Os problemas do roteamento de ve´ıculos vˆem sendo uma das mais importantes abor- dagens para a otimiza¸c˜ao de distribui¸c˜ao em redes, desde que foi proposto inicialmente por Dantzig e Ramser (1959). Deste modo, o PRV ´e amplamente estudado na literatura desde 1959, resultando em diversas classes de problemas com diversas t´ecnicas empre- gadas na busca de solu¸c˜oes. Diante disso, este cap´ıtulo procurou abordar as principais referˆencias que envolvem o problema de roteamento de ve´ıculos. As Se¸c˜oes 2.1.1 a 2.1.6 descreveram os principais objetivos abordados na literatura para o problema, bem como as principais varia¸c˜oes do PRV em que estes objetivos foram considerados. Diversos trabalhos que abordam o PRV com mais de um objetivo foram descritos na Se¸c˜ao 2.1.7. Diante deste contexto, diversos m´etodos foram propostos na literatura para a re- solu¸c˜ao de problemas multiobjetivo. Dentre estes, os algoritmos evolucion´arios multi- objetivo tˆem sido estudados constantemente para resolver, n˜ao s´o PRVs multiobjetivo, mas tamb´em diversos outros problemas combinat´orios. Assim, a Se¸c˜ao 2.2 descreveu trabalhos que fizeram o uso destes algoritmos para resolver problemas multiobjetivo. O NSGA, NSGA-II e NSGA-III foram alguns m´etodos descritos nesta se¸c˜ao.
No entanto, a otimiza¸c˜ao de problemas de roteamento de ve´ıculos que envolvem muitos objetivos ´e algo complexo. Isto porque o n´umero de solu¸c˜oes requeridas para aproximar toda a fronteira de Pareto cresce exponencialmente em fun¸c˜ao do n´umero de objetivos considerados, sendo necess´arias t´ecnicas de otimiza¸c˜ao pr´oprias para resolver essa classe de problemas. Assim, a Se¸c˜ao 2.3 apresenta os principais trabalhos da lite- ratura que propuseram solu¸c˜oes para problemas com muitos objetivos. Neste contexto, esta se¸c˜ao teve como foco as estrat´egias que utilizaram redu¸c˜ao de objetivos para resol- ver problemas com muitos objetivos. Al´em disso, as Se¸c˜oes 2.2.3 e 2.3.5 descrevem as principais formas de visualiza¸c˜ao de resultados para problemas multiobjetivo, bem como trabalhos que apresentam diversas formas de visualiza¸c˜ao para os mesmos.
Em virtude do contexto pr´atico e in´umeras possibilidades de aplica¸c˜oes, neste traba- lho ser´a investigada a decomposi¸c˜ao dos problemas de roteamento de ve´ıculos com janelas
de tempo. Ainda assim, a constru¸c˜ao de mecanismos que resolvem este problema com muitos objetivos ser´a estudada. Assim, o Cap´ıtulo 3 apresentar´a as principais defini¸c˜oes que envolvem os problemas de roteamento de ve´ıculos, bem como as diversas varia¸c˜oes do problema.
Cap´ıtulo 3
Problema de Roteamento de Ve´ıculos
Problema de Roteamento de Ve´ıculos ´e o nome gen´erico dado a uma classe de problemas de distribui¸c˜ao, cuja ideia principal ´e determinar a melhor rota poss´ıvel que os ve´ıculos possam cumprir entre um dep´osito e um conjunto de consumidores. Por sua vez, o PRV ´e um dos problemas mais importantes no ˆambito da log´ıstica de transporte e distribui¸c˜ao devido a sua aplica¸c˜ao pr´atica. Estudos exaustivos sobre o problema renderam diversas caracter´ısticas particulares que podem ser incorporadas ao mesmo, representando assim, uma grande variedade de restri¸c˜oes adicionais em problemas pr´aticos. Deste modo, o PRV pode ser classificado em diversas categorias e tipos de acordo com as caracter´ısticas presentes nas situa¸c˜oes reais de opera¸c˜ao.
O Problema de Roteamento de Ve´ıculos Capacitado ´e a vers˜ao mais simples do pro- blema. Nela, todos os clientes possuem demandas conhecidas previamente, que devem ser atendidas integralmente pela frota de ve´ıculos. Todos os ve´ıculos s˜ao semelhantes (frota homogˆenea) e partem de um ´unico dep´osito central. Cada cliente s´o pode ser visitado uma ´unica vez por um ´unico ve´ıculo e uma restri¸c˜ao de capacidade ´e imposta ao problema. Essa restri¸c˜ao estabelece que a soma das demandas de todos os clientes pertencente a uma rota n˜ao deve superar a capacidade do ve´ıculo a ela designada. O PRVC deu origem a diversos outros problemas de roteamento de ve´ıculos, motivo pelo qual iremos estuda-lo em primeiro lugar, apresentando, em seguida, as suas varia¸c˜oes. No entanto, o problema proposto nesta disserta¸c˜ao ´e apresentado e descrito formalmente. Este, por sua vez, ´e denominado de “Problema de Roteamento de Ve´ıculos com Muitos Objetivos e Janelas de Tempo Flex´ıveis”.
3.1
Problema de Roteamento de Ve´ıculos Capacitado
O Problema de Roteamento de Ve´ıculos Capacitado (PRVC) pode ser definido como um grafo n˜ao direcionado G = (C, A), onde C = {c1, c2, c3, ...cn} ´e o conjunto de v´ertices e A = {(ci, cj) : ci, cj ∈ C e ci 6= cj} o conjunto de arestas. Dado que os demais v´ertices representam os consumidores, o conjunto N ´e a uni˜ao entre o conjunto C e os v´ertices c0 e cn+1. Entretanto, Cada aresta (ci, cj) tem um valor dij ≥ 0 associado que representa o custo de se alcan¸car o v´ertice cj a partir do v´ertice ci e cada consumidor ci tem uma demanda wi de entrega. Para atender os consumidores, tem-se dispon´ıvel uma frota V = {v1, v2, v3, ...vm} de ve´ıculos homogˆeneos com capacidade m´axima de carga Q.
Assim, o PRVC trata de encontrar um conjunto de rotas a partir de um dep´osito central para atender com o menor custo poss´ıvel um conjunto de pontos de demanda (clientes). No PRVC as seguintes restri¸c˜oes devem ser satisfeitas:
• cada cliente ´e visitado uma ´unica vez por um ´unico ve´ıculo; • cada rota deve ter in´ıcio e fim no dep´osito;
• a soma das demandas dos clientes inclu´ıdos em uma rota n˜ao deve exceder a capacidade do ve´ıculo.
A variav´el de decis˜ao do problema ´e dada por:
xvij =
1, se o ve´ıculos v trafega no trecho (i, j); 0, caso contr´ario
Pode-se agora definir matematicamente o problema b´asico de roteamento de ve´ıculos como: M inimizeX v∈V X i∈N X j∈N dijxij (3.1) Sujeito a X v∈V X j∈N xvij = 1; ∀i ∈ C (3.2)
Problema de Roteamento de Ve´ıculos 39 X i∈N wi X j∈N xvij ≤ Q; ∀v ∈ V (3.3) X j∈N xv0j = 1; ∀v ∈ V (3.4) X i∈N xvi(n+1)= 1; ∀v ∈ V (3.5) X i∈N xvij − X i∈N xvji = 0; ∀j ∈ C, ∀v ∈ V (3.6) xvij ∈ {0, 1}; ∀i, j ∈ N, ∀v ∈ V (3.7)
A fun¸c˜ao objetivo, dada na equa¸c˜ao 3.1, visa a minimiza¸c˜ao do custo (distˆancia percorrida). A equa¸c˜ao 3.2 garante que cada consumidor ´e visitado somente por um ve´ıculo. A equa¸c˜ao 3.3 especifica que os ve´ıculos n˜ao devem ultrapassar a capacidade m´axima de carga. As equa¸c˜oes 3.4 e 3.5 demonstram que todos os ve´ıculos devem partir e retornar ao dep´osito central. A equa¸c˜ao 3.6 garante que os ve´ıculos partam de um consumidor para outro (continuidade), enquanto a equa¸c˜ao 3.7 indica a bivalˆencia das vari´aveis de decis˜ao.