Criac¸˜ao dos Estados de Bell

A base de estados de Bell possui caracter´ısticas interessantes principalmente por suas pro- priedades de emaranhamento. Estados de Bell s˜ao normalmente a base dos algoritmos de cripto- grafia, al´em de aparecerem com freq¨uˆencia nos demais algoritmos quˆanticos. Por esses motivos, torna-se interessante implement´a-los experimentalmente e verificar a eficiˆencia do processo via o m´etodo de Tomografia exposto neste trabalho.

A Figura 35 cont´em o circuito utilizado para a criac¸˜ao dos estados de Bell a partir dos estados da base computacional. Aplicando-se os estados |00i, |01i, |10i e |11i na entrada do circuito, obtˆem-se como sa´ıda, respectivamente, os estados: |00i + |11i, |01i + |10i, |00i − |11i e |01i − |10i. A porta Hadamard, HD, gera a transformac¸˜ao: |0i → |0i + |1i e |1i → |0i − |1i. Note que HD ´e uma operac¸˜ao genuinamente quˆantica, pois a sua ac¸˜ao sobre um estado cl´assico gera um estado superposto. Em todas as transformac¸˜oes expostas nesta sec¸˜ao de aplicac¸˜oes s˜ao ignorados os fatores de normalizac¸˜ao dos estados. A porta NOT-controlada, CNA, gera a

negac¸˜ao do q-bit B somente se o q-bit A for 1.

A TEQ foi realizada ao final de cada passo do circuito da Figura 35, ou seja, ap´os a criac¸˜ao do estado pseudo-puro, ap´os a aplicac¸˜ao da porta Hadamard e ap´os a aplicac¸˜ao da porta NOT- controlada. Todos os estados e portas l´ogicas foram implementados utilizando-se SMP’s. As fidelidades num´ericas obtidas para os pseudo-puros foram todas superiores a 0,999. As fidelida- des e os erros obtidos numericamente para as portas l´ogicas est˜ao na tabela 7. Os resultados do experimento encontram-se na Figura 36. Nessa figura, est˜ao expostas somente as componentes reais de cada elemento de ρ. Para esse caso, as matrizes te´oricas s˜ao todas reais, sendo que as componentes imagin´arias nas matrizes medidas s˜ao devidas aos erros experimentais.

As matrizes experimentais completas, escritas na notac¸˜ao da Figura 24, encontram-se no Apˆendice A.7. A tabela 8 cont´em as medidas experimentais de fidelidade para todos os estados tomografados nesse experimento.

HD

A

B

CN

Figura 35: Circuito quˆantico usado para criar a base de estados de Bell. Porta _hFi σF Durac¸˜ao (µs) Segmentos

HDA 0,989 0,005 130,12 5

CNA 0,993 0,003 162,35 5

Tabela 7: Propriedades num´ericas das portas l´ogicas criadas via t´ecnica SMP e utilizadas no experimento de criac¸˜ao dos estados de Bell. hFi e σF correspondem, respectivamente, `a fide-

lidade m´edia e ao desvio padr˜ao obtidos empregando-se o procedimento de estimativa de erros exposto no final da sec¸˜ao 2.2. A durac¸˜ao dos SMP’s refere-se a um acoplamento quadrupolar (ωQ =16, 5 kHz).

Etapa _{|00i |01i |10i |11i} pps 0,993 0,990 0,988 0,982 HDApps 0,956 0,927 0,921 0,921

CNAHDApps 0,841 0,793 0,832 0,799

Tabela 8: Fidelidades experimentais obtidas da TEQ de cada passo do experimento de criac¸˜ao de estados de Bell.

Observando-se os valores de fidelidade na Tabela 8, percebe-se que as fidelidades dos esta- dos pseudo-puros foram razoavelmente altas. Esse resultado ´e condizente com o alto valor de fidelidade (> 0, 999) calculado numericamente. Para os estados obtidos ap´os a aplicac¸˜ao das portas l´ogicas, percebe-se que a porta CNA apresentou um resultado aqu´em do esperado nume-

ricamente. Esse resultado parece prevalecer mesmo considerando que houve um detrimento dos estados criados pela transformac¸˜ao HDA. Isso, no entanto, n˜ao implica necessariamente em uma

m´a performance daquela porta comparativamente `a HDA. Isso porque a medida de fidelidade

de uma operac¸˜ao quˆantica deve levar em conta a aplicac¸˜ao da mesma sobre uma base de ope- radores, seguindo por exemplo a definic¸˜ao (2.87). Note que as portas l´ogicas foram aplicadas sobre uma base de vetores de estado (base computacional) e n˜ao sobre uma base de operado- res. Ainda assim, como a base computacional tamb´em ´e uma base para operadores diagonais, a fidelidade m´edia dos estados HDApps fornece a fidelidade da porta sobre esses operadores.

Outra possibilidade de explicac¸˜ao das baixas fidelidades experimentais para os estados obtidos ap´os a aplicac¸˜ao da porta CNA ´e de que a mesma foi aplicada sobre estados de superposic¸˜ao,

os quais correspondem a matrizes densidade que possuem coerˆencias n˜ao nulas, vide Figura 36. Como essas coerˆencias nesse sistema espec´ıfico evoluem sob a interac¸˜ao quadrupolar, ou seja, esses estados n˜ao s˜ao auto-estados da hamiltoniana estacion´aria, erros nos delays internos

Experimental

|11i

HD

_|11i

CN

HD

_|11i

|01i

HD

_|01i

CN

HD

_|01i

|00i

HD

_|00i

CN

HD

_|00i

|10i

HD

_|10i

CN

HD

_|10i

Figura 36: Tomografia das etapas do circuito da Figura 35 para a criac¸˜ao dos estados de Bell. Est˜ao mostrados somente os elementos reais das matrizes densidade. As matrizes experimentais completas encontram-se no Apˆendice A.7.

Experimental Te´orico

Figura 37: Tomografia do estado do Gato, |00i + |11i. Diferentemente do estado CNAHDA|00i

obtido no experimento da Figura 36, o estado dessa figura foi obtido diretamente do equil´ıbrio t´ermico atrav´es do procedimento de m´edia temporal.

e nas estimativas desses delays no processo de calibrac¸˜ao podem provocar evoluc¸˜oes esp´urias do sistema.

Obviamente, os estados pseudo-puros iniciais n˜ao precisam corresponder necessariamente `a base computacional. Como exemplo de criac¸˜ao de um estado inicial pertencente a uma outra base, a Figura 37 apresenta a tomografia do estado do Gato, |00i + |11i. Diferentemente do estado CNAHDA|00i mostrado na Figura 36 esse estado foi obtido diretamente sobre o estado

de equil´ıbrio t´ermico utilizando o procedimento de 4 m´edias temporais. Devido a isso, obteve-se uma fidelidade de 0,987 que ´e significativamente superior `a fidelidade de 0,841, vide Tabela 8.