Neste cap´ıtulo discutiu-se alguns conceitos relacionados `a coordenac¸˜ao semaf´orica. As t´ecnicas de coordenac¸˜ao foram classificadas em dois grupos: as que minimizam algum crit´erio de tr´afego e as que maximizam a larguram de banda. Os modelos de filas que podem ser utilizados pelas t´ecnicas tamb´em foram apresentados. Al´em disso, alguns sistemas integrados de controle de tr´afego tamb´em foram citados.
Como citado no Cap´ıtulo 1, os objetivos desta tese s˜ao investigar t´ecnicas de an´alise e controle de sistemas a eventos discretos e sistemas h´ıbridos para resolver o problema de coordenac¸˜ao semaf´orica. Primeiramente, os sistemas de tr´afego urbano ser˜ao analisados como sistemas h´ıbridos, entretanto, antes disso ´e necess´ario conhecer alguns conceitos referentes `a modelagem e an´alise dos sistemas h´ıbridos.
Uma introduc¸˜ao aos sistemas h´ıbridos ´e apresentada no Cap´ıtulo 3, onde o formalismo de modela- gem utilizado nesta tese, o autˆomato h´ıbrido, tamb´em e discutido. Al´em disso, aspectos relacionados `a verificac¸˜ao formal de propriedades tamb´em s˜ao abordados. Estes conceitos s˜ao necess´arios para entender a proposta de modelagem apresentada no Cap´ıtulo 4.
Sistemas H´ıbridos
No Cap´ıtulo 1 afirmou-se que os sistemas de tr´afego urbano podem ser classificados como sis- temas h´ıbridos. Sistemas h´ıbridos s˜ao sistemas que possuem tanto dinˆamicas cont´ınuas quanto di- nˆamicas discretas. As dinˆamicas n˜ao apenas coexistem e sim interagem, mudanc¸as ocorrendo tanto em resposta a eventos discretos como em resposta a dinˆamicas descritas por equac¸ ˜oes cont´ınuas no tempo [van der Schaft e Schumacher, 2000].
Os primeiros modelos desenvolvidos para representar os processos f´ısicos tratavam separada- mente as dinˆamicas cont´ınuas e discretas. Isto implicava modelos mais simples do sistema, por´em n˜ao representavam adequadamente a natureza h´ıbrida dos processos. ´E importante a utilizac¸˜ao de modelos que representem os diferentes fenˆomenos f´ısicos, cont´ınuos e discretos, de forma integrada, representando o seu comportamento da forma mais completa.
Este cap´ıtulo tem o intuito de apresentar os sistemas h´ıbridos. Ser´a apresentado um exemplo, um breve hist´orico e o autˆomato h´ıbrido, formalismo adotado neste trabalho para modelar os sistemas de tr´afego urbano. Al´em disso, aspectos de verificac¸˜ao de sistemas h´ıbridos tamb´em ser˜ao abordados.
3.1
Exemplo de um Sistema H´ıbrido
Um termostato para controlar a temperatura de um quarto ´e um bom exemplo para ilustrar um sis- tema h´ıbrido [Dang, 2000]. Um termostato consiste de um aquecedor e um term ˆometro. O aquecedor fica ligado enquanto a temperatura est´a abaixo de um valorθM. Quando o term ˆometro detecta o valor
θMo aquecedor ´e desligado, permanecendo assim at´e que a temperatura atinja o valorθm. ´E poss´ıvel
pensar que a temperatura do quarto e o termostato s˜ao sistemas dinˆamicos, e cujo estado ´e definido pela temperatura do quarto x (que evolui continuamente) e o modo de operac¸˜ao do termostato (que evolui discretamente) pode estar ligado ou desligado. A evoluc¸˜ao da temperatura pode ser descrita pelas seguintes equac¸ ˜oes:
˙ x=
(
f1(x) = −x + 4 se o aquecedor est´a ligado, f2(x) = −x caso contr´ario.
˙ x= f2(x) ligado ˙ x= f1(x) desligado x=θM x=θm
Figura 3.1: Modelo para o termostato
desligado x t t3 t2 t1 0 ligado ligado θM θ0 θm desligado
Figura 3.2: Trajet´oria para a temperatura do quarto
O termostato pode ser representado graficamente como um grafo dirigido, cujos v´ertices repre- sentam os dois modos de operac¸˜ao (ligado e desligado), conforme mostra a Figura 3.1. As condic¸ ˜oes de chaveamento entre os modos ligado e desligado s˜ao associadas aos arcos do grafo.
Um problema de verificac¸˜ao para este sistema seria, por exemplo, garantir que a temperatura sempre permanece em um intervalo desejado, que pode ser m≤ x ≤ M.
Neste exemplo simples, para uma dada condic¸˜ao inicial x(0) =θa soluc¸˜ao da equac¸˜ao diferencial nos modos ligado e desligado s˜ao, respectivamente x(t) =θe−t+ 4(1 − e−t) e x(t) =θe−t.
´
E poss´ıvel descrever um poss´ıvel cen´ario do comportamento do sistema partindo de um estado inicial onde a temperatura ´e x=θ0 e o modo de operac¸˜ao do termostato ´e ligado. Supondo que a
temperatura inicial est´a contida no intervalo desejado, isto ´e m≤θ0≤ M, o aquecedor inicialmente
est´a ligado e a temperatura evolui segundo a seguinte equac¸˜ao:
x(t) =θ0e−t+ 4(1 − e−t).
Incrementando o tempo, a temperatura atinge o valorθM ap´os o tempo t1, e o aquecedor ´e desli-
gado. A temperatura passa a ser governada pela equac¸˜ao do modo desligado, que ´e descrita como:
x(t + t1) =θMe−t+t1.
A temperatura decresce at´eθme o aquecedor ´e novamente ligado, como mostra a Figura 3.2. ´E
poss´ıvel perceber que a trajet´oria da temperatura alterna entre as duas fases correspondentes aos dois modos de operac¸˜ao do termostato.
Percebe-se que o termostato satisfaz a propriedade m≤ x ≤ M somente se os thresholds, ou eventos de limiar, satisfazem a seguinte condic¸˜ao: θm≥ m ∧θM ≤ M. Entretanto, o problema de
verificac¸˜ao pode ser resolvido de maneira anal´ıtica somente quando as soluc¸ ˜oes para as equac¸ ˜oes diferenciais s˜ao conhecidas. Em casos mais gerais, simulac¸ ˜oes num´ericas s˜ao utilizadas para obter uma aproximac¸˜ao do comportamento do sistema para um dado estado.
Para muitos sistemas, o estado da arte em t´ecnicas de simulac¸˜ao permite que a soluc¸˜ao aproximada seja t˜ao pr´oxima quanto se queira da soluc¸˜ao exata. Entretanto, na pr´atica as condic¸ ˜oes iniciais n˜ao s˜ao conhecidas de maneira exata, sabe-se apenas um intervalo onde elas est˜ao contidas. Conseq¨uente- mente, ao inv´es de ser considerada uma trajet´oria simples ´e necess´ario considerar um n´umero infinito de trajet´orias. Neste caso a abordagem de simulac¸˜ao n˜ao ´e adequada para verificac¸˜ao de propriedades de sistemas, e s˜ao necess´arios m´etodos rigorosos que possam caracterizar todos poss´ıveis compor- tamentos do sistema. Outros exemplos de sistemas h´ıbridos pode ser encontrados em Dang [2000]; Tomlin et al. [2003].