O presente trabalho teve como objetivo expor um m´etodo de tomografia de estado quˆantico para ser usado no estudo de implementac¸˜oes de algoritmos e operac¸˜oes quˆanticas em computa- c¸˜ao quˆantica por RMN. Atrav´es de uma descric¸˜ao anal´ıtica das rotac¸˜oes produzidas por pulsos de radiofreq¨uˆencia n˜ao-seletivos e pelo uso da base de operadores irredut´ıveis, foi poss´ıvel encontrar express˜oes para a magnetizac¸˜ao em termos das func¸˜oes de Wigner. Explicitando a dependˆencia dos ˆangulos dos eixos de rotac¸˜ao (fases dos pulsos) na magnetizac¸˜ao da amos- tra, foi poss´ıvel determinar as combinac¸˜oes de fase necess´arias para selecionar uma ordem de coerˆencia espec´ıfica da matriz densidade. Embora o m´etodo de TEQ implementado experimen- talmente neste trabalho tenha feito uso do procedimento de selec¸˜ao de coerˆencias via m´edia temporal, tamb´em foi sugerida a realizac¸˜ao de selec¸˜ao via m´edia espacial com gradientes. Foi demonstrado que o m´etodo proposto se aplica a qualquer spin isolado. Obviamente, podem ha- ver limitac¸˜oes experimentais devido `a queda exponencial na intensidade do sinal medido com o aumento do tamanho do spin nuclear. No entanto, essa ´e uma limitac¸˜ao intr´ınseca da t´ecnica de RMN, talvez podendo ser contornada atrav´es de t´ecnicas de aumento da polarizac¸˜ao dos spins nucleares [38]. Tamb´em foi mostrado que a t´ecnica de TEQ pode ser adaptada para sistemas puramente homonucleares. Uma simulac¸˜ao da TEQ em um sistema homonuclear de 3 spins 1/2 acoplados mostrou que, ao menos teoricamente, a tomografia tamb´em ´e bem sucedida para esse tipo de sistema. No entanto, nesses casos existe a necessidade de tempos de evoluc¸˜ao livre para a determinac¸˜ao das componentes de rank 0 da matriz densidade. Para sistemas heteronuclea- res em que s´o exista um n´ucleo de cada esp´ecie, o m´etodo proposto n˜ao apresenta vantagens sobre o trabalho de Long [44], uma vez que rotac¸˜oes individuais em cada n´ucleo s˜ao automati- camente obtidas com pulsos n˜ao-seletivos. Para sistemas mistos, em que spins homonucleares e heteronucleares acoplam-se mutuamente, torna-se mais conveniente a utilizac¸˜ao de uma base mista para expandir o operador densidade do sistema. Assim, cada grupo homonuclear ´e expan- dido por uma base local de tensores irredut´ıveis TL
lm, enquanto que o espac¸o total da mol´ecula
computacional ´e expandido pela base formada pelo produto tensorial entre os respectivos TL lm.
temas mistos como esses comec¸am a tornar-se bastante complexos, o que faz com que uma descric¸˜ao anal´ıtica da dinˆamica e das transformac¸˜oes necess´arias para realizar a TEQ torne-se bastante desafiante. Para esses casos talvez seja mais indicado utilizar t´ecnicas de aquisic¸˜ao multi-dimensional, como por exemplo o m´etodo proposto por Das et al. [47] em que se faz uso da transformada de Fourier bidimensional.
Utilizando o procedimento de otimizac¸˜ao dos SMP’s, foi poss´ıvel obter altos valores de fi- delidade com relac¸˜ao `as operac¸˜oes quˆanticas aplicadas sobre o sistema quadrupolar de spin 3/2. Dessa forma, otimizaram-se SMP’s para a criac¸˜ao de estados pseudo-puros correspondentes `a base computacional: |00i, |01i, |10i e |11i al´em dos estado do Gato |00i + |11i e do estado de superposic¸˜ao |00i + |01i + |10i + |11i. As portas l´ogicas otimizadas tamb´em via SMP’s foram a HDA, HD⊗2, NOTB, CNA e NOTBCNA. Elas foram utilizadas na implementac¸˜ao experimental
da criac¸˜ao dos estados de Bell e do algoritmo de Deutsch. Para o algoritmo de busca de Grover foram otimizados diretamente os operadores de Grover para as 4 poss´ıveis respostas de um sis- tema de 2 q-bits. Todos os resultados obtidos foram satisfat´orios, apresentando boas fidelidades experimentais. Em especial ´e interessante notar que sucessivas aplicac¸˜oes do operador de Gro- ver no algoritmo de busca parecem ter diminu´ıdo pouco a fidelidade com relac¸˜ao ao estado de partida.
Com o objetivo de tentar determinar a eficiˆencia do m´etodo de TEQ de uma forma indepen- dente da fidelidade dos estados quˆanticos criados, a TEQ foi primeiramente usada para medir a dinˆamica de cada elemento da matriz densidade. Uma vez que a hamiltoniana do sistema experimental utilizado ´e conhecida com alto grau de confianc¸a, esse torna-se um bom teste para a tomografia. Dos resultados obtidos, percebe-se uma excelente concordˆancia com a dinˆamica prevista. Tamb´em foram realizadas as tomografias de estados criados por seq¨uˆencias de pulsos simples, as quais por esse motivo tamb´em geram estados quˆanticos mais confi´aveis. O estado mais simples tomografado foi o estado de equil´ıbrio, proporcional ao operador Iz, o qual apre-
sentou a fidelidade experimental m´axima obtida neste trabalho. O segundo estado mais simples correspondeu `a aplicac¸˜ao de um pulso de rotac¸˜ao de π/2 que criou o estado proporcional ao operador Ix. Por fim foi aplicada uma seq¨uˆencia de dois pulsos de rotac¸˜ao intercalados por
evoluc¸˜oes livres para criar coerˆencias de 2a e 3a ordens. Das altas fidelidades experimentais
obtidas, percebe-se que o m´etodo de TEQ foi implementado de forma bem sucedida. Uma verificac¸˜ao experimental da descric¸˜ao anal´ıtica das rotac¸˜oes, foi a medic¸˜ao da dependˆencia da intensidade do sinal da magnetizac¸˜ao com o ˆangulo de nutac¸˜ao imposto pelos pulsos de rotac¸˜ao. Criando-se estados iniciais, via SMP’s, proporcionais aos diferentes operadores de polarizac¸˜ao, Tlm, do spin 3/2, foi poss´ıvel verificar diretamente a concordˆancia entre a intensidade do sinal
com as respectivas func¸˜oes de Wigner dl
somente o procedimento de m´edia temporal para a selec¸˜ao de coerˆencias, n˜ao necessitando de um procedimento de reconstruc¸˜ao como ´e necess´ario para realizar a TEQ de todos os elementos de ρ.
O m´etodo de TEQ tamb´em pˆode ser aplicado ao estudo da dinˆamica de relaxac¸˜ao de todos os elementos de ρ para o n´ucleo de s´odio da amostra de cristal l´ıquido de DSS. Os resulta- dos experimentais da relaxac¸˜ao das coerˆencias de ρ mostraram claramente que a aproximac¸˜ao secular para os diferentes elementos de uma mesma ordem de coerˆencia ´e v´alida para esse sis- tema. Al´em disso, medindo-se a relaxac¸˜ao das populac¸˜oes para v´arios estados pseudo-puros, foi poss´ıvel encontrar estados cujas combinac¸˜oes das populac¸˜oes iniciais puderam evidenciar o comportamento multi-exponencial atrav´es da existˆencia de um ponto de m´aximo para a curva de relaxac¸˜ao.
Entre as futuras aplicac¸˜oes do trabalho desenvolvido neste doutorado, encontra-se a rea- lizac¸˜ao experimental da TEQ para o spin 7/2. Atualmente, os estudantes Carlos A. Brasil e Arthur G. de Ara´ujo Ferreira est˜ao desenvolvendo os seus respectivos mestrados no Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, tendo como tema a implementac¸˜ao experimental da TEQ e a aplicac¸˜ao de operac¸˜oes quˆanticas via SMP’s na amostra de cristal l´ıquido liotr´opico constitu´ıda pela mol´ecula de Perfluoroctanato de C´esio (CsPFO), a qual foi gentilmente fornecida pelo Prof. Dr. Patrick Judeinstein da Universit´e de Paris-Sud, Franc¸a. Nesse sistema, n´ucleos de c´esio de spin 7/2 s˜ao usados como um sistema de 3 q-bits. Uma outra aplicac¸˜ao do m´etodo de TEQ pode ser realizada em sistemas homonucleares. Um sistema experimental que pode se beneficiar do m´etodo de TEQ ´e o ´acido di-bromopropiˆonico em soluc¸˜ao. Os trˆes hidrogˆenios dessa mol´ecula constituem um sistema de trˆes q-bits. Devido `a baixa diferenc¸a de deslocamento qu´ımico entre dois dos hidrogˆenios dessa mol´ecula, pulsos seletivos em um desses spins tornam-se dif´ıceis de serem implementados. Assim, rotac¸˜oes globais via pulsos n˜ao-seletivos podem apresentar vantagens para casos como esses. Uma outra possibilidade de tomografia para esse sistema ´e atrav´es da otimizac¸˜ao de SMP’s que realizem as rotac¸˜oes seletivas, conforme proposto por Fortunato et al. [15]. Deve-se notar que conforme mencionado acima, t´ecnicas anal´ıticas de tomografia comec¸am a tornar-se excessivamente complicadas para um maior n´umero de q-bits. Por exemplo, no caso do spin 3/2 ´e necess´ario determinar 9 elementos independentes, para o spin 7/2 s˜ao necess´arios 35 elementos e para um sistema de 4 q-bits seriam necess´arios 135 elementos. Caso no trabalho de Vandersypen et al. [23] os autores desejassem tomografar a matriz densidade completa, existiriam 8255 elementos a serem determinados!
Outros trabalhos que est˜ao em andamento e que fazem uso do m´etodo de TEQ aqui pro- posto ainda utilizando a amostra de DSS, s˜ao os trabalhos de doutorado do estudante Ruben
Auccaise e de mestrado da estudante Suenne Riguette, ambos realizados no Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas em colaborac¸˜ao com o grupo de RMN do IFSC. Entre os estudos reali- zados por Auccaise est˜ao a descric¸˜ao dos mecanismos de relaxac¸˜ao respons´aveis pelos tempos de relaxac¸˜ao de cada coerˆencia do n´ucleo de s´odio e a simulac¸˜ao quˆantica de um condensado bosˆonico. J´a o trabalho de mestrado de Riguette consiste na implementac¸˜ao da transformada de Fourier quˆantica para 2 q-bits.
Com a realizac¸˜ao deste trabalho, espera-se que os m´etodos propostos e todo o sistema ex- perimental descrito e otimizado possam ser usados como uma bancada de testes para estudos de computac¸˜ao e informac¸˜ao quˆantica principalmente em sistemas de 2 q-bits. Acredita-se que as rotinas de calibrac¸˜ao e programac¸˜ao, bem como os algoritmos de otimizac¸˜ao aqui descritos, per- mitem que usu´arios desse sistema gastem pouco tempo no processo de adaptac¸˜ao experimental dos seus respectivos estudos de interesse.