As poss´ıveis divergˆencias do Jacobiano cancelam as do termo M(det ∆0)−(D−2)/2 = ZM−2α−1M Y
somente no caso particularD= 26 em que, como vimos, o produto det
e regular. Essas divergˆencias devem se cancelar pois correspondem a configura¸c˜oes do diagrama de espalhamento que dependem do referencial escolhido (dependem dos valores de Zr e ζi, e portanto de αr e τi), logo n˜ao devem ocorrer numa amplitude que satisfa¸ca invariˆancia de Lorentz. Isso implica que, para que nossa formula¸c˜ao satisfa¸ca Lorentz corretamente, devemos ter portanto D = 26. Essa condi¸c˜ao ´e chamada de Dimens˜ao cr´ıtica, e surge na teoria de Cordas em outras situa¸c˜oes para evitar “propriedades inde-sej´aveis”, sugerindo que esta ´e a dimens˜ao em que a Teoria de Cordas Bosˆonicas deva ser trabalhada.
Com o determinante e o Jacobiano calculados, temos portanto, para D=26:
det
podemos substituir novamente na amplitude (3.3) e ficamos com
Para encontrarmos a amplitude covariante, eliminarmos os fatores de fluxo QM
r=1α−1/2r . Notemos ainda que ZM2 , embora infinito na nossa escolha Z1 = 0, ZM−1 = 1 e ZM = ∞, surge para compensar um fator ZM−2 que surge em
M
.Cada regi˜ao dex corresponder´a a um diagrama diferente. Podemos separar a amplitude em regi˜oes conhecida como amplitude de Veneziano, ´e a mesma da equa¸c˜ao (1.2), se utilizarmos a
Figura 13: os diagramas correspondem respectivamente aos canais de espalhamento s, com τ+−τ− <0, e t, comτ+−τ− >0.
representa¸c˜ao integral da fun¸c˜ao beta, e escolhermos α0 e α(0) adequadamente.
A transforma¸c˜ao conforme para o espalhamento de quatro cordas ser´a ρ(z) =α1ln (−z) +α2ln (x−z) +α3ln (1−z)
mais uma constante infinita. Os dois pontos de intera¸c˜ao ser˜ao z+ e z−, que podemos calcular de
0 = α1
z + α2
z−x + α3 z−1
= α1(z−x) (z−1) +α2z(z−1) +α3z(z−x)
= z2(α1+α2+α3) +z[−α1(1 +x)−α2−α3x] +x esse polinˆomio em z ´e facilmente resolvido e fornece as ra´ızes reais
z±= 1 2 (1−γ3)
h
1 + (γ1−γ3)x±√
∆i
comγ1 =−α1/(α3+α4),γ3 =α3/(α3+α4) e ∆ =x2(γ1−γ3)2+ 2x(2γ1γ3−γ1−γ3) + 1. Para 0 ≤ x ≤ 1 o mapeamento correspondente ser´a o da figura . A amplitude de Veneziano (5.2) possuir´a polos em x = 0 para−s2 −2 = −n, ou s = 2 (n−2) (n inteiro positivo). Mas x= 0 corresponde a
z± = 1
2 (1−γ3)[1±1]
z+ = 1
(1−γ3) = 1 + α4
α3 z−= 0 e portanto a
(τ+−τ−) = Re [ρ(z+)−ρ(z−)] = (α1+α2)∞=−∞
(escolhemos queα1+α2 <0. Embora pare¸ca uma escolha particular, n˜ao gera problemas na an´alise, como indicaremos logo abaixo). Esse polo descreve o diagrama em que as duas
cordas 2 e 3 se unem, a corda resultante de massa 2 (n−2) se propaga por um tempo infinito e ent˜ao se separa nas cordas 1 e 4.
Figura 14: as cordas 2 e 3 se unem numa s´o, que se separa nas cordas 1 e 4
De maneira semelhante, o polo x= 1 ocorre quandot= 2 (n−2). Neste caso
∆ = (γ1−γ3)2+ 2 (2γ1γ3−γ1−γ3) + 1
= γ12+γ32+ 2γ1γ3−2 (γ1+γ3) + 1
= (γ1+γ3)−2 (γ1+γ3) + 1
= (γ1+γ3−1)2 z± = 1
2 (1−γ3)[1 + (γ1−γ3)±(1−γ1−γ3)]
z− = 1 z+ = α4 α3
(τ+−τ−) = (α2 +α3)∞=∞.
Esse diagrama corresponde portanto a uma corda intermedi´aria de massa 2 (n−2) sendo trocada entre as cordas 3 e 2.
Se α1 +α2 > 0 (e portanto ∆τx=0 = ∞) ter´ıamos de trocar z+ ↔ z− para x = 1, o que faria com que ∆τx=1 = −∞. Para manter a mesma descri¸c˜ao, bastaria renomear t↔s. Isso pode ser feito sem problemas uma vez que a amplitude de Veneziano pode ser escrita como a fun¸c˜ao beta B(−t/2−3,−s/2−3), que ´e sim´etrica port ↔s. Vale ainda notar que no ponto em que ∆τx=x0 = 0 n˜ao h´a sobreposi¸c˜ao dos pontos de intera¸c˜ao, pois z+(x0)6=z−(x0), portanto σ+6=σ−.
Os dois diagramas da Figura 13 se distinguem apenas pelo valor de ∆τ, e portanto cada um tomado separadamente n˜ao ´e invariante de Lorentz, mas a amplitude (5.2) sim.
Para 1 ≤ x ≤ ∞ aparentemente s´o h´a um p´olo em x = 1. Mas, como j´a vimos, a amplitude ´e invariante por uma transforma¸c˜ao projetiva. Denotando y = (x−1)/x, os
limites de integra¸c˜ao passam a ser 0 ≤y≤1. Com essa transforma¸c˜ao, temos ainda que Z4 = 1, Z1 =∞, Z2 =y e Z3 = 0. Isso corresponde ao diagrama abaixo:
Figura 15: Digramas correspondentes aos p´olos u es. S˜ao obtidos diretamente da Figura 13 por troca das part´ıculas 2 e 3.
A amplitude ser´a escrita, ap´os a mudan¸ca de coordenadas, agora como A2 =g2
Z 1 0
dy|1−y|−s2−2|y|−2t−2,
onde s=−(p3+p2)2 e u=−(p4+p2)2. Isso ´e natural, pois esse diagrama ´e obtido dos diagramas da figura 13 trocando as cordas 2 e 3.
Para −∞ ≤x ≤ 0 a situa¸c˜ao ´e ligeiramente mais complicada. Nessa regi˜ao teremos um ponto de contato dos dois v´ertices. Isso ocorre quando z+ = z−, ou seja, quando
∆ = 0. As solu¸c˜oes podem ser facilmente obtidas:
x± = 1 (γ1−γ3)2
γ3+γ1−2γ3γ1±2p
γ3(γ3−1)γ1(γ1−1)
O mapeamento que faremos agora ´e y = x/(x−1). Ele corretamente leva a regi˜ao de integra¸c˜ao−∞ ≤x ≤0 em 0≤y≤ 1 e os pontos Zi das cordas externas emZ4 = 1, Z1 = 0, Z2 =y e Z3 =∞. Isso gera
A3 =g2 Z 1
0
dy|1−y|−s2−2|y|−2t−2
com t =−(p3+p2)2 e u = −(p4+p2)2. Os dois diagramas correspondentes a esses polos est˜ao representados na Figura 16. Observando a figura, quando os pontos A e B coincidem, temos a situa¸c˜ao de recombina¸c˜ao descrita no primeiro cap´ıtulo. A amplitude A3 pode ser mapeada na Amplitude de Veneziano (5.2) se redefinirmos os valores dos momentosαr. Em termos dos diagramas, os dois diagramas da Figura 16 mais o diagrama de recombina¸c˜ao s˜ao mapeados nos dois diagramas da Figura 13. ´E portanto evidente que apenas os trˆes em conjunto formam uma amplitude invariante de Lorentz, mas para isso a
constante de acoplamento correspondente aos dois processos, de combina¸c˜ao/separa¸c˜ao e recombina¸c˜ao, deve ser a mesma, justificando o que foi apenas dito no primeiro cap´ıtulo.
Figura 16: Diagramas referentes aos canais teu. Para completar a amplitude covariante, temos al´em desses dois diagramas, a situa¸c˜ao de recombina¸c˜ao, em que A=B.
Podemos ainda considerar que, para cordas abertas, os extremos da corda se trans-formem sob algum grupo de simetria. No contexto em que a Teoria de Cordas surgiu (como uma posivel explica¸c˜ao a intera¸c˜oes hadrˆonicas), os extremos da corda se trans-formariam na representa¸c˜ao fundamental ou anti-fundamental do grupo de cor SU(3).
Poder´ıamos definir um vetor de 3 componentes para cada extremo - e de fato, assim faze-mos para o (anti-)quark - e a corda como um todo seria o produto exterior desses dois estados. Definimos uma matriz de estado 3x3λipara a corda i que se transforma portanto na representa¸c˜ao adjunta do grupo SU(3). A introdu¸c˜ao desse grupo de simetria interna se reflete na Amplitude de Espalhamento na forma de um termo adicional. Tomemos como exemplo o diagrama da figura abaixo:
O extremo superior se encontra com o extremo superior da corda 2. A ponta inferior da 2, por sua vez, se encontra com a parte superior de 3, e assim por diante. Como n˜ao h´a evolu¸c˜ao desses estados do extremo da corda (nenhuma informa¸c˜ao desse tipo entra na a¸c˜ao), essas pontas adjacentes devem estar no mesmo estado de gauge, e portanto a amplitude deve carregar um termo
Tr(λ1λ2λ3λ4).
Como os diferentes dom´ınios de integra¸c˜ao da amplitude de 4 cordas correspondem todos
`
a Amplitude de Veneziano mas com a ordem das cordas alterada, podemos escrever a amplitude covariante como:
A1 =g2G(1,2,3,4) Z 1
0
dx|1−x|−2t−2|x|−s2−2, onde G(1,2,3,4) para o diagrama da Figura (5) seria por exemplo
G(1,2,3,4) = Tr(λ1λ2λ3λ4)
. Finalmente, a amplitude de espalhamento de 4 t´aquions pode ser escrita portanto como A=gM−2G
Z 1 0
dx|1−x|−2s−2|x|−2t−2,
ondeG´e o fator de Grupo de Chan-Paton, que define qual a configura¸c˜ao e quais canais de espalhamento teremos. Para os espalhamentos da Figura 13 ter´ıamos, por exemplo G = tr(λ1λ2λ3λ4), e para os diagramas da Figura 16G=tr(λ1λ3λ4λ2). Como vimos, qualquer configura¸c˜ao c´ıclica nas cordas 1234 pode ser escrita como a Amplitude de Veneziano, sob a troca s ↔ t, e o fator G expressa essa ciclicidade ao ser escrito como um tra¸co. Uma amplitude que contivesse todas as possiblidades de espalhamento, sem preocupa¸c˜ao na ordem c´ıclica das cordas externas, conteria uma soma de todos os fatores de Chan-Paton n˜ao-c´ıclicos poss´ıveis.
Outra propriedade que podemos perceber da amplitude de espalhamento ´e que ela ´e corretamente normalizada. Para um diagrama de apenas 3 cordas externas, Os fatoresZi se cancelam, n˜ao h´a integra¸c˜ao a ser feita e ficamos apenas com A =g.