar´e, no s´eculo XIX. Entretanto, como n˜ao existiam computadores naquela ´epoca, Poincar´e n˜ao pˆode demonstrar sua “descoberta”, pois era impratic´avel se efetuar os c´alculos de uma ´orbita do sistema. O assunto foi ent˜ao esquecido, por quase um s´eculo.

Com o advento do computador digital, a possibilidade de simulac¸˜ao de sistemas dinˆamicos tornou-se vi´avel, e a pesquisa nessa ´area teve um sens´ıvel desenvolvimento. Edward Lorenz,

2.3 NOC¸ ˜OES DE DINAMICA EM SISTEMAS DISCRETOS UNIDIMENSIONAISˆ 13 5 10 15 20 25 30 35 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n x(n)

Figura 2.6: Exemplo de dinˆamica ca´otica de (2.6), paraA = 3.9. A linha s´olida corresponde `a ´orbita com condic¸˜ao inicialx(0) = 0.10000 e a linha pontilhada `a ´orbita por x(0) = 0.10001.

um pesquisador que estudava modelos metereol´ogicos, foi o respons´avel pelo resurgimento do interesse pelo estudo do caos. Ele tentava simular um de seus modelos no computador, quando se deparou com resultados “estranhos”. Escolhendo uma certa condic¸˜ao inicial para efetuar um experimento com seu modelo, este produzia uma certa previs˜ao clim´atica como uma s´erie temporal irregular e n˜ao peri´odica. Entretanto, tentando reexecutar seu experimento, escolheu uma condic¸˜ao inicial muito pr´oxima `a primeira, obtendo aparentemente o mesmo resultado, durante as primeiras iterac¸˜oes. Curiosamente, ap´os mais algumas iterac¸˜oes, a ´orbita obtida divergia completamente daquela obtida no experimento inicial.

Anos mais tarde, se descobriu que seus resultados estavam corretos, assim como estava certo Poincar´e. Na verdades, com a pesquisa descobriu-se que o comportamento ca´otico ´e muito comum, e pode existir em modelos muitos simples, como ´e o caso do mapa log´ıstico estudado nas sec¸˜oes anteriores.

Caracter´ısticas do caos

Uma das caracter´ısticas observadas em sistemas ca´oticos ´e o que se chama de sensibili- dade `as condic¸˜oes iniciais, ou efeito borboleta. Esse efeito ´e resultado de duas ´orbitas muito

pr´oximas do sistema que divergem completamente, conforme o sistema evolui no tempo. ´E chamado de efeito borboleta por uma analogia em relac¸˜ao ao modelo de Lorenz, que indicou que uma pequena perturbac¸˜ao, como o simples bater de asas de uma borboleta, poderia alte- rar completamentamente a previs˜ao metereol´ogica a longo, devido `a sensibilidade `as condic¸˜oes iniciais observadas no modelo.

tema dinˆamico, resultado de uma leidetermin´ıstica de evoluc¸˜ao (isto ´e, sempre o mesmo com-

portamento ´e gerado, sob as mesmas condic¸˜oes). Essa aperiodicidade, que mais lembra um sistema estoc´astico, ´e o que impossibilita previs˜oes a longo prazo a respeito do estado do sis- tema. ´E interessante observar que uma ´orbita ca´otica visita sempre um ponto distinto do espac¸o de estados, nunca passando pelo mesmo ponto mais do que uma vez, em qualquer instante de tempo. Al´em disso, as ´orbitas s˜ao limitadas, n˜ao ocorrendo divergˆencia do estado para infinito, mesmo com esse comportamento complexo. O estudo e a previs˜ao do comportamento ca´otico s´o pode ent˜ao ser feito por meio de medidas estat´ısticas, cujo estudo d´a origem `a chamada Teo- ria Erg´odica [Jr. & de Melo, 1982]. Uma abordagem mais formal, acerca de sistemas ca´oticos, pode ser encontrada em [Devaney, 1989].

Uma das maneiras estat´ısticas de se investigar o comportamento ca´otico de um sistema, ´e atrav´es do c´alculo dos expoentes de Lyapunov do mesmo. Estes valores medem o grau de divergˆencia entre ´orbitas inicialmente pr´oximas, sendo calculados por:

λN = lim k→∞ 1 k k X i=1 ln |f′(x(i))| (2.11)

onde k indica o n´umero de iterac¸˜oes em que o sistema ´e observado, f′ _{´e a derivada da lei de} evoluc¸˜ao do sistema, que ´e calculada em cada pontox(i), i = 1, ..., k de uma ´orbita gerada sob uma condic¸˜ao inicial qualquer. Os expoentes de Lyapunov s˜ao calculados para cada uma dasN dimens˜oes ou vari´aveis de estado do sistema considerado.

Valores positivos para os expoentes de Lyapunov (ao menos um deles sendo positivo j´a ´e

suficiente) indicam o caos. Valores negativos indicam comportamentos convergentes, como peri´odico ou de ponto fixo. Valores nulos indicam quase-periodicidade ou mudanc¸as qualitati- vas de comportamento (pontos de bifurcac¸˜ao), conforme discutidos mais adiante no texto (ver Sec¸˜ao 2.4.3).

Uma forma interessante de se analisar o comportamento de um sistema dinˆamico, ´e cal- culando os expoentes de Lyapunov do mesmo, para diferentes valores dos parˆametros. Uma ilustrac¸˜ao desse procedimento de an´alise ´e dada na Figura 2.7, onde os valores para o ´unico expoente de Lyapunov de (2.6) s˜ao plotados no eixo-y, variando-se no eixo-x os valores de A.

O diagrama da Figura 2.7 caracteriza os diferentes tipos de dinˆamica para o mapa log´ıstico (equac¸˜ao (2.6)). ParaA = 2.8 e A = 3.4, por exemplo, o expoente ´e negativo, indicando con- vergˆencia de ´orbitas. Nesse caso, a dinˆamica do sistema ´e de ponto fixo e peri´odica, respectiva- mente, conforme se verificou nas Sec¸˜oes 2.3.1 e 2.3.2. ParaA = 3.9, por exemplo, o expoente ´e positivo, caracterizando a divergˆencia das ´orbitas, o que verificou-se como a presenc¸a do caos, no in´ıcio da sec¸˜ao.

2.3 NOC¸ ˜OES DE DINAMICA EM SISTEMAS DISCRETOS UNIDIMENSIONAISˆ 15

Figura 2.7: Expoente de Lyapunov de (2.6), para diferentes valores deA.