Faremos aqui um breve sum´ario do que foi feito no trabalho. Partimos da id´eia de que as cordas interagem entre si por combina¸c˜oes ou separa¸c˜oes, e no gauge do cone-de-luz essas intera¸c˜oes s˜ao tais que as coordenadas das cordas antes e ap´os a intera¸c˜ao s˜ao as mesmas, conforme representado na Figura 4. Esse v´ertice nos permite construir uma amplitude de espalhamento que ser´a simplesmente a integra¸c˜ao funcional em todo o diagrama de espalhamento das cordas, pesado pela a¸c˜ao das cordas livres. O que ir´a diferir portanto diferentes diagramas de espalhamento ser´a o formato dos diagramas (n´umero de cortes e largura de cada “fita”, por exemplo). Definindo a fun¸c˜ao de Neumann N(σ, τr;σ0, τs) conseguimos chegar noModelo An´alogo,
A =gM−2 Z
dτ2...dτM−2[det ∆]−(D−2)/2Mexp X
r<s
1
2pr·psN(Zr, Zs)
! ,
uma express˜ao para a amplitude onde a dependˆencia dos momentos est´a no argumento da exponencial, na forma de um produto escalar dos momentos, e portanto invariante de Lorentz. Embora tenhamos assumido condi¸c˜oes de Neumann na fronteira, poder´ıamos trabalhar o caso sem fronteiras (cordas fechadas) e obter´ıamos o mesmo resultado.
No terceiro cap´ıtulo fizemos um mapeamento conforme do diagrama de cordas para o plano superior complexo que leva as cordas abertas externas ao eixo real, de forma que, na nova regi˜ao, a fun¸c˜ao de Neumann para cordas abertas ´e facilmente obtida:
N(z, z0) = ln|z−z0|+ ln|z−z¯0|.
Alteramos a vari´avel de integra¸c˜ao de τi para Zr, e amplitude pode ser escrita como A=gM−2
Z
dZ2...dZM−2
∂τi
∂Zr
[det ∆]−(D−2)/2M
M
Y
r<s
|Zr−Zs|pr·ps.
O c´alculo do fator
∂τi
∂Zr
[det ∆]−(D−2)/2M (6.1)
requeriu uma an´alise mais cuidadosa, pois o nosso diagrama de cordas possu´ıa pontos de curvatura infinita nos pontos de intera¸c˜ao, e pontos divergentes associados `as cordas externas quando mapeados para o plano superior complexo. O que fizemos ent˜ao foi suavizar os diagramas com uma transforma¸c˜ao conforme, e fomos capazes de separar os termos de (6.1) que divergiam quando mapeados de volta ao nosso diagrama original de termos que carregavam a informa¸c˜ao f´ısica do espalhamento. Os termos divergentes foram eliminados, de forma que obtivemos uma express˜ao para (6.1) regularizada, sem fatores divergentes irrelevantes.
A express˜ao completa (6.1), s´o ´e livre de divergˆencias ap´os a regulariza¸c˜ao quando a dimens˜ao do espa¸co-tempo ´e 26 (D = 26). Se D 6= 26 podemos ter divergˆencias quando os pontos de intera¸c˜ao se aproximam ou quando dois pontos de cordas externas Zr se aproximam. Como a amplitude total ´e a integra¸c˜ao das posi¸c˜oes de Zr, n˜ao podemos evitar tais aproxima¸c˜oes. Ent˜ao, para uma teoria consistente devemos ter D= 26.
Finalmente, com (6.1) calculado, obtivemos uma express˜ao final para a amplitude covariante de espalhamento de N cordas (ap´os retirar os termos do fator de fluxo das cordas externas Q
1/√
αr). Tratando o caso particular de 4 cordas, ficamos com uma
´
unica integral de uma vari´avel x real, de −∞ a ∞. Separamos o intervalo de integra¸c˜ao em [−∞,0], [0,1] e [1,∞]. A amplitude limitada `a integra¸c˜ao [0,1] ´e a Amplitude de Veneziano,
A1 =g2 Z 1
0
dx|1−x|−2t−2|x|−s2−2,
que ´e invariante por permuta¸c˜oes c´ıclicas das cordas 1, 2, 3 e 4. Ela tamb´em ´e sim´etrica por s ↔ t e pode ser escrita como a fun¸c˜ao Beta de Euler, B(α(s), α(t)). Os demais dom´ınios de integra¸c˜ao s˜ao mapeados na amplitude de Veneziano se realizarmos uma transforma¸c˜ao conforme no plano complexo, que corresponde a trocar a ordem (de maneira n˜ao c´ıclica) das part´ıculas externas.
Introduzimos o fator de Chan-Paton na amplitude para expressar a ordem com que as cordas externas surgem no diagrama, embora o fator tamb´em tenha fundamental im-portˆancia na repesenta¸c˜ao de um grupo de Gauge interno `as cordas. Os extremos de uma corda aberta podem se transformar na representa¸c˜ao fundamental de algum grupo de gauge, e portanto a corda na representa¸c˜ao adjunta. A Amplitude Covariante pode ser escrita, portanto, como:
A1 =g2G(1,2,3,4) Z 1
0
dx|1−x|−2t−2|x|−s2−2,
onde G(1,2,3,4) expressa a ordem c´ıclica em que as cordas externas aparecem no dia-grama.
Embora tenhamos nos restringido a t´aquions e amplitudes sem loops, o trabalho foi de grande importˆancia para explorar em detalhes propriades do formalismo. Com o ferramental trabalhado aqui o pr´oximo passo seria trabalhar diagramas com loops, e amplitudes nas quais as part´ıculas externas s˜ao estados excitados das cordas. Num momento posterior poder´ıamos estudar a a¸c˜ao da Supercorda, e tentar refazer os passos feitos para a corda bosˆonica.
O formalismo do gauge do cone-de-luz tamb´em ´e muito utilizado hoje em dia, em diversos ramos da f´ısica, portanto seu conhecimento ´e de fundamental importˆancia. Uma das vantagens desse gauge ´e a elimina¸c˜ao de graus de liberdade n˜ao f´ısicos. Outros formalismos, embora mantenham simetrias do sistema expl´ıcitas, em geral mant´em graus de liberdade redundantes, e estados n˜ao-f´ısicos. Esses graus de liberdade s˜ao em geral eliminados com a introdu¸c˜ao de fantasmas na teoria. No gauge do cone-de-luz, como s´o temos graus de liberdade f´ısicos, a teoria possui manifesta a unitariedade da matriz S, no sentido que o teorema ´otico ´e satisfeito com todos os estados (na camada de massa) do formalismo.
Outra vantagem desse gauge ´e a possibilidade de se representar graficamente diagra-mas de espalhamento de cordas em semelhan¸ca aos diagradiagra-mas de Feynman. Isso permite comparar resultados da teoria de cordas com outras teorias, como foi feito no cap´ıtulo 5 deste trabalho.
Esperamos que esta disserta¸c˜ao tenha cumprido com o objetivo de ser uma revis˜ao
“auto-suficiente” do formalismo de espalhamento de cordas bosˆonicas para estudantes.
Como mencionado acima, o gauge do cone-de-luz permite a interpreta¸c˜ao dos diagramas de espalhamento de maneira semelhante aos diagramas estudados em cursos de Teoria Quan-tica de Campos, de forma que um aluno de p´os-gradua¸c˜ao com o conhecimento adquirido nesses cursos possa acompanhar essa disserta¸c˜ao sem muitas complica¸c˜oes.